八年级数学上册 直角坐标系中的对称知识详解 人教新课标版

直角坐标系中的有关轴对称一. 各种对称模型公理1：两点之间线段最短.j lBB公理2：直线外一点与直线上各点的连线段中垂线段最短.NO P二. 例题选讲1.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫做这个凸四边形的准内点。

如图①，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点⑴如图②，∠AFD与∠DEC两角的角平分线相交于点P,求证：点P是四边形ABCD的准内点⑵分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内点.2．（2011山东济宁，22，８分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)．(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短?(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？（改编）（3）若在河道上建两座水泵站，且两座水泵站的距离是12，为节省费用应如何建水泵站？图①图②图③图④nmABKM（4）若河道的宽度是2，即河道一边在x 轴上，另一边在直线2y =-上，在河道另一侧有一村庄C ，点(6,4)C -,现要在A 、C 村之间修路，在河上要加一座桥，桥要与河道垂直，为节省费用应如何架设桥梁，如何铺路？【答案】解：（1）作点B 关于x 轴的对称点E ，连接AE ， 则点E 为（12，－7），设直线AE 的函数关系式为y =kx ＋b ，则23127k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩， 所以，直线AE 解析式为y =－x ＋5当y=0时，x=5，所以，水泵站应建在距离大桥5千米的地方时，可使所用输水管道最短． （2）作线段AB 的垂直平分线GF ，交AB 于点F ，交x 轴于点G ， 设点G 的坐标为（x ，0），在Rt△AGD 中，AG 2=AD 2＋DG 2=32＋（x －2）2在Rt△BCG 中，BG 2=BC 2＋GC 2=72＋（12－x ）2∵AG= BG ，∴32＋（x －2）2=72＋（12－x ）2解得x =9．所以，水泵站建在距离大桥9千米的地方，可使它到张村、李村的距离相等．3. 已知直角坐标系中，,A B 两点的坐标分别是(2,3),(4,1)A B --,SHIDE (1).在x 轴上找一点p ，使PAB ∆的周长最短.(2).设,M N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问是否存在这样的点(,0),(0,)M m N n ，使得四边形的周长最小？若存在，求出,m n 的值。

4.矩形ABCD 中，20,10AB cm BC cm ==，若在,AC AB 上各取一点M N 、，如图，使BM MN +取得最小值，并求出此最小值。

A练习题1. （2008内江中考题）已知四边形ABCD 的各点坐标如下：(1,3)A -,(4,1)B -,(2,0),(,0)C a D a +，当四边形的周长周长最小时，求a 的值。

4、如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴，y 轴于A B ，两点，以OA OB ，为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以(40)M ，，(80)N ，为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与PMN △重叠部分的面积为S ． （1）求点P 的坐标； （2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使 OQM ∠等于90，请直接写出．．．．b 的取值范围；（4）在b 值的变化过程中，若PCD △为等腰三角形，且PC =PD ，请直接写出．．．．b 的值．解：（1）作PK ⊥MN 于K ，则122PK KM NM ===．∴ KO =6，(62)P ∴，．………………………….2分 （2）当02b <≤时，如图①，0S =．……..3分 当23b <≤时，如图②， 设AC 交PM 于H ．设,0b 0b x 21）（>=+- 得.b 2x =∵ 24AM HA b ==-．∴ .)4b 2(21S 2-=即22(2)S b =-．或2288S b b =-+．………………4分 当34b <<时，如图③， 设AC 交PN 于H ． 82NA HA b ==-．22(4)4S b ∴=--+，或221628S b b =-+-．….5分当4b ≥时，如图④，4S =．…………………………………………………6分 （此问不画图不扣分）（3）01b <． ……………………………………………………………..7分 （提示：如图⑤，以OM 为直径作圆，当直线1(0)2y x b b =-+> 与此圆相切时，1b =．）（4）b 的值为4．图②图③ 图⑤直角坐标系中的有关轴对称一各种对称模型公理1：两点之间线段最短.j lB公理2：直线外一点与直线上各点的连线段中垂线段最短.NO P Q二例题选讲1.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫做这个凸四边形的准内点。

