材料学 平面应变状态分析
应变状态分析
∂u′ ∂u ′ ∂x ∂u ′ ∂y ε x′ = = + ∂x ∂x ∂x′ ∂y ∂y′ ∂v′ ∂u ′ γ x′y′ = −( + ) ∂x′ ∂y′
求导整理后：
ε x′ = ε x cos 2 α + ε y sin 2 α − γ xy sin α cos α γ x′y′ = 2(ε x − ε y ) sin α cos α + γ xy (cos 2 α − sin 2 α )
∂u ′ ε′ x = ∂x′
ε′ y =
γ x′y′ = −(
∂v′ ∂u ′ + ) ∂x′ ∂y′
y’
y r
v v’ M u i’
α
M’ u’ x’ x
坐标轴旋转公式：
j’
j i
u ′ = u cos α + v sin α v′ = −u sin α + v cos α x = x′ cos α − y′ sin α y = x′ sin α + y ′ cos α
R1 R2 ∆R1 ∆R2 ∆R3 ∆R4 ∆U = U ( − − + ) 2 ( R1 + R2 ) R1 R2 R3 R4
接入的应变片电阻值相同时： ∆U = U
《应变状态分析》课件
问题讨论
引导听众讨论应变状态分析中的问题，并共同寻求 解决方案。
感谢
结束语，表示对听众的感谢和对他们的关注。
《应变状态分析》PPT课 件
# 应变状态分析 ## 概述 本PPT课件将介绍应变状态分析的基本概念、方法和应用。
应变状态的定义和分类
定义
详细解释什么是应变状态以及它在工程中的意 义。
分类
介绍不同类型的应变状态，如线性和非线性应 变状态。
应变状态的测量和计算
应变测量的方法
讨论常用的应变测量技术，包 括应变片和光栅测量。
介绍主要应变状态分析的方法，如应变路径分析和主应变模态分析。
2
案例分析
通过实际案例，展示不同分析方法在工程中的应用。
3
案例分析
通过实际案例，展示不同分析方法在工程中的应用。
应变状态分析在工程中的应用
工程物理测试
说明应变状态分析在工程物理测 试中的重要性和应用。
结构强度分析
介绍应变状态分析在结构强度分 析中的应用和优势。
应变计算的方法
介绍如何使用测量数据计算应 变，包括点应变和区域应变的 计算。
示例分析
通过实际案例分析，演示应变 测量和计算的步骤。
应变状态的影响因素
1 应变状态的影响因素
探讨应变状态受到哪些因素的影响，如温度、力量等。
2 举例说明
通过具体案例，展示不同因素对应变状态的影响。
Байду номын сангаас
应变状态的分析方法
1
应变状态的分析方法介绍
技术开发中的应用
探讨应变状态分析在技术开发和 创新中的作用。
结论
结果分析
分析应变状态分析的结果及其对工程的影响。
理想刚塑性平面应变问题
理想刚塑性平面应变问题滑移线作为一种分析和作图相结合的方法是首先由Bat-dorf 和Budiansky 在1949年提出的。
由于它对于求解理想刚塑性平面应变问题的方便和有效。
滑移线理论在塑性力学中占有很重要的地位，一直得到较快的发展。
除了对理想刚塑性平面应变问题例如机械加工，金属成型等冲压，轧锟和锻造等生产上广泛应用之外，近年来对平面应力问题，各向异性材料等也提出了滑移线理论和求解方法。
应当说理想刚塑性平面是一种假设，因为真实材料在塑性加工和变形过程中，往往存在加工硬化影响。
蠕变和应变率效应，惯性力的影响等，滑移线理论是在忽略这些因素，把问题作为“准静态”处理，从而导致理想化的理论模式。
自然这样的理想化的理论计算给出工程上的很好近似，方便求出极限载荷，与实验也比较相符，因而滑移线理论是值得深入研究和进一步发展的塑性力学重要内容。
