必修五解三角形高考题型总结复习
必修5解三角形知识点归纳总结
第一章解三角形一.正弦定理: 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 —=—=—=2R （其中R 是三角形外接圆的半径） sin A sin B sinC a + b + c a b c = = = . sin A + sin B + sin Csin A sin B sin C 2）化边为角： a : b : c = sin A : sin B : sin C . a sin A b sin B a sin Ab sin B ，c sin C ，csin C 3）化边为角：a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin Csin A a sin B b sin A a • —— •sin B b ' sin C c ' sin C c 'abc sin A =——, sin B =——, sin C =—— 2 R 2 R 2 R3.利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题:①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a,解法：由A+B+C=180o ,求角A,由正弦定理a =空A ;-=把B b sin B c sin C a sin A = ------- ;求出b 与c c sin C②已知两边和其中一边的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A,解法：由正弦定理a =竺4求出角B,由A+B+C=180o 求出角C,再使用正 b sin B弦定理a = sn A 求出c 边 c sin C 4.△ABC 中，已知锐角A,边b,则①a < b sin A 时，B 无解;②a = b sin A 或a > b 时，B 有—个解③b sin A < a < b 时，B 有两个解。
2.变形：1） 4）化角为边: 5）化角为边:如：①已知A :60。
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习
高中数学必修5__第一章_解三角形复习知识点总结与练习高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:ainAbinBcinC2RR为三角形外接圆的半径2正弦定理的一些变式：iabcinAinBinC；iiinAa2R,inBb2R,inCc2R；2Riiia2RinA,b2RinB,b2RinC；（4）3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角abcinAinBinC（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角（可能有一解，两解，无解）中，已知a,b及A时，解得情况：解法一：利用正弦定理计算解法二：图形一解两解一解一解无解A 为锐角A为钝角或直角关系式解的个数【余弦定理】a2b2c22bccoA2221．余弦定理：bac2accoB2推论：设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若abc，则C90；②若abc，则C90；③若abc，则C90．3两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角12222222【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.S1aha1abinC1rabc（其中r为三角形内切圆半径）12abc,S/h的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110°，航行半小时到达C点观测灯塔A的方位角是65°，则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少？扩展阅读：高中数学必修5第一章解三角形知识点复习及经典练习高中数学必修五第一章解三角形知识点复习及经典练习一、知识点总结abc2R或变形：a:b:cinA:inB:inC1．正弦定理:inAinBinC推论：①定理：若α、β＞0，且αβ＜，则α≤βinin，等号当且当α=β时成立。
②判断三角解时，可以利用如下原理：inA＞inBA＞Ba＞bcoAcoBAB（co在0,上单调递减）b2c2a2coA2bca2b2c22bccoA2a2c2b2222．余弦定理：bac2accoB或coB2acc2b2a22bacoCb2a2c2coC2ab3．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角4．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式5．三角形中的基本关系：inABinC,coABcoC,tanABtanC,in已知条件一边和两角（如a、B、C）ABCABCABCco,coin,tancot222222一般解法由ABC=180，求角A，由正弦定理求出b与c，在有解时有一解。
必修五第1章解三角形归纳整合
4． 解三角形应用题的基本思路 解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题 来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型 的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出 示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已 知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化， 哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的 要求．
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解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同 正数解，则三角形有两解． 三角形形状的判定方法 3． 判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦 定理，化边为角(如：a＝2Rsin A，a2＋b2－c2＝2abcos C等)， 利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注 意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：
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【例2】 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满 足(2a－b)cos C＝c· cos B，△ABC的面积S＝10 3 ，c＝7. (1)求角C； (2)求a，b的值． 解 (1)∵(2a－b)cos C＝ccos B， ∴(2sin A－sin B)cos C＝sin Ccos B， 2sin Acos C－sin Bcos C＝cos Bsin C， 即2sin Acos C＝sin(B＋C)， ∴2sin Acos C＝sin A.
－2ab1＋cos
π ， 3
2
1 －2×40×1＋ . 2
∴a＋b＝13.② 由①②得 a＝8，b＝5 或 a＝5，b＝8.
