4.1 柱面66

准线 xoz 面上的曲线 l3.
x
y
双曲柱面
x2 z2 2 2 1 a b
z
o
y
x
抛物柱面
y 2 2 px
z y
o
x
在空间直角坐标系里，因为这些柱面与xOy 坐标面的交线分 别是椭圆，双曲线与抛物线，所以它们依次叫做椭圆柱面，
双曲柱面，抛物柱面，统称为二次柱面. z z
z
y
Oo y xy由方程消去 z , 得 x2 + y2 = 1
这是一个母线平行于z 轴的圆柱面.于是交线C 在xoy面上的投影曲线为 x2 + y2 = 1 这是xoy面上的一个圆. z=0
所以, 所求立体在xoy面上的投影为: x2 + y2 1
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
F1 x, y 0 叫做空间曲线L对xoy面射影的射影柱面; F2 x, z 0 叫做空间曲线L对xoz面射影的射影柱面; F3 y, z 0 叫做空间曲线L对yoz面射影的射影柱面.

F1 x, y 0, 叫做空间曲线L在xoy面上的射影曲线. z0 F2 x, z 0, 叫做空间曲线L在xoz面上的射影曲线. y0
的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面, 投影柱
面与xOy面的交线叫做空间曲线在xOy面上的投影 曲线, 或简称投影. H (x, y) = 0所表示的曲线必定包含 z=0 了空间曲线C在xOy面上的投影.
所以方程
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线 方程.
例1: 已知两个球面的方程分别为: x2 + y2 + z 2 = 1
x
四、空间曲线在坐标面上投影
设空间曲线C的一般方程 F (x , y, z) = 0 G (x , y, z) = 0 由方程组(3)消去z后得方程 H (x, y ) = 0 (4)
(3)
方程(4)表示一个母线平行于z 轴的柱面, 曲线 C 一定在曲面上.
以曲线C为准线, 母线平行于z 轴(即垂直xOy面)
L:
2 2 2 y z 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z
y2+(z – 2)2 = 4 z
将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )
y2 = – 4x
0 y
.
x
空间曲线作为射影柱面的交线 （空间曲线的画法）
第四章
柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
研究空间曲面有两个基本问题：
（1）已知曲面作为点或曲线的轨迹时，求曲面方程． （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
方程 F ( x , y ) 0 表示 柱面, 母线 平行于 z 轴;
准线 xoy 面上的曲线 l1.
x
l1
zl 2
y
方程 G ( y , z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yoz 面上的曲线 l2.
x
z
l3
方程 H ( z , x ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 y 轴;
2 y z 4 x 4 z 2 2 y 3 z 8 x 12 z 将其换成 一组射影柱面的交线
2 2
y2+(z – 2)2 = 4 z
L:
L：
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4
.
(消去x )
L
y2 = – 4x
0 y
.
x
例4
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
z
2 2 2 y z 4 x 4 z L: 2 2 y 3 z 8 x 12 z 将其换成 一组射影柱面的交线
y2 = – 4x ( 消去z )
y2 = – 4x
0 y
x
空间曲线作为射影柱面的交线
（空间曲线的画法）
x0 x z , y0 y z
( x z )2 ( y z )2 1为柱面方程。
三、柱面的判定定理
定理4.1.1 在空间直角坐标系中，只含有两个元（坐标）的
三元方程所表示的曲面是一个柱面，它的母线平行
于所缺元（坐标）的同名坐标轴。
此定理讲叙,在三维空间
z
y
例3 柱面的准线是xoy平面的圆周(中心在原点，半径 为1), 母线平行于直线l：x y z, 求此柱面方程。
解：设M ( x , y , z )为柱面上任意一点
沿母线 , M对应准线上一点 M0 ( x0 , y0 ,0)
则M 0 M // l
M0
M
x x0 y y0 z 1 1 1
空间曲线在坐标面上投影
重点难点：柱面方程的求法.
