山东省泰安市高考数学二模试卷 文(含解析)
山东省泰安市高考数学二模试卷(文科)
高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x|3-2x＜1}，B={x|4x-3x2≥0}，则A∩B=（）A. （1，2]B.C. [0，1）D. （1，+∞）2.已知i为虚数单位，若复数的实部与虚部相等，则a的值为（）A. 2B.C.D. -23.函数的最小正周期为（）B. C. 2π D. πA. 4π4.为比较甲、以两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场比赛的得分制成如图所示的茎叶图，有以下结论：①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；②甲最近五场比赛得分平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定．其中所有正确结论的编号为（）A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5.得到的回归方程为．若a=7.9，则x每增加1个单位，y就（）A. 增加1.4个单位B. 减少1.4个单位C. 增加1.2个单位D. 减少1.2个单位6.已知x，y满足约束条件则z=2x+y的取值范围是（）A. [2，4]B. [4，6]C. [2，6]D. （-∞，2]7.执行如图所示的程序框图，若输入的S=12，则输出的S=（）A. -8B. -18C. 5D. 68.某简单几何体的三视图如图所示，若该几何体的所有顶点都在球O的球面上，则球O的表面积是（）A. 8πB.C. 12πD. 48π9.设函数f′（x）为函数f（x）=x sinx的导函数，则函数f′（x）的图象大致为（）A.B.C.D.10.设双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线上一点，点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，且|PF1|+|PF2|=4a，则双曲线的离心率是（）A. B. C. D.11.已知函数f（x）=，g（x）=f（x）-ax+a，若g（x）恰有1个零点，则a的取值范围是（）A. [-1，0]∪[1，+∞）B. （-∞，-1]∪[0，1]C. [-1，1]D. （-∞，-1]∪[1，+∞）12.若函数上单调递增，则实数a的取值范围为（）A. B. C. a≥1 D. 1＜a＜3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点P为棱AA1上任意一点，则四棱锥P-BDD1B1的体积为______14.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若=，则B=______．15.如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为______．16.抛物线C：y2=4x的焦点为F，动点P在抛物线C上，点A（-1，0），当取得最小值时，直线AP的方程为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5=21，a1，a3，a9依次成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，∠PDA=90°，∠PDC=120°，AD∥BC，∠BCD=90，△ABD是等边三角形，E是PA的中点，．（1）求证：AD⊥BE；（2）求三棱锥P-ABD的体积．19.某社区为了解居民参加体育锻炼情况，随机抽取18名男性居民，12名女性居民对他们参加体育锻炼的情况进行问卷调查．现按参加体育锻炼的情况将居民分成3类：甲类（不参加体育锻炼），乙类（参加体育锻炼，但平均每周参加体育锻炼的时间不超过5个小时），丙类（参加体育锻炼，且平均每周参加体育锻炼的时间超过5个小时），调查结果如表：（1）根据表中的统计数据，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关？（）从抽出的女性居民中再随机抽取人进一步了解情况，求所抽取的人中乙类，丙类各有1人的概率．附：20.已知椭圆的右顶点为A，左焦点为F1，离心率，过点A的直线与椭圆交于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为点F1，若．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆E：x2+y2=4上任意一点P作圆E的切线l，l与椭圆交于M，N两点，以MN为直径的圆是否过定点，如过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由．21.已知函数f（x）=（x-m）ln x（m≤0）．（1）若函数f（x）存在极小值点，求m的取值范围；（2）当m=0时，证明：f（x）＜e x-1．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的方程为，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ）．（1）求曲线C的普通方程；（2）过点P（1，0）作直线l的垂线交曲线C于M，N两点，求的值．23.已知函数f（x）=|2x-a|（a∈R）．（1）当a=4时，解不等式f（x）＜8-|x-1|；（2）若不等式f（x）＞8+|2x-1|有解，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|3-2x＜1}={x|x＞1}，B={x|4x-3x2≥0}={x|0}，∴A∩B={x|1＜x}．故选：B．2.【答案】C【解析】解：∵的实部与虚部相等，∴4-a=2a+2，即a=．故选：C．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a值．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】D【解析】解：函数=sin2x+•=sin（2x+）+的最小正周期为=π，故选：D．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：甲的中位数为29，乙的中位数为30，故①不正确；甲的平均数为29，乙的平均数为30，故②正确；从比分来看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故③正确，④不正确．故选：C．根据中位数，平均数，方差的概念计算比较可得．本题考查了茎叶图，属基础题．5.【答案】B【解析】解：设变量x，y的平均值为：，，∴==5，=0.9，∴样本中心点（5，0.9），∴0.9=5×b+7.9∴b=-1.4，∴x每增加1个单位，y就减少1.4．故选：B．首先，根据所给数据，计算样本中心点（5，0.9），然后，将改点代人回归方程，得到b=-1.4，从而得到答案．本题重点考查了回归直线方程的特征、回归直线方程中回归系数的意义等知识，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），B（0，2），化目标函数z=2x+y为y=-2x+z，由图可知，当直线y=-2x+z过B时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2；当直线y=-2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为6．∴z的取值范围是[2，6]．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得S=12，n=1执行循环体，S=10，n=2不满足条件S+n≤0，执行循环体，S=6，n=3不满足条件S+n≤0，执行循环体，S=0，n=4不满足条件S+n≤0，执行循环体，S=-8，n=5满足条件S+n≤0，退出循环，输出S的值为-8．故选：A．关键框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件跳出循环，确定输出S的值本题考查了循环结构的程序框图，关键框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2．把该三棱锥补形为正方体，则正方体对角线长为．∴该三棱柱外接球的半径为：．则球O的表面积是：4=12π．故选：C．由三视图还原原几何体，可知该几何体为直三棱柱，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，侧棱长为2，然后利用分割补形法求解．本题考查空间几何体的三视图，考查多面体外接球表面积与体积的求法，是中档题．9.【答案】B【解析】【分析】求出函数f（x）的导数f′（x），结合函数的奇偶性，定义域，单调性的性质进行判断．本题主要考查函数导数的性质，以及函数图象的判断，求函数的导数，利用函数奇偶性的性质是解决本题的关键．【解答】解：f'（x）=sin x+x cosx，所以f'（x）为奇函数，故C错误，又f'（π）=-π，只有B符合，故选：B．10.【答案】D【解析】解：点P到坐标原点O的距离等于双曲线焦距的一半，可得PF1⊥PF2，可设P为双曲线右支上一点，可得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=4a，解得|PF1|=3a，|PF2|=a，可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即为9a2+a2=4c2，可得e==．故选：D．由题意可得PF1⊥PF2，可设P为双曲线右支上一点，可得|PF1|-|PF2|=2a，结合条件和勾股定理、以及离心率公式，计算可得所求值．本题考查双曲线的定义和性质，主要是离心率的求法，考查直角三角形的判断和勾股定理的运用，以及方程思想和化简能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，结合数形结合是解决本题的关键．综合性较强，属于较难题.根据条件先判断x=1是函数g（x）的一个零点，等价于当x≠1时，函数f（x）=a（x-1），没有其他根，利用参数分离法，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由g（x）=f（x）-ax+a=0得f（x）=a（x-1），∵f（1）=1-3+2=0，∴g（1）=f（1）-a+a=0，即x=1是g（x）的一个零点，若g（x）恰有1个零点，则当x≠1时，函数f（x）=a（x-1），没有其他根，即a=，没有根，当x＜1时，设h（x）====x-2，此时函数h（x）为增函数，则h（1）→-1，即此时h（x）＜-1，当x＞1时，h（x）==，h′（x）=＜0，此时h（x）为减函数，此时h（x）＞0，且h（1）→1，即0＜h（x）＜1，作出函数h（x）的图象如图：则要使a=，没有根，则a≥1或-1≤a≤0，即实数a的取值范围是[-1，0]∪[1，+∞），故选：A．12.【答案】A【解析】解：函数f（x）=（cos x+sin x）（cos x-sin x-4a）+（4a-3）x=（cos2x-sin2x）-2a（cos x+sin x）+（4a-3）x，=cos2x-2a（cos x+sin x）+（4a-3）x，∴f′（x）=-sin2x-2a（-sin x+cos x）+（4a-3），设t=sin x-cos x=sin（x-），则x∈[0，]时，x-∈[-，]，∴t∈[-1，1]，且sin2x=1-t2，∴f′（x）化为g（t）=-（1-t2）+2at+（4a-3）=t2+2at+4a-4；由题意知g（t）=t2+2at+4a-4≥0恒成立，其中t∈[-1，1]；当-a≤-1，即a≥1时，g（t）在[-1，1]上单调递增，∴g（t）的最小值为g（-1）=1-2a+4a-4≥0，解得a≥；当-1＜-a＜1，即-1＜a＜1时，g（t）在[-1，1]内先减后增，∴g（t）的最小值为g（-a）=a2-2a2+4a-4≥0，解得a=2，不合题意；当-a≥1，即a≤-1时，g（t）在[-1，1]上单调递减，∴g（t）的最小值为g（1）=1+2a+4a-4≥0，解得a≥，不合题意；综上所述，实数a的取值范围的a≥．故选：A．化简函数f（x）并求导数，利用导数判断函数单调递增时，导数大于或等于0，再求得a的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性应用问题，也考查了转化法与分类讨论思想，是难题．13.【答案】【解析】【分析】四棱锥P-AA1C1C的体积等于三棱柱的体积减去两个三棱锥的体积．本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于基本知识的考查．【解答】解：=V正方体=，==故答案为：．14.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得a2+c2-b2=ac，利用余弦定理可求cos B=，结合范围B∈（0，π），可得B的值．【解答】解：在△ABC中，由=，及正弦定理得：，整理可得：a2+c2-b2=ac，所以，cos B===，所以，由B∈（0，π），可得：B=．故答案为：．15.【答案】【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础试题．结合已知及向量的基本定理可得，结合已知，可求m，t．【解答】解：由题意及图，，又，∴，∴，又，∴，解得，．故答案为：．16.【答案】x+y+1=0或x-y+1=0【解析】解：设P点的坐标为（4t2，4t），∵F（1，0），A（-1，0）∴|PF|2=（4t2-1）2+16t2=16t4+8t2+1|PA|2=（4t2+1）2+16t2=16t4+24t2+1∴（）2==1-=1-≥1-=1-=，当且仅当16t2=，即t=±时取等号，此时点P坐标为（1，2）或（1，-2），此时直线AP的方程为y=±（x+1），即x+y+1=0或x-y+1=0，故答案为：x+y+1=0或x-y+1=0，设P点的坐标为（4t2，4t），根据点与点的距离公式，可得（）2==1-，再根据基本不等式求出t的值，即可求出直线AP的方程本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题．17.【答案】解：（1）公差d不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5=21，可得2a1+5d=21，a1，a3，a9依次成等比数列，可得a32=a1a9，即（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得a1=d=3，则a n=3n；（2）S n=n（n+1），=•=（-），可得前n项和T n=（1-+-+…+-）=（1-）=．【解析】（1）设公差为d，运用等差数列的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式，可得=•=（-），再由数列的裂项相消求和，化简可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式，等比数列中项性质，以及数列的裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.【答案】（1）证明：取AD中点F，连接BF，EF，∵E，F分别为AP，AD的中点，AD⊥PD，∴AD⊥EF，又△ABC是正三角形，∴AD⊥BF，∵BF∩EF=F，∴AD⊥平面BEF，又BE⊂平面BEF，∴AD⊥BE；（2）解：∵AD∥BC，∠BCD=90°，∴AD⊥CD，又AD⊥PD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PCD，又AD⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H，则PH⊥平面ABCD，在直角三角形PDH中，∠PDH=60°，PD=2，∴PH=，∴．