高中数学必修5人教A版第一章解三角形总结与复习

2 2 2
(a + b + c)(a − b + c) = a ∴ c a +c −b = −ac ， 解析： 由余弦定理推论得 cos B =
2．三角形的形状（角）判断
a 2 + c2 − b2 1 ∴ B = 120° = − ， 2ac 2
（1）利用正．余弦定理把已知条件转化为边之间的关系，通过因式分解．配方等得出边之间的关系，进而判断； （2）利用正．余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判
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一．知识点
第一章 解三角形 复习资料
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1．正弦定理：三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即 =
a b c = = 2R ． sin A sin B sin C 变形公式：① a = 2 R sin A ， b = 2 R sin B ， c = 2 R sin C ；② sin A : sin B : sin C = a : b : c ．
C．无解
）
D．不能确定 B．60°或120°
12． 在 △ABC 中 105° ，若 a 则B等 于（ ） A． = 5 2, c = 10, A = 30° ， 13． △ABC 中，若 sin A sin B < cos A cos B ，则这个三角形是（ A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 ）
15° C．
D． 105°或15°
D．等腰三角形 ） D．等腰或直角三角形 ）
14．在 △ABC 中，若 a cos A = b cos B ，则 ∆ABC 的形状是（ A．不能确定 B．等腰三角形 C．直角三角形
15．在 △ABC 中，若 tan A ⋅ sin 2 B =tan B ⋅ sin 2 A ，则 △ABC 的形状是（ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
） A．2 ） A．2 3
1 2
B．2
C． 2 C． 2
10．已知 △ABC 中，若 B = 2 A ， a = 1 ， b = 3 ，则 c = （
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= 60° ， a = 11．在 △ABC 中， A
A．有一解 B．有两解
6 ， b = 3 ，则 △ABC 解的情况（
2 2
D.等腰或直角三角形
∴ a = 2b ⋅
a 2 + b2 − c2 2ab
∴b = c ，故为等腰三角形，选择 A．
1 1 1 ． = ab sin C = bc sin A ca sin B 是常用的，注意是 “两边与夹角” 2 2 2
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1 底 × 高； 2
② SБайду номын сангаасABC =
1 1 1 = ab sin C = bc sin A ca sin B ； 2 2 2
p( p − a)( p − b)( p − c)（其中 p =
1 2 2 a 2 + b2 − c2 2 1 ； ④秦九韶公式 : S = a b −( ) (a + b + c) ） 2 2 2
b2 + c2 − a 2 求出 A ； ③根据 = 求出 B ． B 180° − ( A + C ) ， 2bc
求出第三边后，也可以用正弦定理求角，这样往往可以使计算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论（因为 ，应先求出较小边所对的角，它必是锐角． 正弦函数在区间 (0, π ) 上是不单调的，有两个值） （3）已知三边(SSS) 求出第三个角； 可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求出较小两边所对的角，再由 A + B + C = 180° ，
③两边之和大于第三边， 两边之差小于第三边， 即：a + b > c ，a − b < c
= A sin( B + C ) ； cos A = ⑤ sin − cos( B + C ) ； tan A = − tan( B + C )
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二．常见考点
（正弦定理可以解决问题：①已知两角和一边；②已知两边和其中一边的对角） 2．余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A ；
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B ；
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab cos C
a sin 30° = sin 60°
．
3 ， 所以 c =
a 2 + b2 = 2 3
6，A = 45° ，则 c =
b sin 30° 1 ， 又 b < a ， ∴ B = 30° 或= B 150° ， ∴ B < A ， ∴ B = 30° ， = a 2
3 +3．
C 105° ，故 sin105° = 所以=
B.
2 ， b = 2 ， sin B + cos B = 2 ，则 A = （
)
75°，B = 60° ，则 b 等于( 3， A=
π 3 6 3 3 2 A． B． 2 2 2
π
π 4 3 C． 2
C.
D.
2π 3
D．
6 2
4．△ABC 中，若 b = 2a sin B ，则 A 等于（ ） A．30°或60° 5．△ABC 中，若 a = 15，， b = 10
也可以根据余弦定理，列出以边 c 为元的一元二次方程 c − (2b cos A)c + (b − a ) = 0 ，根据一元二次方程的解 法，求边 c ，然后应用正弦定理或余弦定理，求出其他元素． 4．三角形常见结论 ①三角形内角和为 180° ，即： A + B + C = π； ②大边对大角，小边对小角，即： A > B ，则 a > b ； ④ （直角三角形） 勾股定理：a 2 + b 2 = c2 ；
由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二个角，但仍然是先求较小边的角．
（4）已知两边及其中一边所对的角，如 a，b，A(SSA) ①由正弦定理， 经讨论求出 B ； ②求出 B 后 ，由 A + B + C = 180° ， 求C ； ③再由正弦定理
2 2 2
a c ， 求出边 c ． = sin A sin C
．
3 +3．
1 ，则 sin B = 4
解析： c = a + b − 2ab cos C = 1 + 4 − 2 × 1× 2 ×
2 2 2
1 1 15 = 4 ，∴ c = 2 ， 又 cos C = ，∴ sin C = 4 4 4
．
a ，则 c B= 【典例 4】在 △ABC 中， (a + b + c)( a − b + c) =
B．45°或60°
C．30°或120° D．30°或150°
A = 60° ，则 cos B = （ ）A．
6 3
B． −
6 3
C．
2 2 3
D． −
2 2 3
则角 B 等 于（ 6． 已知 △ABC 中，a = 4, b = 4 3, A = 30° ， 7．在 △ABC 中， = A
） A．30° B．30°或150° A． 5 2 ） A． B． 10 2 B． B．
π 这个结论 断出三角形的形状，此时要注意应用三角形内角和 A + B + C =
在这两种解法中，一般等式两边不要约去公因式，应移向提取公因式，以免漏解． 【典例 5】在 △ABC 中， a = 2b cos C ，则这个三角形一定是（ ） A.等腰三角形 解析： a = 2b cos C 3．三角形中的几何计算 （1）几何中的长度．角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算，这样就可以利用正．余弦定理解决问题．解 决此类问题的关键是构造三角形，把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中． （2）在三角形的面积公式中 = S△ABC B.直角三角形 C.等腰直角三角形 则b = c
【典例 6】已知 ∆ABC 中， AB =
3，，且 AC = 1
D.
B = 30° ，则 ∆ABC 的面积等于（
3 3 或 2 4
3 2
）
A.
3 2
B.
3 4
C.
3 或 3 2
c sin B = b
解析：根据正弦定理得 = sin C
3 sin 30° = 1
∴ C = 60°或120°
1 2
则∴ A = 90°或30°
1 2
3 2
3 4
2 = ) ，且 b ⊥ a ，求 A 的大小． ，向量 a = (−1,1) ， b (cos B cos C ,sin B sin C − 2 2 2 2 π = 0 ，即 cos( B + C ) = − = − cos A ，所以 A = ． 2 2 4
巩 固 练 习
C．60°或120° C． 10 6 C．
D．60°
π
= ,B = , a 10 ，则 b = （ 4 6
7, = c 2 ，则角 B 等于（
π
）
D． 5 6 D． D．1 D．1
8．在 △ABC 中， = a 3, = b
π
3
π 4
π 6