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高中数学必修5__解三角形知识点总结与练习
解三角形一、知识点总结 1． 内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -；sincos cos sin tan cot 222222A B C A B C A B C+++===；；. 2．面积公式:1sin 2ABC S ab C ∆== 1sin 2bc A =1sin 2ca B 3．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. 形式一：R CcB b A a 2sin sin sin ===或变形：::sin :sin :sin a b c A BC = (解三角形的重要工具) 形式二：⎪⎩⎪⎨⎧===C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2 (边角转化的重要工具)4.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一：2222cos a b c bc A =+-2222cos b c a ca B =+- (解三角形的重要工具) 2222cos c a b ab C =+-形式二：cos A =bc a c b 2222-+ ； cos B =ca b a c 2222-+ ； cos C =abc b a 2222-+5．（1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. （2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角.2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角. 6．判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式. 7． 已知条件 定理应用 一般解法一边和两角 （如a 、B 、C ） 正弦定理由A+B+C=180˙，求角A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时 有一解。
两边和夹角 (如a 、b 、c) 余弦定理 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再 由A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
必修五《解三角形,不等式》专题典例参考资料
解三角形（理）知识要点：一、正弦定理及其变形： sin a A= （R 为三角形外接圆半径） 变形1：=C B A sin :sin :sin 变形2：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======)(sin ;)(sin ;)(sin ;C c B b A a 二、余弦定理及其推论：=2a=2b=2c推论：=A cos =B cos =C cos三、三角形面积公式=∆ABC S l r S ABC ⋅=∆21（r 是内切圆的半径，l 是三角形的周长） 1sin cos 22=+A A π=++C B A重要习题1、在△ABC 中，b ＝22，B ＝45°，则A=60°a ＝______；2、在△ABC 中，已知bc c b a ++=222，则角A 为 ;3、在△ABC 中，已知bc b c a =--2222123且32π=A △ABC 是 三角形. 4、在△ABC 中，a ＝3，b ＝7，c ＝2，那么B 等于 ；最大角的余弦值为 ; △ABC 的面积为 ;5、在△ABC 中，4:3:2sin :sin :sin =C B A 且14=+c b 则△ABC 的面积为 。
6、在ABC ∆中，若其面积222S =C ∠=_______；7、已知△ABC 中，a ＝8，b ＝7，B ＝60°，求边c 及S △ABC ‘《不等式》（理）一、一元二次不等式的解法：1、解一元二次不等式的步骤：当0a ≠时求解不等式：20ax bx c ++>（或20axbx c ++<）（1）将原不等式化为一般式（a ）.（2）判断 的符号.（3）求 （4）根据 写解集. 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于 ，小于 。
2、分式不等式求解步骤： ， ， ， ，如：⇒>a x g x f )()(⇒≤a x g x f )()( 3、一元二次不等式恒成立情况小结：20ax bx c ++>（0a ≠）恒成立⇔20ax bx c ++<（0a ≠）恒成立⇔4、[]n m x x f a ,)(∈<，恒成立⇔[]n m x x f a ,)(∈≥，恒成立⇔三．线性规划1、解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域；第二步：在可行域内找到最优解所对应的点；第三步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。
人教版高中数学必修5-1.2《解三角形》章末总结
人教A 版必修五第一章《解三角形》章末复习知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：（1）形式一：A cos bc 2c b a 222⋅-+=，B cos ac 2c a b 222⋅-+=，C cos ab 2b a c 222⋅-+=形式二：bc 2a c b A cos 222-+=，ac 2b c a B cos 222-+=，ab2c b a C cos 222-+=，（角到边的转换）3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,S △=))()((c S b S a S S ---=Sr(S=2cb a ++,r 为内切圆半径)=R abc 4(R 为外接圆半径).4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C =sin 2BA +,sin 2C =cos 2BA ……在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC; (2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7.解三角形常见的四种类型(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=180°及A a sin =B b sin =C c sin ，可求出角C ，再求b 、c.(2)已知两边b 、c 与其夹角A ，由a 2=b 2+c 2-2bccosA ，求出a ，再由余弦定理，求出角B 、C.(3)已知三边a 、b 、c ，由余弦定理可求出角A 、B 、C.(4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ，由正弦定理A a sin =B bsin ，求出另一边b 的对角B ，由C=π-(A+B)，求出c ，再由A a sin =C c sin 求出C ，而通过A a sin =Bbsin 求B 时，可能出一解，两解或无解的情况，其判断方法，如下表：9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.专题一：正、余弦定理的应用1．正弦定理主要有两个方面的应用：(1)已知三角形的任意两个角与一边，。