【解析】（1）取AD中点F，连接BF，EF，结合已知证得AD⊥EF，又△ABC是正三角形，得AD⊥BF，由线面垂直的判定可得AD⊥平面BEF，进一步得到AD⊥BE；（2）由AD∥BC，∠BCD=90°，得AD⊥CD，再由AD⊥PD，得AD⊥平面PCD，可得平面ABCD⊥平面PCD，过点P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H，则PH⊥平面ABCD，求解直角三角形PDH得PH=，再由棱锥体积公式求三棱锥P-ABD的体积．本题考查空间中直线与直线、直线与平面间位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．计算K2==3.81＞2.706，所以有90%的把握认为参加体育锻炼与否与性别有关；（2）记三名乙类女性居民为A、B、C，三名丙类居民为d、e、f，从抽出的6名女性居民中随机抽取2人，基本事件为AB、AC、Ad、Ae、Af、BC、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf、de、df、ef共15个；抽出的两人中乙类、丙类各1人的基本事件为Ad、Ae、Af、Bd、Be、Bf、Cd、Ce、Cf 共9种，所以所抽取的2人中乙类，丙类各有1人的概率为P==．【解析】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了古典概型的概率计算问题，是基础题．（1）根据表中数据填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；20.【答案】解：（1）∵e==，∴a=c，b=c，设B（-c，y0）代入椭圆方程，可得|y0|=b，∴S△=|y0|•|F1A|=b2（1+），∴b2（1+）=3+，∴b2=6，a2=12，∴椭圆C的标准方程为+=1．（2）：当切线l的斜率不存在时，以MN为直径的圆的圆心分别为（2，0），（-2，0），MN=4时，以MN为直径的圆的标准方程为（x+2）2+y2=4，（x-2）2+y2=4，易得两圆相切且切点为坐标原点，∴以MN为直径的圆过坐标原点，当切线l的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）．设切线的方程为：y=kx+m，则d==2，即m2=4（1+k2）．由，消y整理可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-12=0，∴x1+x2=-，x1x2=．y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．∴•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=-+m2===0．∴OM⊥ON．∴以MN为直径的圆过定点原点O（0，0）．综上所述MN为直径的圆恒过坐标原点．【解析】（1）由三角形面积可得b2（1+）=3+，根据离心率可得b=c，结合隐含条件求出a，b，c的最值，则椭圆方程可求；（2）当切线的斜率不存在时，直接解出验证；当切线的斜率存在时，设M（x1，y1），N（x2，y2）．设切线的方程为：y=kx+m，由圆心到直线的距离可得m2=2（1+k2）．把切线方程代入椭圆方程可得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-12=0，利用根与系数的关系即可证明•=0，结论得证．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切及其直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=+ln x=1-+ln x，①当m=0时，f′（x）=0得x=，当x∈（0，）时，f'（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＞0，∴x=是函数f（x）的极小值点，满足题意②当m＜0吋，令g（x）=f′（x），g'（x）=+=，令g′（x）=0，解得x=-m，当x∈（0，-m）时，g′（x）＜0当x∈（-m，+∞）时，g'（x）＞0∴g（x）min=g（-m）=2+ln（-m），若g（-m）≥0，即m≤-e-2时，f'（x）=g（x）≥0恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，无极值点，不满足题意．若g（-m）=2+ln（-m）＜0，即-e-2＜m＜0时，g（1-m）=1-+ln（1-m）＞0∴g（-m）•g（1-m）＜0，又g（x）在（-m，+∞）上单调递增，∴g（x）在（-m，+∞）上恰有一个零点x1，当x∈（-m，x1）时，f'（x）=g（x）＜0，当e∈（x1，+∞）时，f'（x）=g（x）＞0，∴x1是f（x）的极小值点，满足题意，综上，-e-2＜m≤0（2）当m=0时，f（x）=x lnx，①当x∈（0，1]，e x-1＞0，x lnx≤0，∴f（x）＜e x-1，②当x∈（1，+∞）时．，令h（x）=e x-x lnx-1，h'（x）=e x-ln x-1，令φ（x）=h′（x），则φ′（x）=e x-，∵φ'（x）在（1，+∞）上是増函数，∴φ'（x）＞φ′（1）=e-1＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，h′（x）=φ（x）＞φ（1）=e-1＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=e-1＞0，∴x＞1时，x lnx＜e x-1成立，综上f（x）＜e x-1．【解析】（1）求函数的导数，结合函数极值和导数之间的关系进行讨论求解即可．（2）求函数的导数，讨论x的取值范围，结合函数单调性和最值之间的关系进行证明即可．本题主要考查导数的综合应用，结合函数的极值，单调性和导数之间的关系，转化为导数问题，以及构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．22.【答案】解（1）由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C的普通方程为：x2+y2-2x-2y=0．（2）∵直线l的斜率为，∴直线MN的斜率为：-，∴直线MN的参数方程为：（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程得t2-t-1=0，设M，N对应的参数为t1，t2，则t1+t2=1，t1t2=-1，∴+==|t1-t2|===．【解析】（1）由题意知ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，所以曲线C的普通方程为：x2+y2-2x-2y=0；（2）先求出直线MN的参数方程，再根据参数的几何意义可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）a=4时，不等式f（x）＜8-|x-1⇔|2x-4|+|x-1|＜8⇔或或，解得-1＜x＜，综上，不等式的解集为（-1，）．（2）原不等式有解，即不等式|2x-a|-|2x-1|＞8有解，令g（x）=|2x-a|-|2x-1|，∵|2x-a|-|2x-1|≤|2x-a-2x+1|=|a-1|，∴g（x）max=|a-1|，∴|a-1|＞8，解得a＞9或a＜-7．∴a的取值范围是a＞9或a＜-7．【解析】（1）a=4时，分3段去绝对值解不等式组再相并；（2）原不等式有解，即不等式|2x-a|-|2x-1|＞8有解，再构造函数利用绝对值不等式的性质求出最大值代入可解得．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．。
2019年山东省泰安市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2019年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B3．设a，b，c∈R且a＜b，则（）A．＞B．a2＜b2C．a3＜b3D．ac＜bc4．设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若•=0，•=0则•=0，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q5．=（）A．B．﹣1 C．D．16．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4 B．5 C．6 D．557．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角8．已知x，y满足条件，若z=2x+y的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．69．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=110．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为______．12．已知直线ax+by﹣6=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为2，则ab 的最大值为______．13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是______．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是______．15．给出下列命题：①某地2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数为20；②函数f （x ﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f （2）＞f （log 2）＞f [（）2]③已知直线l 1：ax +3y ﹣1=0，l 2：x +by +1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是=﹣3， 其中正确命题的序号是______（把你认为正确的序号都填上）．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角的对边，且cosC +sinC=．（Ⅰ）求∠B 的大小；（Ⅱ）若a +c=5，b=7，求的值． 17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概0.01“”2人参加2405018．已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为CC1，A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B 是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）证明：BC⊥平面ABB1A1．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若△ABF1的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）P是y轴上一点，以PA，PB为邻边作平行四边形PAQB，若点P的坐标为（0，﹣2），求平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围．21．已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．2019年山东省泰安市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数的共轭复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数，得出其共轭复数．【解答】解：==，∴复数的共轭复数是+．故选：A．2．已知集合A={x|y=}，B={x|x2﹣2x＜0}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A，B，根据集合包含关系的定义，可得答案．【解答】解：∵集合A={x|y=}=（﹣∞，2]，B={x|x2﹣2x＜0}=（0，2），故B⊆A，故选：C．3．设a，b，c∈R且a＜b，则（）A．＞B．a2＜b2C．a3＜b3D．ac＜bc【考点】不等关系与不等式．【分析】利用不等式的性质，结合反例一一判断即可．【解答】解：A.＞，可知当a，b异号时不成立；B．a2＜b2，可知当a=﹣1，b=1时不成立；C，a，b，c∈R且a＜b，a3﹣b3=（a2﹣b2）（a+ab+b）＜0成立；D．ac＜bc，可知当c=0时不成立．故选：C．4．设，，是非零向量，已知：命题p：∥，∥，则∥；命题q：若•=0，•=0则•=0，则下列命题中真命题是（）A．p∨q B．p∧q C．（￢p）∧（￢q）D．￢p∨q【考点】命题的真假判断与应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据向量共线的性质以及向量数量积的应用，判断pq的真假即可．【解答】解：∵，，是非零向量，∴若∥，∥，则∥；则命题p是真命题，若•=0，•=0，则•=0，不一定成立，比如设=（1，0），=（0，1），=（2，0），满足•=0，•=0，但•=2≠0，则•=0不成立，即命题q是假命题，则p∨q为真命题．，p∧q为假命题．，（￢p）∧（￢q），￢p∨q都为假命题，故选：A．5．=（）A．B．﹣1 C．D．1【考点】三角函数的化简求值．【分析】由条件利用两角和差的三角公式化简所给的式子，求得结果．【解答】解：==2•=2sin30°=1，故选：D．6．执行如图所示的程序框图，则输出i的值为（）A．4 B．5 C．6 D．55【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，当i的值为5时满足条件，退出循环，即可得解．【解答】解：模拟执行程序，可得程序作用是对平方数列求和，容易得到S4=30，S5=55＞50，故输出i的值为5．故选：B．7．如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．【解答】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．8．已知x，y满足条件，若z=2x+y的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求出最大值．，【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，3），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+3=7．即目标函数z=2x+y的最大值为：7．故选：C．9．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】先求出焦点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，可得=2，结合c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点在直线l上，令y=0，可得x=﹣5，即焦点坐标为（﹣5，0），∴c=5，∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，∴=2，∵c2=a2+b2，∴a2=5，b2=20，∴双曲线的方程为﹣=1．故选：A．10．将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分.11．长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型解决，这里的区域平面图形的面积．欲求取到的点到O的距离大于1的概率，只须求出圆外的面积与矩形的面积之比即可．【解答】解：根据几何概型得：取到的点到O的距离大于1的概率：==．故答案为：12．已知直线ax +by ﹣6=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0截得的弦长为2，则ab的最大值为．