高考模拟试题_广东省东莞市六校2016届高三上学期联考理科数学试卷_人教新课标
“六校联盟”2016届高三上学期第三次联考数学试卷(理科) 含解析
2015—2016学年广东省“六校联盟"高三(上）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M=｛x∈R｜}，N={x∈R|y=ln（x﹣1）｝，则M∩N(）A．∅B．{x|x≥1}C．{x|x＞1}D．｛x|x≥1或x＜0｝2．已知两条直线m，n，两个平面α，β,给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n,m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．①④D．②③3．下列四个条件中，p是q的必要不充分件的是（）A．p:a＞b,q:a2＞b2B．p:a＞b，q：2a＞2bC．p：非零向量与夹角为锐角,q：D．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞04．设函数f（x)=x﹣lnx﹣，则函数y=f（x）(）A．在区间（）,（1，e）内均有零点B．在区间（），（1，e）内均无零点C．在区间（）内有零点,在区间(1,e）内无零点D．在区间（）内无零点，在区间（1,e）内有零点5．要得到函数y=cosx的图象,需将函数y=sin(2x+）的图象上所有的点的变化正确的是（）A．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度B．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向右平行移动个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向右平行移动个单位长度6．已知｛a n｝是等比数列，a2=，a5=4,则a1a2+a2a3+…+a n a n=(）+1A．(2n﹣1）B．（2n+4) C．(4n﹣1）D．（4n﹣2) 7．如果点P在平面区域,点Q在曲线x2+(y+2）2=1上,那么|PQ|的最小值为（）A．﹣1 B．2﹣1 C．2 D．﹣18．已知函数y=f(x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时f（x）=2﹣x+m﹣1（m∈R），a=f （log45），b=（log23），c=f（m）,则a,b,c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a9．在△ABC中，己知D是AB边上一点,若=λ，=+μ(λ，μ∈R），则λ=() A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．210．已知函数f(x）=f′（1)x2+2x f(x)dx+1在区间（a，1﹣2a）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．（，）B．[，) C．（﹣∞，）D．[,+∞)11．一个正三棱锥的四个顶点都在直径为2的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是（）A．2B．C．D．12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数y=f（x）满足：xf′（x）﹣f（x）=xe x且f（1）=﹣3,f（2）=0．则函数y=f（x)（）A．有极小值，无极大值B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值D．既无极小值又无极大值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=3b,且sinAcosC=2cosAsinC，则b=．14．已知数列｛a n}的前n项和为S n，且满足S n=2a n﹣1（n∈N＊)，则数列{na n}项和T n．15．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于，全面积为．16．若不等式（﹣1)n a＜n+对任意n∈N＊恒成立，则实数a的取值范围是．三、解答题:包括必做题和选做题，第17题到第21题为必做题，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x)=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．(1)求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)求函数f（x）在区间［﹣，］上的最值．18．等差数列｛a n}各项均为正数，其前n项和为S n,a2S3=75且a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式a n；（2）若数列｛a n}为递增数列，求证：≤．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，底面ABC是直角三角形，PA=AB=BC=4，O是棱AC的中点，G是△AOB的重心,D是PA的中点．（1）求证：BC⊥平面PAB;（2）求证：DG∥平面PBC；(3)求二面角A﹣PC﹣B的大小．20．已知点P是圆O：x2+y2=1上任意一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,延长QP到点M，使．（1)求点M的轨迹的方程;（2)过点C（m，0）作圆O的切线l,交(1）中曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．（1）若a=,求曲线y=f(x）在点(0，f（0）)处的切线方程；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）若存在x0∈[0,+∞)，使f（x）＜0成立,求实数a的取值范围．请考生在第（22)，（23），（24）三题中任选一题作答．注意:只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4—1：几何证明选讲22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：ACBC=ADAE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．选修4-4:坐标系与参数方程.23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρ=2sinθ．（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；(2）设点P（3，），直线l与圆C相交于A、B两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲。
高考模拟试题_广东省东莞市六校2016届高三上学期联考理科综合试卷_人教新课标
东莞市2015~2016年度高三六校联考理科综合试题本试卷分为选择题和非选择题两部分，共15页，满分300分，考试时间150分钟。
可能用到的相对原子质量： H：1 He：4 C：12 N：14 O：16 Cl：35.5 Na：23 S：32 Al：27 Si：28注意事项：1．考生必须将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2．选择题共21小题，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。
主观题则用黑色钢笔按各题要求答在主观题答题卡相应的位置上。
第一部分选择题（共126分）一、选择题（每小题只有一个正确选项, 共13小题，每小题6分，共78分）1．下列化合物的叙述，不正确的是A．ADP 分子中含有两个高能磷酸键B．RNA 聚合酶中含有多个肽键C．质粒中含有多个磷酸二酯键D．tRNA 分子中含有多个氢键2．下图能用来准确表示哪一组概念之间的关系A．1表示RNA的种类，2-4分别表示uRNA、tRNA、rRNAB．1表示生物膜系统，2-4分别表示细胞膜、线粒体膜、叶绿体膜C．1表示致癌因子，2-4分别表示物理致癌因子、化学致癌因子、病毒致癌因子D．1表示细胞外液，2-4分别血液、组织液、淋巴3.科学家在研究成体干细胞的分裂时提出这样的假说：成体干细胞总是将含有古老的DNA链（永生化链）的染色体分配给其中一个子代细胞，使其成为成体干细胞，同时将含有新合成链的染色体分配给另一个子代细胞，开始分化并最终衰老死亡（如下图所示）。
下列相关推测错误的是A ．一般情况下，成体干细胞的细胞分裂方式为有丝分裂B ．从图中看出成体干细胞分裂时DNA 进行半保留复制，染色体随机分配C ．通过该方式可以减少成体干细胞积累DNA 复制过程中产生的基因突变D ．根据该假说可以推测生物体内的成体干细胞的数量保持相对稳定4.下图所示为来自同一人体的4种细胞。
下列叙述正确的是A.因为来自同一人体，所以各细胞中的DNA 含量相同B.因为各细胞中携带的基因不同，所以形态、功能不同C.虽然各细胞的生理功能不同，但吸收葡萄糖的方式相同D.虽然各细胞大小不同，但细胞中含量最多的化合物相同5.对下列各图所表示的生物学意义的描述，正确的是A ．甲图中生物自交后产生基因型为Aadd 个体的概率为16B ．乙图细胞若处于有丝分裂后期，则该生物正常体细胞的染色体数为4条C ．丙图家系中男性患者明显多于女性患者，该病最有可能是伴X 隐性遗传病D ．丁图表示某果蝇染色体组成，其配子基因型只有AX W 、aX W两种6．下列有关生物变异和进化的说法正确的是A ．人类猫叫综合征是由于特定染色体的数目增加造成的B ．地理隔离是新物种形成的必要条件C ．改良缺乏某种抗病性的水稻品种，不宜采用单倍体育种的方法D ．二倍体西瓜和四倍体西瓜杂交，获得的三倍体无子西瓜是一个新物种。
2016届高三六校第一次联考
2016届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案及评分标准一. 选择题：1、B2、A3、D4、B5、A6、C7、A8、C9、B 10、D 11、C 12、B 11、如图，易知BCD ∆的面积最大12、 解：令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-= ∴函数()g x 为奇函数 ∵(0,)x ∈+∞时，//()()0g x f x x =-<，函数()g x 在(0,)x ∈+∞为减函数又由题可知，(0)0,(0)0f g ==，所以函数()g x 在R 上为减函数2211(6)()186(6)(6)()186022f m f m mg m m g m m m ---+=-+----+≥即(6)()0g m g m --≥∴(6)()g m g m -≥，∴6,3m m m -≤∴≥二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13、2 14、 5 15、 73 16、2016 ∵(2016)(2013)3(2010)6(0)20162016f f f f ≤+≤+≤≤+= (2016)(2014)2(2012)4(0)20162016f f f f ≥+≥+≥≥+=(2016)2016f ∴=三、解答题（17—21为必做题）CDBA17、解：（1）由题意易知122n n n a a a --=+，---1分 即1231112n n n a q a q a q ---=+，--2分2210q q ∴--= 解得1q =或12q =- -------- 3分（2）解：①当1q =时，1n a =，n b n = n S =2)1(+n n ----------5分②当12q =-时，11()2n n a -=-11()2n n b n -=⋅- ---------------7分n S =012111111()2()3()()2222n n -⋅-+⋅-+⋅-++⋅--21n S = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- 相减得21311111()()()()22222n n n S n -⎡⎤=-⋅-+-+-++-⎢⎥⎣⎦-------- 10分整理得 n S =94-（94+32n ）·1()2n ------------------------12分18、解：设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件A 、B 、C（Ⅰ）由题设可知0ξ=时，甲、乙、丙三人均未击中目标，即(0)()P P A B C ξ== ∴()()()21011515P m n ξ==--=，化简得()56mn m n -+=- ① ……2分同理， ()3113553P m n mn ξ==⨯⨯=⇒= ②……4分 联立①②可得23m =，12n = ……6分（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）的解答结果得：(1)()P P A B C A B C A B C ξ==++()3311221211153253253210a P ξ∴===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……8分()3131111510530b ∴=-++= ……10分31353110123151030530E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分19.解法一：（１）如图：,,AC AC BD O =连设1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连 ……1分1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面故//OG PC .所以122m OG PC ==.又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面 ……3分 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。