高中数学必修五__第一章___解三角形知识点归纳及测试题
第十二讲 解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C+++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ． 10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >． 11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）12．坡角和坡比坡角：坡面与水平面的夹角(如图④，角θ为坡角)．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i 为坡比)．1. △ABC 中，45B =，60C =，1c =，则最短边的边长等于 （ ）A 63B 62C 12D 322. △ABC 中，cos cos cos a b cA B C ==，则△ABC 一定是 （ ）A 直角三角形B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形3.△ABC 中，若60A =，3a =，则sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12C 3D 324. △ABC 中，:1:2A B =，C 的平分线CD 把三角形面积分成3:2两部分，则cos A =（ ）A13 B 12 C 34D 0 5.在钝角△ABC 中，已知1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是 。
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题(数学教研组)一、知识点总结 1 •正弦定理：一 ab c2R (R:外接圆半径)sin A sin B sinC或变形： a: b :c sin A:sin B:sin C .结论：①定理：在三角形中，a 、B 为其内角，则a<p ② 判断三角形大小关系时，可以利用如下原理： sin A > sin B A > B a > bcos A cos B A B a < b111③ 三角形的面积公式： S = - absin C= - bcsin A= - acsin B2 2 2cosAa 2b 2c 22bccos A2. 余弦定理： b 2 a 2 c 2 2ac cosB 或 cosB2 2 2c b a 2ba cosCcosC3. 利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题：(1) 正弦定理：1、已知两角和一边(如 A 、B 、c)，由A+B+C= n 求C,由正弦定理求a 、b.(ASA 或 AAS)2 、已知两边和其中一边的对角(如 a 、b 、A),应用正弦定理求B,由A+B+C= n 求C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边，要注意解可能有多种情况.(SSA) (2) 余弦定理：1、已知三边a 、b 、c,应余弦定理求 A B,再由A+B+C = n ，求角C.(SSS)2 、已知两边和夹角(如a 、b 、C),应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用 A+B+C= n ，求另一角.(SAS)主流思想：利用正、余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式 . 5.三角形中的基本关系： sin(A B) si nC, cos(A B)cosC, tan (A B) tanC,.A B C ABC+AB +C sin cos ,cossin ,ta ncot —2 2 2 2 2 26.求解三角形应用题的一般步骤： (1) 分析：分析题意，弄清已知和所求；(2) 建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图; (3) 求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义b 22c 2 a2bc2 a 2 c b 22ac222ba c sin sin ,等号当且当a =3时成立。
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，求 sin ∠ 的值 ;
。 （Ⅰ）求角 C 的大小；
C ．4—
D．
10. （江苏）在△ ABC中，已知 BC＝ 12， A＝ 60°， B＝ 45°，则 AC＝
11. （北京）在
中，若
，
，
，则
12.在△ ABC 中，若
则△ ABC 的形状是 _________
13. （湖南文） 在
中，角
所对的边分别为
，若
，
则
．
14. （重庆文）在△ ABC中， AB=1, B C=2, B=60°，则 AC＝
件为 、 满足的条件为
；= 满足的条件为
， A 为锐角，
= ， A 为直角，则 、 、 满足的条件为 （判断三角形形状的方法） .
. 、 、 满足的条 ， A=60°，则 、
（ 8）三角形
的面积
=
=
.
解三角形 一．选择题。
1.(2010 年广东卷文 )
中，
的对边分别为
若
且
，则 ( )
A.2
B
． 4＋
15. （江苏）若 AB=2, AC= BC ，则
的最大值
．
16. （ 湖 北 ） 在 △
中，三 个角
的 对边边 长分 别为
的值为
.
17. （浙江）在△ ABC中，角 A、 B、C 所对的边分别为 、 b、 c ，若
则
_________________ 。
三．解答题。 18. （ 2009 上海卷文） 已知Δ ABC的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、b、 c，设向量
解三角形
若在△ ABC中， 、 、 分别为角 A、B、 C 的对边， S 为面积，则有
（ 1） A+B+C=
.
（ 2）若 A+C=2B，则 B=
.
（ 3）在△ ABC中，大边对
，大角对
.
