2009年-2014年湖南省高中学业水平考试数学试题

2009年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。

时量120分钟，满分100分。

一、选择题：本大题共10 小题，每小题4分，满分40分.每小题给出得四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}{}1,0,1,2,2,1,2A B =-=-，则A B =( )A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}2,0,1,2-2．若运行右图的程序，则输出的结果是（ ） A ．4 B ．9 C ．13 D ．223.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．164．sincos44ππ的值为（ ）A ．12 B C D 5．已知直线l 过点(0,7)，且与直线42y x =-+平行，则直线l 的方程为（ ） A ．47y x =-- B ．47y x =- C ．47y x =-+ D ．47y x =+ 6．已知向量(1,2),(,1)a b x ==-，若a b ⊥，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．17．已知函数()f x 的图像是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数()f x 必有零点的区间为（ ） A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)8．已知直线:1l y x =+和圆22:1C x y +=，则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定 9．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A ．1()3xy = B ．3log y x = C ．1y x=D ．cos y x = 10．已知实数x y 、满足约束条件100x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z y x =-的最大值为（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．11．已知函数2(0)()(0)1x x x f x x x ≥⎧-=⎨<+⎩，则(2)f = ．12．把二进制数(2)101化成十进制为 ． 13．在ABC ∆中，角A 、B的对边分别为00,60,30a b A a B ===、，则b = ．14．如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为 ．15．如图，在ABC ∆中，M 是BC 的中点，若AB AC AM λ+=,则实数λ= ．三、解答题：本大题共5小题，满分40分。

解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分6分） 已知函数()2sin(),3f x x x R π=-∈．（1）写出函数()f x 的周期；（2）将函数()f x 图像上所有的点向左平行移动3π个单位，得到函数()g x 的图像，写出函数()g x 的表达式，并判断函数()g x 的奇偶性．17.（本小题满分8分）某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理．为了较为合理地确定居民日常用水的标准，有关部门抽样调查了100位居民，右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题： （1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数．18.（本小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB ． (1)求证：BD ⊥面PAC ； (2)求异面直线BC 与PD 所成的角．19.（本小题满分8分）如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米（26x ≤≤） (1)用x 表示墙AB 的长；(2)假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元，请将墙壁的总造价y （元）表示为x （元）的函数；(3)当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20.（本小题满分10分）在正项等比数列}{n a 中，134,64a a ==． （1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2） 记4log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）记24y m λλ=-+-，对于（2）中的n S ，不等式n y S ≤对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围．2010年湖南省普通高中学业水平考试数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟.满分100分.一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{1,2}M =,{2,3}N =，则MN =( ) .A. {1},2B. {2,3}C. {1,3}D. {1,2,3} 2. 已知,a b c R >∈，则（ ）.A. +a c b c >+B. a c b c +<+C. a c b c +≥+D. a c b c +≤+ 3. 下列几何体中，正视图、侧视图和俯视图都相同的是（ ）.A .圆柱 B.圆锥 C.球 D.三菱柱 4. 已知圆C 的方程为()()22124x y -+-=，则圆C 的圆心坐标和半径r 分别为（ ）. A. ()1,2,2r = B. ()1,2,2r --= C. ()1,2,4r = D. ()1,2,4r --= 5. 下列函数中，为偶函数的是（ ）. A. ()f x x = B. 1()f x x=C. 2()f x x =D. ()sin f x x = 6. 如图所示的圆盘由八个全等的扇形构成，指针绕中心旋转，可能随机停止，则指针停止在阴影部分内的概率为（ ）. A.12 B. 14 C. 16 D. 187.化简：()2sin cos a a +=（ ）.A . 1sin 2a + B. 1sin a - C. 1sin 2a - D. 1sin a + 8. 在ABC ∆中，若向量CB CA ∙=0，则ABC ∆是（ ）.A .锐角三角形 B. 直角三角形 C .