广东省2016届高三五月联考模拟数学理科试题Word版含答案
2015-2016学年度理数三模联考一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
）1．设复数bi a ii +=+-12),(R b a ∈，则=+b a （ ）． A ．1 B ．2 C ．1- D ．2- 2．已知集合P={x |1＜2x ＜2}，Q={}1log |5.0>x x ，则P∩Q=（ ）．A ．（0，21）B ．（21，1）C ．（﹣1，21） D ．（0，1）3．已知0,0>>b a ，则“1>ab ”是“2>+b a ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．在△ABC 中，若sin(A －B )＝1＋2cos(B ＋C )sin(A ＋C )，则△ABC 的形状一定是（ ）． A ．等边三角形 B ．不含60°的等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 5．已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 27＋3a 8＝0， 数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 7b 8等于（ ）．A ．1B ．2C ．4D ．8 6．如果执行程序框图，且输入n =6，m =4，则输出的p =（ ）．A ．240B ．120C ．720D ．3607．设F 1，F 2为椭圆C ：1422=+y x 的左、右焦点，点P 在C 上， |PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝（ ）． A ．167B ．1625C ．167-D ．1625- 8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．A.163 B. 203 C. 152 D. 1329．对于函数3()cos3()6f x x x π=+，下列说法正确的是（ ）． A ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递增 B ．()f x 是奇函数且在（6π6π，-）上递减C ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递增 D ．()f x 是偶函数且在（6π0，）上递减是 否 开输1,1==p k )(k m n p p +-=?m k <输出p 结1+=k k10．当实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+101042x y x y x 时，41≤+≤y ax 恒成立，则实数a 的取值范围（ ）．A ．[1，23] B ．[﹣1，2] C ．[﹣2，3] D ．[1，2] 11．已知等式()()()()432432123412341111x a x a x a x a x b x b x b x b ++++=++++++++，定义映射()()12341234:,,,,,,f a a a a b b b b →，则()4,3,2,1f =（ ）．A ．()1,2,3,4B ．()0,3,4,0C ． ()0,3,4,1--D ．()1,0,2,2-- 12．对]2,0[,∈∈∀n R α，向量)sin 3,cos 32(αα-+=n n c 的长度不超过6的概率为（ ）．A ．105 B ．1052 C ．1053 D ．552 二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
六校联盟高考数学模拟试卷(理科)(A卷).docx
2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）（A卷）一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．2454．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A．B．8 C． D．45．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B．C．D．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C 为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A．31 B．30 C．28 D．329．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10）则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．1610．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（）A．B．（2，+∞）C．（1，2）D．12．已知函数f（x）=e x（x﹣ae x）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则a的取值范围是（）A．（0，）B．（1，3）C．（，3）D．（，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______（用数字作答）14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为______．15．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ（λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是______．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为______．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验统计量，其中n=a +b +c +d ．19．如图1，直角梯形ABCD 中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，点G 在EF 上，沿EF 将梯形AEFD 翻折，使平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2．（Ⅰ）当AG +GC 最小时，求证：BD ⊥CG ；（Ⅱ）当2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF 时，求二面角D ﹣BG ﹣C 平面角的余弦值．20．已知点C 为圆（x +1）2+y 2=8的圆心，P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且有点A （1，0）和AP 上的点M ，满足•=0， =2． （Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k 的直线 l 与圆x 2+y 2=1相切，直线 l 与（Ⅰ）中所求点Q 的轨迹交于不同的两点F ，H ，O 是坐标原点，且≤•≤时，求k 的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2﹣（a +2）x +alnx ，其中常数a ＞0． （Ⅰ）当a ＞2时，求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D 上的函数y=h （x ）在点P （x 0，h （x 0））处的切线方程为l ：y=g （x ），若＞0在D 内恒成立，则称P 为函数y=h （x ）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f （x ）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O 是△ABC 的外接圆，AB=BC ，AD 是BC 边上的高，AE 是圆O 的直径．过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点F ． （Ⅰ）求证：AC •BC=AD •AE ；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ﹣4sin θ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016年广东省六校联盟高考数学模拟试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题；每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．如果复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，则a的值等于（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】化简复数为a+bi （a、b∈R）的形式，实部与虚部互为相反数即可求值．【解答】解：由复数（2+ai）i（a∈R）的实部与虚部互为相反数，可得﹣a+2=0．故选D．2．下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是=﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据特称命题的定义进行判断B．根据全称命题的定义进行判断C．根据充分条件和必要条件的定义进行判断D．根据充分条件的定义进行判断．【解答】解：A．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e x0≤0为假命题，B．当x=2时，2x=x2，则∀x∈R，2x＞x2不成立，故B为假命题．C．当a=b=0时，满足a+b=0但=﹣1不成立，故C为假命题，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，故D为真命题，故选：D3．在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，若数列{a n}的前n项之积为T n，则T10的值为（）A．29﹣1 B．236C．210﹣1 D．245【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由等比数列的通项公式及等差数列的性质，求出公比q，从而得到a n=2n﹣1，由此能求出数列{a n}的前10项之积为T10．【解答】解：在等比数列{a n}中，首项a1=1，且4a3，2a4，a5成等差数列，∴4a4=4a3+a5，∴4q3=4q2+q4，解得q=2，∴a n=2n﹣1，∵数列{a n}的前n项之积为T n，∴T10=20×2×22×24×25×26×27×28×29=20+1+2+3+4+5+6+7+8+9=245．故选：D．4．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（）A． B．8 C． D．4【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】转化不等式为不等式组，画出约束条件表示的可行域，结合图形求解图形的面积．【解答】解：因为不等式|y﹣2|≤x≤2等价于，它的可行域为：可行域是三角形，由得交点A（2，4），C的坐标由解得，为（2，0），B的坐标（0，2），可行域三角形的面积为：×4×2=4．故选：D．5．定义行列式运算：，将函数的图象向左平移m 个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是（）A． B．