利用柱面坐标计算三重积分
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
柱面坐标系下的三重积分计算
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
柱面坐标下三重积分的计算
类似于极坐标下计算二重积分，有 些三重积分采用柱面坐标会更简便。
1、柱面坐标介绍
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点 M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为 ,，则这样的三
个数 , , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 ,
M(x, y,z)
z .
o
yLeabharlann P(, )x如图，三组坐标面分别为
为常数 为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐标的 关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
M (x, y, z)
z
o P(, )
y
2、柱面坐标下的计算公式
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv dddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)dddz.
3、例题
例1 计算 I zdxdydz，其中是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
3、例题
x r cos
解
由
y
r
sin
,
利用柱面坐标计算三重积分精编版
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
规定： 0 r , 0 , 0 2.
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
用哪种坐标？柱面坐标 1
锥面化为: r = z
上顶： z = 1
下底： z r
Dxy: r 1
Dxy
0
....
x
1y
11
I
D
rdrdθ
r
r2
dz 1
2π
1r
1
0 dθ 0 r 2 1 dr r dz
2π
1 1 r
0
( 1
r
2
1)dr
(ln2 2 )
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
(简)3-5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2dz
Ω
0
0
r
a4 a5 π 5 3 = 2π ∫ r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 10 4 5
a
例 4 求曲面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2 与z ≥ x2 + y2 所围 成的立体体积.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. Ω
例6
计算 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz 其中Ω 是由抛物
2
2
面 z = x + y 和球面 x + y + z = 2 所围成的空 间闭区域.
2 2 2
Ω 2
解
Q ( x + y + z)
2 2 2
2
= x + y + z + 2( xy + yz + zx )
的奇函数, 其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数
面对称, 且 Ω 关于 zox 面对称 ∴
所围成的立体如图， 所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图， 所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 + y 2 = 16,
0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 4 , Ω1 : 2 r ≤ z ≤ 8 2
三重积分的柱面坐标计算法
三重积分的柱面坐标计算法0 引言三重积分的计算是高等数学学习中的难点，计算三重积分即要将它化为三次积分，其基本方法有直角坐标法、柱面坐标法与球面坐标法，三种坐标法在处理特定区域中有各自的优势，确定积分限是其中的关键，选择正确的基本方法可以使积分计算可行和运算简捷，与球面坐标法不同，柱面坐标法解题的思维方式与直角坐标法的思维方式相似。
本文拟探讨文献[1,2] 中柱面坐标法下的三重积分计算，分析适宜用柱面坐标法解决的问题及处理方法。
1 柱面坐标系下积分限的确定掌握三重积分柱面坐标法的计算要用到许多其它的知识，如空间解析几何里的曲面辨识和草图描绘及空间区域在坐标面上的投影、积分里的凑微分法与分部积分法、二重积分里的极坐标法，还有就是三重积分直角坐标法，这些内容的掌握熟练程度极大地影响柱面坐标法的学习，学生在学习中感到困难，或许与这些内容的掌握程度有关。
在文献[1,2] 中，当某个三重积分适宜用柱面坐标法计算时，其积分区域？％R主往是圆锥面、旋转抛物面、球面或者垂直于轴的平面所围成的立体，这些曲面的共同特征是含有+，而被积函数形如（+ ），积分区域?%F在面上的投影是圆域或是圆域的一部分，求解此类问题时，我们仍要按照直角坐标法计算三重积分的思想来考虑，即确定积分区域?%R 的上边界曲面= （, ）与下边界曲面= （, ），用极坐标变换公式= ，= 将其转化为= （, ）= （, ），= （, ）= （, ），一般情况下，转换后仅含有，即= （），= （），这样柱面坐标下的变动范围就能确定，即（）WW（），而与的取值范围可以通过分析积分区域？％F在面上的投影区域，按照极坐标计算二重积分的方法确定，这样柱面坐标下三次积分的各个积分限就能确定，进而计算三重积分。
2 实例分析例1计算=，其中？％R是由曲面=及=+所围成。
分析：积分区域的上边界曲面是= ，写成极坐标形式是= ，下边界曲面是= + ，写成极坐标形式是= ，所以的取值范围是ww,积分区域在面上的投影是+ < 1,写成极坐标为O ww 2,O ww 1。
三重积分(2)
y
球面坐标与直角坐标的关系: x r sin cos , 0 r y r sin sin , 0 2 z r cos . 0 如图，三坐标面分别为
r 为常数
x
P
球 面； 半平面; 圆锥面.
z ln( x y z 1 )
2 2 2
x y z 1
2 2 2
dxdydz
其中积分区域 {( x , y , z ) | x 2 y 2 z 2 1 } .