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由圆的方程得到圆的半径为，再由弦长为2得到直线过圆心，即得到a 与b满足的关系式，再利用基本不等式即可得到结论．【解答】解：圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0可化为（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=5，则圆心为（1，2），半径为，又由直线ax +by ﹣6=0（a ＞0，b ＞0）被圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0截得的弦长为2，则直线ax +by ﹣6=0（a ＞0，b ＞0）过圆心，即a +2b ﹣6=0，亦即a +2b=6，a ＞0，b ＞0，所以6=a +2b ≥2，当且仅当a=2b 时取等号，所以ab ≤，所以ab 的最大值为，故答案为：．13．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 15 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：左边是三棱柱、右边是三棱锥， 三棱柱底面是侧视图：等腰直角三角形，两条直角边是3，三棱柱的高是3； 三棱锥的底面也是侧视图，高是1，所以几何体的体积是V==15，故答案为：15．14．已知函数f（x）=，若存在x1，x2∈R，当0≤x1＜4≤x2≤12时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的最大值是．【考点】分段函数的应用．【分析】由题意作函数f（x）=的图象，从而可得1≤x1≤3，x1f（x2）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，则g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），从而判断函数的单调性及最值，从而求得．【解答】解：由题意作函数f（x）=的图象如下，，结合图象可知，3≤﹣+4x1≤4，解得，1≤x1≤3，故x1f（x2）=x1f（x1）=x1（﹣+4x1）=﹣x13+4，记g（x1）=﹣x13+4，g′（x1）=﹣3+8x1=﹣3x1（3x1﹣8），故g（x1）在[1，]上是增函数，在（，3]上是减函数，故x1f（x2）的最大值是g（）=，故答案为：．15．给出下列命题：①某地2019年各月的平均气温（℃）数据的茎叶图如图，则这组数据的中位数为20；②函数f（x﹣1）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则f（2）＞f（log2）＞f[（）2]③已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，则l1⊥l2的充要条件是=﹣3，其中正确命题的序号是①②（把你认为正确的序号都填上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据中位数的定义进行求解判断，②根据函数奇偶性和单调性的关系进行转化判断．③根据直线垂直的等价条件进行判断．【解答】解：①这组数据的中间两个数为20，20，则中位数为20；故①正确，②函数f（x﹣1）是偶函数，则函数f（x﹣1）关于x=0对称，则函数f（x）关于x=﹣1对称，则f（log2）=f（﹣3）=f（1），0＜（）2＜1，2＞1，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（2）＞f（log2）＞f[（）2]，故②正确，③当b≠0时，两直线的斜率分别为，，若=﹣3，则•（）==﹣1，此时l1⊥l2，充分性成立．当a=0，b=0时，满足l1⊥l2成立，但=﹣3不成立，即必要性不成立，故=﹣3是l1⊥l2的充分不必要条件，故③错误，故答案为：①②．三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知a，b，c分别为△ABC三个内角的对边，且cosC+sinC=．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若a+c=5，b=7，求的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可求∠B的大小；（Ⅱ）由余弦定理可求|AB||BC|=42，利用平面向量数量积的运算即可得解．【解答】解：（I）在△ABC中，∵cosC+sinC=，∴cosC +sinC=，∴sinBcosC +sinBsinC=sin （B +C ），∴sinBcosC +sinBsinC=sinBcosC +cosBsinC ， ∴由于sinC ≠0，可得：sinB=cosB ， ∴tanB=， ∵B ∈（0，π）， ∴B=；（Ⅱ）∵B=，a +c=5，b=7，∴由余弦定理b 2=a 2+c 2﹣2accosB ，可得：49=a 2+c 2﹣ac=（a +c ）2﹣3ac=175﹣3ac ， 解得：ac=42，即|AB ||BC |=42， ∴=﹣|AB ||BC |cosB=﹣42×=﹣21．17．某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间（单位：分钟）进行调查，将收集到的数据分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六组，并作出频率分布直方图（如图）．将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概0.01“”2人参加24050【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据频率分布直方图，计算对应的数据，填写2×2列联表，计算观测值K2，对照数表得出结论；（2）根据分层抽样以及列举法求出对应的基本事件数，计算对应的概率值．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，得；“课外体育达标”的学生数为200×（0.020+0.005）×10=50，其中男生人数为30，女生人数为20，22计算观测值：K2==≈6.6061＜6.635，所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；（2）从课外体育达标学生中按分层抽样抽取5人，其中课外锻炼时间在[40，50）内有5×=4人，分别记为a、b、c、d，在[50，60）内有1人，记为E；从这5人中抽取2人，基本事件是ab、ac、ad、aE、bc、bd、bE、cd、cE、dE共10种，其中2人都在[40，50）内的基本事件是ab、ac、ad、bc、bd、cd共6种，故所求的概率为P==0.6．18．已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．【分析】（1）通过设正项等差数列{a n}的公差为d，并利用首项和公差d表示出a2、a6，通过a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列构造方程，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知=，利用等比数列的求和公式计算可知P n=1﹣，通过裂项可知=﹣，进而并项相加即得结论．【解答】（1）解：设正项等差数列{a n}的公差为d，则d≥0，依题意，a2=2+d，a6=2+5d，∵a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列，∴（6+2d）2=（2+3）（10+5d），整理得：36+24d+4d2=50+25d，即4d2﹣d﹣14=0，解得：d=2或d=﹣（舍），∴数列{a n}的通项公式a n=2n；（2）证明：由（1）可知==，由等比数列的求和公式可知P n=+++…+==1﹣，∵==﹣，∴Q n=+++…+=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，显然，当n≥1时≥，故P n≥Q n．19．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，M分别为CC1，A1B的中点，A1D⊥CC1，△AA1B 是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．（1）证明：MD∥平面ABC；（2）证明：BC⊥平面ABB1A1．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）取AB的中点H，连接HM，CH，根据线面平行的判定定理即可证明MD∥平面ABC；（2）根据三角形的边长关系证明三角形是直角三角形，然后结合线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面ABB1A1．【解答】证明：（1）取AB的中点H，连接HM，CH，∵D、M分别为CC1和A1B的中点，∴HM∥BB1，HM=BB1=CD，∴HM∥CD，HM=CD，则四边形CDMH是平行四边形，则CH=DM．∵CH⊂平面ABC，DM⊄平面ABC，∴MD∥平面ABC；（2）取BB1的中点E，∵△AA1B是边长为2的正三角形，A1D=2，BC=1．∴C1D=1，∵A1D⊥CC1，∴A1C1==，则A1B12+A1B12=4+1=5=A1C12，则△A1B1C1是直角三角形，则B1C1⊥A1B1，∵在正三角形BA1B1中，A1E=，∴A1E2+DE2=3+1=4=A1D12，则△A1DE是直角三角形，则DE⊥A1E，即BC⊥A1E，BC⊥A1B1，∵A1E∩A1B1=A1，∴BC⊥平面ABB1A1．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，F1，F2分别为椭圆的上、下焦点，过点F2作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，若△ABF1的周长为4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）P是y轴上一点，以PA，PB为邻边作平行四边形PAQB，若点P的坐标为（0，﹣2），求平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．【分析】（1）由△ABF1的周长为4，离心率为，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设直线l的方程为y=kx﹣1，代入椭圆方程，得（2+k2）x2﹣2kx﹣1=0，由此利用韦达定理、弦长公式、换元法，结合已知条件能求出平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABF1的周长为4，∴4a=4，解得a=，又e==，∴c=1，∴b==1，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点E（x0，y0），当直线斜率不存在时不成立，∴设直线l的方程为y=kx﹣1，①将①代入椭圆方程=1，整理得：（2+k2）x2﹣2kx﹣1=0，∴，，，，|PE|===，令t=2+k2，则t∈[2，+∞），∴∈（0，]，∴|PE|====∈[1，2）．∴平行四边形PAQB对角线PQ的长度的取值范围是[1，2）．21．已知函数f（x）=x2+mlnx+x（1）求f（x）的单调区间；（2）令g（x）=f（x）﹣x2，试问过点P（1，3）存在多少条直线与曲线y=g（x）相切？并说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论m的范围，解关于导函数的不等式，从而得到函数的单调区间；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），求出切线斜率K，求出切线方程，切线过点P（1，3），推出关系式，构造函数g（x）（x＞0），求出导函数，通过讨论①当m＜0时，判断g（x）单调性，说明方程g（x）=0无解，切线的条数为0，②当m＞0时，类比求解，推出当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线，③当m=0时，f（x）=x，说明不存在过点P（1，3）的切线．【解答】解：（1）f（x）=x2+mlnx+x，（x＞0），f′（x）=x++1==，①m≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）递增，②m＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（2）设切点为（x0，x0+mlnx0），则切线斜率k=1+，切线方程为y﹣（x0+alnx0）=（1+）（x﹣x0）．因为切线过点P（1，3），则3﹣（x0+alnx0）=（1+）（1﹣x0）．即m（lnx0+﹣1）﹣2=0．…①令g（x）=m（lnx+﹣1）﹣2（x＞0），则g′（x）=m（﹣）=，①当m＜0时，在区间（0，1）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增；在区间（1，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以函数g（x）的最大值为g（1）=﹣2＜0．故方程g（x）=0无解，即不存在x0满足①式．因此当m＜0时，切线的条数为0．②当m＞0时，在区间（0，1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以函数g（x）的最小值为g（1）=﹣2＜0．取x1=e1+＞e，则g（x1）=a（1++e﹣1﹣﹣1）﹣2=ae﹣1﹣＞0．故g（x）在（1，+∞）上存在唯一零点．取x2=e﹣1﹣＜，则g（x2）=m（﹣1﹣+e1+﹣1）﹣2=me1+﹣2m﹣4=m[e1+﹣2（1+）]．设t=1+（t＞1），u（t）=e t﹣2t，则u′（t）=e t﹣2．当t＞1时，u′（t）=e t﹣2＞e﹣2＞0恒成立．所以u（t）在（1，+∞）单调递增，u（t）＞u（1）=e﹣2＞0恒成立，所以g（x2）＞0．故g（x）在（0，1）上存在唯一零点．因此当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线．③当m=0时，f（x）=x，显然不存在过点P（1，3）的切线．综上所述，当m＞0时，过点P（1，3）存在两条切线；当m≤0时，不存在过点P（1，3）的切线．2019年9月19日。
山东省泰安市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷含解析
