2020-2021学年新教材数学人教B版必修第二册知识基础练：6.2.3平面向量的坐标及其运算
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
2020-2021高中数学人教版第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析
新教材2020-2021学年高中数学人教A版必修第二册学案：6.3.1平面向量基本定理含解析6.3平面向量基本定理及坐标表示6．3.1平面向量基本定理[目标］1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义,理解平面向量基本定理；2.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．[重点] 平面向量基本定理．[难点] 平面向量基本定理的应用．要点整合夯基础知识点平面向量基本定理[填一填］(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1,λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.（2）若e1，e2不共线，我们把｛e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．［答一答］1．基底有什么特点?平面内基底唯一吗？提示：基底中的两向量e1，e2不共线,这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．2．如图,设OA、OB、OC为三条共端点的射线，P为OC上一点，能否在OA 、OB 上分别找一点M 、N ，使OP →＝错误!＋错误!？提示：能。
过点P 作OA 、OB 的平行线，分别与OB 、OA 相交，交点即为N 、M .3．若向量a ，b 不共线，且c ＝2a －b ,d ＝3a －2b ，试判断c ，d 能否作为基底．提示：设存在实数λ使得c ＝λd ，则2a －b ＝λ（3a －2b )，即(2－3λ)a ＋（2λ－1)b ＝0.由于a ，b 不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0,这样的λ是不存在的，从而c ，d 不共线，故c ，d 能作为基底。
典例讲练破题型类型一 基底的概念［例1] 下面说法中，正确的是（ ）①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量；④对于平面内的任一向量a 和一组基底e 1，e 2，使a ＝λe 1＋μe 2成立的实数对一定是唯一的．A ．②④B ．②③④C ．①③D ．①③④［解析] 因为不共线的任意两个向量均可作为平面的一组基底，故②③正确，①不正确；由平面向量基本定理知④正确．综上可得②③④正确．［答案]B根据平面向量基底的定义知，判断能否作为基底问题可转化为判断两个向量是否共线的问题，若不共线，则它们可以作为一组基底；若共线,则它们不能作为一组基底。
人教B版必修第二册6.2.3第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式学案
6.2.3平面向量的坐标及其运算第1课时平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式(教师独具内容)课程标准：1.借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.教学重点：1.了解正交基底，掌握向量的正交分解及坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.掌握平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式.教学难点：平面向量坐标运算的应用.知识点一平面向量的坐标(1)向量的垂直平面上的两个非零向量a与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量a与b□01垂直，记作□02a⊥b.(2)正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为□03正交基底．(3)正交分解：在正交基底下向量的分解称为向量的□04正交分解．(4)坐标的定义①给定平面内两个相互垂直的单位向量e1，e2，对于平面内的向量a，如果a＝x e1＋y e2，则称□05(x，y)为向量a的坐标，记作□06a＝(x，y)．②如图，在平面上指定一点O作为原点，以e1的方向为x轴的正方向，以e2的方向为y轴的正方向，以e1(或e2)的模为单位长度建立平面直角坐标系，对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点O，那么a的□07终点对应的坐标就是向量a的坐标．(5)向量的坐标表示若OA →＝x e 1＋y e 2＝(x ，y )，则□08OA →的坐标为(x ，y )⇔□09点A 的坐标为(x ，y )．知识点二 向量的运算与坐标的关系 (1)向量坐标的运算已知平面上的两个向量a ，b ，满足a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)．①a ＝b ⇔□01x 1＝x 2且y 1＝y 2.即平面上两个向量相等的充要条件是□02它们的坐标对应相等．②a ＋b ＝□03(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． ③u a ＋v b ＝□04(ux 1＋v x 2，uy 1＋v y 2)． ④u a －v b ＝□05(ux 1－v x 2，uy 1－v y 2)． (2)向量的模向量a ＝(x ，y )，则|a |＝□06x 2＋y 2.知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为平面直角坐标系中的两点． (1)两点之间的距离公式 AB ＝|AB →|＝□01 (x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)中点坐标公式设线段AB 的中点为M (x ，y )，则x ＝□02x 1＋x 22，y ＝□03y 1＋y 22.1．求平面上向量坐标的三种方法 (1)将向量用单位向量e 1，e 2表示出来；(2)将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标； (3)用向量终点的坐标减去始点的坐标． 2．向量的坐标与点的坐标的区别(1)当且仅当向量的始点为坐标原点时，向量坐标与终点坐标相同． (2)(x ，y )在直角坐标系中有双重含义，既可以表示一个点，也可以表示一个向量．为了区分，我们通常说点(x ，y )，向量(x ，y )．(3)向量坐标前带“＝”而点的坐标前不带． 注意：两个相等向量的始点和终点可以不同．3．向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关．若a ＝(a 1，a 2)，则将a 任意平移后其坐标仍为(a 1，a 2)．4．通过平面直角坐标系，可以将平面内任一向量用一个有序实数对来表示；反过来，任一有序实数对也表示一个向量．也就是说，一个平面向量就是一个有序实数对．这样就可以把许多几何问题代数化．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)把一个向量分解成两个互相垂直的基向量，叫做向量的正交分解．( ) (2)AB→＝(－2，－1)即表示B (－2，－1)，A (0,0)．( ) (3)两个相等向量的始点和终点相同．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知AB→＝(x ，y )，B 的坐标是(－2,1)，那么OA →的坐标为________．(2)在平面直角坐标系内，已知i ，j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若a ＝i －2j ，则向量用坐标表示为a ＝________.(3)若点A (3,5)，B (2,1)，则向量AB→的坐标为________．(4)若a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则2b －a 的坐标是________． 答案 (1)(－2－x,1－y ) (2)(1，－2) (3)(－1，－4) (4)(－3，－4)题型一 平面向量的坐标表示例1 已知向量e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a ，给出下列四个结论：①存在唯一的一对实数x ，y ，使得a ＝(x ，y )；②若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，a ＝(x 1，y 1)≠(x 2，y 2)，则x 1≠x 2，且y 1≠y 2； ③若x ，y ∈R ，a ＝(x ，y )，且a ≠0，则a 的始点是原点O ； ④若x ，y ∈R ，a ≠0，且a 的终点坐标是(x ，y )，则a ＝(x ，y )． 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] 由平面向量基本定理，知①正确；例如，a ＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a ＝(x ，y )与a 的始点是不是原点无关，故③错误；当a 的终点坐标是(x ，y )时，a ＝(x ，y )是以a 的起点是原点为前提的，故④错误．[答案] A向量的坐标与其终点的坐标不一定相同．由于向量的起点可以任意选取，如果向量是以坐标原点为始点的，则向量的坐标就与其终点的坐标相同；如果向量不以坐标原点为始点，则向量的坐标就与其终点的坐标不同．如图，分别用单位正交基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．解 由图可知a ＝AA 1→＋AA 2→＝2i ＋3j ，∴a ＝(2,3)． 同理可得b ＝－2i ＋3j ＝(－2,3)， c ＝－2i －3j ＝(－2，－3)， d ＝2i －3j ＝(2，－3).题型二 平面向量的坐标运算例2 设向量a ，b 的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求下列各向量的坐标． (1)a ＋b ；(2)a －b ；(3)3a ；(4)2a ＋5b .[解] (1)a ＋b ＝(－1,2)＋(3，－5)＝(2，－3)． (2)a －b ＝(－1,2)－(3，－5)＝(－4,7)． (3)3a ＝3(－1,2)＝(－3,6)．(4)2a ＋5b ＝2(－1,2)＋5(3，－5)＝(－2,4)＋(15，－25)＝(13，－21)．平面向量坐标的线性运算(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及数乘的运算法则进行． (2)向量坐标的线性运算可完全类比数的运算进行．(1)已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则|c |＝________； (2)已知向量a ＝(x 2－3x －4，x ＋3)，b ＝(0,2)，若a ＝b ，求x 的值． 答案 (1)1853 (2)见解析解析 (1)由已知得3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43， ∴|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1332＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝1853. (2)根据“两向量相等，则其对应坐标相等”列方程组求解．∵a ＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＝0，x ＋3＝2，解得x ＝－1.题型三 两点间的距离公式与中点坐标公式例3 已知平面内的三个点A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)． (1)求AB→＋12AC →的坐标；(2)求AB ＋AC 的长．[解] (1)∵A (1，－2)，B (7,0)，C (－5,6)，∴AB→＝(7－1,0＋2)＝(6,2)，AC →＝(－5－1,6＋2)＝(－6,8)．∴12AC →＝(－3,4)，∴AB →＋12AC →＝(6,2)＋(－3,4)＝(3,6)． (2)由两点间的距离公式得， AB ＝(7－1)2＋(0＋2)2＝36＋4＝210. AC ＝(－5－1)2＋(6＋2)2＝36＋64＝10.∴AB ＋AC ＝10＋210. 故AB ＋AC 的长为10＋210.(1)在求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再用终点坐标减去始点坐标即可得到该向量的坐标．(2)求线段的长度时，注意利用两点间的距离公式求解．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，点M 为BC 的中点．(1)求点M 的坐标； (2)求BC ＋2BM 的长．解 (1)设C (x ，y )，则AC →＝(x －0，y －1)＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y －1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，所以C (－4，－2)，由中点坐标公式知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－42，2－22， 即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.(2)由两点间的距离公式，可知 BC ＝(－4－3)2＋(－2－2)2＝49＋16＝65. BM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32＋(0－2)2＝494＋4＝652.