C．D．【考点】二阶行列式的定义；函数的图象与图象变化．【分析】先用行列式展开法则求出f（x），再由函数的平移公式能够得到f（x+m），然后由偶函数的性质求出m的最小值．【解答】解：f（x）==sinx﹣cosx=2sin（x﹣），图象向左平移m（m＞0）个单位，得f（x+m）=2sin（x+m﹣），由m﹣=+kπ，k∈Z，则当m取得最小值时，函数为偶函数．故选A．6．已知边长为的菱形ABCD中，∠BAD=60°，沿对角线BD折成二面角A﹣BD﹣C为120°的四面体ABCD，则四面体的外接球的表面积为（）A．25πB．26πC．27πD．28π【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球的表面积．【解答】解：如图所示，∠AFC=120°，∠AFE=60°，AF==3，∴AE=，EF=设OO′=x，则∵O′B=2，O′F=1，∴由勾股定理可得R2=x2+4=（+1）2+（﹣x）2，∴R2=7，∴四面体的外接球的表面积为4πR2=28π，故选：D．7．利用计算机在区间（0，1）上产生两个随机数a和b，则方程有实根的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】由题意知本题是一个几何概型，只要写出试验发生所包含的所有事件和满足条件的事件对应的线段长度即可，把方程整理成一元二次方程，通过一元二次方程的判别式来解．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，化为x2+2ax+b=0，方程有实根，△≥0即4a2﹣4b≥0∴b≤a2∴方程有实根的概率为∫01a2d a==．故选B．8．把1，2，3，…，6这六个数随机地排成一列组成一个数列，要求该数列恰先增后减，则这样的数列共有多少个？（）A．31 B．30 C．28 D．32【考点】计数原理的应用．【分析】该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，根据6前面的数字的个数多少分类即可．【解答】解：该数列恰先增后减，则数字6一定是分界点，且前面的顺序和后面的顺序都只有一种，当6前有1个数字时，有C51=5种，当6前有2个数字时，有C52=10种，当6前有3个数字时，有C53=10种，当6前有4个数字时，有C54=5种，根据分类计数原理，共有5+10+10+5=30种，故选：B．9．某程序框图如图所示，现将输出（x，y）值依次记为：（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）…若程序运行中输出的一个数组是（x，﹣10）则数组中的x=（）A．32 B．24 C．18 D．16【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是依次输出的（x，y）值，其中每一组有序实数对中，x是每次变为原来的3倍，y每次减小2．【解答】解：程序在运行过程中各变量值如下表：输出结果n x y循环前：1 1 0第1次：（1，0）3 2﹣2第2次：（2，﹣2）5 4﹣4第3次：（4，﹣4）7 8﹣6第4次：（8，﹣6）9 16﹣8第5次：（16，﹣8）11 32﹣10第6次：（32，﹣10）则数组中的x=32故选：A．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是由一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是：一个三棱柱挖掉一个三棱锥，所得的组合体，其直观图如下图所示：∵三棱柱的体积V==2，挖去的棱锥体积V==，故该几何体的体积为2﹣=，故选：C11．已知F1、F2分别是双曲线C：的左、右焦点，过点F2作渐近线的垂线，垂足为点A，若，且点B在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆内，则C的离心率取值范围为（）A．B．（2，+∞）C．（1，2）D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为y=x，求得与渐近线垂直的直线方程，联立方程解得A的坐标，再由向量共线的坐标表示可得B的坐标，运用点在圆内的条件可得|BF1|＜c，化简整理，运用离心率公式即可得到所求范围．【解答】解：设F1（﹣c，0），F2（c，0），一条渐近线方程为y=x，过点F2与渐近线垂直的直线方程为y=﹣（x﹣c），联立，解得A（，），设B（m，n），由，可得（﹣c，）=2（m﹣，n﹣），可得m=﹣，n=，即B （﹣，），由点B 在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆内，可得|BF 1|＜c ，可得（﹣+c ）2+（）2＜c 2，化为+a 2＜c 2，即为+a 2＜c 2，即c 2＞5a 2，由e=，可得e ＞．故选：A ．12．已知函数f （x ）=e x （x ﹣ae x ）恰有两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），则a 的取值范围是（ ）A ．（0，）B ．（1，3）C ．（，3）D ．（，1）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据题意，对函数f （x ）求导数，得出导数f ′（x ）=0由两不等实根，转化为两函数有两个交点的问题，结合图象即可得出a 的取值范围． 【解答】解：∵函数f （x ）=e x （x ﹣ae x ）， ∴f ′（x ）=（x +1﹣2a •e x ）e x ，由于函数f （x ）的两个极值点为x 1，x 2， 即x 1，x 2是方程f ′（x ）=0的两不等实根， 即方程x +1﹣2ae x =0，且a ≠0，∴=e x ；设y 1=（a ≠0），y 2=e x ，在同一坐标系内画出这两个函数的图象，如图所示；要使这两个函数有2个不同的交点，应满足，解得0＜a ＜，所以a 的取值范围是（0，）． 故选：A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知n为正偶数，且（x2﹣）n的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是（用数字作答）【考点】二项式定理．【分析】利用二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大求出n；利用二项展开式的通项公式求出通项，令通项中的r=3求出第4项的系数．【解答】解：∵展开式中中间项的二项式系数最大∴展开式共7项∴n=6展开式的通项为当r=3时是第4项所以第4项的系数是故答案为14．某校在一次期末考试中，全校学生的数学成绩都介于60分到140分之间（满分150分），为了估计该校学生的数学考试情况，从该校2000名学生的数学成绩中随机抽取50名学生的数学成绩，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60，70），第二组[70，80），…，第八组[130，140]．如图是按照上述分组得到的频率分布直方图的一部分．估计该校2000名学生这次考试的数学成绩的平均分为97．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出成绩在[120，130）的频率以及平均成绩；【解答】根据频率分布直方图，得：成绩在[120，130）的频率为1﹣（0.004×10+0.012×10+0.016×10+0.03×10+0.02×10+0.006×10+0.004×10）=1﹣0.92=0.08；所以估计该校全体学生的数学平均成绩为65×0.04+75×0.12+85×0.16+95×0.3+105×0.2+115×0.06+125×0.08+135×0.04=97，所以该校的数学平均成绩为97；故答案为：9715．已知AD是△ABC的中线，=λ+μ（λ，μ∈R），∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是1．【考点】平面向量数量积的运算；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】运用向量的数量积的定义和中点的向量表示形式，及向量的平方即为模的平方，结合重要不等式即可得到最小值．【解答】解：设AC=b，AB=c，又∠A=120°，•=﹣2，则bccos120°=﹣2，即有bc=4，由AD是△ABC的中线，则有=（+），即有||2=（++2）=（b2+c2﹣4）≥（2bc﹣4）=×（8﹣4）=1．当且仅当b=c时||的最小值是为1，故答案为：1．16．已知正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，则a9的最大值为193．【考点】数列的求和．【分析】由于正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，要求a9的最大值，必须要求a1到a8尽可能的取得越小越好，a10到a18与a9越接近越好．即可得出．【解答】解：由于正整数a1，a2，a3，…，a18满足a1＜a2＜…＜a18，a1+a2+a3+…+a18=2011，要求a9的最大值，必须要求a1到a8尽可能的取得越小越好，a10到a18与a9越接近越好．当1≤n≤8时，取a n=n，则a1+…+a8==36．当9≤n≤18时，不妨取a n=a9+n﹣9，则10a9+≤2011﹣36．解得a9≤193．因此a9的最大值为193．故答案为：193．三、解答题：本大题6小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．已知．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）=1，求的取值范围．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）由三角函数公式化简可得f（x）=+sin（2x+），解可得单调递增区间；（II）可得，由余弦定理得表达式，由锐角三角形可得再由正弦定理得的范围，由函数的值域可得．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）=sin2x+（1+cos2x）=+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）=+sin（2x+）=1，∴sin（2x+）=，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2=a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得∴18．某课题组对春晚参加“咻一咻”抢红包活动的同学进行调查，按照使用手机系统不同（安卓系统和IOS系统）分别随机抽取5名同学进行问卷调查，发现他们咻得红包总金额数如表所示：手机系统一二三四五安卓系统（元） 2 5 3 20 9IOS系统（元） 4 3 18 9 7（1）如果认为“咻”得红包总金额超过6元为“咻得多”，否则为“咻得少”，请判断手机系统与咻得红包总金额的多少是否有关？（2）要从5名使用安卓系统的同学中随机选出2名参加一项活动，以X表示选中的同学中咻得红包总金额超过6元的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E（X）．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d．【考点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，可得到没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关；（2）由题意求得X的取值0，1，2，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．；【解答】解：（1）根据题意列出2×2列联表如下：咻得多少咻得多咻得少合计手机系统安卓 3 2 5IOS 2 3 5合计 5 5 10K2==0.4＜2.706，所以没有足够的理由认为手机系统与咻得红包总金额的多少有关．（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==故X的分布列为：X 0 1 2P∴数学期望E（X），E（X）=0×+1×+2×=0.8．19．如图1，直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC=2AD=4，点E、F分别是AB、CD 的中点，点G在EF上，沿EF将梯形AEFD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF，如图2．（Ⅰ）当AG+GC最小时，求证：BD⊥CG；（Ⅱ）当2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF 时，求二面角D ﹣BG ﹣C 平面角的余弦值． 