（ 4）在△ ABC中，任意两边之和
第三边 .
（ 5）正弦定理：
，
，
，
.
（ 6）余弦定理： （ 7） A 为钝角，则 、 、
的△ ABC
A ．有一个解
B．有两个解
7．已知△ ABC 的周长为 9，且
C ．无解
（）
D ．不能确定
，则 cosC 的值为
（）
A．
B．
C．
D．
16．如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点
A、 B，望
对岸标记物 C，测得∠ CAB =30°,∠ CBA=75°,AB=120m ，
则河的宽度为
.
25. （全国Ⅱ）在
，求
的面积 ．
，求最小边的边长． 的 对边．若
21. 在△ ABC中，已知边
,
，求边 a、 b 的长。
22．（全国Ⅰ文）设锐角三角形 ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b， c，
（Ⅰ）求 B的大小；
（Ⅱ）若
，
，求 b．
23. △ ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 (Ⅰ )求 B；
中，已知内角
，边
．设内角
，周长为 ．
7.
的面积是 30，内角
所对边长分别为
，
。
(Ⅰ)求 (Ⅱ)若
； ，求 的值。
（ 1）求函数
的解析式和定义域；
（ 2）求 的最大值．
26. 在
中，
分别为内角
所对的边长 = ， = ，
，
求边 BC上的高
27（广东） 已知△
顶点的直角坐标分别为
.
若 13. 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c, 设 S 为 △ ABC 的 面 积 ， 满 足
）
A．
B．
C．
D．
.
8. （海南）如果等腰三角形的周长是底边长的
5 倍，那么它的顶角的余弦值为（
）
A. 5/18
B. 3/4 C.
/2 D. 7/8
二．填空题。
9. （北京） . 若
的内角 、 、 满足
,则
19．（福建）在
中，
，
．
（Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）若
在 20. （ 上 海 ）
中，
最大边的边长为 分别是三个内角
海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为
海里 /小时，该救援船达到 D 点需要多长时间？
30
6． 在 200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为
30°、 60°，则塔高为（ ）
A.
米
B.
米
A
α
β
B
D
C
图
16.( 06 湖南）如图 ,D 是直角△ ABC斜边 BC上一点 ,AB=AD,记∠ CAD= , ∠ABC= .
）
A．
B．
C．
D．
4．关于 x 的方程
有一个根为 1，则△ ABC 一定是（
）
A ．等腰三角形
B．直角三角形
C ．锐角三角形
5.边长为
的三角形的最大角与最小角的和是（
）
A．
B．
6．在△ ABC 中，
C．
D．
，则
等于（
）
A．
B．
C．
D．
D ．钝角三角形
7．在 △ ABC 中，
，
，则下列各式中正确的是（
2． 在 △ ABC 中，
，那么 △ABC 一定是
（）
，
.
A ．锐角三角形
B．直角三角形
（ 1） 若 // ，求证：Δ ABC为等腰三角形；
C ．等腰三角形
D ⊥ ，边长 c = 2 ，角 C = ，求Δ ABC的面积
3．若 为△ ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（
，
中， ，
，求
C. 200 米
D. 200 米
3．在△ ABC中， A为锐角， lgb+lg( )=lgsin A=-lg ,则△ ABC为
（）
A ．等腰三角形 C ．直角三角形
B ．等边三角形 D ．等腰直角三角形
6．△ ABC 中，∠ A ，∠ B 的对边分别为 a,b，且∠ A=60 °，
，那么满足条件
（ 1）证明
;
（ 2）若 AC= DC,求 的值 .
1.(2008 东北师大附中模拟 ) 在△ ABC中，若
，则△
的形状为 （ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形 D. 直角三角形
山东省试验中学 2009 年高三第三次诊断性考试）在
（ 1）求 （ 2）设
的值 ，求
的面积
5.
中， 为边 上的一点，
（Ⅱ）若
a、 b、 c.己知
，
，
,则 ，
，
， ．
29.在△ ABC 中， 28 . 如图 8， A， B 是海面上位于东西方向相聚
，求 海 里的两个观测点，现位于 A 点北偏东
7．在△ ABC 中，若
A．
B．
2．在△ ABC 中，求证：
，则 等于（ C．
） D．
45°， B 点北偏西 60°且与 B 点相距