山东省泰安市2019-2020学年高考数学二月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知点()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2f x bx =的函数图像上的任意两点，且()y f x =在点1212,22x x x x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB 平行，则( ) A ．0a =，b 为任意非零实数 B ．0b =，a 为任意非零实数 C ．a 、b 均为任意实数 D ．不存在满足条件的实数a ，b【答案】A 【解析】 【分析】求得()f x 的导函数，结合两点斜率公式和两直线平行的条件：斜率相等，化简可得0a =，b 为任意非零实数. 【详解】 依题意()'2fx bx =+，()y f x =在点1212,22x xx x f ⎛++⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与直线AB平行，即有()1221b x x +=()1221ab x x x x =++-=，由于对任意12,x x 上式都成立，可得0a =，b 为非零实数.故选：A 【点睛】本题考查导数的运用，求切线的斜率，考查两点的斜率公式，以及化简运算能力，属于中档题． 2．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3 B．5CD 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数的模的求法的运算法则求解即可. 【详解】() 125i z i -=（i 是虚数单位）可得()125i z i -= 解得5z = 本题正确选项：D 【点睛】本题考查复数的模的运算法则的应用，复数的模的求法，考查计算能力.3．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =，所以73173a a d -==-，1320a a d =-=， 故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.4．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AB AA =，E F ，分别为AB BC ，的中点，异面直线1AB 与1C F 所成角的余弦值为m ，则( )A ．直线1A E 与直线1C F 异面，且23m =B ．直线1A E 与直线1C F 共面，且23m =C ．直线1A E 与直线1C F 异面，且33m =D ．直线1AE 与直线1CF 共面，且33m = 【答案】B 【解析】 【分析】连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正四棱柱的特征可知11EF AC P ，再由平面的基本性质可知，直线1A E 与直线1C F 共面.，同理易得11AB C D P ，由异面直线所成的角的定义可知，异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠，然后再利用余弦定理求解. 【详解】 如图所示：连接EF ，11A C ，1C D ，DF ，由正方体的特征得11EF AC P ， 所以直线1A E 与直线1C F 共面. 由正四棱柱的特征得11AB C D P ，所以异面直线1AB 与1C F 所成角为1DC F ∠.设12AA =AB =122=，则5DF =，13C F =16C D 由余弦定理，得1cos m DC F =∠=2236=⨯⨯. 故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线的定义及所成的角和平面的基本性质，还考查了推理论证和运算求解的能力，属于中档题.5．已知椭圆2222:19x y C a a+=+，直线1:30l mx y m ++=与直线2:30l x my --=相交于点P ，且P 点在椭圆内恒成立，则椭圆C 的离心率取值范围为（ ）A ．0,2⎛ ⎝⎭B ．,02⎛⎫⎪⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】先求得椭圆焦点坐标，判断出直线12,l l 过椭圆的焦点.然后判断出12l l ⊥，判断出P 点的轨迹方程，根据P 恒在椭圆内列不等式，化简后求得离心率e 的取值范围. 【详解】设()()12,0,,0F c F c -是椭圆的焦点，所以22299,3c a a c =+-==.直线1l 过点()13,0F -，直线2l 过点()23,0F ，由于()110m m ⨯+⨯-=，所以12l l ⊥，所以P 点的轨迹是以12,F F 为直径的圆229x y +=.由于P 点在椭圆内恒成立，所以椭圆的短轴大于3，即2239a >=，所以2918a +>，所以双曲线的离心率22910,92e a ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，所以0,2e ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭∈. 故选：A 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，考查动点轨迹的判断，考查椭圆离心率的取值范围的求法，属于中档题.6．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求出4a 的值，然后利用等差数列求和公式以及等差中项的性质可求出7S 的值. 【详解】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列基本性质的应用，同时也考查了等差数列求和，考查计算能力，属于基础题.7．设递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知4403S =，43231030a a a -+=，则4a =（ ） A ．9 B ．27C ．81D ．83【答案】A 【解析】 【分析】根据两个已知条件求出数列的公比和首项，即得4a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q.由43231030a a a -+=，得231030q q -+=，解得3q =或13q =. 因为40S >.且数列{}n a 递增，所以3q =. 又()4141340133a S -==-，解得113a =，故341393a =⨯=. 故选：A 【点睛】本题主要考查等比数列的通项和求和公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．已知()f x 为定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，()2xf x x m =++（m 为实数），则关于x 的不等式()212f x -<-<的解集是（ ） A ．()0,2 B ．()2,2-C ．()1,1-D ．()1,3【答案】A 【解析】 【分析】先根据奇函数求出m 的值，然后结合单调性求解不等式. 【详解】据题意，得()010f m =+=，得1m =-，所以当0x ≥时，()21xf x x =+-.分析知，函数()f x 在R上为增函数.又()12f =，所以()12f -=-.又()212f x -<-<，所以111x -<-<，所以02x <<，故选A. 【点睛】本题主要考查函数的性质应用，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.9．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]0x =， 当12x ≤＜时，[]1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =， 当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点， 要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间，即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 10．在空间直角坐标系O xyz -中，四面体OABC 各顶点坐标分别为：22(0,0,0),(0,0,2),3,0,0,0,3,033O A B C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．假设蚂蚁窝在O 点，一只蚂蚁从O 点出发，需要在AB ，AC 上分别任意选择一点留下信息，然后再返回O 点．那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（ ） A ．22 B ．1121-C ．521+D ．23【答案】C 【解析】 【分析】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后最短路径就是AOO '△的边OO '，在AOO '△中，利用余弦定理即可求解. 【详解】将四面体OABC 沿着OA 劈开，展开后如下图所示：最短路径就是AOO '△的边OO '． 易求得30OAB O AC '∠=∠=︒，由2AO =，OB =AB =AC =，BC ==222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-⇒∠=⋅1616833334442+-== 由余弦定理知2222cos OO AO AO AO AO OAO ''''=+-⋅⋅∠ 其中2AO AO '==，()3cos cos 608OAO BAC -'∠=︒+∠=∴25OO OO ''=⇒= 故选：C 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B I ð等于（ ） A ．(1,2) B ．(2,3] C ．(1,3) D ．(2,3)【答案】A 【解析】 【分析】先算出集合U A ð，再与集合B 求交集即可. 【详解】因为{|3A x x =≥或1}x ≤.所以{|13}U A x x =<<ð，又因为{}|24{|2}xB x x x =<=<. 所以(){|12}U A B x x ⋂=<<ð. 故选：A. 【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题.12．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线()220y px p =>上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =,则直线OM 的斜率的最大值为( )A．3B ．23C．2D ．1【答案】C 【解析】试题分析：设200,)2y P y p （，由题意(,0)2p F ，显然00y <时不符合题意，故00y >，则 2001112()(,)3333633y y p OM OF FM OF FP OF OP OF OP OF p =+=+=+-=+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，可得：2000232263OM y k y p y p p y p ==≤=++，当且仅当22002,y p y ==时取等号，故选C ． 考点：1．抛物线的简单几何性质；2．均值不等式．【方法点晴】本题主要考查的是向量在解析几何中的应用及抛物线标准方程方程，均值不等式的灵活运用，属于中档题．解题时一定要注意分析条件，根据条件2PM MF =，利用向量的运算可知200(,)633y y p M p +，写出直线的斜率，注意均值不等式的使用，特别是要分析等号是否成立，否则易出问题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省泰安市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷
山东省泰安市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题若抛物线的焦点为F，点A、B在抛物线上，且，弦AB的中点M在准线l上的射影为，则的最大值为（）A．B．C．D．第(2)题复数(其中为虚数单位)，则的虚部为（）A．5B．6C．7D．第(3)题若函数的反函数为，则函数与的图象可能是 A．B．C．D．第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题设，是非零向量，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（）A．B．C．D．第(7)题已知，则（）A．B．C．1D．第(8)题若点满足不等式，且点构成的集合为，则下列命题中：：，；：当时，的最大值为9；：，，其中真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题下列说法正确的是（）A．若随机变量服从正态分布，且，则B．一组数据的第60百分位数为14C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强D．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是－4第(2)题在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和连线的斜率之积等于，记点P的轨迹为曲线E，则（）A．E的方程为B．E的离心率为C．E的渐近线与圆相切D．过点作曲线E的切线仅有2条第(3)题某人参加国际互联网大会，可从互联网与云计算、互联网与信息服务、互联网与金融服务、互联网与竞技体育四个分会中随机选择分会参加．已知该参会者参加互联网与云计算分会的概率为，参加另外三个分会的概率都是，参加每个分会相互独立，用随机变量X表示该参会者参加分会的个数，则下列说法中正确的是（）A．参会者至多参加一个分会的概率为B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2019年山东省泰安市高三第二轮复习质量检测(二模)数学(文)试卷(含答案)
15．已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时，
f x ex x 1 ，给出下列命题：
①当 x 0时， f x e x x 1 ；②函数 f x 有两个零点；
▲. ③
f x <0 的解集为 (－∞，－ 1)∪ (0， 1)；④ x1, x2 R ，都有 f x1 f x2
。其中正确的命
A ． - 1 ,5 6
B ． 1,5
C． 1 ,5 4
D ． [0， 5]
x0 y0 x y1 34
10 ． 已 知 双 曲 线
y2 x2 : 2 2 1 a 0, b 0 的 上 焦 点 为 F1 0,c c 0 ， 下 焦 点 为
ab
F2 0,-c c 0 ，过点 F1 作圆 x2
y2
2c y
1 ，则 cos 2x 2
3
3
sin 2
x 的值为
3
1
A．
9
1
B．
9
5
C．
3
7．下列选项中，说法正确的是
5
D．
3
A ．若 a>b>0，则 log 1 a log 1 b
2
2
r
r
B ．向量 a 1, m , b m,2 m 1 m R 共线的充要条件是 m=0
C．命题“ n N ,3n
n
2
g2n
1
”的否定是“
19． (本小题满分 12 分 )
已知数列 an 的首项为 1， Sn 为数列 an 的前 n 项和，且满足 Sn 1 qSn 1 ，其中 q> 0， n ∈ N，又 2a2， a3， a2+2 成等差数列．
(I) 求数列 an 的通项公式；
2025届山东省泰安市宁阳县第一中学高三第二次模拟考试数学试卷含解析