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的性质． 【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，BE ⊥EF ，建立空间坐标系E ﹣xyz ，利用向量法能求出BD ⊥CG ．（Ⅱ）法一：设EG=k ，由AD ∥平面EFCB ，得到点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．分别求出平面DBG 的法向量和面BCG 的一个法向量，利用向量法能求出二面角平面角的余弦值．（Ⅱ）法二：由已知条件指法训练出EG=1，过点D 作DH ⊥EF ，垂足H ，过点H 作BG 延长线的垂线垂足O ，连接OD ．由已知条件推导出∠DOH 就是所求的二面角D ﹣BG ﹣C 的平面角，由此能求出此二面角平面角的余弦值． 【解答】（Ⅰ）证明：∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点， ∴EF ∥BC ，又∠ABC=90°，∴AE ⊥EF ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，∴AE ⊥平面EBCF ，AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ， 如图建立空间坐标系E ﹣xyz ．…翻折前，连结AC 交EF 于点G ，此时点G 使得AG +GC 最小．EG=BC=2，又∵EA=EB=2．则A （0，0，2），B （2，0，0），C （2，4，0）， D （0，2，2），E （0，0，0），G （0，2，0），∴=（﹣2，2，2），=（﹣2，﹣2，0）∴=（﹣2，2，2）（﹣2，﹣2，0）=0，∴BD ⊥CG ．…（Ⅱ）解法一：设EG=k ，∵AD ∥平面EFCB ，∴点D 到平面EFCB 的距离为即为点A 到平面EFCB 的距离．∵ [（3﹣k ）+4]×2=7﹣k ，∴=，又=，∵2V B ﹣ADGE =V D ﹣GBCF ，∴=， ∴k=1即EG=1…设平面DBG 的法向量为，∵G （0，1，0），∴，=（﹣2，2，2），则，即取x=1，则y=2，z=﹣1，∴…面BCG 的一个法向量为则cos＜＞=…由于所求二面角D﹣BF﹣C的平面角为锐角，所以此二面角平面角的余弦值为…（Ⅱ）解法二：由解法一得EG=1，过点D作DH⊥EF，垂足H，过点H作BG延长线的垂线垂足O，连接OD．∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，∴∠DOH就是所求的二面角D﹣BG﹣C的平面角．…由于HG=1，在△OHG中，又DH=2，在△DOH中…∴此二面角平面角的余弦值为．…20．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）利用线段的垂直平分线的性质、椭圆的定义即可得出．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切，可得b2=k2+1．直线方程与椭圆方程联立可得：（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△＞0，可得k≠0，再利用数量积运算性质、根与系数的关系及其≤•≤，解出即可得出．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y=kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2=1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2=0，△=16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）=8（2k2﹣b2+1）=8k2＞0，可得k≠0，∴，===，∴为所求．21．已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx，其中常数a＞0．（Ⅰ）当a＞2时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”．当a=4时，试问y=f（x）是否存在“类对称点”，若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，结合a的范围求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）法一：a=4时，求出f（x）的导数，得到切线方程根据新定义问题等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），结合函数的单调性求出即可；法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为，然后加以证明即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），∵，∴…∵a＞2，∴，令f′（x）＞0，即，∵x＞0，∴0＜x＜1或，…所以函数f（x）的单调递增区间是（0，1），…（Ⅱ）解法一：当a=4时，所以在点P处的切线方程为…若函数存在“类对称点”P（x0，f（x0）），则等价于当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x），当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立．…①当0＜x＜x0时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，即当0＜x＜x0时，恒成立，令，则φ（x0）=0，…要使φ（x0）＜0在0＜x＜x0恒成立，只要φ（x）在（0，x0）单调递增即可．又∵，…∴，即．…②当x＞x0时，f（x）＞g（x）恒成立时，．…∴．…所以y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…（Ⅱ）解法二：猜想y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…下面加以证明：当时，…①当时，f（x）＜g（x）恒成立，等价于恒成立，令…∵，∴函数φ（x）在上单调递增，从而当时，恒成立，即当时，f（x）＜g（x）恒成立．…②同理当时，f（x）＞g（x）恒成立．…综上知y=f（x）存在“类对称点”，其中一个“类对称点”的横坐标为．…[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB=BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC=AD•AE；（Ⅱ）若AF=2，CF=2，求AE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）如图所示，连接BE．由于AE是⊙O的直径，可得∠ABE=90°．利用∠E与∠ACB都是所对的圆周角，可得∠E=∠ACB．进而得到△ABE∽△ADC，即可得到．（II）利用切割线定理可得CF2=AF•BF，可得BF．再利用△AFC∽△CFB，可得AF：FC=AC：BC，进而根据sin∠ACD=sin∠AEB，AE=，即可得出答案．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E=∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC=90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD=AE：AC，∴AB•AC=AD•AE．又AB=BC，∴BC•AC=AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2=AF•BF，∵AF=2，CF=2，∴（2）2=2BF，解得BF=4．∴AB=BF﹣AF=2．∵∠ACF=∠FBC，∠CFB=∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC=AC：BC，∴AC==．∴cos∠ACD=，∴sin∠ACD==sin∠AEB，∴AE==[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|=3，求直线l的斜率．【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．【分析】（I）利用可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心、半径，由于直线l过点（1，﹣1），求出该点到圆心的距离，与半径半径即可判断出位置关系；（II）利用点到直线的距离公式与弦长公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2=2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2=5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|=2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1=k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1=0，圆心到直线l的距离=，解得k=±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，由此求得x的范围．（2）由题意可得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式显然成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立，再利用绝对值三角不等式求得m的范围．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x=0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥=1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．2016年9月20日。
2016届高三六校第一次联考
2016届高三六校第一次联考理科数学试题参考答案及评分标准一. 选择题：1、B2、A3、D4、B5、A6、C7、A8、C9、B 10、D 11、C 12、B 11、如图，易知BCD ∆的面积最大12、 解：令21()()2g x f x x =-，2211()()()()022g x g x f x x f x x -+=--+-= ∴函数()g x 为奇函数 ∵(0,)x ∈+∞时，//()()0g x f x x =-<，函数()g x 在(0,)x ∈+∞为减函数又由题可知，(0)0,(0)0f g ==，所以函数()g x 在R 上为减函数2211(6)()186(6)(6)()186022f m f m mg m m g m m m ---+=-+----+≥即(6)()0g m g m --≥∴(6)()g m g m -≥，∴6,3m mm -≤∴≥二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分13、2 14、 5 15、 73 16、2016 ∵(2016)(2013)3(2010)6(0)20162016f f f f ≤+≤+≤≤+= (2016)(2014)2(2012)4(0)20162016f f f f ≥+≥+≥≥+=(2016)2016f ∴=三、解答题（17—21为必做题）CB17、解：（1）由题意易知122n n n a a a --=+，---1分 即1231112n n n a q a q a q ---=+，--2分2210q q ∴--= 解得1q =或12q =- -------- 3分（2）解：①当1q =时，1n a =，n b n = n S =2)1(+n n ----------5分②当12q =-时，11()2n n a -=-11()2n n b n -=⋅- ---------------7分n S =012111111()2()3()()2222n n -⋅-+⋅-+⋅-++⋅--21n S = 12111111()2()(1)()()2222n n n n -⋅-+⋅-++-⋅-+⋅- 相减得21311111()()()()22222n n n S n -⎡⎤=-⋅-+-+-++-⎢⎥⎣⎦-------- 10分整理得 n S =94-（94+32n ）·1()2n ------------------------12分18、解：设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件A 、B 、C（Ⅰ）由题设可知0ξ=时，甲、乙、丙三人均未击中目标，即(0)()P P A B C ξ== ∴()()()21011515P m n ξ==--=，化简得()56mn m n -+=- ① ……2分同理， ()3113553P m n mn ξ==⨯⨯=⇒= ②……4分 联立①②可得23m =，12n = ……6分（Ⅱ）由题设及（Ⅰ）的解答结果得：(1)()P P A B C A B C A B C ξ==++()3311221211153253253210a P ξ∴===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=……8分()3131111510530b ∴=-++= ……10分31353110123151030530E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= ……12分19.解法一：（１）如图：,,AC AC BD O =连设1.AP B G OG 1与面BDD 交于点，连 ……1分1111//,,PC BDD B BDD B APC OG =因为面面面故//OG PC .所以122m OG PC ==.又111,,AO DB AO BB AO BDD B ⊥⊥⊥所以面 ……3分 故11AGO AP BDD B ∠即为与面所成的角。