钝角三角形 D. 等腰三角形 9. 已知函数()(01)x f x a a a 且=>≠，若(1)2f =，则函数()f x 的解析式为（ ）.A. ()4x f x =B. 1()4x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. ()2xf x = D. 1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭10. 在ABC ∆中，,,a b c 分别是ABC ∆的对边，若60,1,2A b c ===，则a 等于（ ）. A. 1B.C. 2D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 直线22y x =+的斜率k = .12. 已知如图所示的程序框图，若输入的x 的值为1，则输出的y 值为 . 13. 已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，则2z x y =+的最大值为 .14. 已知向量 (4,2),(,3)a b x ==，若//a b ，则实数x 的值为 .15. 张山同学家里开了一个小卖部，为了研究气温对某种冷饮销售量的影响，他收集了一段时间内这种冷饮每天的销售量y （杯）与当天最高气温()x C 的有关数据，通过描绘散点图，发现y 和x 呈线性相关关系，并求得其回归方程260y x ∧=+如果气象预报某天的最高温度气温为34C ，则可以预测该天这种饮料的销售量为 .杯三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分6分)已知函数()sin 2(0)f x A x A =>的部分图像如图所示. （1）判断函数()y f x =在区间[ππ3,44]上是增函数还是减函数，并指出函数()y f x =的最大值；（2）求函数()y f x =的周期T .17. (本小题满分8分)如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛得分原始记录的茎叶图. （1）计算该运动员这10场比赛的平均得分；（2）估计该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率.18. (本小题满分8分)在等差数列{}n a 中，已知242,4a a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设2n an b =，求数列{}n b 前5项的和5S .19. (本小题满分8分)如图, ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体. （1）求证：B 1D 1∥平面BC 1D ；（2）若BC=CC 1，求直线BC 1与平面ABCD 所成角的大小.20. (本小题满分10分)已知函数2()log (1)f x x =-.(1) 求函数()y f x =的定义域;(2) 设()()g x f x a =+,若函数()y g x =在(2,3)内有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围;(3) 设()()()mh x f x f x =+，是否存在正实数m ，使得函数()y h x =在[3,9]内的最小值为4？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.2011年湖南省普通高中学业水平考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{,}M a b =，{,}N b c =，则M N 等于（ ）A ．{,}a bB ．{,}b cC ．{,}a cD ．{}b2．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）. A.圆柱 B. 三棱柱C.球D.四棱柱下列函数中， 3．函数()sin ,f x x x R =∈的最小正周期是（ ） A ．πB ．2πC ．4πD ．2π4．已知向量(2,1),(1,).x ==a b 若⊥a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 5．在区间(0,]+∞为增函数的是（ ） A ．()f x x =-B ．1()f x x=C ．()lg f x x =D ．1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭6．某检测箱中有10袋食品，其中由8袋符合国际卫生标准，质检员从中任取1袋食品进行检测，则它符合国家卫生标准的概率为（ ） A ．18B ．15C ．110 D ．167．在平面直角坐标系中，O 为原点，点P 是线段AB 的中点，向量(3,3),(1,5),OA OB ==- 则向量OP =（ ） A ．(1,2)B ．(2,4)C ．(1,4)D ．(2,8)8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，直线11B D 与平面1BC D 的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．直线11B D 在平面1BC D 内9．函数()23x f x =-的零点所在的区间是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60,45,A B ==b =，则a =（ ）正视图 侧视图俯视图ACD1A 1B 1C 1DAB ．2C ．3D ．6 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．样本数据3,9,5,2,6的中位数是 .．12．已知某程序框图如图所示，若输入的x 的值为3，则输出的值为 .13．已知0,x >则函数1y x x=+的最小值是 ． 14．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥平面，四边形ABCD 是平行四边形，PA AD =，则异面直线PD 与BC 所成角的大小是 .．15．已知点(,)x y 在如图所示的阴影部分内运动，且3Z x y m =-+的最大值为2，则实数m = ．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1sin ,(0,)22παα=∈（1）求cos α的值；（2）求sin 2cos 2αα+的值.第12题图第15题图17．（本小题满分8分）某中学有高一学生1200人，高二学生800人参加环保知识竞赛，现用分层抽样的方法从中抽取200名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图. (1)求从该校高一、高二学生中各抽取的人数；(2)根据频率分布直方图，估计该校这2000名学生中竞赛成绩在60分（含60分）以上的人数.18．