柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
柱面坐标系求三重积分公式
柱面坐标系求三重积分公式在数学和物理学中，三重积分是一种用于计算立体空间内某个数量的数学方法。
在柱面坐标系中求三重积分是一种常见且有效的方法，它可以帮助我们解决与立体空间相关的问题。
在本文中，我们将探讨柱面坐标系下如何计算三重积分，并推导出相应的公式。
首先，我们回顾一下柱面坐标系的定义。
在柱面坐标系中，一个点的位置由三个坐标确定：径向距离r、极角$\\theta$以及高度z。
与直角坐标系不同，柱面坐标系提供了一种更方便描述圆柱面内点的方式。
要计算柱面坐标系下的三重积分，我们需要了解如何表示微元体积和如何变换积分元素。
微元体积在柱面坐标系下的表示可以通过微元体积元素dV来描述。
在柱面坐标系中，微元体积dV可以表示为：$dV = r dz dr d\\theta$。
这个表示方式是基于极坐标系的性质推导出来的，通过将微小的径向、高度和角度方向上的长度相乘得到微元体积。
接下来，我们来推导柱面坐标系下的三重积分公式。
假设我们要计算函数$f(r, \\theta, z)$在柱面坐标系下的三重积分，积分区域为D。
那么，三重积分的表达式可以写成：$$\\iiint\\limits_D f(r, \\theta, z) dV = \\int\\limits_{\\alpha}^{\\beta}\\int\\limits_{h_1(r, \\theta)}^{h_2(r, \\theta)} \\int\\limits_{g_1(r)}^{g_2(r)} f(r, \\theta, z) r dz dr d\\theta$$在上式中，$\\alpha$和$\\beta$表示极角$\\theta$的取值范围，$h_1(r,\\theta)$和$h_2(r, \\theta)$表示高度z的取值范围，g1(r)和g2(r)表示径向距离r的取值范围。
通过这个公式，我们可以将柱面坐标系下的三重积分问题转化为累次积分的计算问题，便于我们进行计算。
第三节、(3)三重积分在柱坐标系下的计算
1
下底： z = r
1
z
1 I = ∫∫ rdrdθ ∫ 2 dz 2 r r + z D
=∫
2π 0
r dθ ∫ dr ∫ 2 dz 0 r r + z2
1 1
= π (ln 2 − 2 +
Байду номын сангаас
π
2
D
0
1
y
)
. .
x
例3利用柱面坐标计算三重积分 ∫∫∫ zdxdydz , 其中
Ω
0 0
2π
1
2− ρ 2
2
ρ
ρ ( 2 ρ cos θ + z )dz
2 2 2
π = (90 2 − 89). 60
例.6 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
I = ( ∫∫∫ − ∫∫∫ )( x + y )dxdydz
2 2 Ω1 Ω2
= ∫∫ ρdρdθ ∫ρ 2 f ( ρ ,θ )dz
D1 2
8
− ∫∫ ρdρdθ ∫ρ 2 f ( ρ ,θ )dz
D2 2
2
= ∫ dθ ∫ dρ ∫ρ 2 ρ ⋅ ρ dz
2 0 0
2
2π
4
8
− ∫ dθ ∫ dρ ∫ρ 2 ρ ⋅ ρ dz
Ω是由曲面z = x 2 + y 2与平面z = 4所围成的区域.
0 ≤ θ ≤ 2 π. 0 ≤ ρ ≤ 2,
柱面坐标系利用柱面坐标计算三重积分球面坐标系利用球面坐【精品PPT】27页PPT
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。—抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
27
利用柱面坐标计算三重积分精编版
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
用哪种坐标？柱面坐标 1
锥面化为: r = z
上顶： z = 1
下底： z r
Dxy: r 1
Dxy
0
....
x
1y
11
I
D
rdrdθ
r
r2
dz 1
2π
1r
1
0 dθ 0 r 2 1 dr r dz
2π
1 1 r
0
( 1
r
2
1)dr
(ln2 2 )
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
三重积分(2)
y
球面坐标与直角坐标的关系: x r sin cos , 0 r y r sin sin , 0 2 z r cos . 0 如图，三坐标面分别为
r 为常数
x
P
球 面； 半平面; 圆锥面.
z ln( x y z 1 )
2 2 2
x y z 1
2 2 2
dxdydz
其中积分区域 {( x , y , z ) | x 2 y 2 z 2 1 } .