广东省东莞市2016届高三数学上学期期末试卷理(含解析)
2015-2016学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1．已知i是增数单位，若是纯虚数，则||=（）A．B．C．1 D．2．已知全集U=R，集合A={x|lgx＜0}，B={y=y2﹣2y﹣3≤0}，则下面中阴影部分表示的区间是（）A．（0，1）B．（1，3] C．[1，3] D．[﹣1，0]∪[1，3]3．已知命题p：∃m∈R，使得函数f（x）=x2+（m﹣1）x2﹣2是奇函数，命题q：向量=（x1，y1），=（x2，y2），则“=”是：“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）4．高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）A．864种B．432种C．288种D．144种5．已知圆（x﹣m）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，若离心率为的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（）A．1 B．C．2 D．46．已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．6 D．107．已知随机变量ξ～N（3，a2），且cosφ=P（ξ＞3）（其中φ为锐角），若函数f（x）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数f（x）的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=D．x=8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，||=5，20a+15b+12c=，=2，则的值为（）A．B．﹣ C．﹣D．﹣89．已知各项为正的数列{a n}的前n项的乘积为T n，点（T n，n2﹣15n）在函数y=x的图象上，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．﹣140 B．50 C．124 D．15610．执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞6？B．n＞7？C．n＞8？D．n＞9？11．已知直线l过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F且与x垂直，l与E所围成的封闭图形的面积为24，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（）A．6 B．4+2C．7 D．4+212．对任意x∈[﹣1，1]，不等式﹣4≤x3+3|x﹣a|≤4恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[0，] D．[0，1]二、填空题（本大题共4小题，内小题5分）13．已知直线y=kx与圆C：（x﹣4）2+y2=r2相切，圆C以x轴为旋转轴转一周后，得到的几何体的表面积为S=16π，则k的值为．14．已知a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa=，则（x2+）（x+）6的展开式中常数项等于．15．已知关于点（x，y）的不等式组表示的平面区域为D，则D内使得z=x2+y2取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为．16．在平面内，已知四边形ABCD，CD⊥AD，∠CBD=，AD=5，AB=7，且cos2∠ADB+3cos∠ADB=1，则BC的长为．三、解答题（解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知各项为正的等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=30，过点P（n，log2a n）和Q（n+2，log2a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意n∈N*，都有T n．18．已知多面体ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA1⊥平面ABC，四边形A1ACC1为直角梯形，CC1与平面ABC所成的角为，AA1=1（1）若P为AB的中点，求证：A1P∥平面BC1C；（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．19．某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为200元，汽车4S店记录了该品牌三种类型汽车各100辆到店维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．（1）从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，求这两辆汽车来自同一类型的概率；（2）某公司一次性购买该品牌A、B、C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车的一年维修人工费用总和，求ξ的分布列及数学期望（各型汽车维修的概率视为其需要维修的概率）；已知A型汽车的购买量y与价格x符合如下线性回归方程： =x+80，若A型汽车价格降到19万元，请你预测月销售量大约是多少？20．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆P： =1（a＞b＞0）的右焦点，已知A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，且直线AF的斜率为，（1）求椭圆P的方程；（2）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆P于M、N两点，交直线x=﹣4于点E， =，=，证明：λ+μ为定值．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣kx；（1）设k=m+（m＞0），若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，求实数m的取值范围；（2）设M（x）=f（x）﹣g（x），若函数M（x）存在两个零点x1，x2（x1＞x2），且满足2x0=x1+x2，问：函数M（x）在（x0，M（x0））处的切线能否平行于直线y=1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．选修4-1，几何证明选讲22．如图，已知圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，过A作圆O的切线，切点为P，（1）求证：BD=DE；（2）若∠ECA=45°，求AP2的值．选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的参数方程是（θ为参数），曲线C与l的交点的极坐标为（2，）和（2，），（1）求直线l的普通方程；（2）设P点为曲线C上的任意一点，求P点到直线l的距离的最大值．选修4-5，不等式选讲24．已知函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|，若∃x0∈R，不等式f（x0）≥0成立，（1）求实数m的取值范围；（2）若x+2y﹣m=6，是否存在x，y，使得x2+y2=19成立，若存在，求出x，y值，若不存在，请说明理由．2015-2016学年广东省东莞市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1．已知i是增数单位，若是纯虚数，则||=（）A．B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，结合是纯虚数求得a值，再代入||得答案．【解答】解：∵=是纯虚数，∴2a﹣1=0，a=，则=，∴||=||=．故选：B．2．已知全集U=R，集合A={x|lgx＜0}，B={y=y2﹣2y﹣3≤0}，则下面中阴影部分表示的区间是（）A．（0，1）B．（1，3] C．[1，3] D．[﹣1，0]∪[1，3]【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】阴影部分表示的集合为B∩∁U A，根据集合关系即可得到结论．【解答】解：阴影部分表示的集合为B∩∁U A，∵A={x|lgx＜0}={x|0＜x＜1}=（0，1），B={y|y2﹣2y﹣3≤0}=[﹣1，3]，∴∁U A=（﹣∞，0]∪[1，+∞），则B∩∁U A=[﹣1，0]∪[1，3]，故选：D．3．已知命题p：∃m∈R，使得函数f（x）=x2+（m﹣1）x2﹣2是奇函数，命题q：向量=（x1，y1），=（x2，y2），则“=”是：“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】由题意判断出命题p为真命题，命题q为假命题，然后利用复合命题的真假判断得答案．【解答】解：当m=0时，f（x）=x2﹣x2﹣2=﹣2是奇函数，∴命题p为真命题；当时，，此时、无意义， =不成立，∴命题q为假命题．则p∧（￢q）为真命题．故选：C．4．高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，然后5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式有（）A．864种B．432种C．288种D．144种【考点】计数原理的应用．【分析】高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，有C43C32=12种方法，5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式，有A33A42=72，利用乘法原理，可得结论．【解答】解：高三某班课外演讲小组有四位男生三位女生，从中选出3位男生，2位女生，有C43C32=12种方法，5人在班内逐个进行演讲，则2位女生不连续演讲的方式，有A33A42=72，∴共有12×72=864种，故选：A．5．已知圆（x﹣m）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，若离心率为的双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与圆相交，则它们的交点构成的图形的面积为（）A．1 B．C．2 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】由圆的对称性可得圆心在直线x﹣y﹣2=0，可得m=2，由离心率公式及a，b，c的关系，可得a=b，求得渐近线方程，代入圆的方程解得交点，由三角形的面积公式即可得到所求值．【解答】解：圆（x﹣m）2+y2=4上存在两点关于直线x﹣y﹣2=0对称，可得直线x﹣y﹣2=0经过圆心（m，0），可得m=2，由e==，a2+b2=c2，可得a=b，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，将直线y=±x代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4，解得交点为（0，0），（2，﹣2），（2，2），可得围成的三角形的面积为×2×4=4．