刚塑性平面应变问题的基本方程一、不可压缩条件平面应变的位移满足关系：),(y x u u x x = ),(y x u u y y = 0=z u （1）其速度场满足：),(y x v dtdu x x =),(y x v dtdu y y=0==z z v dtdu （2）其应变率张量为：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=0000)(210)(21y v x v yv yv x v xv y y x xy x ij ε（3）不可压缩条件表示为：0=++z y x εεε （4）因为0=z ε，故有: 0=∂∂+∂∂yv xv y x （5）二、Levy —Mises 关系由于)2(yxx xS σσλλε-==)2(xy y y S σσλλε-==xyxy τλγ2=故有 xyxyxyxy x yx y yv xv x v yv τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂三、平衡条件和屈服条件不考虑体积力,平衡条件为:0=∂∂+∂∂y x xy x τσ (6.1)0=∂∂+∂∂yxyxy στ (6.2)Mises 屈服条件:022=-=k J f由正交流动法则,并知0=z ε,则有:0)(=-==∂∂=σσλλσλεzz zz S f进而可知: σσσσ=+=2yxz(7)注意到: 2yxxx S σσσσ-=-=2xyyy S σσσσ-=-= 故有y x S S -= (8)进而可知:22222222)2()2(2121xy yx xyxxyyxij ij SSSSSS S J τσσ+-=+=++==∴Mises 屈服条件可进一步表示为下式:22244)(k xy y x=+-τσσ(9)又考虑到: 2231)2(2xy yxyxτσσσσσσ+-±+=故有:2231)2(2xy yxτσσσσ+-=-因此Tresca 屈服条件表示为:22244)(k xy y x =+-τσσ (10)应当注意: (9)中的3sk σ=,而(10)中的2sk σ=注：如果给定应力边界条件还可以用(6)式和(10)式来求x σ ，y σ， xy τ在刚性区则有: 22244)(k xy y x <+-τσσϕκσσ2cos +=xϕκσσ2c o s -=yϕκτ2s i n =xy其中ϕ为1σ与x 轴夹角,而α线与x 轴夹角为θ,则有:4πθϕ+=进而: θϕ2si n 2co s -= , θϕ2cos 2si n =θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy将上式代入平衡方程(6)式可得:02sin 22cos 20=∂∂-∂∂-+∂∂yk xk xθθθθσ02cos 22sin 20=∂∂+∂∂-∂∂+yk xk yθθθθσ (11)由 式θκσσ2sin -=xθκσσ2sin +=yθκτ2cos =xy可得xyyxtg τσσθ22-=-将上式代入式xyxyxyxy x yx y yv xv x v yv τσσγεε2-=-=∂∂+∂∂∂∂-∂∂ 可得0)(2)(=∂∂+∂∂+∂∂-∂∂xv yv tg yv xv y x y x θ0=∂∂+∂∂yv xv y x (12)注：如果给定速度边界条件还可以用(11)和(12)来求y x V V ,，θ，σ滑移线1、应力场中的滑移线、应力方程材料发生塑性屈服时，任一点的应力状态可以用等斜面上的平均正应力和等斜面上剪应力表出。
弹性力学-平面应力-平面应变问题
平面应力问题的求解方法
解析法
实验法
通过数学分析的方法，将问题转化为 数学方程进行求解。适用于简单几何 形状和边界条件的问题。
通过实验测试来测量物体的应力分布， 通常需要制作模型并进行加载测试。 适用于无法通过理论分析求解的问题。
有限元法
将物体离散化为有限个小的单元，通 过求解每个单元的平衡方程来得到整 个物体的应力分布。适用于复杂几何 形状和边界条件的问题。
弹性力学的基本方程
描述物体在受力后的应力 与应变之间的关系。
描述物体在受力后发生的 位移和应变关系。
描述物体内部力的平衡关 系03
平面应力问题
平面应力问题的定义
平面应力问题是指在弹性力学中，物 体受到的应力作用在某一平面内，且 在该平面上没有作用力的问题。
平面应力问题通常适用于薄板、薄壳 等二维结构，其中应力分量在某一平 面内变化，而垂直于该平面的方向上 ，应力和应变均为零。
THANKS
感谢观看
04
平面应变问题
平面应变问题的定义
平面应变问题是指在弹性力学中，应变和应力都仅发生在某一平面内的现象。在 此情况下，应变和应力分量都与离开平面的距离无关。
平面应变问题通常出现在薄壁结构、板壳结构等二维结构中，其中主要的变形和 应力分布都在一个平面内。