2025届山东省泰安市宁阳县第一中学高三第二次模拟考试数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数()sin x y x-=（[),0x π∈-或(]0,x π∈）的图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．3．设()f x x =，点()00O ，，()01A ，，()()n A n f n ，，*n N ∈，设n n AOA θ∠=对一切*n N ∈都有不等式22223122222sin sin sin sin 123n nθθθθ+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ 222t t <--成立，则正整数t 的最小值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．64．如图所示，直三棱柱的高为4，底面边长分别是5，12，13，当球与上底面三条棱都相切时球心到下底面距离为8，则球的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．5．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-6．己知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点,M N 分别在抛物线C 上，且30MF NF +=，直线MN 交l 于点P ，NN l '⊥，垂足为N '，若MN P '∆的面积为243，则F 到l 的距离为（ ） A ．12B ．10C ．8D ．67．记n S 为数列{}n a 的前n 项和数列{}n a 对任意的*,p q ∈N 满足13p q p q a a a +=++.若37a =-，则当n S 取最小值时，n 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP 中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（ ）A ．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B ．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP 比例持续7年保持在4%以上C ．从2010年至2018年，中国GDP 的总值最少增加60万亿D ．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年 9．若集合{|2020}A x N x =∈=，22a = ）A ．{}a A ⊆B ．a A ⊆C ．{}a A ∈D ．a A ∉10．斜率为1的直线l 与椭圆22x y 14+=相交于A 、B 两点，则AB 的最大值为( )A ．2B C D 11．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （k ＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆2222x y a b+=1（a ＞b ＞0），A ，B 为椭圆的长轴端点，C ，D 为椭圆的短轴端点，动点M 满足MA MB=2，△MAB 面积的最大值为8，△MCD 面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）A B C D 12．已知12,F F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于,A B 两点，若AB =2ABF ∆的内切圆半径为（ ）A ．3B C D 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届山东省泰安市高考二模数学试题(解析版)
试卷类型：A2024届山东省泰安市高三二模数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ）A. 0.14B. 0.36C. 0.72D. 0.86【答案】A 【解析】【分析】根据正态曲线的性质直接求解即可.【详解】由题意知，，所以，则，所以.故选：A 2. 若复数满足，则（ ）A.B. 2C.D. 1【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算可得，则，结合复数的几何意义即可求解.【详解】由，得，所以，故.故选：CX ()22,Nσ()1.520.36P x ≤<=()2.5P x >(1.52)0.36P x ≤<=(2 2.5)0.36P x ≤<=(1.5 2.5)0.360.360.72P x ≤<=+=1(1.5 2.5)( 2.5)0.142P x P x -≤<>==z 1ii z-=z =1i z =--1i z =-+1i i z -=21i (1i)i1i i iz --===--1i z =-+z ==3. 设等比数列的前项和为，若，则公比为（ ）A. 1或5 B. 5C. 1或D. 5或【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及前n 项和公式，采用基本量思想进行计算即可.【详解】由得，，所以，即，所以，所以或 .故选：D.4. 已知函数且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】根据函数解析式，当时m 无解，当时解得，即可求解.【详解】由题意知，当时，，得，又，所以方程无解；当时，，得，即，解得，所以.故选：D5. 已知双曲线，则“”是“双曲线的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】{}n a n n S 32156S a a =+q 5-1-32112356S a a a a a =+=++21345a a a +=211145a q a a q +=2450q q --=(5)(1)0q q -+=5q =1q =-()()11228,14log 1,1x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨+>⎪⎩()12f m =-()6f m -=1-3-5-7-1m £1m >7m =1m £1()2812m f m +=-=-124m +=-120m +>1m >12()4log (1)12f m m =+=-12log (1)3m +=-18m +=7m =11(6)(1)287f m f -+-=-=-=-22:12x y C m m -=+2m =C【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得的取值范围为，再根据包含关系分析充分、必要条件.【详解】若双曲线当双曲线的焦点在x 轴上，则，解得，，解得；当双曲线的焦点在y 轴上，则，解得，，解得；综上所述：的取值范围为.显然是的真子集，所以“”是“双曲线充分不必要条件.故选：A.6. 已知函数，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）A. B. 在上单调递增C. 的图象关于点中心对称 D. 在上的值域为【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选项即可.【详解】A ：将的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数，故A 错误；m {}4,2-C C 22020a m b m ⎧=>⎨=+>⎩0m >=2m =C()2220a mb m ⎧=-+>⎨=->⎩2m <-=4m =-m {}4,2-{}2{}4,2-2m =C ()πsin 4f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()f x ()g x ()π2sin 24x g x ⎛⎫=-⎪⎝⎭()g x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()g x π,08⎛⎫⎪⎝⎭()g x π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎡⎣π()2sin(2)4g x x =-()f x π()2sin(2)4g x x =-B ：由选项A 可知，由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B 错误；C ：由选项A 可知，则，所以函数图象关于点中心对称，故C 正确；D ：由选项A 可知，由，得，所以，则，即值域为，故D 错误.故选：C7. 设抛物线的焦点为，过抛物线上点作准线的垂线，设垂足为，若，则（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得，结合正切定义以及可得，进一步即可求解.【详解】如图所示：设 为准线与轴的交点，因为，且，所以，因为，所以，而在中，，的π()2sin(2)4g x x =-π02x <<π3π2444πx -<-<()g x ππ(,)42-π3π(,)24π()2sin(2)4g x x =-πππ(2sin(2)2sin 00884g =⨯-==()g x π(,0)8π()2sin(2)4g x x =-π3π44x ≤≤ππ5π2444x ≤-≤πsin(2)14x ≤-≤()2g x ≤≤()g x [2]24x y =F P Q 30PQF ∠=︒PQ =4330PQF ∠=︒2FM =QF M x 30PQF ∠=︒PF PQ =30,120PFQ QPF ∠=︒∠=︒//FM PQ 30QFM ∠= Rt QMF V cos30FM QF ===所以.故选：A.8.已知四面体的各顶点都在同一球面上，若平面，则该球的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为，证明为矩形，然后求出，，由勾股定理可得外接球半径，再由球的表面积公式可得.【详解】记球心为，的外接圆圆心为，的外接圆圆心为，的中点为.因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由球的性质可知，平面，所以，同理，所以四边形为矩形，因为，所以，，所以所以外接球的表面积为.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符4cos3023QF PF PQ ==÷== ABCD AB BC CD DA BD =====ABD ⊥BCD 40π80π100π160πO BCD △1O ABD △2O BD E 12OO EO 122O E O E ==14O C =O BCD △1O ABD △2O BD E AB AD =AE BD ⊥ABD ⊥BCD ABD ⋂BCD BD =AE ⊂ABD ⊥AE BCD 1OO ⊥BCD 1//OO AE 2//OO CE 12OO EO 6AE CE ===122O E O E ==14O C =OC ==(24π80π⨯=合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知等差数列的前项和为，，，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 为递减数列D. 的前5项和为【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出公差，再逐项求解判断即可.【详解】等差数列中，，解得，而，因此公差，通项，对于A ，，A 错误；对于B ，，B 正确；对于C ，，为递减数列，C 正确；对于D ，，所以的前5项和为，D 错误.故选：BC10. 已知圆锥的顶点为，为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则下列说法正确的是（ ）A. 圆锥的高为1B. 圆锥的体积为C.D. 二面角的大小为【答案】ACD 【解析】【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A 选项；利用圆锥的体积公式可判断B 选项；利用扇形的弧长公式可判断C 选项；利用二面角的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则，所以与圆锥底面所成的角为，{}n a n n S 24a =742S =54a =21522n S n n =+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭11{}n n a a +421d {}n a 17747()7422a a S a +===46a =24a =42142a a d -==-2(2)2n a a n d n =+-=+57a =2(32)15222n n n S n n ++==+21n a n n =+{}n a n11111(2)(3)23n n a a n n n n +==-++++11{}n n a a +1111111153445783824-+-++-=-= S O SA SB SAB △SA 30︒3πS AB O --45︒SO SO OA SO OA ⊥SA 30SAO ︒∠=又，所以的面积为，解得，所以该圆锥的高为，故A 正确；对于B 选项，该圆锥的底面半径为，故该圆锥的体积为，故B 错误；对于C 选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为，底面圆周长为，则，故C 正确；对于D 选项，取的中点，连接，因为，为的中点，则，由垂径定理可得，所以二面角的平面角为，因为平面，平面，则，因为，，则为等腰直角三角形，则，所以所以，，因为，故，即二面角的大小为，故D 正确.故选：ACD.11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）A. ，直线与相切B. ，C. 恰有2个零点SA SB ⊥SAB △211222SA SB SA ⋅=⨯=2SA =1sin 30212SO SA ︒=⋅=⨯=cos302OA SA ︒=⋅==2211ππ1π33V OA SO =⨯⨯=⨯⨯=θ2πAO ⨯=θ===AB E ,OE SE SA SB =E AB SE AB ⊥OE AB ⊥S AB O --SEO ∠SO ⊥OAE OE ⊂AOE SO OE ⊥SA SB ⊥SA SB =SAB △AB ===12SE AB ==sin SO SEO SE ∠===090SEO ≤∠≤ 45SEO ︒∠=S AB O --45︒()1ln 1f x x x x=--+m ∃∈R y x m =-+()f x *n ∃∈N ()1f n >()f xD. 若且，则【答案】ACD 【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性并作出图形，结合导数的几何意义即可判断A ；根据函数的单调性和，即可判断B ；根据函数的单调性和零点的存在性定理即可判断C ；当、时，分别解方程，即可判断D.【详解】由题意知，的定义域为，，则，对于方程，，所以在上恒成立，故在、上单调递减，作出直线和函数的图象，如图，A ：由图可知，当时，，则，，所以曲线在点处的切线方程为，此时使得直线与相切，故A 正确；B ：当时，，函数在上单调递减，且，则存在使得，当时，且，当时，，所以，使得，故B 错误；120x x >()()122f x f x +=121=x x ()f x (1)1f =120,0x x >>120,0x x <<12121212(1)()ln()x x x x x x x x -+=()f x {}0x x ≠1ln 1,0()1ln()1,0x x x xf x x x x x⎧--+>⎪⎪=⎨⎪---+<⎪⎩22221,0()1,0x x x xf x x x x x ⎧++->⎪⎪=⎨++⎪-<⎩'⎪210x x ++=30∆=-<()0f x '<{}0x x ≠()f x (,0)-∞(0,)+∞y x =-()f x 0x <1()ln()1f x x x x=---+()11f -=(1)1f '-=-()y f x =(1,1)-y x =-0m ∃=y x =-()f x 0x >1()ln 1f x x x x=--+()f x (0,)+∞1(1)10,(2)ln 202f f =>=--<0(1,2)x ∈0()0f x =()00,x x ∈()0f x >(1)1f =()0,x x ∞∈+()0f x <*n ∃∈N ()1f n ≥C ：由选项B 的分析知，函数在上有且仅有1个零点；当时，，在上单调递减，又，，由零点的存在性定理知，函数在上有且仅有1个零点，所以恰有2个零点，故C 正确；D ：若，则，，得，解得；若，则，，得，解得，综上，若且，则，故D 正确故选：ACD【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析，结合零点单调存在性定理求解即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 设集合，集合，则___________.【答案】【解析】分析】求解一元二次不等式得集合，再进行并集运算.【详解】根据题意，，或，则，或.故答案为：13. 已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为___________.【答案】【解析】【分析】分别求出两位同学从4个不同的项目中各选2项、两位同学所选的项目恰有1项相同的选法，结合古典概型的概率公式计算即可求解..