故选：D．6．已知一个几何的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．6 D．10【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图得该几何体是直三棱柱ABC﹣A1B1C1、三棱锥D﹣ABC和三棱锥D﹣BCE组合体，其中AD⊥平面ABC，且AD=AC=AB=AA1=2，CE=1，AB⊥AC，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图得该几何体是直三棱柱ABC﹣A1B1C1、三棱锥D﹣ABC和三棱锥D﹣BCE 组合体，其中AD⊥平面ABC，且AD=AC=AB=AA1=2，CE=1，AB⊥AC∴该几何体的体积：V=+V D﹣ABC+V D﹣DCE=+=6．故选：C．7．已知随机变量ξ～N（3，a2），且cosφ=P（ξ＞3）（其中φ为锐角），若函数f（x）=2sin （ωx+φ）（ω＞0）的图象与直线y=2相邻的两交点之间的距离为π，则函数f（x）的一条对称轴为（）A．x=B．x=C．x=D．x=【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】由题意，随机变量ξ～N（3，a2），且cosφ=P（ξ＞3）（其中φ为锐角），可得φ=，T=π=，可得ω=2，即可求出函数f（x）=2sin（2x+）的一条对称轴．【解答】解：由题意，随机变量ξ～N（3，a2），且cosφ=P（ξ＞3）（其中φ为锐角），∴φ=T=π=，∴ω=2，∴函数f（x）=2sin（2x+）的一条对称轴为x=．故选：A．8．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，||=5，20a+15b+12c=，=2，则的值为（）A．B．﹣ C．﹣D．﹣8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用表示出，代入已知条件，由平面向量的基本定理得出a，b，c的关系求出a，b，c．解出三角形的一个内角，用该角的两边向量表示出，代入数量积公式计算．【解答】解：∵20a+15b+12c=，∴20a（﹣）﹣15b+60=，即（60﹣20a）+（20a﹣15b）=．∵不共线，∴，解得a=3，b=4．∴△ABC是直角三角形．CA⊥CB．∴=0．∵=2，∴==（）=﹣．∴==+．∵=﹣，∴=（+）•（﹣）=CB2﹣CA2=a2﹣b2=﹣．故选：C．9．已知各项为正的数列{a n}的前n项的乘积为T n，点（T n，n2﹣15n）在函数y=x的图象上，则数列{log2a n}的前10项和为（）A．﹣140 B．50 C．124 D．156【考点】数列递推式．【分析】由题意得到，再由对数的运算性质可得，由此求得数列（{log2a n}）的前10项和．【解答】解：由题意可得，，∴，则数列{log2a n}的前10项和为log2a1+log2a2+…+log2a10=．故选：B．10．执行如图所示的程序框图，输出的结果为1538，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞6？B．n＞7？C．n＞8？D．n＞9？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=8时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为1538，对比四个选项得出正确答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得s=0，n=1s=2，n=2s=10，n=3s=34，n=4s=98，n=5s=258，n=6s=642，n=7s=1538，n=8此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为1538，则判断框内可填入的条件为：n ＞7？故选：B．11．已知直线l过抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F且与x垂直，l与E所围成的封闭图形的面积为24，若点P为抛物线E上任意一点，A（4，1），则|PA|+|PF|的最小值为（）A．6 B．4+2C．7 D．4+2【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用l与E所围成的封闭图形的面积为24，求出p，设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，答案可得．【解答】解：由抛物线E：y2=2px（p＞0），可得y=，由抛物线E：y2=2px（p＞0），x=，可得y=±p，∴l与E所围成的封闭图形的面积S=2dx=2ו=24，∴p=6，∴y2=12x，抛物线C：y2=12x的准线为x=﹣3．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|，要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小．当D，P，A三点共线时，|PA|+|PD|最小，为4﹣（﹣3）=7．故选：C．12．对任意x∈[﹣1，1]，不等式﹣4≤x3+3|x﹣a|≤4恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[0，] D．[0，1]【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由题意可得y=|x﹣a|的图象（红色部分）应在y=﹣﹣的图象和y=﹣+的图象之间，数形结合可得f（﹣1）≤+，且f（1）≤﹣+，由此求得a的范围．【解答】解：由题意可得，即当x∈[﹣1，1]时，y=|x﹣a|的图象应在y=﹣﹣的图象和y=﹣+的图象之间．当x∈[﹣1，1]时，y=f（x）=|x﹣a|的图象在y=﹣﹣的上方，显然成立，故只要当x∈[﹣1，1]时，y=f（x）=|x﹣a|的图象在y=﹣+的下方，或在y=﹣+上，故有f（﹣1）=|1+a|≤+，且f（1）=|1﹣a|≤﹣+，即|a+1|≤，且|a﹣1|≤1，求得0≤a≤．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，内小题5分）13．已知直线y=kx与圆C：（x﹣4）2+y2=r2相切，圆C以x轴为旋转轴转一周后，得到的几何体的表面积为S=16π，则k的值为±．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用圆C以x轴为旋转轴转一周后，得到的几何体的表面积为S=16π，可得r=2，根据直线y=kx与圆C：（x﹣4）2+y2=r2相切，可得=2，即可求出k的值．【解答】解：∵圆C以x轴为旋转轴转一周后，得到的几何体的表面积为S=16π，∴r=2，∵直线y=kx与圆C：（x﹣4）2+y2=r2相切，∴=2，∴k=±．故答案为：±．14．已知a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa=，则（x2+）（x+）6的展开式中常数项等于240 ．【考点】二项式定理的应用．【分析】利用三角函数的定义求出t，可得tana=﹣2，即可求出（x2+）（x﹣）6的展开式中常数项．【解答】解：∵a是第二象限角，P（t，4）为其终边上的一点，且cosa=，∴=，∴t=﹣2，∴tana=﹣2，∴（x2+）（x﹣）6的展开式中常数项等于=240．故答案为：240．15．已知关于点（x，y）的不等式组表示的平面区域为D，则D内使得z=x2+y2取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为{（），（）} ．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，联立方程组求出三角形两顶点的坐标，再求出过原点与直线2x﹣y+2=0垂直的直线方程，进一步求出垂足的坐标得答案．【解答】解：由约束条件作出平面区域如图，联立，解得A（﹣1，1），联立，解得B（）．则可行域内B点到原点的距离最大；又过原点与直线2x﹣y+2=0垂直的直线方程为，联立，解得两直线交点为（）．∴D内使得z=x2+y2取得最大值和最小值时的最优解组成的集合为{（），（）}．故答案为：{（），（）}．16．在平面内，已知四边形ABCD，CD⊥AD，∠CBD=，AD=5，AB=7，且cos2∠ADB+3cos∠ADB=1，则BC的长为4﹣4．【考点】正弦定理．【分析】利用已知及倍角公式可得2cos2∠ADB+3cos∠ADB﹣2=0，从而解得cos∠ADB=，可得∠ADB=，又CD⊥AD，可得∠DBC=，∠BCD=，在△ABD中，由余弦定理可求BD，在△BCD中，由正弦定理即可求得BC的值．【解答】解：∵cos2∠ADB+3cos∠ADB=1，∴2cos2∠ADB+3cos∠ADB﹣2=0，解得：cos∠ADB=或﹣2（舍去）．∴∠ADB=，又CD⊥AD，可得：∠BDC=，∠BCD=，∵在△ABD中，AD=5，AB=7，由余弦定理可得：49=25+BD2﹣2×，∴解得：BD=8或﹣3（舍去）．∴在△BCD中，由正弦定理可得：，∴BC==4．故答案为：4．三、解答题（解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知各项为正的等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=30，过点P（n，log2a n）和Q（n+2，log2a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，证明：对于任意n∈N*，都有T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）利用等比数列前n项和公式及直线的方向向量性质列出方程组，由此能求出首项和公比，从而能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n==（﹣），利用裂项法能证明对于任意n∈N*，都有T n．【解答】解：（1）∵各项为正的等比数列{a n}的前n项和为S n，S4=30，过点P（n，log2a n）和Q（n+2，log2a n+1）（n∈N*）的直线的一个方向向量为（﹣1，﹣1），∴，解得，q=4，∴a n=．（2）∵b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和：T n=（+++…++）=（﹣）=（+﹣﹣）＜．∴对于任意n∈N*，都有T n．18．已知多面体ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等边三角形，边长为2，AA1⊥平面ABC，四边形A1ACC1为直角梯形，CC1与平面ABC所成的角为，AA1=1（1）若P为AB的中点，求证：A1P∥平面BC1C；（2）求二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推导出平面A1ACC1⊥平面ABC，过C1作C1D⊥AC于D，则C1D⊥平面ABC，∠C1CD 是CC1与平面ABC所成角，取BC中点F，推导出四边形A1C1PF为平行四边形，从而A1P∥C1F，由此能证明A1P∥平面BC1C．（Ⅱ）连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AA1⊥平面ABC，AA1⊂平面A1ACC1，∴平面A1ACC1⊥平面ABC，过C1作C1D⊥AC于D，∵平面A1ACC1∩平面ABC=AC，∴C1D⊥平面ABC，∴CD是CC1在平面ABC内的射影，∴∠C1CD是CC1与平面ABC所成角，∴，∴CD=C1D=AD=A1C1=1，取BC中点F，连结PF，由题意得PF∥AC，且PF=AC，又A1C1∥AC，A1C1=，∴A1C1∥PF，且A1C1=PF，∴四边形A1C1PF为平行四边形，∴A1P∥C1F，∵C1F⊂平面BC1C，A1P⊄平面BC1C，∴A1P∥平面BC1C．解：（Ⅱ）连结BD，以D为原点，分别以DB，DC，DC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，﹣1，1），B（），C1（0，0，1），C（0，1，0），∴=（0，1，0），=（），设平面A1BC1的一个法向量为=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，），=（﹣），=（﹣），设平面BC1C的一个法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，），cos＜＞===，根据图形得二面角A1﹣BC1﹣C的产面角为钝角，∴二面角A1﹣BC1﹣C的余弦值为﹣．19．某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，每辆车一年内需要维修的人工费用为200元，汽车4S店记录了该品牌三种类型汽车各100辆到店维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．