∴BC ＋2BM ＝65＋65＝265. ∴BC ＋2BM 的长为265.题型四 平面向量坐标运算的应用例4 已知平面上三个点的坐标为A (3,7)，B (4,6)，C (1，－2)，求点D 的坐标，使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点．[解] 设点D 的坐标为(x ，y )，(1)当平行四边形为ABCD 时，AB →＝DC →，∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x ，y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＝1，－2－y ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1.∴D (0，－1)； (2)当平行四边形为ABDC 时，同(1)可得D (2，－3)； (3)当平行四边形为ADBC 时，同(1)可得D (6,15)． 综上所述，点D 可能为(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．1.进行向量坐标运算的常见方法(1)向量的坐标运算主要是利用向量的加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，然后进行向量的坐标运算，另外，解题过程中要注意方程思想的运用．(2)利用向量的坐标运算解题，主要是根据相等向量的坐标对应相等这一原则，通过列方程(组)进行求解．(3)利用坐标运算求向量的基底表示，一般是先求出基底向量和被表示向量的坐标，再利用待定系数法求出相应系数．2．利用向量的坐标运算求参数的思路已知含参数的向量等式，依据某点的位置探求参数的问题，其本质是向量坐标运算的运用，用已知点的坐标和参数表示出该点的坐标，利用该点的位置确定其横、纵坐标应满足的条件，建立关于参数的方程(组)或不等式(组)进行求解．在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1,2)，B (4,3)，C (3,6)，AP →＝AB →＋λAC →(λ∈R )．(1)试求实数λ为何值时，点P 在第二、四象限的角平分线上； (2)试求实数λ为何值时，点P 在第三象限内．解 设P (x ，y )，因为AP→＝AB →＋λAC →，所以OP →＝O A →＋AP →＝O A →＋AB →＋λAC →＝OB →＋λAC →＝(4,3)＋λ(4,4)＝(4＋4λ，3＋4λ)．(1)因为点P 在第二、四象限的角平分线上，所以x ＝－y ，所以4＋4λ＝－(3＋4λ)，解得λ＝－78，所以当λ＝－78时，点P 在第二、四象限的角平分线上． (2)因为点P 在第三象限内，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，y <0，所以⎩⎪⎨⎪⎧4＋4λ<0，3＋4λ<0，解得λ<－1.所以当λ<－1时，点P 在第三象限内．1．已知MA →＝(－2,4)，MB →＝(2,6)，则12AB →＝( ) A ．(0,5) B ．(0,1) C ．(2,5) D ．(2,1)答案 D解析 ∵AB →＝MB →－MA →＝(2,6)－(－2,4)＝(4,2)，∴12AB →＝(2,1)．2．若向量a ＝(x －2,3)与向量b ＝(1，y ＋2)相等，则x ＝________，y ＝________. 答案 3 1解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝1，3＝y ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.3．如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5)解析 解法一：将各向量向基底所在直线分解． a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)． b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)， c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．解法二：分别将向量a ，b ，c 的始点平移到原点，则终点坐标即为向量的坐标，得a ＝(－4,0)，b ＝(0,6)，c ＝(－2，－5)．解法三：根据一个向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标，知a ＝(－6,2)－(－2,2)＝(－4,0)；b ＝(2,6)－(2,0)＝(0,6)；c ＝(－3，－6)－(－1，－1)＝(－2，－5)．4．设AB →＝(－2，－5)，B 点坐标为(－1,3)，则A 点坐标为________． 答案 (1,8)解析 设A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧－1－x ＝－23－y ＝－5，解得x ＝1，y ＝8，即A (1,8)．5．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，求a 和b . 解 解法一：设a ＝(m ，n )，b ＝(p ，q )，则有⎩⎨⎧m ＋p ＝2，n ＋q ＝－8，m －p ＝－8，n －q ＝16，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝4，p ＝5，q ＝－12.所以a ＝(－3,4)，b ＝(5，－12)． 解法二：a ＝12[(a ＋b )＋(a －b )]＝(－3,4)，1b＝2[(a＋b)－(a－b)]＝(5，－12)．。
高中数学新教材人教B版必修第二册配套练习：第六章 平面向量初步6.2 6.2.2 课时32
6.2.2直线上向量的坐标及其运算课时32直线上向量的坐标及其运算知识点一直线上向量的坐标1.如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为()A．－2,4 B．2,4C．4，－2 D．－4，－2答案 C解析向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为－2.故选C．2．已知，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为()A．4 B．－4C．2或－2 D．4或－4答案 D解析由b的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐标为4或－4.故选D．知识点二直线上向量的坐标运算3.直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－13，求下列向量的坐标：(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b．解 (1)－3b 的坐标为(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.(2)a －b 的坐标为5－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝163.(3)2a ＋3b 的坐标为2×5＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝9.(4)－a －6b 的坐标为－5－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3.知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标4.在如图所示的数轴上，A ，B 两点的坐标分别为a ，b ，则向量AB→的坐标为( )A ．a －bB ．b －aC ．－a －bD ．a ＋b答案 B解析 AB→＝(b －a )e ，AB →的坐标为b －a ． 5．如图，数轴上A ，B 两点的坐标分别为－4,2，点C 是线段AB 的中点，则向量AC→的坐标为________．答案 3解析 由A ，B 两点的坐标分别为－4,2，得点C 的坐标为－4＋22＝－1，故AC →的坐标为－1－(－4)＝3.6．已知数轴上A ，B 两点的坐标分别为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标及A ，B 两点间的距离．(1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5.解 (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB→的坐标为－5.3－2＝－7.3，BA →的坐标为2－(－5.3)＝7.3，A ，B 两点间的距离为|x 2－x 1|＝|－5.3－2|＝7.3.(2)∵x 1＝10，x 2＝20.5，∴AB→的坐标为20.5－10＝10.5，BA →的坐标为10－20.5＝－10.5，A ，B 两点间的距离为|x 1－x 2|＝|10－20.5|＝10.5.一、选择题1．已知直线上向量a 的坐标为m ，若b ＝－a ，则向量b 的坐标为( ) A ．m B ．－m C ．0 D ．m 或－m答案 B解析 向量a 的坐标为m ，则－a 的坐标为－m ，即b 的坐标为－m ，故选B ． 2．已知数轴上两点M ，N ，且|MN →|＝4，若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7答案 D解析 |MN →|＝|x N －(－3)|＝4，∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7. 3．已知直线上向量a 的坐标为－2，b 的坐标为5，则|2a ＋b |＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 由向量a 的坐标为－2，b 的坐标为5，得2a ＋b 的坐标为－2×2＋5＝1，故|2a ＋b |＝1，故选A ．4．如图，数轴上四点O ，A ，B ，C ，其中O 为原点，且|AC →|＝2，|OA →|＝|OB →|，若点C 的坐标为a ，则点B 的坐标为( )A ．－a －2B ．2－aC ．a ＋2D ．a －2答案 B解析 ∵|AC→|＝2，点C 的坐标为a ，∴|AO→|＝2＋(－a )＝2－a ， 又|OA→|＝|OB →|，∴|OB →|＝2－a ，故点B 的坐标为2－a ，故选B ． 5．数轴上点A 和点B 的坐标分别为－1和3，若P 是数轴上一点，且|P A →|＋|PB →|＝6，则点P 的坐标为( )A ．－3B ．－3或5C ．－2D ．－2或4 答案 D解析 ∵|AB →|＝|3－(－1)|＝4，|P A →|＋|PB →|＝6，设点P 的坐标为x P ，当点P 在点A 的左边时，－1－x P ＋3－x P ＝6，得x P ＝－2；当点P 在点B 的右边时，x P －3＋x P －(－1)＝6，得x P ＝4，综上所述，点P 的坐标为－2或4.二、填空题6．已知直线上a 的坐标为－32，b 的坐标为1，c 的坐标为－23，则|2a ＋3b －6c |＝________.答案 4解析 ∵a 的坐标为－32，b 的坐标为1，c 的坐标为－23，则2a ＋3b －6c 的坐标为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3×1－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－3＋3＋4＝4，即|2a ＋3b －6c |＝4.7．已知数轴上点A 的坐标为2，|AB →|＝6，C 是AB 的中点，则向量AC →的坐标为________．答案 －3或3解析 ∵数轴上点A 的坐标为2，且|AB→|＝6，则点B 的坐标为－4或8.而C 是AB 的中点，则点C 的坐标为2－42或2＋82， 即－1或5，故AC→的坐标为－3或3.8．如图，点A ，B 为数轴上的两点，O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为m,2m ＋1，B ，O 两点间的距离等于A ，B 两点间的距离，则|2AB→＋OB →|＝________.答案 13解析 由题意得，0－(2m ＋1)＝2m ＋1－m ，得m ＝－23，故点A 的坐标为－23，点B 的坐标为－23×2＋1＝－13，AB →的坐标为－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝13，故2AB→＋OB →的坐标为2×13－13＝13，故|2AB→＋OB →|＝13.三、解答题9．已知e 是直线l 上一个单位向量，向量a ，b ，c 都是直线l 上的向量． (1)a ＝5e ，b ＝－2e ，c ＝14e ，求a ＋b ＋c 的坐标；(2)a ＝2e ，b ＝53e ，c ＝－3e ，求|a ＋3b ＋2c |.解 (1)由a ＝5e ，b ＝－2e ，c ＝14e ，得a ，b ，c 的坐标分别为5，－2，14，则a ＋b ＋c 的坐标为5－2＋14＝134.(2)由a ＝2e ，b ＝53e ，c ＝－3e ，得a ，b ，c 的坐标分别为2，53，－3，则|a ＋3b ＋2c |的坐标为2＋3×53＋2×(－3)＝1，故|a ＋3b ＋2c |＝1.10．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为4，－6，x ，线段AB 的中点为D ． (1)求向量AB →的坐标及A 与B 的距离；(2)求点D 的坐标； (3)若|AC→|＝8，求x 的值． 解 (1)由A ，B 的坐标分别为4，－6，得AB→的坐标为－6－4＝－10，A 与B 的距离AB ＝|AB →|＝10. (2)由A ，B 的坐标分别为4，－6且D 为AB 的中点，得点D 的坐标为4－62＝－1.(3)当点C 在点A 的左侧时，4－x ＝8，x ＝－4； 当点C 在点A 的右侧时，x －4＝8，x ＝12. 故x 的值为－4或12.由Ruize收集整理。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册作业：6.3.3平面向量的坐标运算(二)
→ OB
＝
→ OA
＋
→ AB
＝(－5,7)或(1，－
5)，故选AB.