平面应变问题的求解方法
1 2 3
有限元法
通过将问题离散化为有限个小的单元，利用弹性 力学的平衡方程和变形协调方程，求解每个单元 的应力、应变和位移。
跨学科的研究
与其他学科的交叉研究 可能会带来新的思想和 理论。例如，与物理学 、化学、生物学等学科 的交叉可能会为弹性力 学的研究提供新的视角 和思路。
实验与理论的结 合
实验技术的发展将有助 于更好地验证理论的正 确性和实用性。同时， 理论的发展也将为实验 提供更好的指导。因此 ，实验与理论的结合将 是未来研究的一个重要 方向。
应变状态分析
第三章应变状态分析一. 内容介绍本章讨论弹性体的变形，物体的变形是通过应变分量确定的。
因此，首先确定位移与应变分量的基本关系－几何方程。
由于应变分量和刚体转动都是通过位移导数表达的，因此必须确定刚体转动位移与纯变形位移的关系，才能完全确定一点的变形。
对于一点的应变分量，在不同坐标系中是不同的。
因此，应变状态分析主要是讨论不同坐标轴的应变分量变化关系。
这个关系就是应变分量的转轴公式；根据转轴公式，可以确定一点的主应变和应变主轴等。
当然，由于应变分量满足二阶张量变化规律，因此具体求解可以参考应力状态分析。
应该注意的问题是变形协调条件，就是位移的单值连续性质。
假如位移函数不是基本未知量，由于弹性力学是从微分单元体入手讨论的，因此变形后的微分单元体也必须满足连续性条件。
这在数学上，就是应变分量必须满足变形协调方程。
在弹性体的位移边界，则必须满足位移边界条件。
二. 重点1.应变状态的定义：正应变与切应变；应变分量与应变张量；2.几何方程与刚体转动；3.应变状态分析和应变分量转轴公式；4.应变状态特征方程和应变不变量；主应变与应变主轴；5.变形协调方程与位移边界条件；知识点位移与变形正应变纯变形位移与刚性转动位移应变分量坐标转轴公式主应变齐次方程组体积应变变形协调方程变形协调方程证明多连域的变形协调变形与应变分量切应变几何方程与应变张量位移增量的分解应变张量应变状态特征方程变形协调的物理意义变形协调方程的数学意义§3.1 位移分量与应变分量几何方程学习思路:由于载荷的作用或者温度的变化，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这一移动过程，弹性体将同时发生两种可能的变化：刚体位移和变形位移。
变形位移是与弹性体的应力有着直接的关系。
弹性体的变形通过微分六面体单元描述，微分单元体的变形分为两个部分，一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化，分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
材料应变分析方法及其应用研究
材料应变分析方法及其应用研究应变分析是材料力学领域中的一项重要研究内容，应变分析方法对于材料的性能和寿命评价、结构设计和工程应用等具有重要的意义。
本文旨在介绍材料应变分析方法及其在材料力学领域应用中的研究现状。
一、应变分析概述应变分析是一种对材料力学行为进行评价的方法，它通过测量材料表面上的应变变化来揭示材料内部的应力分布状态。
应变分析技术是近年来得以快速发展的材料力学分析方法之一，主要包括光学应变分析、电子图像应变分析、数字全场应变分析等。
1. 光学应变分析光学应变分析是应变分析技术中最早能够应用的方法之一，它利用光学原理通过特殊的测量装置测量材料表面的应变，得到材料内部的应力分布情况。
光学应变法主要包括点式光学应变法和全场光学应变法两类。
其中点式光学应变法需要在材料表面粘贴敏感点，点式光学应变计可以通过测量这些敏感点的变形实现对材料内部应力分布的状态评价。
而全场光学应变法不需要粘贴敏感点，涵盖了整个物体表面，可以获得更为全面的应变测量数据。
2. 电子图像应变分析电子图像应变分析是一种基于SEM电子图像的应变分析方法，它通过测量SEM图像中材料表面的像素位移来分析材料的应变状态。
该方法适用于对材料显微结构特征进行研究，并可以对许多复杂材料结构进行评价。
3. 数字全场应变分析数字全场应变分析除了使用光学法或者电子图像法测量应力或应变的局部分布外，还能够实现对整个被测物体表面的应力应变场进行测量和分析。