解 积分域关于 xoy 坐标面对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z ln( x y z 1 )
二、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) R ，并设点
3
M 在 xoy 面上的投影 M 的柱面坐标．
z
P
的极坐标为
r , ，则 ( r , , z ) 就称为点
柱面坐标与直角坐标的关系:
x r cos , y r sin , z z.
y2 2z 解1 由 x 0
旋转面方程为
2 2
绕
oz
轴旋转得，
x y 2z,
2 2
令 D 1 : x y 16 ,
D2 : x y 4,
2 2
D1
D2
I
D1
dxdy
2
8 x y 2
2 2
( x y )dz
2 2
D2
dxdy
2
2 x y 2
( x z ) dv
柱面坐标计算三重积分
柱面坐标计算三重积分三重积分是在三维空间中对一个三变量函数进行积分的数学工具，用于计算复杂空间内的体积、质量等物理量。
柱面坐标是一种常用于处理旋转对称问题的坐标系，利用柱面坐标可以简化三维空间中的积分计算问题。
本文将介绍如何使用柱面坐标系来计算三重积分的具体方法。
柱面坐标系简介在三维空间中，柱面坐标系由极径（ρ）、极角（θ）、高度（z）这三个坐标轴来描述一个点的位置。
其中，极径ρ表示从原点到点的距离，极角θ表示点在xy平面上的投影与x轴正半轴的夹角，高度z则表示点在z轴上的位置。
柱面坐标系下，点的坐标表达为(ρ, θ, z)。
三重积分概述对于一个三变量函数f(x, y, z)，其在柱面坐标系下的三重积分计算公式如下所示：∭f(x, y, z)dV = ∬∫f(ρsinθ, ρcosθ, z)ρdρdθdz其中，dV = ρdρdθdz表示三维空间中的微元体积，f(ρsinθ, ρcosθ, z)表示函数在柱面坐标系下的具体形式。
柱面坐标计算三重积分步骤1.确定积分区域：首先需要确定积分区域在柱面坐标系下的表示方式，即确定极径、极角和高度的取值范围。
2.建立积分限：在确定积分区域后，建立对应的积分限，极径、极角和高度的取值范围即为积分限。
3.变量替换：将函数f(x, y, z)中的x、y、z用极径ρ、极角θ、高度z表示，并将dx dy dz替换为ρdρdθdz。
4.进行积分：根据以上步骤，将被积函数替换为柱面坐标系下的形式，然后进行对应的积分计算。
通过以上步骤，即可利用柱面坐标系来计算三重积分，求解复杂空间内的体积、质量等物理量。
总结本文介绍了柱面坐标系下计算三重积分的基本方法和步骤，通过建立合适的积分区域、确定积分限、进行变量替换和积分计算，可以简化复杂空间内的计算问题。
利用柱面坐标系进行三重积分的计算，有助于解决旋转对称问题和提高计算效率，是一种常用且有效的数学工具。
希望本文能够对读者理解柱面坐标计算三重积分提供帮助，进一步掌握在三维空间中的积分计算方法。
§6.3 三重积分的计算
做平行x 0 y的平面截闭区域V , 得截面Dz : x y z ,
1
1
x2 2 y2 z 2 x2 2 2 1 x y 1 x 故V： 1 x 1
I dx
1
1
1 x 2 1 x
2
dy
2 x 2 x 2 y
2 2
f (x , y ,z )dz.
以上将三重积分化为三次积分是先计算一个定积分
V
x 2 y 2 dV ,其中V 是由不等式
z x 2 y 2， 1 z 4所确定的区域.
z 4
分析：如果采用先一后二 法，对 z 积分的上下限情 况怎样？
1 x y
例5 计算
V
x 2 y 2 dV ,其中V 是由不等式
z x 2 y 2， 1 z 4所确定的区域.
假设V中分布有体密度为 f (x,y,z)的某种物质， 在Dxy上点(x, y)处取面积元素
d dxdy 以 d 的边界 曲线为准线，作母线平行于z
轴的细长柱体，
d
该细长柱体可以看成以z为变量的细杆，它通过曲面 S1: z z1 ( x , y ) 进入区域V， 然后，通过曲面 S2 : z z2 ( x , y ) 穿出区域V外，其进入点与
V V
z 1 r
2
z 1 x2 y2
2
0
d rdr
0
1
1 r 2 0
zdz
1 1 2 d r 1 r 2 dr 0 2 0
二利用柱面坐标计算三重积分-PPT文档资料
是 I zdxdydz 例 1 计 算 ， 其 中 球 面
x y z 4 x y 3 z 与 抛 物 面
所 围 的 立 体 .