二、填空题(每小题5分，共20分) 8．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则实 数λ＝ 6 .
解析：方法1：a＋2b＝(5,5)，3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，由题意 知5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，得λ＝6.
13．(10分)已知e1，e2是平面内两个不共线的非零向量，A→B＝2e1 ＋e2，B→E＝－e1＋λe2，E→C＝－2e1＋e2，且A，E，C三点共线．
(1)求实数λ的值； (2)若e1＝(2,1)，e2＝(2，－2)，求B→C的坐标； (3)已知点D(3,5)，在(2)的条件下，若四边形ABCD为平行四边 形，求点A的坐标．
方法2：设c＝a＋2b，d＝3a＋λb，由于a与b不共线，则a与b可 作为一组基底，所以c，d在a，b下的坐标分别为(1,2)，(3，λ)，且c ∥d，则有1·λ＝2×3，得λ＝6.
9．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n ∈R)，则m－n的值为 －3 .
解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n) ＝(9，－8)，即m2m－＋2nn＝＝－9，8. 解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
10．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)且(a＋c)∥(a
3± 17 －b)，则m＝ 2 .
解析：a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,3)．
∴a＋c＝(m＋1，m＋3)，a－b＝(－1，m－5)，
因为(a＋c)∥(a－b)，
∴(m＋1)(m－5)＋m＋3＝0，解得m＝3±2
新教材人教B版高中数学必修第二册全册学案(知识点汇总及配套习题、含答案)
人教B版高中数学必修第二册全册学案第四章指数函数、对数函数与幂函数................................................................................ - 2 -4.1指数与指数函数..................................................................................................... - 2 -4.1.1实数指数幂及其运算.................................................................................. - 2 -4.1.2指数函数的性质与图像.............................................................................. - 7 -第1课时指数函数的性质与图像.............................................................. - 7 -第2课时指数函数的性质与图像的应用................................................ - 13 -4.2对数与对数函数................................................................................................... - 19 -4.2.1对数运算 ................................................................................................... - 19 -4.2.2对数运算法则........................................................................................ - 23 -4.2.3对数函数的性质与图像............................................................................ - 28 -第1课时对数函数的性质与图像............................................................ - 28 -第2课时对数函数的性质与图像的应用................................................ - 33 -4.3指数函数与对数函数的关系............................................................................... - 39 -4.4幂函数 .................................................................................................................. - 44 -4.5增长速度的比较................................................................................................... - 49 -4.6函数的应用(二) .................................................................................................... - 54 - 第五章统计与概率.............................................................................................................. - 59 -5.1统计 ...................................................................................................................... - 59 -5.1.1数据的收集................................................................................................ - 59 -第1课时总体与样本、简单随机抽样.................................................... - 59 -第2课时分层抽样.................................................................................... - 65 -5.1.2数据的数字特征........................................................................................ - 70 -5.1.3数据的直观表示........................................................................................ - 78 -5.1.4用样本估计总体........................................................................................ - 86 -5.3概率 ...................................................................................................................... - 92 -5.3.1样本空间与事件........................................................................................ - 92 -5.3.2事件之间的关系与运算............................................................................ - 96 -5.3.3古典概型 ................................................................................................. - 102 -5.3.4频率与概率.............................................................................................. - 107 -5.3.5随机事件的独立性.................................................................................. - 110 -5.4统计与概率的应用............................................................................................. - 116 - 第六章平面向量初步........................................................................................................ - 121 -6.1平面向量及其线性运算..................................................................................... - 121 -6.1.1向量的概念.............................................................................................. - 121 -6.1.2向量的加法.............................................................................................. - 126 -6.1.3向量的减法.............................................................................................. - 132 -6.1.4数乘向量 ................................................................................................. - 137 -6.1.5向量的线性运算...................................................................................... - 141 -6.2向量基本定理与向量的坐标............................................................................. - 146 -6.2.1向量基本定理.......................................................................................... - 146 -6.2.2直线上向量的坐标及其运算.................................................................. - 151 -6.2.3平面向量的坐标及其运算...................................................................... - 154 -6.3平面向量线性运算的应用................................................................................. - 161 - 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.1实数指数幂及其运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解n次方根、n次根式的概念，能正确运用根式运算性质化简求值．2．理解有理数指数幂的含义，能正确运用其运算法则进行化简、计算．3．理解无理数指数幂，了解指数幂的拓展过程．4．掌握实数指数幂的运算法则．1.通过学习n次方根、n次根式概念及有理数指数幂含义，提升数学抽象素养．2．通过根式运算性质、有理数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．3．