数字全场应变分析采用数字测量技术，将物体表面的形状和颜色等信息转换成数字图像进行全场分析。
二、应变分析方法在材料力学中的应用研究1. 材料疲劳行为评价疲劳行为是材料机械和结构失效的主要因素之一，应变分析方法可以应用于疲劳寿命的评价和预测。
通过疲劳试验对材料进行一定的循环载荷，同时进行光学应变测量或全场应变测量，可以实现对机械疲劳行为和寿命进行评估。
2. 材料成形加工过程中的应变分析因材料成形加工中受到各种力的作用，导致了材料的应力和应变产生了明显的变化。
材料力学8-2--平面应力状态分析-解析法
例：如图所示单元体，求 斜面的应力及主应力、主平面。
60 50 40 300
（单位：MPa）
解：1、求斜面的应力 x 40, y 60, x 5
y
2
cos2
xy
sin 2
40 60 40 60 cos(600 )
2
2
(50)sin(600 ) 58.3(MPa)
x
y
2
cos 2
xy sin
2
(1)
Ft 0
dA ( xdA cos ) sin
b
x
n
( xy dA cos ) cos ( y dAsin ) cos xy
x
( yxdA sin ) sin 0
a yx y c t
x
y
2
sin
2
xy cos 2
(2)
x
x
xy a yx
c
y
t
n x
-- 逆时针转为正。
单元体各面面积
bc：dA；ab：dA cos ；ac：dAsin
Fn 0 dA ( xdA cos ) cos ( xydAcos ) sin
( ydAsin ) sin ( yxdAsin ) cos 0
整理后：
x
y
2
max
若σx<σy， |α0|较大的一个
x
确定σmax所在的平面；
min
y
x
0
max
2、τα的极值及其所在平面的位置
x
y
2
sin 2
xy cos2
(2)
d 0 d
x y cos 2 2 xy sin 2 0
第七章 结构线性静力学 2平面应变问题.pptx
(1) Main Menu/Preprocessor/Element Type/Add/Edit/Delete，选择Solid，8node 82， 在element type reference number文本框中输 入1，ok。
(12) Utility Menu/Select/Everything
(13) Utility Menu/File/Save as,输入 EXERCISE22.db，ok.
(17) Main Menu/Solution/Solve/Current LS,ok. (18)Utility Menu/File/Save as,输入
由于管道沿长度方向的尺寸远大于管道的直径，在 计算过程中忽略管道的端面效应，认为其在长度方 向无应变产生，即可将该问题简化为平面应变问题；
将单元关键字设置为平面应变属性； 选取管道横截面建立几何模型求解。
1、定义工作文件名和工作标题
(1)Utility Menu/File/Change Jobname, 输入新的 工作文件名EXERCISE2，单击ok。
（10）Utility Menu/WorkPlane/Change Active CS to/Global Cylindrical ;（转换成柱坐标系）
（11） Utility Menu/Select/Entities，第1个下 拉菜单选择Lines，第2个下拉列表选择By Location, 第3栏选择X coordinates，在Min， Max中输入0.5，在第5栏中选择From Full，ok.
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3 2
首先研究与其中一个主平
面 （例如主应力3 所在的平
面）垂直的斜截面上的应力
用截面法,沿求应力的
截面将单元体截为两部分,
取左下部分为研究对象
1
2 1
1
2
3
2
主应力 3 所在的两平面上是一
对自相平衡的力,因而该斜面上的应
力 , 与3 无关, 只由主应力1 , 2
决定
3
与3 垂直的斜截面上的应力可
最大切应力所在的
截面与 2 所在的主平面 O C
B
A
垂直,并与1和3所在的
主平面成45°角.
3
2
1
例题9 单元体的应力如图所示,作应力圆, 并求出主应力和最大 切应力值及其作用面方位.