（1）从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，求这两辆汽车来自同一类型的概率；（2）某公司一次性购买该品牌A、B、C型汽车各一辆，记ξ表示这三辆车的一年维修人工费用总和，求ξ的分布列及数学期望（各型汽车维修的概率视为其需要维修的概率）；已知A型汽车的购买量y与价格x符合如下线性回归方程： =x+80，若A型汽车价格降到19万元，请你预测月销售量大约是多少？【考点】线性回归方程．【分析】（1）100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，A、B、C型汽车各2，4，4辆．从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，有=45种方法，即可求这两辆汽车来自同一类型的概率；（2）ξ的取值为0，200，400，600，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望；（3）求出b，即可预测月销售量．【解答】解：（1）100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，A、B、C型汽车各2，4，4辆．从参加问卷到访的10辆汽车中随机抽取两辆，有=45种方法，这两辆汽车来自同一类型的概率为=；（2）ξ的取值为0，200，400，600，P（ξ=0）=0.8×0.6×0.6=0.288，P（ξ=200）=0.2×0.6×0.6+0.8×0.4×0.6+0.8×0.6×0.4=0.456，P（ξ=400）=0.2×0.4×0.6+0.2×0.6×0.4+0.8×0.4×0.4=0.224，P（ξ=600）=0.2×0.4×0.4=0.032，（3）=（25+23.5+22+20.5）=22.75， =（30+33+36+39）=35.25，∵=x+80，∴35.25=×22.75+80，∴=，x=19，y=19×+80≈117．20．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆P： =1（a＞b＞0）的右焦点，已知A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，且直线AF的斜率为，（1）求椭圆P的方程；（2）过点Q（﹣1，0）的直线l交椭圆P于M、N两点，交直线x=﹣4于点E， =，=，证明：λ+μ为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由对称和直线的斜率公式，推导出a=2，c=，由此能求出椭圆的方程；（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x+1）．设M（x1，y1）、N（x2，y2）、E（﹣4，y3），则M、N两点坐标方程组，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，然后利用根与系数的关系以及向量的共线的坐标表示，化简整理进行求解可得．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的右焦点为F（c，0），左顶点为（﹣a，0），由点A（0，﹣2）与椭圆左顶点关于直线y=x对称，可得﹣=﹣1，解得a=2，由直线AF的斜率为，可得=，可得c=，即有b==1，则椭圆的方程为+y2=1；（2）依题意，直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为y=k（x+1），设M（x1，y1）、N（x2，y2）、E（﹣4，y3），则M、N两点坐标满足方程组，消去y并整理，得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣①，x1x2=②，∵=，∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=λ（x2+1，y2），∴﹣1﹣x1=λ（x2+1），∴λ=，令x=﹣4，可得y3=﹣3k，由=，即（﹣4﹣x1，﹣3k﹣y1）=μ（x2+4，y2+3k），可得μ=．∴λ+μ=+=，将①②代入上式可得λ+μ=0．故λ+μ为定值0．21．已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2﹣kx；（1）设k=m+（m＞0），若函数h（x）=f（x）+g（x）在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，求实数m的取值范围；（2）设M（x）=f（x）﹣g（x），若函数M（x）存在两个零点x1，x2（x1＞x2），且满足2x0=x1+x2，问：函数M（x）在（x0，M（x0））处的切线能否平行于直线y=1，若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求得h（x）及h′（x），由题意可知k≥，及k=m+求得m的取值范围；（2）求得M（x）及M′（x），采用反证法，假设，函数M（x）在（x0，M（x0））处的切线平行于直线y=1，根据题意列出方程，求得k的解析式，构造辅助函数，利用导数求得函数的单调性及最值，判断与已知是否相符，即可验证是否存在函数M（x）在（x0，M（x0））处的切线平行于直线y=1，【解答】解：因为h（x）=lnx+x2﹣kx；h′（x）=+x﹣k，由题意可得：k≥，m+=k≥，可得0＜m≤或m≥2，综上，m的取值范围为{m丨0＜m≤或m≥2}，假设，函数M（x）在（x0，M（x0））处的切线平行于直线y=1，M（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x2+kx，M′（x）=f（x）﹣g（x）=﹣x+k，，由ln﹣（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣k（x1﹣x2），∴﹣k=﹣x0，结合，可得：ln==，令u=∈（0，1），∴lnu﹣=0，u∈（0，1），设y=lnu﹣，u∈（0，1），y′=+==＞0，所以函数y=lnu﹣，在（0，1）上单调递增，因此，y＜0，即lnu﹣＜0，也就是ln＜，此时与ln=矛盾，所以数M（x）在（x0，M（x0））处的切线不能平行于直线y=1，选修4-1，几何证明选讲22．如图，已知圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，过A作圆O的切线，切点为P，（1）求证：BD=DE；（2）若∠ECA=45°，求AP2的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连结OE，由已知得CE∥OD，从而∠BOD=∠EOD，由此能证明BD=DE．（2）推导出∠COE=90°，CE=，OD=1，AB=，由此利用切割线定理能求出AP2．【解答】证明：（1）连结OE，∵圆O的内接四边形BCED，BC为圆O的直径，BC=2，延长CB，ED交于A点，使得∠DOB=∠ECA，∴CE∥OD，∴∠CEO=∠EOD，∵CO=EO，∴∠OCE=∠OEC，∴∠BOD=∠EOD，∴BD=DE．解：（2）∵∠ECA=45°，BC为圆O的直径，BC=2，∴∠COE=90°，∴CE=，OD=1，∵OD∥CE，∴=，解得AB=，∵过A作圆O的切线，切点为P，∴AP2=AB•（AB+2）==2+2．选修4-4，坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的参数方程是（θ为参数），曲线C与l的交点的极坐标为（2，）和（2，），（1）求直线l的普通方程；（2）设P点为曲线C上的任意一点，求P点到直线l的距离的最大值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）将交点极坐标化为直角坐标，使用两点式方程得出l的普通方程；（2）将C的参数方程代入点到直线的距离公式，求出最大距离．【解答】解：（1）直线l与曲线交点的直角坐标分别是（2cos，2sin），（2cos，2sin），即（1，），（，1）．∴直线l的普通方程为，即x+y﹣=0．（2）点P到直线l的距离d==．∴当cosθ=﹣1时，d取得最大值=．选修4-5，不等式选讲24．已知函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|，若∃x0∈R，不等式f（x0）≥0成立，（1）求实数m的取值范围；（2）若x+2y﹣m=6，是否存在x，y，使得x2+y2=19成立，若存在，求出x，y值，若不存在，请说明理由．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由题意可得m≥|2x+1|+|2x﹣3|有解，利用绝对值三角不等式求得|2x+1|+|2x ﹣3|的最小值，可得m的范围．（2）要使存在x，y，只要圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点，即圆心（0，0）到直线x+2y﹣m﹣6=0的距离小于或等于半径，由此求得m的范围．再解圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6组成的方程组，求得直线和圆交点的坐标，即为所求的x、y的值．【解答】解：（1）由题意可得函数f（x）=m﹣|2x+1|﹣|2x﹣3|≥0有解，即 m≥|2x+1|+|2x ﹣3|有解，故 m大于或等于|2x+1|+|2x﹣3|的最小值．由于|2x+1|+|2x﹣3|≥|（2x+1）﹣（2x﹣3）|=4，∴m≥4．（2）若x+2y﹣m=6，设存在x，y，使得x2+y2=19成立，则圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点，即圆心（0，0）到直线x+2y﹣m﹣6=0的距离小于或等于半径，即≤，故当﹣6﹣≤m≤﹣6+时，圆x2+y2=19和直线x+2y﹣m=6有交点．由，求得，或．。
高考模拟试题_广东省东莞市六校2016届高三上学期联考理科数学试卷_人教新课标
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．若复数 z 满足 (1 − i ) z = (1 + i ) 2 ，其中 i 为虚数单位，则在复平面上复数 z 对应的点位于（ A．第一象限 ） B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
20． （本题满分 12 分）
2 已知抛物线 C1 : y = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 以及椭圆 C2 :
y 2 x2 + = 1 (a > b > 0) 的 a 2 b2
上、下焦点及左、右顶点均在圆 O : x 2 + y 2 = 1 上． （1）求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程； （2）过点 F 的直线交抛物线 C1 于 A, B 两不同点，交 y 轴于点 N ，已知 NA = λ1 AF ，
1 − x 2 , x ≤ 1 1 f x 12．设 ( ) = ，若方程 f(x)=kx- 恰有四个不相等的实数根，则实 2 ln x, x > 1
数 k 的取值范围是（
A． ( , ） C． （ e ,2） D． ( , e ）
1 1 ) 2 e
B． （2,e）
1 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
2 x + y − 4 ≥ 0 13．若 x , y 满足不等式组 x + y − 3 ≤ 0 ，则 3 x + 2 y 的最大值是 y≥0
14． 如图， 一不规则区域内， 有一边长为 1 米的正方形， 向区域内随机地撒 1000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数 据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 15．已知二项式 x −