通过学习无理数指数幂，了解无限逼近思想，提升数学抽象素养．4．通过实数指数幂运算法则的应用，提升数学运算素养．必备知识·探新知知识点n次方根(1)定义：给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得__x n＝a__，则x称为a的n次方根．(2)表示：n为奇数n为偶数a∈R a＞0a＝0a＜0 x＝__n a__x＝__±n a__0不存在思考：对于式子n a中a一定是非负数吗？如不是，其范围是什么？提示：不一定是非负数，其范围由n的奇偶决定；当n为奇数时，a∈R；当n为偶数时，a≥0．知识点根式(1)当na 有意义时，na 称为根式，n 称为__根指数__，a 称为被开方数． (2)性质：①(na )n＝__a __；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧__a __，n 为奇数，__|a |__，n 为偶数.思考：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R ．分数指数幂的意义 知识点正分数 指数幂 n 为正整数，na 有意义，且a ≠0时，规定a 1n＝__na __ 正分数m n，a m n ＝__(n a )m __＝na m负分数 指数幂s 是正分数，a s 有意义且a ≠0时，规定a －s ＝__1as __思考：分数指数幂中的mn有什么规定？提示：mn 为既约分数，如果没有特殊说明，一般总认为分数指数中的分数都是既约分数．知识点无理数指数幂当a ＞0且t 是无理数时，a t 是一个确定的__实数__． 思考：当a ＞0时，式子a x 中的x 的范围是什么？ 提示：x ∈R ． 知识点实数指数幂的运算法则(a ＞0，b ＞0，r ，s ∈R )(1)a r a s ＝__a r ＋s __． (2)(a r )s ＝__a rs __． (3)(ab )r ＝__a r b r __．关键能力·攻重难题型探究题型n 次方根的概念及相关问题典例剖析典例1 (1)求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围；(2)设－3＜x ＜3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值． [分析] (1)利用a 2＝|a |进行讨论化简． (2)利用限制条件去绝对值号．[解析] (1)(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3) ＝|a －3|a ＋3，要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3成立，需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得－3≤a ≤3，即实数a 的取值范围为[－3,3]． (2)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，∵－3＜x ＜3，∴当－3＜x ＜1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2；当1≤x ＜3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4．∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ＜1，－4，1≤x ＜3.规律方法：1.对于n a ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0时才有意义；(2)只要na 有意义，na 必不为负．2．当n 为偶数时，na n 先化为|a |，再根据a 的正负去绝对值符号． 对点训练1．(1)若4a －2＋(a －3)0有意义，则a 的 取值范围是__[2,3)∪(3，＋∞)__； (2)已知x ∈[1,2]，化简(4x －1)4＋6(x －2)6＝__1__．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －3≠0，得a ≥2，且a ≠3．(2)∵x ∈[1,2]，∴x －1≥0，x －2≤0，∴(4x －1)4＋6(x －2)6＝x －1＋|x －2|＝x －1－(x －2)＝1．题型根式与分数指数幂的互化典例剖析典例2 (1)用根式表示下列各式：a 15；a 34；a －23； (2)用分数指数幂表示下列各式：3a 5；3a 6；13a 2．[分析] 利用分数指数幂的定义求解． [解析] (1)a 15＝5a ；a 34＝4a 3；a －23＝1a 23＝13a 2．(2)3a 5＝a 53 ；3a 6＝a 63＝a 2；13a 2＝1a 23＝a －23．规律方法：根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数化为,分数指数的分母，被开方数(式)的指数――→化为分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算法则解题．对点训练2．(1)用根式表示下列各式：x 35；x －13； (2)用分数指数幂表示下列各式： ①b 3a 2·a 2b 6(a ＞0，b ＞0)； ②a －4b 23ab 2(a ＞0，b ＞0)．[解析] (1)x 35＝5x 3；x －13＝13x． (2)①b 3a 2·a 2b6＝b 3a 2·a b 3＝a －12． ②a－4b 23ab 2＝a －4b 2·(ab 2)13 ＝a－4b 2a 13 b 23 ＝a－113b 83＝a－116b 43．题型有理(实数)指数幂的运算法则的应用典例剖析典例3 化简：(1)(5x －23y 12)·⎝⎛⎭⎫－14x －1y 12 ·⎝⎛⎭⎫－56x 13 y －16 (其中x ＞0，y ＞0)； (2)0.064－13－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] －43 ＋16－0.75； (3)32＋3×27－33； (4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12 ]12＋(2)1－3×(2)1＋3．[分析] 利用幂的运算法则计算．[解析] (1)原式＝⎣⎡⎦⎤5×(－14)×(－56)·x －23 ＋(－1)＋13·y 12 ＋12 －16＝2524x －43 y 56 ． (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3 ＝52－1＋116＋18＝2716． (3)32＋3×27－33＝32＋3×(33)－33＝32＋3×3－3＝32＋3－3＝32＝9．(4)(1＋2)[(－2－1)－2(2)12]12＋(2)1－3×(2)1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2·(2)12 ]12＋(2)1－3＋1＋3＝(1＋2)[(2＋1)－2×12(2)12 ×12 ]＋(2)2 ＝(1＋2)·[(2＋1)－1·(2)14]＋2 ＝(2)14＋2＝2＋218．规律方法：指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．对点训练 3．化简与求值(1)⎝⎛⎭⎫－338 －23 ＋(0.002)－12 －10(5－2)－1＋(2－3)0； (2)3a 32·a －3·(a －5)－12 ·(a －12 )13． [解析] (1)原式＝(－1) －23⎝⎛⎭⎫338－23 ＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎫278－23 ＋(500) 12 －10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679． (2)原式＝(a 32·a －23 )13·[(a －5)－12·(a －12)13] 12＝(a 0) 13·(a 52·a －23)12＝(a －4) 12＝a －2．易错警示典例剖析典例4 化简(1－a )[(a －1)－2·(－a ) 12 ] 12．[错解] 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a ) 14 ＝－(－a ) 14．[辨析] 误解中忽略了题中有(－a ) 12 ，即－a ≥0，a ≤0，则[(a －1)－2] 12 ≠(a －1)－1． [正解] ∵(－a ) 12存在，∴－a ≥0，故a －1＜0，原式＝(1－a )·(1－a )－1(－a ) 14＝(－a )14．4.1.2 指数函数的性质与图像第1课时 指数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念．2．掌握指数函数的性质与图像． 3．初步学会运用指数函数来解决问题．1.通过理解指数函数的概念和意义，发展数学抽象素养．2．通过利用计算机软件作指数函数的图像，发展直观想象素养．3．通过指数函数的实际应用，提升数学建模素养．必备知识·探新知知识点指数函数函数__y ＝a x __称为指数函数，其中a 是常数，a ＞0且a ≠1． 思考：(1)为什么指数函数的底数a ＞0，且a ≠1? (2)指数函数的解析式有什么特征？提示：(1)①如果a ＝0，当x ＞0时，a x 恒等于0，没有研究的必要；当x ≤0时，a x 无意义． ②如果a ＜0，例如f (x )＝(－4)x ，这时对于x ＝12，14，…，该函数无意义．③如果a ＝1，则y ＝1x 是一个常量，没有研究的价值． 为了避免上述各种情况，所以规定a ＞0，且a ≠1．(2)①a ＞0，且a ≠1，②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1． 指数函数的图像和性质知识点0＜a ＜1a ＞1图像定义域 实数集R 值域 __(0，＋∞)__ 性质过定点__(0,1)__是__减__函数是__增__函数思考：(1)对于指数函数y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x，y ＝⎝⎛⎭⎫13x ，…，为什么一定过点(0,1)? (2)对于指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)，在下表中，？处y 的范围是什么？底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 ？ x ＜0 ？ 0＜a ＜1x ＞0 ？ x ＜0？提示：(1)当x ＝0时，a 0＝1恒成立，即指数函数的图像一定过点(0,1)． (2)底数 x 的范围 y 的范围 a ＞1x ＞0 y ＞1 x ＜0 0＜y ＜1 0＜a ＜1x ＞0 0＜y ＜1 x ＜0y ＞1关键能力·攻重难题型探究题型指数函数的概念典例剖析典例1 (1)函数y ＝(a 2－3a ＋3)·a x 是指数函数，则a 的值为__2__． (2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点(π，e)，则f (－π)＝__1e __．[分析] (1)根据指数函数解析式的特征列方程求解． (2)设出指数函数的解析式，代入点的坐标求f (－π)． [解析] (1)由题意得a 2－3a ＋3＝1， 即(a －2)(a －1)＝0， 解得a ＝2或a ＝1(舍)．(2)设指数函数为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 则e ＝a π，所以f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e ．规律方法：1.判断一个函数是指数函数的方法(1)把握指数函数解析式的特征：①底数a ＞0，且a ≠1； ②a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1．(2)有些函数需要对解析式变形后判断，如y ＝13x ＝⎝⎛⎭⎫13x 是指数函数．2．求指数函数解析式的步骤(1)设指数函数的解析式f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)． (2)利用已知条件求底数A ． (3)写出指数函数的解析式． 对点训练1．(1)函数f (x )＝(2a －3)a x 是指数函数，则f (1)＝( D ) A ．8 B ．32C ．4D ．2(2)指数函数y ＝f (x )的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，那么f (4)·f (2)＝__64__． [解析] (1)因为f (x )＝(2a －3)a x 为指数函数，所以2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (1)＝21＝2．(2)设指数函数的解析式为y ＝a x (a ＞0且a ≠1)， 因为函数的图像经过点⎝⎛⎭⎫－2，14，所以 14＝a －2，所以a ＝2， 所以指数函数的解析式为y ＝2x ， 所以f (4)·f (2)＝24×22＝26＝64． 