【()f x (0,)+∞0x <1()ln()1f x x x x=---+()f x (,0)-∞11(2e 0e ef -=+-<(1)10f -=>()f x (,0)-∞()f x 120,0x x >>120x x +>1211221211()()ln 1ln 12f x f x x x x x x x+=--++--+=12121212(1)()ln()x x x x x x x x -+=121=x x 120,0x x <<120x x +<1211221211()()ln()1ln()12f x f x x x x x x x +=---++---+=12121212(1)()ln()x x x x x x x x -+=121=x x 120x x >12()()2f x f x +=121=x x {}2|60A x x x =--≥{}|04B x x =<<A B ⋃=(](),20,∞∞--⋃+A {}{2|60|2A x x x x x =--≥=≤-}3x ≥{|2A B x x ⋃=≤-}0x >(](),20,-∞-+∞ 23【详解】甲乙两位同学从4个不同的项目中各选2项，共有种选法，甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同，共有种选法，所以甲乙两位同学所选的项目恰有1项相同的概率为.故答案为：.14. 已知在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，则的最大值为___________；若，则的最大值为__________.【答案】 ①.②. 3【解析】【分析】建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点的坐标为，即可根据向量的坐标运算求解数量积，利用三角函数的性质求解最值，由，求出，根据三角函数的性质即可求出最值．【详解】如图：以为原点，以所在的直线为,轴建立如图所示的坐标系，则，，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上，设圆的半径为，，，，，圆的方程为，2244C C 36=111432C C C 24=242363P ==23ABCD 1AB=AD =P CBD AP AD ⋅(),R AP mAB nAD m n =+∈m n +92Pθ+)θ(),R AP mAB nAD m n =+∈,m n B,BA BC y x (0,0)B ()0,1A D C )AD =P C BD r BC =1CD =2BD ∴==∴1122BC CD BD r ⋅=⋅r ∴=∴223(4x y +=设点的坐标为，则，，故的最大值为，，，，，，，，，故的最大值为3，故答案为：，3四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. “绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断.为提高学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年级每个学生通过测试的概率分别为，.（1）从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率.（2）若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为，则高一年级至少选派多少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.【答案】（1） （2）56【解析】【分析】（1）易知高二年级通过测试人数为服从求解； （2）由高二年级，结合标准差为求得人数，从而求得期望，再设高P θ+),[0,2π]θθ∈1AP θθ⎫=-⎪⎪⎭ 339cos 3,222AP AD θθ⎡⎤⋅=+=+∈-⎢⎥⎣⎦ AP AD ⋅ 92 (),R AP mAB nAD m n =+∈ ()0,1AB =-()))10,1,AP m n m θθ⎫∴=+-=-+=-⎪⎪⎭∴1cos 12n θ+=1m θ+=-1πcos 2cos()223m n θθθ∴+=+=++π1cos()13θ-≤+≤ 13m n ∴≤+≤m n +923523103473729X 26,3X B ⎛⎫⎪⎝⎭()2221339n D X n⎛⎫=-= ⎪⎝⎭103()E X一年级参加测试人数为，通过测试人数为，则，得到，然后由求解.【小问1详解】解：设高二年级参加测试人数为，通过测试人数为，则，由题意得，，，，；小问2详解】，，，，设高一年级参加测试人数为，通过测试人数为，则，易知，由题意，，即，得，∴高一年级至少派56人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.16. 已知函数，的内角，，所对的边分别为，，，且.（1）求；【m Y 3,5Y B m ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()35mE Y =()()E Y E X ≥n X 2,3X B n ⎛⎫~ ⎪⎝⎭6n =()()()4156P X P X P X ∴≤=-=-=516566621211C C 3333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭473729=()2221339nD X n ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭103==50n ∴=()1003E X ∴=m Y 3,5Y B m ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()35mE Y =()()E Y E X ≥310053m ≥50055599m ≥=()1πsin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ABC A B C a b c 2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭A（2）若，求的值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用特殊角的三角函数值求角；（2）法一，根据两角和差公式和正弦定理化简已知，可得，再结合余弦定理求解；法二：利用余弦定理化简已知得，再结合余弦定理求解.【小问1详解】，，，，；【小问2详解】，法一：，，，根据正弦定理得，由余弦定理得 ①将代入①式，得，，；法二：，，()()sin 1cos sin 2cos C B B C +=-cb2π3352c a b +=2c a b +=2A f ⎛⎫=⎪⎝⎭ 1πsin 23A ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭πsin 3A ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭0πA << ππ2π333A ∴-<-<ππ33A ∴-=2π3A ∴=()()sin 1cos sin 2cos CB BC +=-sin sin cos sin cos 2sin C C B B C B ++=()sin sin 2sin C B C B ∴++=sin sin 2sin C A B ∴+=2c a b +=2222cos a b c bc A =+-22b c bc =++2a b c =-2350b bc -=35b c ∴=35c b ∴=2222221222a c b a b c c b ac ab ⎛⎫⎛⎫+-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222222222a c b a b c c b a a+-+-∴+=-，由余弦定理得 ①将代入①式，得，，.17. 两个向量和的叉乘写作，叉乘运算结果是一个向量，其模为，方向与这两个向量所在平面垂直.若，，则.如图，已知在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，分别是，，，的中点.（1）证明：平面平面；（2）已知，为中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间右手直角坐标系.①求；②求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）①；②【解析】【分析】（1）根据中点关系可得线线平行，即可证明平面，平面，进而根据面面平行的判定求证，（2）根据长度关系，利用勾股定理可得平面，进而建立空间直角坐标系，利用法向量求解点面距，即可根据锥体体积公式求解.2c a b ∴+=2222cos a b c bc A =+-22b c bc =++2a b c =-2350b bc -=35b c ∴=35c b ∴=a ba b ⨯ sin ,a b a b a b ⨯= ()111,,a x y z = ()222,,b x y z =()()122112211221,,a b y z y z x z x z x y x y ⨯=----P ABCD -ABCD 90BAD ∠=︒12AB CD =2AD CD ==O E F G AD PD PC AC //BOE DFG PA PD ==PB =H PB O OAx DF DG ⨯H DFG -11,1,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭14//OE DFG //OB DFG AB ⊥PAD【小问1详解】证明：在中，，分别为，中点在中，，分别为，中点平面，平面平面连，， ,四边形为平行四边形,四边形为平行四边形平面，平面故平面平面，平面，且平面平面【小问2详解】，，，又，，，平面，，平面又平面，平面平面，为中点又平面平面平面以的方向为轴正方向，方向为轴正方向，方向为轴正方向，建立如图所示的空间右手APD △O E AD PD OE AP∴ APC △F G PC AC FG AP ∴ OE FG∴∥FG ⊂ DFG OE ⊄DFG//OE ∴DFGBG OG 11,22OG CD AB CD ==OG AB∴=∴AOGB BG AO ∴= BG OD∴=∴ODGB OB DG∴ DG ⊂ DFG OB ⊄DFG//OB DFGOE ⊂ BOE OB ⊂BOE OE OB O= ∴//BOE DFGPA = PB =1AB =222PB PA AB ∴=+PA AB ∴⊥90BAD ∠=︒AB AD ∴⊥AD AP ⊂PAD AD AP A = AB ∴⊥PADAB ⊂ABCD ∴PAD ⊥ABCDPA PD = O AD PO AD∴⊥ABCD ⋂PAD AD=PO ∴⊥ABCD∴OA x OGy OP z直角坐标系，则，，，，，法一：是平面的法向量法二：设是平面的法向量，则，即取，则，到平面的距离三棱锥的体积18. 已知函数.()1,0,0D-1,1,12F⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,1,0G11,,122H⎛⎫⎪⎝⎭1,1,12DF⎛⎫∴= ⎪⎝⎭()1,1,0DG=11,1,2DF DG⎛⎫∴⨯=--⎪⎝⎭113sin224 DFGS DF DG FDG DF DG∴=∠=⨯==11,1,2n DF DG⎛⎫=⨯=--⎪⎝⎭DFG(),,n x y z=DFGn DFn DG⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩12x y zx y⎧++=⎪⎨⎪+=⎩2x==2y-1z=()2,2,1n∴=-31,,122DH⎛⎫= ⎪⎝⎭H∴DFG1DH ndn⋅==∴H DFG-1134H DFG DFGV S d-==()()21e02xf x x ax ax a=-->（1）若的极大值为，求的值；（2）当时，若使得，求的取值范围.【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）根据题意，求得，令，解得或，分类讨论，求得函数单调性和极大值，即可求解；（2）当时，由（1）得到单调性，分别求得和，结合题意，分类讨论，列出不等式，即可求解.【小问1详解】解：因为函数，可得，因为，令，解得或，当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增所以的极大值为，不符合题意；当时，即时，，在上单调递增，无极大值；当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以极大值为，符合题意.所以.小问2详解】解：当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，【()f x 11e-a 1e>a (]12[1,),,0x x ∀∈+∞∃∈-∞()()120f x f x +=a 11(,e ]e e-()(1)(e )xf x x a =-'+()0f x '==1x -ln x a =()f x 1e >a ()f x ()1(,max ,0]2e a f x ∞⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭()21[(ln ),)2f x a a ∞∈-+()()21e 02xf x x ax ax a =-->()(1)(e )x f x x a =-'+0a >()0f x '==1x -ln x a =ln 1a <-10ea <<()f x (),ln a ∞-()ln ,1a -()1,∞-+()f x ()2211ln ln (ln )ln (ln )022f a a a a a a a a a =--=-<ln 1a =-1ea =()0f x '≥()f x R ln 1a >-1e>a ()f x (),1∞--()1,ln a -()ln ,a ∞+()f x ()11112e ea f -=-=-2a =1e>a ()f x (),1∞--()1,ln a -()ln ,a ∞+x →-∞()f x ∞→-x →+∞()f x ∞→+当时，即时，当时，单调递增，，又因为当时，，因为，所以，当时，使得，当时，即时，当时，单调递增，，当时，若满足题意，只需，即，当时，即时，当时，在上单调递减，上单调递增所以函数的最小值为，所以，又因为时，，若满足题意，只需，即，因为，所以，所以，当时，不存在使得，综上，实数的取值范围为.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．19. 已知椭圆的左焦点为，上下顶点分别为，，离心率为，点ln 0≤a 1e1a <≤[)1,x ∞∈+()f x ()3[e ,)2f x a ∞∈-+(],0x ∈-∞()1(,max ,0]2e a f x ∞⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭3e 02a ->1e1a <≤(]2,0x ∞∃∈-()()120f x f x +=0ln 1a <≤1e a <≤[)1,x ∞∈+()f x ()3[e ,)2f x a ∞∈-+],(0x ∈-∞()1(,]2ea f x ∞∈--31e 22e a a -≤-11e ea <≤-ln 1a >e a >[)1,x ∞∈+()f x ()1,ln a ()ln ,a ∞+()f x ()2min 1(ln )(ln )2f x f a a a ==-()21[(ln ),)2f x a a ∞∈-+(],0x ∈-∞()1(,]2ea f x ∞∈--211(ln )22e a a a ≤-211[1(ln )]2ea a -≥e a >21(ln )0a -<e a >(]2,0x ∞∈-()()120f x f x +=a 11(,e e e-()2222:10x y G a b a b+=>>F A B e是轴正半轴上一点，当与右焦点重合时，原点到直线的距离为，当与右顶点重合时，直线的斜率也为.（1）求椭圆的方程；（2）设点（与不重合）是点关于直线的对称点，直线与椭圆交于，两点，直线与交于点，证明：为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等面积法可得，利用斜率公式可得，即可求解椭圆方程，（2）根据对称可得，进而联立直线与椭圆方程得韦达定理，根据点斜式求解，的方程，得到，平方代入韦达定理化简得，即可结合点点距离求解.