高中数学选修4-5课件 §2.2排序不等式

[思路点拨] 解答此题需要假设 a≥b≥c 推出 a2≥b2≥c2， 1 1 1 c≥b≥a，再利用排序不等式进行论证．
[精解详析]
2 2 2
不妨设 a≥b≥c，
1 1 1 则 a ≥b ≥c ， c≥b≥a. 故由排序不等式，得 1 21 21 21 21 21 a· c ＋b · a＋ c · b≥ a · a＋ b · b＋ c · c ，①
[例 1]
已知 a，b，c 为正数，a≥b≥c，求证：
1 1 1 (1)bc≥ca≥ab； a5 b5 c5 1 1 1 (2) 3 3＋ 3 3＋ 3 3≥a＋b＋c. bc ca ab
[思路点拨] 本题考查排序不等式及不等式的性质、 证明不 等 式 等 基 本知 识 ， 考查 推 理 论 证能 力 ． 解答 此 题 只 需根 据 a≥b≥c，直接构造两个数组，利用排序不等式证明即可．
3
1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 a· bc＋b · ca＋c · ab≥a · ab＋b · bc＋c · ca，④
3
(③＋④)÷ 2 可得
2 2 2 2 2 2 a3 b3 c3 a ＋b b ＋c c ＋a bc＋ca＋ab≥ 2c ＋ 2a ＋ 2b .
综上可知， a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2 a3 b3 c3 a＋b＋c≤ ＋ ＋ ≤bc＋ca＋ab. 2c 2a 2b
2．排序不等式 (1)定理 1：设 a，b 和 c，d 都是实数，如果 a≥b，c≥d， 那么 ac＋bd ≥ ad＋bc . 此式当且仅当 a＝b (或 c＝d )时取“＝”号． (2)定理 2：(排序不等式)设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn. 则(顺序和) a1b1＋a2b2＋…＋anbn ≥(乱序和) a1bj1＋a2bj2
[精解详析]
1 1 (1)∵a≥b>0，于是a≤b，又 c>0，
1 1 1 1 1 ∴c >0，从而bc≥ca.同理，∵b≥c>0，于是b≤c ， 1 1 1 1 1 1 ∵a>0，∴a>0，于是得ca≥ab.从而bc≥ca≥ab. 1 1 1 (2)由(1)bc≥ca≥ab，于是由“顺序和≥乱序和”得， a5 b5 c5 b5 c5 a5 ＋ ＋ ≥ ＋ ＋ b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 2 2 2 ＝ 3 ＋ 3＋ 3(∵a ≥b ≥c ， 3≥ 3≥ 3)≥ c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ . c3 a3 b3 c a b a b c
证明：因为 0<a1≤a2≤…≤an， 所以 ln a1≤ln a2≤…≤ln an. 又因为 0≤b1≤b2≤…≤bn；故由排序不等式得：
b1ln a1 ＋ b2ln a2 ＋ … ＋ bnln an≥c1ln a1 ＋ c2ln a2 ＋ … ＋ cnln an≥bnln a1＋bn－1ln a2＋…＋b1ln an 于 是 得 ： ln(a1b1a2b2…anbn)≥ln(a1c1a2c2…ancn)≥ln(a1bna2bn
2
1 21 21 21 21 21 a· b＋b · c ＋c · a≥ a · a＋ b · b＋ c · c ，②
2
a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2 (①＋②)÷ 2 可得 ＋ ＋ ≥a＋b＋c. 2c 2a 2b 1 1 1 又∵a ≥b ≥c 且bc≥ac≥ab，
3 3 3
由排序不等式，得 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 a· bc＋b · ca＋c · ab≥a · ac＋b · ab＋c · bc，③
利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的大小顺序已 确定的情况，关键是根据所给字母的大小顺序构造出不等式中所 需要的带大小顺序的两个数组．
1．设 0<a1≤a2≤…≤an,0≤b1≤b2≤…≤bn，c1，c2，…，cn 为 b1， b2，…，bn 的一组排列，证明： a1b1a2b2…anbn≥a1c1a2c2…ancn≥a1bna2bn－1…anb1.
1…anb1)．
－
又 f(x)＝ln x 在(0，＋∞)为单调增函数， 于是 a1b1a2b2…anbn≥a1c1a2c2…ancn≥a1bna2bn－1…anb1.
需对所证不等式中所给的字母顺序作出假 设的情况Fra bibliotek[例 2]
已知 a，b，c∈R＋.求证：
a2＋b2 b2＋c2 c2＋a2 a3 b3 c3 a＋b＋c≤ ＋ ＋ ≤bc＋ca＋ab. 2c 2a 2b
§2.2 排序不等式
理解教 材新知
§ 2 第 二 章 排 序 不 等 式
把握热 点考向
考点一 考点二
应用创 新演练
[自主学习]
1．顺序和、乱序和、逆序和的概念 设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn， bj1，bj2，…，bjn(其中 j1，j2，…，jn 是 1,2，…，n 的任一排 列方式)，为 b1，b2，…，bn 的任一排列方式． 则 s1＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn 称为 顺序 和； s2＝a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn 称为 乱序 和； s3＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 称为 逆序 ( 倒序 )和．
2． 设 a1≤a2≤…≤an， b1≤b2≤…≤bn 为两组数， c1， c2， …， cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，那么，它们的顺序和、乱序 和、逆序和大小关系如何？
提示：a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1 ＋a2b2＋…＋anbn.
利用排序不等式证明所证不等式中所给字母的 大小顺序已确定的情况
＋…＋anbjn ≥(逆序和) a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 .
其中 j1，j2，…，jn 是 1,2，…，n 的任一排列方式，上式 当且仅当 a1＝a2＝…＝an(或 b1＝b2＝…＝bn) 时取“＝”号．
[合作探究]
1．定理 2 中哪个和最大？哪个和最小？
提示：顺序和最大，逆序和最小．