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东莞市2015—2016学年度第一学期六校联考考试高三数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足2)1()1(i z i +=-，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知集合2{|log 3}M x x =<,{|21,}N x x n n N ==+∈,则M N ⋂=（ ）A ．(0,8)B ．{3,5,7}C ．{0,1,3,5,7}D ．{1,3,5,7}3．如右图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是（ ）A ．3?k >B ．4?k >C ．5?k >D ．6?k >4．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为（ ）A ．y x =B ．x x y e e -=+C ．sin y x =D ．3y x =-5．设向量a,b 满足10=+b a ,6=-b a ,则b a ⋅=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．56．已知))2,0[,0)(sin(πϕωϕω∈>+=x y 的部分图象如图所示，则ϕ=（ ）A ．23πB ．43πC ．2πD ．4π 7．钝角三角形ABC 的面积是12,AB=1,BC=2,则AC=（ ）A ．1B ．2C ．5D ．58．函数y ＝ln 1|2x －3|的大致图象为（ ）9．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．40 cm 3B ．30 cm 3C ．20 cm 3D ．10 cm 310．已知斜率为2的直线l 双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交,A B 两点，若点(2,1)P 是AB 的中点，则C 的离心率等于（ ）A ．22B ．2C ．3D ．211．当2x ππ-≤≤时,函数()sin 3cos f x x x =+的（ ）A ．最大值是1，最小值是3-B ．最大值是2，最小值是3-C ．最大值是1，最小值是1-D ．最大值是2，最小值是1-12．设⎩⎨⎧>≤-=1,ln 1,1)(2x x x x x f ，若方程f(x)=kx-21恰有四个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ． e1,21() B ．（2,e ） C ．（e ,2） D ．e ,21(）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分 13．若x ,y 满足不等式组240300x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则32x y +的最大值是14．如图，一不规则区域内，有一边长为1米的正方形，向区域内随机地撒1000颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆数为 375 颗，以此实验数据为依据可以估计出该不规则图形的面积为 平方米.（用分数作答）15．已知二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-22的展开式中的二项式系数的和是64，则展开式中的常数项是__ ____16．已知c b a ,,为△ABC 的三个内角C B A ,,的对边，向量)1,3(-=m ，)sin ,(cos A A n =.若n m ⊥，且C c A b B a sin cos cos =+，则角B ＝ .三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,公差2d =，10120S =.（1）求n a ；（2）若11n n n b a a -=+,求数列{}n b 的前n 项和为n T ．18．（本题满分12分）某校从参加高三年级期末统考测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩（均为整数）的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）估计这次测试数学成绩的平均分和众数；（Ⅱ）假设在[90，100]段的学生的数学成绩都不相同，且都超过94分．若将频率视为概率，现用简单随机抽样的方法，从95，96，97，98，99，100这6个数中任意抽取2个数，有放回地抽取了3次，记这3次抽取中，恰好是两个学生的数学成绩的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．19．（本题满分12分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2.（1）求证：BE ⊥平面PAC ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.20．（本题满分12分）已知抛物线21:2C y px =(0)p >的焦点F 以及椭圆22222:1y x C a b +=(0)a b >>的上、下焦点及左、右顶点均在圆22:1O x y +=上．（1）求抛物线1C 和椭圆2C 的标准方程；（2）过点F 的直线交抛物线1C 于,A B 两不同点，交y 轴于点N ，已知1NA AF λ=，2NB BF λ= ，求12λλ+的值.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图,已知AP 是圆O 的切线,P 为切点,AC 是圆O 的割线,与圆O 交于C B ,两点,圆心O 在PAC ∠的内部,点M 是BC 的中点．（Ⅰ）证明M O P A ,,,四点共圆；（Ⅱ）求APM OAM ∠+∠的大小．23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧=+=t y t a x 42 （t 为参数），圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 2y x （θ为常数）．（1）求直线l 和圆C 的普通方程；（2）若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 设函数x a x x f 3)(+-=,其中0>a 。
（Ⅰ）当1=a 时,求不等式23)(+≥x x f 的解集（Ⅱ）若不等式0)(≤x f 的解集为{}1|-≤x x ,求a 的值。
2016届高三第一学期六校联考考试高三数学（理科）答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D B C A D C A C D B A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．9 14．38 15．240 16．6π 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．解(1) 1(1)2n n n S na d -=+Q ,2d =，10120S =…………………………………………2分 11091021202a ⨯∴+⨯=,即13a =…………………………………………………………3分 所以1(1)21n a a n d n =+-=+……………………………………………………………4分 (2) 1111(2121)22121n n n b n n a a n n -===+--+++-Q …………………7分 1111(31)(53)(2123)(2121)2222n T n n n n ∴=-+-++---++--L ……………10分 即1(211)2n T n =+-……………………………………………………………………12分 18．解：（I ）利用中值估算抽样学生的平均分：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05 =72. ……………（3分） 众数的估计值为75分 ……………（5分） 所以，估计这次考试的平均分是72分． ……………（6分） （注：这里的众数、平均值为估计量，若遗漏估计或大约等词语扣一分）（II ）从95， 96，97，98，99，100中抽2个数的全部可能的基本结果数是2615C =， 有15种结果，学生的成绩在[90，100]段的人数是0.005×10×80=4（人），这两个数恰好是两个学生的数学成绩的基本结果数是246C =， 两个数恰好是两个学生的数学成绩的概率62.155P == ……………（8分） 随机变量ξ的可能取值为0、1、2、3，则有．∴3323()()(),0,1,2,355k k k P k C k ξ-===∴变量ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3P 8125 36125 54125 27125…………（10分）E ξ8365454601231251251251255=⨯+⨯+⨯+⨯= …………（12分） 解法二. 随机变量ξ满足独立重复试验,所以为二项分布, 即2~(3,)5B ξ………（10分）26355E np ξ==⨯= …………（12分） 19（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ ………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ (2)分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC ………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ …………………4分 BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ ………………5分PC AC C = ， BE ⊥平面PAC …………………………6分（2）如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系. 则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………7分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+= . ………………8分 设平面BEF 的法向量(,,)m x y z = .由0,0m BF m BE ⋅=⋅= 得0343232=++z y x ， 即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =- . …10分取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=n ………11分则3cos ,3||||m n m n m n ⋅<>=- ，故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. ………12分 20．解：（1）由抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点(,0)2p F 在圆22:1O x y +=上得： 214p =，2p ∴=， ∴抛物线21:4C y x =同理由椭圆上、下焦点(0,),(0,)c c -及左、右顶点(,0),(,0)b b -均在圆22:1O x y +=上可解得：1,2b c a ==∴=． 得椭圆222:12y C x +=． （2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-，则(0,)N k -．联立方程组24(1)y x y k x ⎧=⎨=-⎩，消去y 得：2222(24)0,k x k x k -++= 216160,k ∴∆=+>且212212241k x x k x x ⎧++=⎪⎨⎪=⎩ 由12,NA AF NB BF λλ== 得：111222(1),(1),x x x x λλ-=-= 整理得：121212,11x x x x λλ==-- 2212121221212224221241()11k x x x x k k x x x x k λλ+-+-∴+===-+-++-+．21. 解（1）02)(=-='x e x f ， ……… 1分 2ln =∴x ， ……… 2分 当)2ln ,(-∞∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 在)2ln ,(-∞上单调递减，……… 3分 当),2(ln +∞∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 在)2ln ,(-∞上单调递增，……… 4分 所以)(x f 的单调区间有)2ln ,(-∞，),2(ln +∞； ……… 5分（2）证明：设ax x e x F x 2)(2+-=， ……… 6分 a x e x F x 22)('+-= ……… 7分 ∴由（1）知)('x F 有极小值a e F 22ln 2)2(ln 2ln '+-=)2ln 1(2a +-=， ……… 8分 12ln ->a ，∴0)2(ln '>F ， ……… 9分 ∴0)('>x F ，所以)(x F 在),(+∞-∞上单调递增， ……… 10分 所以当0>x 时，)0()(F x F >， ……… 11分 所以122>+-ax x e x ，即122+->ax x e x . ………12分 请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。