题型指数函数的图像问题典例剖析典例2 (1)函数y ＝a x ，y ＝x ＋a 在同一坐标系中的图像可能是( D )(2)要得到函数y ＝23－x 的图像，只需将函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图像( A ) A ．向右平移3个单位 B ．向左平移3个单位 C ．向右平移8个单位D ．向左平移8个单位[分析] (1)要注意对a 进行讨论，分0＜a ＜1和a ＞1两种情况讨论判断． (2)先对解析式变形，再进行判断． [解析] (1)函数y ＝x ＋a 单调递增． 由题意知a ＞0且a ≠1．当0＜a ＜1时，y ＝a x 单调递减，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于0且小于1； 当a ＞1时，y ＝a x 单调递增，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距大于1.故选D ． (2)因为y ＝23－x ＝⎝⎛⎭⎫12 x －3，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图像向右平移3个单位得到y ＝⎝⎛⎭⎫12x －3 ， 即y ＝23－x 的图像．规律方法：1.函数图像问题的处理技巧(1)抓住图像上的特殊点，如指数函数的图像过定点．(2)利用图像变换，如函数图像的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性，奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图像的走势．2．指数型函数图像过定点问题的处理策略求指数型函数图像所过的定点时，只需令指数为0，求出对应的x 与y 的值，即为函数图像所过的定点．对点训练2．(1)图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是指数函数y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d x 的图像，则a ，b ，c ，d 与1之间的大小关系是( D )A ．a ＜b ＜1＜c ＜dB ．a ＜b ＜1＜d ＜cC ．b ＜a ＜1＜c ＜dD ．b ＜a ＜1＜d ＜c(2)若函数y ＝a x ＋m －1(a ＞0)的图像经过第一、三和第四象限，则( B ) A ．a ＞1B ．a ＞1，且m ＜0C ．0＜a ＜1，且m ＞0D ．0＜a ＜1[解析] (1)过点(1,0)作直线x ＝1，在第一象限内分别与各曲线相交，可知1＜d ＜c ，b ＜a ＜1，故b ＜a ＜1＜d ＜C ．(2)y ＝a x (a ＞0)的图像在第一、二象限内，欲使y ＝a x ＋m －1的图像经过第一、三、四象限，必须将y ＝a x 向下移动．当0＜a ＜1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，故只有当a ＞1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限．当a ＞1时，图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，故m －1＜－1，所以m ＜0，故选B ．题型指数函数的定义域、值域问题典例剖析典例3 (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值域为(1，＋∞)，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－2，－1)∪(1，2)B ．(－1,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)(2)函数y ＝52x －1的定义域为__⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x ≥12__． [分析] (1)根据指数函数的图像，函数值恒大于1，底数应该大于1可得． (2)根据根式的性质，被开方数大于或等于0求解．[解析] (1)当x ＞0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则底数a 2－1＞1，a 2＞2，所以|a |＞2，所以实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．(2)要使函数y ＝52x －1有意义，则2x －1≥0，所以x ≥12.所以函数y ＝ 52x －1的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥12．规律方法：函数y ＝a f (x )定义域、值域的求法(1)定义域：形如y ＝a f (x )形式的函数的定义域是使得f (x )有意义的x 的取值集合． (2)值域：①换元，令t ＝f (x )； ②求t ＝f (x )的定义域x ∈D ； ③求t ＝f (x )的值域t ∈M ；④利用y ＝a t 的单调性求y ＝a t ，t ∈M 的值域．提醒：(1)通过建立不等关系求定义域时，要注意解集为各不等关系解集的交集． (2)当指数型函数的底数含字母时，在求定义域、值域时要注意分类讨论． 对点训练3．(1)已知集合A ＝{x |y ＝21x -4}，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝____________；(2)求函数y ＝312x -4的定义域和值域．[解析] (1)要使y ＝21x -4有意义需x －4≠0，则x ≠4，即A ＝{x |x ≠4，x ∈R }，所以A ∩B ＝{0,2}．(2)要使函数y ＝312x -4有意义，只需2x －4＞0，解得x ＞2；令t ＝12x -4，则t ＞0，由于函数y ＝3t在t ∈(0，＋∞)上是增函数，故3t＞1.故函数y ＝312x -4的定义域为{x |x ＞2}，值域为{y |y ＞1}．误区警示：此题易忽略2x －4≠0，而误认为2x －4≥0从而造成错误．易错警示典例剖析典例4 若函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a 的值．[错解] ∵函数f (x )＝a x －1(a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，∴a ＝3．故实数a 的值为3．[辨析] 误解中没有对a 进行分类讨论．[正解] 当a ＞1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是增函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧ a 0－1＝0a 2－1＝2，解得a ＝ 3.当0＜a ＜1时，函数f (x )＝a x －1在[0,2]上是减函数，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 0－1＝2a 2－1＝0，此时a 无解．综上所述，a ＝3．第2课时 指数函数的性质与图像的应用素养目标·定方向课程标准学法解读1.进一步熟练掌握指数函数的图像、性质．2．会求指数型函数的定义域、值域、最值，以及能判断与证明单调性．3．能够利用指数函数的图像和性质比较数的大小、解不等式．1.通过例题进一步深入理解指数函数的单调性及其应用，提升学生的逻辑推理素养． 2．借助指数函数的性质，研究指数型函数的相关问题，提升学生的数学运算及数学抽象素养．必备知识·探新知知识点底数与指数函数图像的关系(1)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝1相交于点(1，a )可知，在y 轴右侧，图像从__下__到__上__相应的底数由小变大．(2)由指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像与直线x ＝－1相交于点⎝⎛⎭⎫－1，1a 可知，在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数__由大变小__．如图所示，指数函数底数的大小关系为0＜a 4＜a 3＜1＜a 2＜a 1． 知识点 解指数型不等式(1)形如a f (x )＞a g (x )的不等式，可借助y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的__单调性__求解；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x(a＞0且a≠1)的__单调性__求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x(a＞0且a≠1)，y＝b x(b＞0且b≠1)的图像求解．知识点与指数函数复合的函数单调性一般地，形如y＝a f(x)(a＞0且a≠1)函数的性质有：(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有__相同__的定义域．(2)当a＞1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相同__的单调性；当0＜a＜1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有__相反__的单调性．思考：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性取决于哪个量？(2)如何判断形如y＝f(a x)(a＞0且a≠1)的函数的单调性？提示：(1)指数函数y＝a x(a＞0且a≠1)的单调性与其底数a有关，当a＞1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是增函数，当0＜a＜1时，y＝a x(a＞0且a≠1)在定义域上是减函数．(2)①定义法，即“取值—作差—变形—定号”．其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；②利用复合函数的单调性“同增异减”的规律．关键能力·攻重难题型探究题型指数函数性质的简单应用典例剖析典例1比较下列各组数的大小：(1)1.72.5,1.73；(2)0.8－0.1,0.8－0.2；(3)1.70.3,0.93.1；(4)55，33，2．[分析]底数相同的幂值a b与a c比较大小，一般用y＝a x的单调性；指数相同的幂值a c 与b c比较大小，可在同一坐标系中，画出y＝a x与y＝b x的图像考察x＝c时，函数值的大小；底数与指数均不同的一般考虑先化同底．不方便化时，常借助中间量0、1等过渡．[解析](1)考查指数函数y＝1.7x，由于底数1.7＞1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．∵2.5＜3，∴1.72.5＜1.73．(2)考查函数y ＝0.8x ，由于0＜0.8＜1，所以指数函数y ＝0.8x 在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵－0.1＞－0.2，∴0.8－0.1＜0.8－0.2．(3)由指数函数的性质得 1．70.3＞1.70＝1， 0.93.1＜0.90＝1， ∴1.70.3＞0.93.1．(4)底数不同、根指数也不同的两个数比较其大小，要化为同底数的或化为同指数的再作比较．∵2＝212＝(23) 16 ＝816，33＝313 ＝(32) 16 ＝916 而8＜9.∴816 ＜916，即2＜33， 又2＝212＝(25) 110 ＝32110，55＝515＝(52) 110，而25＜32，∴55＜2．总之，55＜2＜33．规律方法：利用指数函数的性质比较大小的方法：1．把这两个数看作指数函数的两个函数值，再利用指数函数的单调性比较．2．若两个数不是同一个函数的两个函数值，则寻求一个中间量，中间量常选1，两个数都与这个中间量进行比较．对点训练1．比较下列各题中两个值的大小． (1)0.3x 与0.3x ＋1； (2)⎝⎛⎭⎫12－2与212 ．[解析] (1)∵y ＝0.3x 为减函数， 又x ＜x ＋1，∴0.3x ＞0.3x ＋1．(2)化同底为：(12)－2＝22，与212 ，∵函数y ＝2x 为增函数，2＞12．∴22＞212，即(12)－2＞212 ．题型形如y ＝a f (x )类型函数的单调性与值域典例剖析典例2 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间、值域． [分析] 利用复合函数单调性的原则“同增异减”求解 [解析] 令t ＝－x 2＋x ＋2， 则y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，因为t ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，可得t 的减区间为⎣⎡⎭⎫12，＋∞，因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12t 在R 上是减函数， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2的单调递增区间⎣⎡⎭⎫12，＋∞； 又t ≤94，所以⎝⎛⎭⎫12t ≥⎝⎛⎭⎫1294， 所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫12－x 2＋x ＋2值域为⎣⎡⎭⎫⎝⎛⎭⎫1294，＋∞． 