2013年安徽省池州市东至县高考数学一模试卷(文科)

2013年安徽省池州市东至县高考数学一模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知：集合P={x|x≤3}，则()A.-l⊆PB.{-1}∈PC.{-l}⊆PD.ϕ∈P【答案】C【解析】试题分析：题目给出的集合P是数的集合，包含了小于等于3的所有实数，-1是集合P 的一个元素，由-1一个元素构成的集合是集合P的子集．元素与集合之间的关系不能用“⊆”表示，所以A不正确；集合与集合之间的关系不能用“∈”表示，所以B、D不正确；{-1}是集合P的子集，所以C正确．故选C．2.已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：我们分别判断“a＞2”⇒“a2＞2a”与“a2＞2a”⇒“a＞2”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到答案．∵当“a＞2”成立时，a2-2a=a(a-2)＞0∴“a2＞2a”成立即“a＞2”⇒“a2＞2a”为真命题；而当“a2＞2a”成立时，a2-2a=a(a-2)＞0即a＞2或a＜0∴a＞2不一定成立即“a2＞2a”⇒“a＞2”为假命题；故“a＞2”是“a2＞2a”的充分非必要条件故选A3.已知向量，，，若∥，则k=()A.-5B.5C.-1D.1【答案】B【解析】试题分析：由向量的加减运算可得的坐标，然后由向量平行的充要条件可得关于k 的方程，解之即可．由题意可得=(3，1)-(k，7)=(3-k，-6)，由∥可得：3(3-k)-(-6)×1=0，解得k=5，故选B4.函数y=f(x)的图象在点P(5，f(x))处的切线方程是y=-x+8，则f(5)+f′(5)=()A. B.1 C.2 D.0【答案】C【解析】试题分析：利用切线方程，计算f(5)、f′(5)的值，即可求得结论．将x=5代入切线方程y=-x+8，可得y=3，即f(5)=3∵f′(5)=-1∴f(5)+f′(5)=3-1=2故选C．5.已知f(x)=x2+ax-3a-9，对任意x∈R，恒有f(x)≥0，则f(1)的值等于()A.3B.4C.5D.6【答案】B【解析】试题分析：由题意f(x)=x2+ax-3a-9，对任意x∈R，恒有f(x)≥0，根据其图象令△≤0，求出a值，从而求出f(1)．∵f(x)=x2+ax-3a-9=(x+)2--3a-9，因为图象开口向上，∵f(x)=x2+ax-3a-9，对任意x∈R，恒有f(x)≥0，∴△≤0，∴a2-4(-3a-9)≤0，∴(a+6)2≤0，∴a=-6，∴f(1)=12+a-3a-9=-2a-8=-2×(-6)-8=4，故选B．6.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是()A.y=2cos2xB.y=2sin2xC.D.y=cos2x【答案】A【解析】试题分析：按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可．将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A．7.已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=()A.-4B.-6C.-8D.-10【答案】B【解析】试题分析：利用已知条件列出关于a1，d的方程，求出a1，代入通项公式即可求得a2．∵a4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a32=a1•a4，即(a1+4)2=a1×(a1+6)，解得a1=-8，∴a2=a1+2=-6．故选B．8.若函数f(x)=a(x+1)p(x-1)q(a＞0)在区间[-2，1]上的图象如图所示，则p，q的值可能是()A.p=2，q=2B.p=2，q=1C.p=3，q=2D.p=1，q=1【答案】B【解析】试题分析：由函数的图象结合函数的单调情况即可判断p，q的可能值．由于零点-1是个极值点，故p是偶数，可排除C，D，，故p=2由函数的图象可知及a ＞0，可知，当x＜1时，(x-1)q＜0故q时奇数可排除A∴p，q的可能值为q=1，p=2．故选B．9.若实数x，y满足，的最大值为()A.1B.C.3D.【答案】A【解析】试题分析：先根据约束条件画出可行域，再利用z的几何意义求最大值，只需求出区域内的点Q与点P(-2，-1)连线的斜率的最大值即可．先根据约束条件画出可行域，目标函数转化区域内的点Q与点P(-2，-1)连线的斜率，当动点Q在可行域内交点A(1，2)时，z的值为：=1，即最大值为1．故选A．10.已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A.[0，)B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．′′==∈[-1，0)，因为y′=即tanα∈[-1，0)，∵0≤α＜π∴≤α＜π故选D．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知，则cos2x= ．