解: 该单元体有一个已知主应力
y 20MPa
因此与该主平面正交的各截
面上的应力与主应力z 无关, 依据
x截面和y 截面上的应力画出应力
假设:
O
（1）O点处沿任意方向的微段内, 应变是均匀的;
x'
x
（2）变形在线弹性范围内都是微小的, 叠加原理成立;
分别计算 x ,y ,xy单独存在时的线应变 和切应变,然后 叠加得这些应变分量同时存在时的和 .
1.推导线应变 （ Derive the linear strain）
从O点沿 x′方向取出一微段 OP = dx′, 并以它作为矩形 OAPB
的对角线.
y y'
该矩形的两边长分别为 dx 和 dy
x'
B
P
dy dx'
O
dx A
x
（1）只有正值x 存在
假设OB边不动,矩形 OAPB 变形后成为OA'P'B
的伸长量 为
y y'
x'
B
P
P'
dy
D
O
dx
A
A' x
xdx
O点沿 x'方向的线应变1 为
（2）只有正值y存在
假设 OA 边不动 矩形 OAPB 变形后为
1
该截面上应力 和 对应
的D点必位于上述三个应力圆 所围成的阴影内
2
c
a
b
1
3 2
结论
三个应力圆圆周上的
点及由它们围成的阴影部
分上的点的坐标代表了空
间应力状态下所有截面上
的应力
该点处的最大正应力 O C
B
A
（指代数值）应等于最大
应力圆上A点的横坐标1
3 2
1
最大切应力则等于最 大的应力圆的半径
由 1 , 2 作出的应力圆上的点来表
示
1
1
2
3 2
该应力圆上的点对应
于与3 垂直的所有斜截面
上的应力
与主应力 2 所在主平 面垂直的斜截面上的应力,
可用由1 ,3作出的应力
圆上的点来表示
OC
B
A
与主应力１所在主平
面垂直的斜截面上的应力
3 2
, 可用由2 ,3作出的应
1
力圆上的点来表示
abc 截面表示与三个主ห้องสมุดไป่ตู้ 面斜交的任意斜截面
OAP"B'
的伸长量为
y
y'
B'
ydy
P'' x'
D'
B
P
dy
O
dx A
x
O点沿 x'方向的线应变 2 为
（3）只有正值切应变xy存在
使直角减小的 为正
y'
y γxydy
假设 OA 边不动
矩形 OAPB 变形后为
OAP"'B"
B dy γxy
x'
B'' P
P'''
D''
的伸长为
O
dx A
x
O 点沿 x′方向的线应变为
根据上述主应力，作出三个应
力圆
3
D
1
平面应变状态分析
平面应力状态下，已知一点的应变分量x ,y , xy ，欲求方 向上的线应变和切应变 ,可根据弹性小变形的几何条件,分别 找出微单元体（长方形）由于已知应变分量x ,y , xy在此方向上
引起的线应变及切应变,再利用叠加原理.
一、任意方向的应变(The strain of any direction）
根据叠加原理,x , y 和 xy 同时存在时,O点沿 x´方向的线应
变为
2.切应变 （Shearing stress）
以上两式利用三角函数化简得到
二、主应变数值及其方位 (The principal strains and it’s direction)
在所研究的O点处, Oxy 坐标系内的
线应变x , y , xy 为已知.求该点沿任意方
y
向的线应变 .
O
x
将Oxy 坐标绕O点旋转一个 角，得到一个新 Ox' y'坐标系.
并规定 角以逆时针转动时为 y'
y
正值，反之为负值.
为 O 点沿 x'方向的线变
为直角 x'Oy'的改变量,
即切应变.
三向应力状态分析
一、 空间应力状态下的最大正应力和最大切应力
(the maximum normal stress and shear stress in three-
dimensional stress-state)
已知受力物体内某一点处三个主
2 3
应力1, 2, 3
1
1
利用应力圆确定该点的最大正应
20MPa 40MPa
x 20MPa
圆. 求另外两个主应力
z
由 x , xy 定出 D 点
以 DD′为直径作应力圆
由 y , yx 定出 D′ 点
A1,A2 两点的横坐标分别代
表另外两个主应力 1 和 3
D′
1 =46MPa 3 =-26MPa
A2
A1
该单元体的三个主应力
O
1 =46MPa 2 =20MPa 3 =-26MPa