规律方法：复合函数的单调性、值域 (1)分层：一般分为外层y ＝a t ，内层t ＝f (x )．(2)单调性复合：复合法则“同增异减”，即内外层的单调性相同则为增函数，单调性相反则为减函数．(3)值域复合：先求内层t 的值域，再利用单调性求y ＝a t 的值域． 对点训练2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的单调递减区间是__[1，＋∞)__，值域是__⎝⎛⎦⎤－∞，32__． [解析] 令t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫23t ，利用二次函数的性质可得函数t 的增区间为[1，＋∞)，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的减区间是[1，＋∞)；因为t ≥－1，所以f (x )≤32，所以函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫23x 2－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32． 题型指数函数性质的综合应用典例剖析典例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ＜1，对任意x 1≠x 2 ，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，则实数a 的取值范围是( B )A ．(4,8)B ．[4,8)C ．(1，＋∞)D ．(1, 8)(2)已知函数f (x )＝a ·2x －11＋2x 是R 上的奇函数．①判断并证明f (x )的单调性；②若对任意实数，不等式f [f (x )]＋f (3－m )＞0恒成立，求m 的取值范围． [解析] (1)因为分段函数为增函数，所以满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4－a 2＞0，a ≥6－a 2，解得4≤a ＜8．(2)①因为f (x )为R 上的奇函数， 所以f (0)＝0，即a －12＝0，由此得a ＝1，所以f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，所以f (x )为R 上的增函数．证明：设x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1， 因为x 1＜x 2，所以22x 2＋1－22x 1＋1＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数． ②因为f (x )为R 上的奇函数．所以原不等式可化为f [f (x )]＞－f (3－m )， 即f [f (x )]＞f (m －3)，又因为f (x )为R 上的增函数，所以f (x )＞m －3， 由此可得不等式m ＜f (x )＋3＝4－22x ＋1对任意实数x 恒成立，由2x ＞0⇒2x ＋1＞1⇒0＜22x ＋1＜2⇒－2＜－22x ＋1＜0⇒2＜4－22x ＋1＜4，所以m ≤2．规律方法：1.关于分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤x 0，g (x )，x ＞x 0的单调性(1)增函数：f (x )，g (x )均为增函数，且f (x 0)≤g (x 0)． (2)减函数：f (x )，g (x )均为减函数，且f (x 0)≥g (x 0)． 2．含参数恒成立问题的一种处理方法将参数分离到左侧，根据不等号恒成立的方向，求出右侧函数的最大值或最小值，即可得到参数的范围．特别提醒：已知分段函数的单调性求参数的范围时，容易忽视判断分界点处取值的大小． 对点训练3．(1)若将本例(1)中的函数改为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，其他条件不变，试求a 的范围；(2)已知f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m .如果对于任意的x 1∈[－2,2]，总存在 x 2∈[－2,2]，使得f (x 1)≤g (x 2)，则实数m 的取值范围是__m ≥－5__．[解析] (1)因为函数f (x )满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0成立，所以函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2a ＞1，a ≥32.得32≤a ＜2． (2)因为f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数， 所以f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1∈(0,3]， 则当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－3,3]， 若对于∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]， 使得g (x 2)≥f (x 1)， 则等价为g (x )max ≥3，因为g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1， x ∈[－2,2]，所以g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ， 则满足8＋m ≥3解得m ≥－5．易错警示典例剖析典例4 求函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x＋1的值域．[错解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34，所以t ＝－12时，y min ＝34， 所以函数的值域为⎣⎡⎭⎫34，＋∞．[辨析] 在换元时，令t ＝⎝⎛⎭⎫12x，所以⎝⎛⎭⎫12x ＞0，在误解中忽略了这一点． [正解] 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34． 因为t ＞0，y ＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34在(0，＋∞)上是增函数， 所以y ＞1，即函数的值域为(1，＋∞)．4.2 对数与对数函数4.2.1 对数运算素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数的概念．2．知道自然对数和常用对数．3．通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．1.会用对数的定义进行对数式与指数式的互化．2．理解和掌握对数的性质，会求简单的对数值，发展数学抽象及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数的概念(1)定义：在代数式a b ＝N (a ＞0且a ≠1)，N ∈(0，＋∞)中，幂指数b 称为以a 为底N 的对数．(2)记法：b ＝__log a N __，a 称为对数的__底数__，N 称为对数的__真数__． (3)范围：N ＞0，即__负数和零没有对数__． 思考：(1)为什么负数和零没有对数？ (2)对数式log a N 是不是log a 与N 的乘积？提示：(1)因为b ＝log a N 的充要条件是a b ＝N ，当a ＞0且a ≠1时，由指数函数的值域可知N ＞0，故负数和零没有对数．(2)不是，log a N 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 知识点对数恒等式(1)a log a N ＝N ． (2)log a a b ＝B ． 知识点常用对数与自然对数(1)常用对数：log 10N ，简写为lg N ．(2)自然对数：log e N ，简写为ln N ，e ＝2.718 28…．关键能力·攻重难题型探究题型对数的概念典例剖析典例1 若a 2 020＝b (a ＞0，且a ≠1)，则( A ) A ．log a b ＝2 020 B ．log b a ＝2 020 C ．log 2 020a ＝bD ．log 2 020b ＝a(2)对数式log (a －2)(5－a )中实数a 的取值范围是( C ) A ．(－∞，5) B ．(2,5) C ．(2,3)∪(3,5)D ．(2，＋∞)(3)下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B ) A ．e 0＝1与ln 1＝0 B ．log 39＝2与912＝3 C ．8－13＝12与log 812＝－13D ．log 77＝1与71＝7[分析] (1)根据对数的定义转化．(2)对数式中底数大于0且不等于1，真数大于0． (3)根据对数式的定义判断．[解析] (1)若a 2020＝b (a ＞0，且a ≠1)则log a b ＝2 020．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞0，a －2≠1，5－a ＞0，解得2＜a ＜3或3＜a ＜5．(3)由指、对数式的互化可知，A 、C 、D 正确；对于B 选项log 39＝2可化为32＝9，所以B 选项错误．规律方法：指数式与对数式互化的思路 (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 对点训练1．(1)如果a 5＝b (a ＞0且a ≠1，b ＞0)，则( A ) A ．log a b ＝5 B ．log a 5＝b C ．log 5a ＝bD ．log 5b ＝a(2)若对数式log (t －2)3有意义，则实数t 的取值范围是( B ) A ．[2，＋∞) B ．(2,3)∪(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(2，＋∞)[解析] (1)如果a 5＝b (a ＞0，且a ≠1，b ＞0)则化为对数式为log a b ＝5．(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧t －2＞0t －2≠1，解得t ＞2且t ≠3．所以t 的取值范围是(2,3)∪(3，＋∞) 题型利用指数式与对数式关系求值角度1 利用指数式与对数式的互化求值 典例剖析典例2 求下列各式的值： (1)log 381； (2)log 4116；(3)log 128；(4)lg 0.1．[解析] (1)因为34＝81，所以log 381＝4． (2)因为4－2＝116，所以log 4116＝－2．(3)因为⎝⎛⎭⎫12－3＝8，所以log 128＝－3．(4)因为10－1＝0.1，所以lg 0.1＝－1． 角度2 两个特殊对数值的应用 典例3 已知log 2[log 3(log 4x )]＝ log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值． [解析] 因为log 2[log 3(log 4x )]＝0， 所以log 3(log 4x )＝1，所以log 4x ＝3，所以x ＝43＝64，同理求得y ＝16，所以x ＋y ＝80． 规律方法：对数性质在求值中的应用1．对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0．2．使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于有多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．对点训练2．(1)log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x －12等于( C ) A ．36 B ．39C ．24D ．23(2)log 3127＝__－3__；log 5 625＝__4__．[解析] (1)因为log 5[log 3(log 2x )]＝0， 所以log 3(log 2x )＝1，所以log 2x ＝3，所以x ＝23＝8，所以x －12＝8－12＝18＝24． (2)因为3－3＝127，所以log 3127＝－3；因为54＝625， 所以log 5 625＝4． 题型对数恒等式的应用典例剖析 典例4 计算： (1)71－log 75； (2)412(log 29－log 25)；(3)a log a b ·log b c (a 、b 均为不等于1的正数，c ＞0)．[解析] (1)原式＝77log 75＝75．(2)原式＝2(log 29－log 25)＝2log 292log 25＝95．(3)原式＝(a log a b )log b c ＝b log b c ＝C ．规律方法：对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．这就要求首先要牢记对数恒等式，对于对数恒等式a log a N ＝N 要注意格式：(1)它们是同底的；(2)指数中含有对数形式：(3)其值为对数的真数．对点训练3．