【答案】【解析】试题分析：将所求式子利用二倍角的三角函数公式化简，同时分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化为sin2x+cos2x，分子分母同时除以cos2x，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanx的值代入即可求出值．∵tanx=-，∴cos2x====．故答案为：12.已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若，则= ．【答案】2【解析】试题分析：根据-3+2=可得，，即，从而可得答案．∵，∴．∴，∴=2．故答案为：2．13.已知，则a，b，c大小关系为．【答案】a＞b＞c【解析】试题分析：依据对数的性质，指数的性质，分别确定a、b、c数值的大小，然后判定选项．因为＞1，b=logπ3∈(0，1)，＜0，所以a＞b＞c．故答案为：a＞b＞c．14.已知f(x)为偶数，且f(2+x)=f(2-x)，当-2≤x≤0时，f(x)=2x，若n∈N*，a n=f(n)，则a2013= ．【答案】【解析】试题分析：根据题意，可得函数f(x)的最小正周期为4，从而得出f(2013)=f(1)，再利用函数为偶函数及当-2≤x≤0时的表达式，即可求出a2013的值．∵f(2+x)=f(2-x)，∴f(4+x)=f(2+(2+x))=f(2-(2+x))=f(-x)又∵f(x)为偶数，即f(-x)=f(x)∴f(4+x)=f(x)，得函数f(x)的最小正周期为4∴f(2013)=f(503×4+1)=f(1)而f(-1)=2-1=，可得f(1)=f(-1)=因此，a2013=f(2013)=f(1)=故答案为：15.如果对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x)≥M(M为常数)，称M为f(x)的下界，下界M中的最大值叫做f(x)的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是．①f(x)=sinx；②f(x)=lgx；③f(x)=e x；④f(x)=．【答案】①③④【解析】试题分析：先理解题目所给的新定义，然后针对所给的四个函数逐一进行验证即可．对f(x)=sinx≥-1在R上恒成立，所以此函数有下确界；对f(x)=lgx∈R在(0，+∞)上恒成立，所以此函数无下确界；对f(x)=e x∈(0，+∞)在R上恒成立，所以此函数有下确界；f(x)=∈{-1，0，1}在R上恒成立，所以此函数有下确界；综上可知①③④对应的函数都有下确界．故答案为：①③④．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，(1)求角A；(2)若a=2，△ABC的面积为，求b，c．【答案】解：(1)由正弦定理==化简已知的等式得：sin C=sin A sin C-sin C cos A，∵C为三角形的内角，∴sin C≠0，∴sin A-cos A=1，整理得：2sin(A-)=1，即sin(A-)=，∴A-=或A-=，解得：A=或A=π(舍去)，则A=；(2)∵a=2，sin A=，cos A=，△ABC的面积为，∴bcsin A=bc=，即bc=4①；∴由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得：4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=(b+c)2-12，整理得：b+c=4②，联立①②解得：b=c=2．【解析】(1)把已知的等式利用正弦定理化简，根据sin C不为0，得到一个关系式，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出A的度数即可；(2)由A的度数求出sin A和cos A的值，由三角形ABC的面积，利用面积公式及sin A的值，求出bc的值，记作①；由a与cos A的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，把bc的值代入求出b+c的值，记作②，联立①②即可求出b与c的值．17.设命题p：函数是R上的减函数，命题q：函数f(x)=x2-4x+3在[0，a]的值域为[-1，3]．若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．【答案】解：命题p：∵函数是R上的减函数，由得…命题q：∵f(x)=(x-2)2-1，在[0，a]上的值域为[-1，3]得2≤a≤4∵p且q为假，p或q 为真得p、q中一真一假．若p真q假得，若p假q真得，综上，＜a＜2或．≤a≤4【解析】命题中，根据指数函数的性质，求出a的范围，对于命题q，根据二次函数的性质，求出a的范围，因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，得p、q中一真一假，然后再分类讨论；18.数列{a n}的前n项和记为S n，已知a1=1，a n+1=S n(n=1，2，3，…)．证明：(Ⅰ)数列{}是等比数列；(Ⅱ)S n+1=4a n．【答案】(I)证：由a1=1，a n+1=S n(n=1，2，3，)，知a2=S1=3a1，，，∴又a n+1=S n+1-S n(n=1，2，3，…)，则S n+1-S n=S n(n=1，2，3，)，∴n S n+1=2(n+1)S n，(n=1，2，3，…)，故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列．