【小问1详解】当与右焦点重合时，,原点到直线距离为,，,当与右顶点重合时，直线的斜率，,.椭圆的方程为【小问2详解】证明：为点关于直线的对称点，且不与重合，（且）,，(),0M m x M O BM e M BM e G P A M y x =PF G C D AC BD N 222OP ON PN +-2212x y +=1b =1c =()0,P m AC BD ()()12211111y x y y y x --=++1111y t y t --=++M BM a = O BM e ae bc ∴=1b ∴=M BM 1BMb ck e a a a====1c ∴=22a ∴=∴G 2212x y +=P M y x =A ()0,P m ∴0m >1m ≠()1,0F -设方程为，，即，，得，设，，显然，，则，，直线方程为，直线方程为，两式相除得：①式，①式平方得：，将，代入可得，，与同号，，由①式知与异号，，，即点纵坐标为，设，，为定值.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或者定值的求解策略：PF 1x ty =-1t m=1mt =22112x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()222210t y ty +--=()11,C x y ()22,D x y 11y <21y <12222ty y t +=+12212y y t -=+∴AC 1111y y x x --=BD 2211y y x x ++=()()12211111y x y y y x --=++()()()()()()()()()()()()2222212121212122222211212212111111111111111y y y x y y y y y y y y y y y y y y y x y y ------++⎛⎫-====⎪++++++++-⎝⎭12222t y y t +=+12212y y t -=+221111y t y t ⎛⎫--⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()()()()221212121222212111111221t t t t x x ty ty t y y t y y t t t -+-+=--=-++==+++ ()()2221112t t t t +-=⋅++12x x ∴11tt -+12101y y -<+ ∴11y y -+21x x 1111y t y t --∴=++y t ∴=N t ()0,N x t ()()222222220022OP ON PN m x t x t m mt ∴+-=++-+-==222OP ON PN ∴+-（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.。
山东省泰安市2024年数学(高考)部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷
山东省泰安市2024年数学（高考）部编版第二次模拟(综合卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形第(2)题《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看作一个平面，墙外的道路、秋千绳、秋千板看作是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中，下列说法错误的是（）A ．秋千绳与墙面始终平行B ．秋千绳与道路始终垂直C ．秋千板与墙面始终垂直D ．秋千板与道路始终垂直第(3)题某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派往一辆车，则不同派法的种数为（ ）A ．20B ．15C ．12D ．10第(4)题在△ABC中，若，，，则（ ）A．B．C．D．第(5)题仰望星空，探索宇宙一直是人类的梦想，“神舟十五号”载人飞船于北京时间11月29日23时08分发射，约10分钟后，“神舟十五号”载人飞船与火箭成功分离.早在1903年，科学家康斯坦丁·齐奥尔科夫斯基就提出单级火箭在不考虑空气阻力和地球引力的理想情况下的最大速度满足公式：，其中分别为火箭结构质量和推进剂的质量，是发动机的喷气速度.已知某单级火箭结构质量是推进剂质量的2倍，火箭的最大速度为，则火箭发动机的喷气速度为（ ）（参考数据：）A．B．C．D．第(6)题已知函数，，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）A．B．C．D．第(7)题已知直线是双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．第(8)题若全集，集合，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
山东省泰安市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁U A）∩B等于（）A．{2，3} B．{2，5} C．{3} D．{2，3，5}2．（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1•z2∈R，则x=（）A．﹣2B．﹣1C．1 D．23．（5分）以下三个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为，则预计老张的孙子的身高为180cm；③设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差均为2，若y i=x i+m（m为非零实数，i=1，2，…，10）的均值和方差分别为22+m，2（）A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）设命题p：若||=||=，且与的夹角是，则向量在方向上的投影是1；命题q：“x≥1”是“≤1”的充分不必要条件，下列判断正确的是（）A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题C．p∨q是真命题D．﹁q为真命题5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．0 D．﹣16．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．（5分）如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①+2；②+；③+；④+；⑤﹣，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A．①②B．②④C．①③D．③⑤8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．9．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11．（5分）设抛物线上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为．12．（5分）若，则sin（α+π）=．13．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则sin的值介于﹣与之间的概率为．14．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为0，则a=．15．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S=．三、解答题：本大题共6个小题满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16．（12分）已知a，b，c是△ABC对边，且a+b=csinA+ccosA，为BC的中点，且AD=2，求△ABC最大值．17．（12分）口袋中有6个小球，其中4个红球，2个白球，从袋中任取2个小球．（I）求所取2个小球都是红球的概率；（Ⅱ）求所取2个小球颜色不相同的概率．18．（12分）已知数列{a n}，{b n}的各项均为正数，且对任意n∈N*，都有b n，a n，b n+1成等差数列．a n，b n+1，a n+1成等比数列，且b1=6，b2=12．（I）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求．a n，b n．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是AB的中点，AB=2DC，E是PA的中点，F是△ACD的重心．（I）求证：BC⊥平面PAC；（II）求证：EF∥平面PBC．20．（13分）已知函数f（x）=e x+mx﹣2，g（x）=mx+lnx．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）当m=﹣1时，试推断方程：是否有实数解．21．（14分）若双曲线﹣y2=1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，且它们的离心率互为倒数．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2点M（1，0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率别为k1，k2试问，是否存在实数m，使得k1+mk2=0？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．山东省泰安市2015届高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，B={2，3，5}，则（∁U A）∩B等于（）A．{2，3} B．{2，5} C．{3} D．{2，3，5}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：直接利用补集与交集的运算得答案．解答：解：∵U={1，2，3，4，5}，A={1，2，5}，∴∁U A={3，4}，又B={2，3，5}，∴（∁U A）∩B={3，4}∩{2，3，5}={3}．故选：C．点评：本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．2．（5分）设复数z1=1+i，z2=2+xi（x∈R），若z1•z2∈R，则x=（）A．﹣2B．﹣1C．1 D．2考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接由复数代数形式的乘法运算化简复数z1•z2，然后由虚部为0即可求出x的值．解答：解：z1•z2=（1+i）（2+xi）=2﹣x+（2+x）i，∵z1．z2∈R，∴2+x=0．即x=﹣2．故选：A．点评：本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．3．（5分）以下三个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②老张身高176cm，他爷爷、父亲、儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm，因儿子的身高与父亲的身高有关，用回归分析的方法得到的回归方程为，则预计老张的孙子的身高为180cm；③设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差均为2，若y i=x i+m（m为非零实数，i=1，2，…，10）的均值和方差分别为22+m，2（）A．0 B．1 C．2 D．3考点：回归分析的初步应用．专题：应用题；概率与统计．分析：①根据抽样方法的定义和特点即可判断；②求出线性回归方程，可得结论；③利用均值和方差的公式即可判断出正误．解答：解：①由抽样方法的定义可知为系统抽样，故①错；②=173，=176，∴b==1，a=3，∴得线性回归方程y=x+3，当x=182时，y=185，故②不正确；③设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差均为2，若y i=x i+m（m为非零实数，i=1，2，…，10）的均值和方差分别为2+m，2，故不正确，故选：A．点评：本题考查了两个随机变量的线性相关性、抽样方法、均值和方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）设命题p：若||=||=，且与的夹角是，则向量在方向上的投影是1；命题q：“x≥1”是“≤1”的充分不必要条件，下列判断正确的是（）A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题C．p∨q是真命题D．﹁q为真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：首先利用向量的数量积判断出命题p是真命题，进一步判断出命题q是假命题，最后判断出结论．解答：解：命题p：若||=||=，且与的夹角是，则向量在方向上的投影是||cos=﹣1．所以：命题P是假命题．命题q：“x≥1”可以得到：“≤1”，但的解集是：{x|x≥1或x＜0}所以：“x≥1”是“≤1”的充分不必要条件．所以：命题q是真命题．所以p∨q是真命题．故选：C．点评：本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，四种命题的应用，简易逻辑中且是命题和或是命题的应用．5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设直线l：kx﹣y+1=0与圆C：x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAMB，若点M在圆C上，则实数k等于（）A．1 B．2 C．0 D．﹣1考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：由已知得四边形OAMB为菱形，弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N 的弦的弦长最小值为2，由此能求出结果．解答：解：∵四边形OAMB为平行四边形，∴四边形OAMB为菱形，∴△OAM为等边三角形，且边长为2，解得弦AB的长为2，又直线过定点N（0，1），且过N的弦的弦长最小值为2，此时此弦平行x轴，即k=0．故选：C．点评：本题考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．6．（5分）函数的图象大致是（）A．B．C．D．考点：指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据函数的定义域，单调性，取值符号进行排除判断．解答：解：要使函数有意义，则3x﹣1≠0，解得x≠0，∴函数的定义域为{x|x≠0}，排除A．当x＜0时，y＞0，排除B．当x→+∞时，y→0，排除D．故选C．点评：本题考查函数的图象的判断，注意函数的值域，函数的图形的变换趋势，考查分析问题解决问题的能力．7．（5分）如图，A，B分别是射线OM，ON上的两点，给出下列向量：①+2；②+；③+；④+；⑤﹣，若这些向量均以O为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A．①②B．②④C．①③D．③⑤考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，判断向量的线性运算结果，对题目中的结论逐一验证即可．解答：解：∵过A作ON的平行线AC，并且使得AC=2OB，根据向量加法的三角形法则，得到和向量的终点不在阴影OAB里，如图1所示，∴①不满足条件；∵取OA的中点D，过D作DE平行于ON，使得DE=OB，∵过D且与ON平行的线交AB于F，DF=OB∴DE＜DF，∴F在阴影AOB里，如图2所示，∴②满足条件；在OA上取点H，使得AH=OA，过H作OB的平行线交AB于I，则HI=OB＜OB，+对应的终点J在阴影OAB外，如图3所示，∴③不满足条件，同理，+对应的终点在阴影OAB内，④满足条件；﹣对应的终点Z不在阴影OAB内，如图5所示，∴⑤不满足条件；综上，满足条件的是②④．