求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋(19)log 34的值．[解析] 原式＝3·3log 36－24·2log 23＋(10lg3)3＋(3log 34)－2 ＝3×6－16×3＋33＋4－2 ＝18－48＋27＋116＝－4716．易错警示典例剖析典例5 求满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值． [错解] ∵log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1，∴x 2＋3x ＝x ＋3， 即x 2＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1.故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1中x 的值为－3和1． [辨析] 误解中忽略了对数的真数与底数都必须为正数，且底数不能等于1．[正解] 由对数性质，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＞0x ＋3＞0x ＋3≠1x 2＋3x ＝x ＋3，解得x ＝1．故满足等式log (x ＋3)(x 2＋3x )＝1的x 的值为1．4.2.2 对数运算法则素养目标·定方向2．知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对数，并能进行简单的化简、计算．值，进一步提升数学抽象与数学运算素养．必备知识·探新知知识点 积、商、幂的对数若a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，则有 (1)积的对数：__log a (MN )＝log a M ＋log a N __． (2)商的对数：__log a MN ＝log a M －log a N __．(3)幂的对数：__log a M n ＝n log a M __．思考：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a (MNQ )是否适用？你可以得到一个什么样的结论？提示：适用，log a (MNQ )＝log a M ＋log a N ＋log a Q ，积的对数运算性质可以推广到n 项的乘积．知识点 换底公式若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且c ≠1，b ＞0，则有__log a b ＝log c blog c a __．思考：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示是什么形式？ (2)你能用换底公式推导出结论log Nn M m ＝mn log N M 吗？提示：(1)log a b ＝lg b lg a ，log a b ＝ln bln a．(2)log Nn M m＝lg M m lg N n ＝m lg M n lg N ＝m n ·lg M lg N ＝mn log NM ．关键能力·攻重难题型探究题型利用对数的运算法则求值典例剖析 典例1 计算：(1)log a 2＋log a 12(a ＞0且a ≠1)；(2)log 318－log 32；(3)2log 510＋log 50.25； (4)2log 525＋3log 264； (5)log 2(log 216)； (6)62log 63－20log 71＋log 4116． [解析] (1)log a 2＋log a 12＝log a (2×12)＝log a 1＝0．(2)log 318－log 32＝log 3(18÷2)＝log 39＝2． (3)2log 510＋log 50.25＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝2．(4)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝4＋18＝22． (5)log 2(log 216)＝log 24＝2．(6)原式＝6log 69－20×0＋log 44－2＝9－2＝7． 规律方法：对于同底的对数的化简，常用的方法： (1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． (2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)． 对点训练1．计算log 535＋2log 22－log 5150－log 514的值． [解析] log 535＋2log 22－log 5150－log 514＝log 535＋2×12＋log 550－log 514＝log 535×5014＋1＝3＋1＝4．题型利用对数的运算法则化简典例剖析典例2 用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： (1)lg (xyz )；(2)lg xy 2z ；(3)lg xy 3z ；(4)lg xy 2z ．[解析] (1)lg (xyz )＝lg x ＋lg y ＋lg z ． (2)lg xy 2z ＝lg (xy 2)－lg z ＝lg x ＋2lg y －lg z ．(3)lg xy 3z ＝lg (xy 3)－lg z ＝lg x ＋3lg y －12lg z ．(4)lg x y 2z ＝lg x －lg (y 2z )＝12lg x －2lg y －lg z ．规律方法：关于对数式的化简首先观察式子的结构、层次特征，确定化简的顺序，其次利用积、商、幂的对数运算法则依次展开．对点训练2．lg 2＝a ，lg 3＝b ，试用a 、b 表示lg 108，lg 1825．[解析] lg 108＝lg(27×4)＝lg(33×22)＝lg 33＋lg 22＝3lg 3＋2lg 2＝2a ＋3B ．lg 1825＝lg 18－lg 25＝lg (2×32)－lg 10222＝lg 2＋lg 32－lg 102＋lg 22＝lg 2＋2lg 3－2＋2lg 2＝3a ＋2b －2．题型换底公式及其应用典例剖析典例3 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，用a 、b 表示log 3645的值； (2)设3x ＝4y ＝6z ＞1，求证：1z －1x ＝12y．[分析] 在(1)中把所求的换成与已知同底的对数，在(2)中可用整体代换法求出x ，y ，z ，并结合换底公式与对数的运算性质证明．[解析] (1)由18b ＝5，得log 185＝b ， ∴log 3645＝log 1845log 1836＝log 185＋log 1891＋log 182＝b ＋a 1＋1－log 189＝a ＋b 2－a．(2)设3x ＝4y ＝6z ＝t ，∵3x ＝4y ＝6z ＞1， ∴t ＞1，∴x ＝lg t lg 3，y ＝lg t lg 4，z ＝lg tlg 6，∴1z －1x ＝lg 6lg t －lg 3lg t ＝lg 2lg t ＝lg 42lg t ＝12y ． ∴1z －1x ＝12y． 规律方法：换底公式的应用(1)一般利用常用对数或自然对数进行化简求值． (2)注意指数式与对数式的互化在求值中的应用．(3)注意一些常见结论的应用，如对数的倒数公式1log a b ＝log b A ．对点训练3．(1)若3a ＝7b ＝21，求1a ＋1b的值；(2)设4a ＝5b ＝m ，且1a ＋2b ＝1，求m 的值．[解析] (1)∵3a ＝7b ＝21， ∴a ＝log 321，b ＝log 721， ∴1a ＋1b ＝1log 321＋1log 721 ＝1lg 21lg 3＋1lg 21lg 7＝lg 3＋lg 7lg 21＝lg 2112lg 21＝2．(2)∵4a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 4m ，b ＝log 5m ， 又1a ＋2b ＝1，∴1log 4m ＋2log 5m ＝1， 即log m 4＋2log m 5＝1， ∴log m 100＝1，∴m ＝100．易错警示典例剖析典例4 已知lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，求log 2xy的值．[错解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵xy ＝1或4， ∴log2xy＝log 21＝0或log 2xy＝log 24＝4． [辨析] 误解中忽视了对数的真数大于0这一条件．[正解] ∵lg x ＋lg y ＝2lg (x －2y )，∴xy ＝(x －2y )2，即x 2－5xy ＋4y 2＝0． ∴(x －y )(x －4y )＝0，解得x ＝y 或x ＝4y ． ∵x ＞0，y ＞0，x －2y ＞0，∴x ＝y 应舍去． ∴xy＝4，∴log 2xy＝log 24＝4．4.2.3对数函数的性质与图像第1课时对数函数的性质与图像素养目标·定方向课程标准学法解读1.理解对数函数的概念．2．初步掌握对数函数的性质与图像．理解对数函数的概念及对数函数的性质与图像，发展学生的数学抽象素养、直观想象素养及数学运算素养．必备知识·探新知知识点对数函数函数y＝__log a x__称为对数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1．思考：(1)对数函数的定义域是什么？为什么？(2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)定义域为x＞0，因为负数和零没有对数．(2)①a＞0，且a≠1；②log a x的系数为1；③自变量x的系数为1．对数函数的性质与图像知识点0＜a＜1a＞1 图像定义域__(0，＋∞)__值域__R__性质过__定点(1,0)____是减函数____是增函数__思考：(1)对于对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x，…，为什么一定过点(1,0)?(2)对于对数函数y＝log a x(a＞0且a≠1)，在表中，？处y的范围是什么？底数x的范围y的范围a＞1x＞1？0＜x＜1？0＜a＜1x＞1？0＜x＜1？提示：(1)当x＝1时，log a1＝0恒成立，即对数函数的图像一定过点(1,0)．(2)底数x的范围y的范围a＞1x＞1y＞0 0＜x＜1y＜00＜a＜1x＞1y＜0 0＜x＜1y＞0关键能力·攻重难题型探究题型对数函数的概念典例剖析典例1指出下列函数哪些是对数函数？(1)y＝2log3x；(2)y＝log5x；(3)y＝log x2；(4)y＝log2x＋1．[解析](1)log3x的系数是2，不是1，不是对数函数．(2)是对数函数．(3)自变量在底数位置，不是对数函数．(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．规律方法：判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a＞0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1．(2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x．对点训练1．(1)下列函数是对数函数的是(D)A．y＝log a(2x) B．y＝lg 10x。
2020-2021学年数学新教材人教A版必修第二册作业：6.3.1平面向量基本定理
6.3 平面向量基本定理及坐标表示 第7课时 平面向量基本定理
课时基作础训业练设计
——作业目标——
1.了解平面向量基本定理的概念. 2.通过定理用两个不共线向量来表示另一向量或将一个向量分 解为两个向量. 3.能运用平面向量的基本定理处理简单的几何问题.
——基础巩固——
二、填空题(每小题5分，共20分)
8．已知P为△ABC所在平面内一点，且满足
→ AP
＝Байду номын сангаас(
→ AB
＋
→ AC
)，
B→P＝(1－2μ)B→C(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝
3 4
.
解析：因为B→P＝(1－2μ)B→C，所以B→A＋A→P＝(1－2μ)(B→A＋A→C)，
故A→P＝(1－2μ)(－A→B＋A→C)＋A→B＝2μA→B＋(1－2μ)A→C.
∴xy＝ ＝2－＋22λ，λ， 消去λ得x＋y＝2.
7．(多选)在任意平面四边形ABCD中，点E，F分别在线段AD， BC上，E→F＝λA→B＋μD→C(λ，μ∈R)，给出下列四组等式，其中，符合 条件的是( BD )
A.A→E＝14A→D，B→F＝34B→C B.A→E＝12A→D，B→F＝12B→C C.A→E＝13A→D，B→F＝23B→C D.A→E＝23A→D，B→F＝23B→C
解：由A→N＝3N→C，知N为AC的四等分点． M→N＝M→C＋C→N＝12A→D－14A→C＝12A→D－14(A→B＋A→D)＝－14A→B＋14A→D ＝－14a＋14b.
13．(10分)如图所示，▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点， BF与DE交于点G，设A→B＝a，A→D＝b.