(II)证明：S n+1=4a n．当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．由(1)知：，∴S n=n2n-1当n≥2时，4a n=4(S n-S n-1)=2n(2n-n+1)=(n+1)2n=S n+1，等式成立．因此对于任意正整数n≥1都有S n+1=4a n．【解析】(Ⅰ)要证数列{}是等比数列；需证(n=1，2，3，…)成立，另外应说明；(Ⅱ)由(Ⅰ)知数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，可得S n的通项公式，代入a n+1=S n(n=1，2，3，…)可得S n+1=4a n．说明当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．19.设函数f(x)=•其中向量=(2cosx，1)，．(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0，π]上的单调递增区间；(2)当时，f(x)的最大值为4，求m的值．【答案】解：(1)∵，∴函数f(x)的最小正周期．在[0，π]上单调递增区间为．(2)当时，∵f(x)递增，∴当时，f(x)取最大值为m+3，即m+3=4．解得m=1，∴m的值为1．【解析】(1)先根据向量的数量积运算表示出函数f(x)，再由二倍角公式和两角和与差的公式进行化简，根据T=可求得最小正周期，再由正弦函数的单调性可求得单调递增区间．(2)由(1)可知在时函数f(x)单调递增，进而可得到当时f(x)取最大值，然后将代入即可求得m的值．20.某工厂生产一种产品的原材料费为每件40元，若用x表示该厂生产这种产品的总件数，则电力与机器保养等费用为每件0.05x元，又该厂职工工资固定支出12500元．(1)把每件产品的成本费P(x)(元)表示成产品件数x的函数，并求每件产品的最低成本费；(2)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过3000件，且产品能全部销售，根据市场调查：每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系：Q(x)=170-0.05x，试问生产多少件产品，总利润最高？(总利润=总销售额-总的成本)【答案】解：(Ⅰ)根据某工厂生产一种产品的成本费由三部分组成，①职工工资固定支出12500元；②原材料费每件40元；③电力与机器保养等费用为每件0.05x元，可得由基本不等式得当且仅当，即x=500时，等号成立∴的最小值为90元．∴每件产品的最低成本费为90元(Ⅱ)设总利润为y元，∵每件产品的销售价Q(x)与产品件数x有如下关系：Q(x)=170-0.05x∴总销售额=x Q(x)=170x-0.05x2，则y=x Q(x)-x P(x)=-0.1x2+130x-12500=-0.1(x-650)2+29750当x=650时，y max=29750答：生产650件产品时，总利润最高，最高总利润为29750元．【解析】(1)根据每件产品的成本费P(x)等于三部分成本和，建立函数关系，再利用基本不等式求出最值即可；(2)设总利润为y元，根据总利润=总销售额-总的成本求出总利润函数，利用二次函数的性质求出取最值时，x的值即可．21.设函数f(x)=a2x2(a＞0)．(1)将函数y=f(x)图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ(x)的图象，写出y=φ(x)的解析式及值域；(2)关于x的不等式(x-1)2＞f(x)的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围．【答案】解：(1)∵函数f(x)=a2x2(a＞0)，将函数y=f(x)图象向右平移一个单位可得到函数y=φ(x)的图象，∴y=φ(x)的解析式为：y=φ(x)=a2(x-1)2，由完全平方非负的特点可知其值域为：[0，+∞)(2)解法一：不等式(x-1)2＞f(x)的解集中的整数恰有3个⇔(1-a2)x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0．令h(x)=(1-a2)x2-2x+1，由h(0)=1＞0且h(1)=-a2＜0(a＞0)所以函数h(x)=(1-a2)x2-2x+1的一个零点在区间(0，1)，另一个零点一定在区间[-3，-2)故解得解法二：(1-a2)x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，即a＞1(1-a2)x2-2x+1=[(1-a)x-1][(1+a)-1]＞0所以，又因为所以，解得【解析】(1)由图象的平移可知y=φ(x)的解析式；(2)解法一不等式(x-1)2＞f(x)的解集中的整数恰有3个⇔(1-a2)x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故解得，解法二：(1-a2)x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，即a＞1，可得，解得．高中数学试卷第11页，共11页。