故选：B．点评：本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义的应用问题，解题时应画出图形，结合图形进行解答，是基础题目．8．（5分）将函数f（x）=sinxcosx的图象向左平移个长度单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．考点：二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由二倍角的正弦函数公式即可求得f（x），根据三角函数图象变换的规律可求g（x），由余弦函数的图象和性质即可求得g（x）的单调递增区间．解答：解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x，∴g（x）=sin[2（x+）]=cos2x，∴2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z可解得g（x）的单调递增区间是：x∈，故选：A．点评：本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，复合三角函数的单调性，三角函数图象变换的规律的应用，属于基础题．9．（5分）已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该椎体的俯视图可以是（）A．B．C．D．考点：简单空间图形的三视图．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中锥体的正视图和侧视图，可得锥体的高为，结合锥体的体积为，可得其底面积为2，进而可得答案．解答：解：∵锥体的正视图和侧视图均为边长为2的等边三角形，故锥体的高为，又∵锥体的体积为，故锥体的底面面积为2，A中图形的面积为4，不满足要求；B中图形的面积为π，不满足要求；C中图形的面积为2，满足要求；D中图形的面积为，不满足要求；故选：C点评：本题考查的知识点是简单几何体的三视图，难度不大，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=x4cosx+mx2+x（m∈R），若导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上有最大值10，则导函数f′（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣8 D．﹣6考点：利用导数求闭区间上函数的最值；导数的运算．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先求导数，然后分析发现导数是由一个奇函数和常数的和，然后利用函数的奇偶性容易解决问题．解答：解：由已知得f′（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx+1，令g（x）=4x3cosx﹣x4sinx+2mx是奇函数，由f′（x）的最大值为10知：g（x）的最大值为9，最小值为﹣9，从而f′（x）的最小值为﹣9+1=﹣8．故选C．点评：本题考查了导数的计算、奇函数的最值的性质．属于常规题，难度不大．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题纸的相应位置. 11．（5分）设抛物线上的一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为5．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意可得点P的纵坐标为4，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=﹣1的距离，由此求得结果．解答：解：由于抛抛物线上的一点P到x轴的距离是4，故点P的纵坐标为4．再由抛物线的准线为y=﹣1，以及抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是4﹣（﹣1）=5，故答案为：5．点评：本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．12．（5分）若，则sin（α+π）=﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由α的范围可得sinα＞0，cosα＜0，由诱导公式及同角三角函数关系式即可求值．解答：解：∵α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣=﹣，sin（α+π）=﹣sinα=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．点评：本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．13．（5分）在区间[﹣1，1]上随机取一个数x，则sin的值介于﹣与之间的概率为．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据三角函数的运算求出的等价条件，利用几何概型的概率公式进行求解．解答：解：由，解得，即≤x≤1，其区间长度为，由几何概型公式知所求概率为．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型的概率公式，利用条件求出三角函数成立的等价条件是解决本题的关键．将几何概型转化为对应的长度，面积和体积，然后利用它们之间的关系进行求值即可．14．（5分）已知a＞0，x，y满足约束条件，若z=2x+y的最小值为0，则a=1．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．解答：解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小为0，即2x+y=0．由，解，即B（1，﹣2），∵点B也在直线y=a（x﹣3）上，即﹣2=﹣2a，解得a=1．故答案为：1．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15．（5分）某程序框图如图所示，则输出的S=26．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出S值．模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：是否继续循环 S k循环前/1 1第一圈是2×1+2=4 2第二圈是2×4+3=11 3第三圈是2×11+4=26 4第四圈否故最终的输出结果为：26．故答案为：26．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题．三、解答题：本大题共6个小题满分75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.请将解答过程写在答题纸的相应位置.16．（12分）已知a，b，c是△ABC对边，且a+b=csinA+ccosA，为BC的中点，且AD=2，求△ABC最大值．考点：余弦定理的应用；正弦定理的应用．专题：解三角形．分析：由正弦定理及三角函数恒等变换化简已知等式可得sin（C﹣）=，又结合C∈（0，π），即可求得角C的值，由余弦定理结合已知可得，又由三角形面积公式可得S△ABC=ab•sin C=2．从而解得△ABC面积的最大值．解答：解：由正弦定理可得：sinA+sinB=sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=π，∴sinA+sin（A+C）=sinCsinA+sinCcosA…3分整理可得：1+cosC=sinC，即：sinC﹣cosC=1，有：sin（C﹣）=，…6分又C∈（0，π），∴C﹣∈（﹣，），∴C﹣=，∴C=．…7分由余弦定理可得：AD2=CA2+CD2+2CA•CD•cosC=CA2+CD2﹣CA•CD=b2+﹣=ab=， (10)分∴，…11分又S△ABC=ab•sinC=．∴△ABC面积的最大值是2．…12分点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．17．（12分）口袋中有6个小球，其中4个红球，2个白球，从袋中任取2个小球．（I）求所取2个小球都是红球的概率；（Ⅱ）求所取2个小球颜色不相同的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：将4个红球依次编号为1，2，3，4；2个白球的依次编号为5，6，任取2个球，一一列举出所有得基本事件，（Ⅰ）用A表示”都是红球“这一事件，则A中的基本事件共6个，根据概率公式计算即可，（Ⅱ）用B表示”颜色不相同的球“这一事件，则B所包含的事件共8个，根据概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）将4个红球依次编号为1，2，3，4；2个白球的依次编号为5，6，任取2个球，基本事件为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，而且这些基本事件的出现是等可能的，用A表示”都是红球“这一事件，则A中的基本事件共6个，所以P（A）==；（Ⅱ）用B表示”颜色不相同的球“这一事件，则B所包含的事件共8个，所以P（B）=点评：本题考查了古典概率的问题，关键是不重不漏的列举出所有得基本事件，属于基础题．18．（12分）已知数列{a n}，{b n}的各项均为正数，且对任意n∈N*，都有b n，a n，b n+1成等差数列．a n，b n+1，a n+1成等比数列，且b1=6，b2=12．（I）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求．a n，b n．考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）由等差数列和等比数列的性质，结合等差数列的中项，即可证明数列是等差数列；（Ⅱ）运用等差数列的通项公式，求出，可得a n，再由（Ⅰ）中的结论，即可得到b n．解答：（I）证明：∵a n，b n+1，a n+1成等比数列∴b n+12=a n•a n+1，（n∈N*）∴b n+1=，∴b n=，（n≥2）∵b n，a n，b n+1成等差数列，∴2a n=b n+b n+1，（n∈N*）∴2a n=+=（+），（n≥2）2=+，（n≥2），∴数列{}是等差数列．（Ⅱ）解：∵b1=6，b2=12，∴2a1=b1+b2=18，即a1=9，a2===16，∴数列的公差d=﹣=4﹣3=1，=+（n﹣1）d=n+2，即有a n=（n+2）2，又n≥2时，b n===（n+1）（n+2），又b1=6适合上式．∴b n=（n+1）（n+2）．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，D是AB的中点，AB=2DC，E是PA的中点，F是△ACD的重心．（I）求证：BC⊥平面PAC；（II）求证：EF∥平面PBC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）利用线面垂直的判定定理，只要证明BC分别于PA，AC垂直即可；（II）要证EF∥平面PBC，只要证平面EGD∥平面PBC，利用已知以及面面平行的判定定理，只要证明两个平面的两条相交直线分别平行即可．解答：证明：（I）在△ABC中，D为AB边上的中点，且AB=2CD，∴AD=DC=DB，故∠DCA=∠DAC，∠DCB=∠DBC，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，又PA⊥底面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAC；（II）连接DF，并延长交AC于G，连接ED，∵F为△ACD的重心，∴G为AC的中点，连接EG，∵E为PA中点，∴在△PAC中，EG∥PC，同理可得ED∥PB，又EG∩ED=E，PC∩PB=P，∴平面EGD∥平面PBC，又EF⊂平面EDG∴EF∥平面PBC．点评：本题考查了线面垂直和面面平行的判定定理和性质定理的运用；关键是转化为线线关系进行证明．20．（13分）已知函数f（x）=e x+mx﹣2，g（x）=mx+lnx．（I）求函数f（x）的单调区间；（II）当m=﹣1时，试推断方程：是否有实数解．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（I）求导f′（x）=e x+m，从而讨论m以确定导数的正负，从而确定函数的单调性；（II）当m=﹣1时，g（x）=﹣x+lnx，（x＞0）；再求导g′（x）=﹣1+，从而求得|g（x）|≥1；再令h（x）=，则h′（x）=；从而求得h（x）≤h（e）=＜1；从而判断．解答：解：（I）∵f（x）=e x+mx﹣2，∴f′（x）=e x+m，当m≥0时，f′（x）＞0；函数f（x）的单调增区间为R；当m＜0时，由f′（x）＞0解得，x＞ln（﹣m）；由f′（x）＜0解得，x＜ln（﹣m）；故函数f（x）的单调增区间为[ln（﹣m），+∞），单调减区间为（﹣∞，ln（﹣m））；（II）当m=﹣1时，g（x）=﹣x+lnx，（x＞0）；g′（x）=﹣1+，故g（x）在x=1处取得极大值，故g（x）≤g（1）=﹣1；故|g（x）|≥1；令h（x）=，则h′（x）=；故h（x）在（0，e）上是增函数，在（e，+∞）上是减函数；故h（x）在x=e处取得最大值；∴h（x）≤h（e）=＜1；故方程没有实数解．点评：本题考查了方程的根与函数的关系应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．21．（14分）若双曲线﹣y2=1过椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦点，且它们的离心率互为倒数．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2点M（1，0）的直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线A1P与A2Q的斜率别为k1，k2试问，是否存在实数m，使得k1+mk2=0？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）求得双曲线的离心率，由题意可得椭圆的离心率，代入椭圆的焦点，可得c，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（Ⅱ）假设存在实数m，使得k1+mk2=0．讨论直线l的斜率不存在和存在，设出直线方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，即可得到m的值，进而判断存在．解答：解：（Ⅰ）双曲线﹣y2=1的离心率为=，它们的离心率互为倒数，可得椭圆的离心率为e==，由题意可得c2=8，即c=2，则a=3，b=1，则有椭圆方程为+y2=1；（Ⅱ）假设存在实数m，使得k1+mk2=0．当直线l的斜率不存在时，P（1，），Q（1，﹣），A1（﹣3，0），A2（3，0），则k1==，k2==，则m=﹣=﹣；当直线l的斜率存在时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线l：y=k（x﹣1），代入椭圆方程可得，（1+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣9=0，x1+x2=，x1x2=，则m=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣=﹣，故存在m=﹣，满足题意．点评：本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式和化简整理的运算求解能力，属于中档题．。