解 球面与抛物面交线为
r 2 z 2 4 2 r 3z
z 1 , r 3 ,
2
2
2
2
2
2019/2/24
zr drd dz
2
d r dr zdz
2 0 0 r
2 1 r 2 r2( )dr 0 2 1
2
1
1
2 . 15
2019/2/24
8
三 球面坐标系
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用三个有次序的数 r ， ， 来确 定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
14
2 2 2 2 2 2 z x y x y z 2 a 例 4 求 曲 面 与 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解
由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
由 x y z 2 a
2 2 2 2
r 2 a ,
z x y , 4 : 0 r 2 a ,0 ,0 2 , 4
球面坐标与直角坐标的关系为
x
P
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
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四 利用球面坐标计算三重积分 z
球面坐标系中的体积元素为
dv rsin drd d ,
2
d
dr
rsin d rd
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z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
1、球面坐标
z
在球面坐,空 标间 系 P(点 x,中 y,z)用
(,,)表.示
其中 rsin
其中 x,y与,之间关系 : 为 z •P
xco ,y ssin ,zz
z
o
y
当 常数：以z轴为中心轴的圆柱面； x
•P
当 常数：过 z轴的半平面；
当z 常数：垂直于z轴的平面；
2、体积元素
当用三族坐标面来划分 (V ) :
,d;
z
dv
,d;
dz
zz,zzd;z
o
则体积元素
dvdddz
x d
d
(z):x2y22 zz2;0z2.
I
2 0
(zzd)dz
2
z
0
zdz
x
2z(2zz2)dz 0
4 . 3
z
2
1
o
z
y
解法2 柱面坐标系计算zdv (V)
z
2
x2y2(z1)21
•
xo面 y 上投 (影 ):x2 为 y21; xy
1
则z的范围:
112z112.
o•
y
2
1 1 1 2
则体积元素dv:
o d
d
y
dv sind d d x
dv2sinddd
(V) f(x,y,z)dv
f(si c n , o ss i sn i ,c n) o 2 ssd id n d . ( V )
3、化为累次积分
z 2,
( 1 ) 用 x sic n o ,y ssisn i,n
此0时 z R22.
z
•
•
y
( xy )
I
R2 2
[
zdz ]dd
( xy ) 0
2dR1(R22)d 1 R 4 .
0
02
4
思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三I重 积(x分 2y2)d,v (V) 其(中 V)由 zx2y2,zh所.围
解 (V )在 xo 面 y 投 (x)y 影 为:0 域 圆 h, 02
z
例3 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与
z 0所围.
分析 (V)为由半球x面 oy面 与所,围
y
故可用球面, 坐标
x
此 ,0 时 2 ,0 ,0R .
2
2
I d
/2
d
Rcos2 R4.
4
z
例4 计算三重I积分 (x2 y2 z2)dv, (V) 其中 (V)由z R2 x2 y2与
本讲主要内容
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
（1）三重积分在柱坐标系下的计算； （2）三重积分在球坐标系下的计算； （3）举例 ；
作业：P215 2, 3, 4.
4-2-1 柱面坐标系下三重积分的计算
1、柱面坐标 在直角坐标,系 当x中 oy面上点用极坐标表
对应空间P点 (x, y,z)可用(,,z)表示.
y
(V) f(x,y,z)dv(V)f(co ,ssin ,z)ddd.z
设 3、区 化(V为)域 f(累V(x次),:积y,在 分z)xdovy面 投(V 影 )f(域 (c为 ):o ,zssin ,•z)d z 2d d ,.z
（投影域用极坐标表示 ）
z1 (,)zz2(,). y
o
•
•
z1,
•
zcos
•
化被积函数为球坐标系
下形式 ( , );
1,
o
y
(2)任取 、 作一射 (V)于 线两 交 x点，
即得单积分：
(3)再对 、作积.分
(V) f(x,y,z)dv
2 d
1
2 d
1
1 2 ( ( , , ) )f(sic n o , ssisn i,n co )2 s sid n
x rc o ss ic n o , s
yrsin sin si.n
zcos
x
其中 0 ,02,0.
•P
o
z
r
P •
y
当 常数：中心在原点的球面；
当 常数：过 z轴的半平面； 当 常数：顶点在原点，中心z轴为 的圆锥面；
2、体积元素
当用三族坐标面去划分 (V ) :
z
d
dv
,d; sin
,d; ,d