如图①，PH=PJ，PI=PG，则点P就是四边形ABCD的准内点⑴如图②，∠AFD与∠DEC两角的角平分线相交于点P,求证：点P是四边形ABCD的准内点⑵分别画出图③中平行四边形和图④中梯形的准内点.图①图②图③图④nmABKM2．（2011山东济宁，22，８分）去冬今春，济宁市遭遇了200年不遇的大旱,某乡镇为了解决抗旱问题，要在某河道建一座水泵站，分别向河的同一侧张村A和李村B送水．经实地勘查后，工程人员设计图纸时，以河道上的大桥O为坐标原点，以河道所在的直线为x轴建立直角坐标系（如图），两村的坐标分别为A（2，3），B(12，7)．(1)若从节约经费考虑，水泵站建在距离大桥O多远的地方可使所用输水管最短?(2)水泵站建在距离大桥O多远的地方，可使它到张村、李村的距离相等？（改编）（3）若在河道上建两座水泵站，且两座水泵站的距离是12，为节省费用应如何建水泵站？y=-上，在河道另一侧（4）若河道的宽度是2，即河道一边在x轴上，另一边在直线2C-,现要在A、C村之间修路，在河上要加一座桥，桥要与河道垂直，有一村庄C，点(6,4)为节省费用应如何架设桥梁，如何铺路？3. 已知直角坐标系中，,A B 两点的坐标分别是(2,3),(4,1)A B --, (1).在x 轴上找一点p ，使PAB ∆的周长最短.(2).设,M N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问是否存在这样的点(,0),(0,)M m N n ，使得四边形的周长最小？若存在，求出,m n 的值。

4.矩形ABCD 中，20,10AB cm BC cm ==，若在,AC AB 上各取一点M N 、，如图，使BM MN +取得最小值，并求出此最小值。

A练习题1. （2008内江中考题）已知四边形ABCD 的各点坐标如下：(1,3)A -,(4,1)B -,(2,0),(,0)C a D a +，当四边形的周长周长最小时，求a 的值。

2.矩形ABCD 中，20,10AB cm BC cm ==，若在,AC AB 上各取一点M N 、，如图，使BM MN +取得最小值，并求出此最小值。

A矩形补充题1、如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴，y 轴于A B ，两点，以OA OB ，为边作矩形OACB ，D 为BC 的中点．以(40)M ，，(80)N ，为斜边端点作等腰直角三角形PMN ，点P 在第一象限，设矩形OACB 与PMN △重叠部分的面积为S ． （1）求点P 的坐标； （2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使 OQM ∠等于90，请直接写出．．．．b 的取值范围；（4）在b 值的变化过程中，若PCD △为等腰三角形，且PC =PD ，请直接写出．．．．b 的值．2.已知：如图，在平面直角坐标中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，2,3OA OC ==,过原点o 作AOC ∠的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE DC ⊥,交OA 于点E(1) 求点D 的坐标，并求出DE 的解析式；(2) 将EDC ∠绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交与点F ，另一边与线段OC 交与点G ，如果2EF OG =,求点G 的坐标。

（2008，浙江金华） 如图1，已知双曲线y=xk (k>0)与直线y=k′x交于A ，B 两点，点A 在第一象限.试解答下列问题：(1)若点A 的坐标为(4，2).则点B 的坐标为 ；若点A 的横坐标为m ，则点B 的坐标可表示为 ；（2）如图2，过原点O 作另一条直线l ，交双曲线y=xk (k>0)于P ，Q 两点，点P 在第一象限.①说明四边形APBQ 一定是平行囚边形；②设点A.P 的横坐标分别为m ，n ，四边形APBQ 可能是短形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出mn 应满足的条件；若不可能，请说明理由.[解析] 由xk y =和x k y '=都是中心对称图形，可直接写出B 点的坐标；由对角线互相，但不可能为正方形，可由对角线夹角来确定 .解：(1)∵ 双曲线和直线在此时均为中心对称图形， ∴ B（-4，-2）；当A （m 、m 8） ，∴ B (-m ，m8-) (2) ∵ OA=OB， ︒<∠90POA 不可能为正方形 .。