（本小题满分8分）已知二次函数2()f x x ax b =++，满足(0)6f =，(1)5f =. （1）求函数()y f x =的解析式；（2）当[2,2]x ∈-，求函数()y f x =的最小值与最大值.0.00519．（本小题满分8分）在数列{}n a 中，已知*112,2(2,)n n a a a n n N -==≥∈. （1）试写出23,a a ，并求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .20． 已知关于,x y 的二元二次方程22240()x y x y k k R ++-+=∈表示圆.C（1）求圆心C 的坐标； （2）求实数k 的取值范围（3）是否存在实数k 使直线:240l x y -+=与圆C 相交于,M N 两点，且OM ON ⊥（O 为坐标原点）？若存在，请求出k 的值；若不存在，说明理由.参考答案一、选择题二、填空题11、 5 ； 12、 3 ； 13、 2 ； 14、45 ； 15、 2三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而cos α= （2）2sin 2cos 22sin cos 12sin ααααα+=+-= 17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人） （2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n ===，(1)1232n n n S n +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒< 112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足2012年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列{}n a 的前3项分别为2、4、6,则数列{}n a 的第4项为 A.7 B.8 C.10 D.122.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为A.球B.圆柱C.圆台D.圆锥3.函数()()()12f x x x =-+的零点个数是 A.0 B.1 C.2 D.34.已知集合{}{}1,0,2,,3,A B x =-=若{}2AB =,则x 的值为A.3B.2C.0D.1- 5.已知直线12:2 1.:25,l y x l y x =+=+则直线12,l l 的位置关系是 A.重合 B.垂直 C.相交但不垂直 D.平行 6.下列坐标对应的点中,落在不等式10x y +-<表示的平面区域内的是 A.()0,0 B. ()2,4 C.()1,4- D.()1,87.某班有50名同学,将其编为1、2、3、…、50号,并按编号从小到大平均分成5组,现用系统抽样方法,从该班抽取5名同学进行某项调查,若第1组抽取的学生编号为3,第2组抽取的学生编号为13,则第4组抽取的学生编号为A.14B.23C.33D.438.如图,D 为等腰三角形ABC 底边AB 的中点,则下列等式恒成立的是 A.0CA CB ⋅= B. 0CD AB ⋅= C.0CA CD ⋅= D. 0CD CB ⋅= 9.将函数sin y x =的图象向左平移3π个单位长度,得到的图象对应的函数解析式为 A.sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 2sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D. 2sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.如图,长方形的面积为2,将100颗豆子随机地撒在长方形内,其中恰好有60颗豆子落在阴影部BC D（第8题图）正视图侧视图俯视图（第2题图）分内,则用随机摸拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为 A.23 B.45 C. 65 D. 43二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分 11.比较大小:2log 5 2l o g 3(填“>”或“<”) 12.已知圆()224x a y -+=的圆心坐标为()3,0,则实数a =13.某程序框图如图所示,若输入的,,a b c 的值分别是3,4,5,则输出的y 值为14.已知角α的终边与单位圆的交点坐标为1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则cos α=15.如图,A,B 两点在河的两岸,为了测量A 、B 之间的距离,测量者在A 的同侧 选定一点C,测出A 、C 之间的距离是100米,105BAC ∠=,45ACB ∠=,则A 、B 两点之间的距离为 米.三、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分)已知函数()[]()2,6y f x x =∈-的图象如图.根据图象写出⑴函数()y f x =的最大值; ⑵使()1f x =的x 值.C （第15题图 ） 45 （第10题图）（第13题图）（第16题图）17.(本小题满分8分)一批食品,每袋的标准重量是50g ,为了了解这批食品的实际重量情况,从中随机抽取10袋食品,称出各袋的重量(单位:g ),并得到其茎叶图(如图). ⑴求这10袋食品重量的众数,并估计这批食品实际重量的平均数;⑵若某袋食品的实际重量小于或等于47g ,则视为不合格产品,试估计这批食品重量的合格率.18.(本小题满分8分)如图,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,1D D ABCD ⊥底面,底面ABCD 是正方形,且11AB D D =，⑴求直线1D B 与平面ABCD 所成角的大小; ⑵求证:AC ⊥平面11BB D D .CD1A1B1D1C19.(本小题满分8分)已知向量()()sin ,1,cos ,1,.a x b x x R ==∈ ⑴当4x π=时,求向量a b +的坐标;⑵若函数()2f x a b m =++为奇函数,求实数m 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为()2n n S a a n N *=+∈为常数，.⑴求123,,;a a a⑵若数列{}n a 为等比数列,求常数a 的值及n a ;⑶对于⑵中的,n a 记()21143,n n f n a a λλ++=⋅-⋅-若()0f n <对任意的正整数n 恒成立,求实数λ的取值范围.（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页。