因为A→B，A→C不共线，A→P＝λ(A→B＋A→C)，
新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第
新教材高中数学第6章平面向量初步6.2.1向量基本定理课时30共线向量基本定理练习（含解析）新人教B 版必修第二册知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
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6.2.3 平面向量的坐标及其运算必备知识基础练进阶训练第一层知识点一 平面向量的坐标1.x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA→＝2i ＋3j ；②OB →＝3i ＋4j ；③AB →＝－5i ＋j ；④BA →＝5i －j . 2．如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.知识点二平面上向量的运算与坐标的关系A ．(7,3)B ．(7,7)C ．(1,7)D ．(1,3)4．设AB→＝(2,3)，BC →＝(m ，n )，CD →＝(－1,4)，则DA →等于( ) A ．(1＋m,7＋n ) B ．(－1－m ，－7－n ) 知识点三两点之间的距离公式与中点坐标公式5.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 相等，则mn ＝________，|n a ＋m b |＝________.6．在△ABC 中，已知点A (3,7)，B (－2,5)，若线段AC ，BC 的中点都在坐标轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．知识点四 向量平行的坐标表示7. ) A ．(4,8) B ．(8,4) C ．(－4，－8) D ．(－4,8)8．已知A ，B ，C 三点共线，BA →＝－38AC →，点A ，B 的纵坐标分别为2,5，则点C 的纵坐标为________．9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,6)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ， (1)若u ∥v ，求实数x 的值；(2)若a ，v 不共线，求实数x 的值．关键能力综合练 进阶训练第二层 1．已知a ＝(2,3)，b ＝(4，y )，且a ∥b ，则y 的值为( ) A ．6 B ．－6 C.83 D ．－832．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值是( )A ．－112 B.112C ．－292 D.2923．线段M 1M 2的端点M 1，M 2的坐标分别为(1,5)，(2,3)，且M 1M →＝－2MM 2→，则点M 的坐标为( ) A ．(3,8) B ．(1,3)C ．(3,1)D ．(－3，－1) 4．已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( )A ．(－2,11) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3 D ．(－2,12) 5．(易错题)设k ∈R ，下列向量中，与向量a ＝(1，－1)一定不平行的向量是( )A ．b ＝(k ，k )B ．c ＝(－k ，－k )C ．d ＝(k 2＋1，k 2＋1)D ．e ＝(k 2－1，k 2－1)6．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( )A ．a ＝(1，－2)B ．a ＝(9,3)C ．a ＝(－1,2)D ．a ＝(－4，－8) 二、填空题7．如图，正方形ABCD 中，O 为中心，且OA→＝(1,1)，试用基底向量i ，j 表示下列向量：OB →＝________，OC →＝________，AB →＝________，AC →＝________. 8．已知a ＝(－2,3)，b ∥a ，b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则B 点坐标为________．9．(探究题)已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC→＝λOA →＋(1－λ)OB →，λ∈R ，则x ＝________. 三、解答题10．已知向量AB→＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)． (1)求线段BD 的中点M 的坐标；(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 与λ的值．学科素养升级练进阶训练第三层1．(多选题)已知向量OA＝(1，－3)，OB＝(2，－1)，OC＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k不能取的值是()A．k＝－2 B．k＝12C．k＝1 D．k＝－12．若α，β是一组基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，则称(x，y)为向量γ在基底α，β下的坐标．现已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a在另一组基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐标为()A．(2,0) B．(0，－2)C．(－2,0) D．(0,2)3．(学科素养—数学建模)已知四边形ABCD是边长为6的正方形，E是AB的中点，点F在边BC上，且BF FC＝21，AF与EC相交于点P，求四边形APCD的面积．6．2.3平面向量的坐标及其运算必备知识基础练1．解析：i，j互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA→＝2i＋3j，OB→＝－3i＋4j，AB→＝OB→－OA→＝－5i＋j，BA→＝OA→－OB→＝5i－j，故①③④正确．答案：①③④2．解析：将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)． 答案：(－4,0) (0,6) (－2，－5)3．解析：a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)． 答案：A4．解析：DA →＝DC →＋CB →＋BA →＝－CD →－BC →－AB →＝－(－1,4)－(m ，n )－(2,3)＝(－1－m ，－7－n )．答案：B5．解析：m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )， a －2b ＝(4，－1)．∴⎩⎨⎧2m －n ＝4，3m ＋2n ＝－1，解得⎩⎨⎧m ＝1，n ＝－2，∴m n ＝－12.n a ＋m b ＝－2a ＋b ＝(－5，－4)， ∴|n a ＋m b |＝|－2a ＋b |＝(－5)2＋(－4)2＝25＋16＝41.答案：－12 416．解析：(1)①若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．②若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)．综上C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当C 点坐标为(－3，－5)时， AB ＝(－2－3)2＋(5－7)2＝29， AC ＝(－3－3)2＋(－5－7)2＝65， BC ＝(－3＋2)2＋(－5－5)2＝101.当C 点坐标为(2，－7)时，AB ＝29， AC ＝(2－3)2＋(－7－7)2＝197， BC ＝(2＋2)2＋(－7－5)2＝410.7．解析：∵a ＝(1，－2)，|b |＝4|a |，a ∥b ，∴b 可能是(4，－8)或(－4,8)．故选D.答案：D8．解析：设点C 的纵坐标为y ，∵A ，B ，C 三点共线，BA →＝－38AC →，A ，B 的纵坐标分别为2,5，∴2－5＝－38(y －2)．∴y ＝10. 答案：109．解析：(1)u ＝a ＋2b ＝(1,2)＋(2x,12)＝(1＋2x,14)， v ＝2a －b ＝(2,4)－(x,6)＝(2－x ，－2)． 由u ∥v ，故－2(1＋2x )＝14(2－x )，得x ＝3. (2)由a ∥v 可知，－2＝2(2－x )， 得x ＝3.若a ，v 不共线，则x ≠3. 关键能力综合练1．解析：∵a ∥b ，∴2y －3×4＝0，即y ＝6. 答案：A2．解析：a ＋b ＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc ＝(4λ，xλ)，又a ＋b＝λc ，故⎩⎨⎧－2＝4λ，7＝xλ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，则λ＋x ＝－292. 答案：C3．解析：设M (x ，y )，则M 1M →＝(x －1，y －5)，MM 2→＝(2－x,3－y )，由M 1M →＝－2MM 2→，得⎩⎨⎧x －1＝－2(2－x )，y －5＝－2(3－y ).解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，故点M 的坐标为(3,1)．答案：C4．解析：因为P 在MN 的延长线上且|MP |＝2|PN |，所以MP→＝2NP →，则OP →－OM →＝2(OP →－ON →)， 所以OP→＝2ON →－OM →＝2(0,5)－(2，－1)， 即OP →＝(－2,11)． 答案：A5．解析：易知当k ＝0时，b ＝c ＝0与a 平行； 若a ∥d ，则－(k 2＋1)＝k 2＋1，即k 2＋1＝0. 显然k 不存在．故a 不平行于d ，当k ＝±1时，e ＝0与a 平行． 答案：C6．解析：AB→＝(3－2,1＋1)＝(1,2)，∵(－4，－8)＝－4(1,2)， ∴(－4，－8)满足条件．答案：D7．解析：如题图所示，OA→＝(1,1)＝i ＋j ， ∴OE→＝i ，EA →＝j . ∴OF→＝－OE →＝－i ，FB →＝EA →＝j ，FC →＝－FB →＝－j . ∴OB →＝OF →＋FB →＝－i ＋j ；OC →＝OF →＋FC →＝－i －j ；AB →＝OB →－OA →＝－i ＋j －(i ＋j )＝－2i .同理，BC→＝OC →－OB →＝－i －j －(－i ＋j )＝－2j ， AC→＝AB →＋BC →＝－2i ＋(－2j )＝－2i －2j . 答案：－i ＋j －i －j －2i －2i －2j 8．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB→＝(x －1，y －2)＝b . 由⎩⎨⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎨⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，72或⎝ ⎛⎭⎪⎫73，09．解析：取O (0,0)， 由OC→＝λOA →＋(1－λ)OB →得， (x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎨⎧x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.答案：210．解析：(1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)．∵AB→＝(4,3)，A (－1，－2)， ∴(x 1＋1，y 1＋2)＝(4,3)．∴⎩⎨⎧x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，∴⎩⎨⎧x 1＝3，y 1＝1.∴B (3,1)．同理可得D (－4，－3)．设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)， 则x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1. (2)由已知得PB→＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )， BD→＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 又PB→＝λBD →，∴(1,1－y )＝λ(－7，－4)， 即⎩⎨⎧1＝－7λ，1－y ＝－4λ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－17，y ＝37.学科素养升级练1．解析：由题意可知，A ，B ，C 三点不共线．若A ，B ，C 三点共线，则AB→∥AC →，又AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(k ，k ＋1)，所以2k －(k ＋1)＝0，即k ＝1.所以选ABD. 答案：ABD2．解析：∵a 在基底p ，q 下的坐标为(－2,2)， ∴a ＝－2p ＋2q ＝－2(1，－1)＋2(2,1)＝(2,4)． 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2，∴a 在基底m ，n 下的坐标为(0,2)． 答案：D3．解析：如图所示，以AB ，AD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则有A (0,0)，B (6,0)，C (6,6)，D (0,6)．由E 为AB 的中点，则E (3,0)， 由BF :FC ＝2:1，∴F (6,4)．设P (x ，y )，则AP→＝(x ，y )． ∵AP→与AF →共线， ∴4x ＝6y 即y ＝23x .① ∵EP→＝(x －3，y )，EC →＝(3,6)， EP→与EC →共线， ∴3y ＝6(x －3)，即y ＝2(x －3)．②由①②得x ＝92，y ＝3，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，3.由S 四边形APCD ＝S 正方形ABCD －S △ABF －S △CPF ， ＝6×6－12×6×4－12×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫6－92＝452.45∴四边形APCD的面积为2.。