空间曲线在坐标面上投影
一. 概念
定义4.1.1在空间，由平行于定方向且与 一条定曲线相交的一族平行直线所产生的曲面 叫做柱面. 这条定曲线叫柱 面的准线，那族 平行直线中的每 一直线，都叫做 叫柱面的母线. 观察柱面的形 成过程:
母线
准线
平面
圆柱面
x2 y 2 a2
z
o
x
y
一、柱面的概念
说明：除平面外，柱面的母线方向（也称为柱面的方向）是 确定(两个）的，而柱面的准线不是惟一(无数个）的，每一条
z 与柱面的母线都相交的曲线都可以作为柱面的准线 .
母线
v
准线
0
y
准线
x
二. 求柱面方程
F1 ( x, y, z) 0 (1) 设柱面的准线为 F2 ( x, y, z) 0
M1
例1、柱面的准线方程为
2 2 2 x y z 1 2 2 2 2 x 2 y z 2
而母线的方向数为-1，0，1，求这柱面的方程。 例2 已知圆柱面的轴为
x y 1 z 1 1 2 2
点 M（ 1 1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面 的方程
例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴的柱面,
它的准线是xoy面上的抛物线y2 =2x, 该柱面叫做抛物柱面. z y
y2 =2x
o
x
例2: 方程 xy = 0表示. 母线平行于 z 轴的柱面,
它的准线是xoy面上的直线xy = 0, 所以它是过z轴
的平面.
z
o
y xy = 0
o y
x
x
四、空间曲线的射影柱面
F x, y, z 0, F1 x, y 0, F1 x, y 0, F2 x, z 0, 空间曲线 L : G x , y , z 0. F2 x, z 0, F3 y, z 0, F3 y, z 0,
母线的方向数为X,Y,Z。如果M1(x1,y1,z1)为准线 上一点，则过点M1的母线方程为 且有 x x1 y y1 z z1 (2) v X Y Z 且 F1(x1,y1,z1)=0，F2(x1,y1,z1)=0 (3) 从（2）（3）中消去x1,y1,z1得 F(x,y,z)=0 这就是以（1）为准线，母线的方向数为X，Y，Z的 柱面的方程。
x y z 1 求曲线 z 1 在xoy坐标面上的投影. 2
2 2 2
解 :
消去变量z后得 3 2 2 x y , 4
在 xoy 面上的投影为 3 2 2 x y 4, z 0
x2 y2 z2 1 思考：曲线 1 在yoz坐标面上的 z 2
知识结构:
图形 → 方程
柱面 锥面 旋转曲面
方程 → 图形
椭球面 双曲面 →曲面直纹性. 抛物面
根据图形的几何特征建立它们的方 程，和从方程出发讨论它们的图形的几 何特性，是学习本课程所应掌握的基本 技能．
4.1
柱面
目标：通过本节的学习，了解柱面的有 关概念，掌握柱面方程的求法.
投影，和xoz面上的投影是 什么？
1 （1）因为曲线在平面 z 上， 2 所以在 xoz 面上的投影为线段.
1 z 2, y 0 1 z 2, x 0 3 | x | ; 2
（2）同理在 yoz 面上的投影也为线段.
3 | y | . 2
三. 特殊柱面(母线平行于坐标轴)
和 x2 + (y 1)2 + (z1)2 = 1
求它们的交线C在xOy面上的投影曲线的方程. 解: 联立两个方程消去 z ,得
这是母线平行于z 轴的椭圆柱面,两球面的 交线C在xOy面上的投影曲线方程为 1 2 x 2 4( y ) 2 1 2 z 0
1 2 x 2 4( y ) 2 1 2
2 2 z 4 x y 例2: 设一个立体由上半球面 和锥面 z 3 ( x 2 y 2 ) 所围成, 求它在xoy面上的投影.
z
解: 半球面与锥面的交线为
2 2 z 4 x y C: 2 2 z 3 ( x y )
O
x x2 + y2 1