解 积分域关于 xoy 坐标面对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z ln( x y z 1 )
二、利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x , y , z ) R ，并设点
3
M 在 xoy 面上的投影 M 的柱面坐标．
z
P
的极坐标为
r , ，则 ( r , , z ) 就称为点
柱面坐标与直角坐标的关系:
x r cos , y r sin , z z.
y2 2z 解1 由 x 0
旋转面方程为
2 2
绕
oz
轴旋转得，
x y 2z,
2 2
令 D 1 : x y 16 ,
D2 : x y 4,
2 2
D1
D2
I
D1
dxdy
2
8 x y 2
2 2
( x y )dz
2 2
D2
dxdy
2
2 x y 2
( x z ) dv
柱面坐标系求三重积分
柱面坐标系求三重积分在数学中，柱面坐标系是一种常用的坐标系，特别适用于处理具有柱面对称性的问题。
在解决三重积分问题时，柱面坐标系可以简化计算，并提高求解效率。
本文将介绍如何在柱面坐标系下进行三重积分的计算。
柱面坐标系简介柱面坐标系是一种三维坐标系，通常用于描述具有柱面对称性的问题。
在柱面坐标系中，一个点的位置由径向距离r、极角$\\theta$和垂直于柱面的高度z来确定。
柱面坐标系下，坐标$(r, \\theta, z)$与直角坐标系(x,y,z)之间的转换关系为：$$ \\begin{align*} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\\\ z &= z \\end{align*} $$求三重积分的步骤假设要求解的三重积分为 $\\iiint_V f(x, y, z) \\, dV$，其中V表示某个空间区域。
利用柱面坐标系求三重积分的一般步骤如下：1.根据需要的区域V，确定积分的边界，并写出积分限。
2.将积分区域V转换为柱面坐标系下的表示。
这涉及到将dV用柱面坐标系下的微元 $dr \\, d\\theta \\, dz$ 来表示。
3.将被积函数f(x,y,z)转换为柱面坐标系下的函数表示 $f(r, \\theta,z)$。
4.使用柱面坐标系的积分公式进行计算，将积分化为三个单独的积分，则三重积分可表示为：$$ \\iiint_V f(x, y, z) \\, dV = \\int_{z_1}^{z_2} \\int_{\\theta_1}^{\\theta_2}\\int_{r_1}^{r_2} f(r, \\theta, z) \\, r \\, dr \\, d\\theta \\, dz $$5.根据具体问题计算各个积分，最终得到结果。
示例现在我们来看一个简单的示例，求函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在柱面坐标系下的三重积分 $\\iiint_V (x^2 + y^2 + z^2) \\, dV$，其中积分区域V为 $0 \\leq r \\leq 1, 0 \\leq \\theta \\leq 2\\pi, 0 \\leq z \\leq 2$。
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z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
dvr2 sin j drdjdq ． 柱面坐标系中的三重积分：
q
y
P
y
f (x，y，z) dxdydz
x
f(rsinj cosq ，rsinj sinq ，rcosj ) r2 sinj drdjdq ．
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积．
z
2a
a O x
y
例2 求半径为a 的球面与半顶角a为的内接锥面所围成的立 体的体积． 解 该立体所占区域可表示为：
0r2a cos j ，0ja ，0q2．
于是所求立体的体积为
z
2a
V dxdydz r2 sinj drdjdq
dq dj
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域可用不等式 x2y2z2a 2 来表示．
所求转动惯量为
( x 2 y 2 ) dv Iz
O
a y
x
(r 2 sin 2 j cos 2 q r 2 sin 2 j sin 2 q )r 2 sin jdrdjdq
0 0
2
a
2 a cosj
0
r 2 sin jdr r 2 dr
a
2 sin jdj
0
a
2 a cos j
j r
0
16a 3 a cos3 j sin jdj 3 0 4a 3 (1 cos4 a) ． 3
O x
y
例3 求均匀半球体的重心． 解 取半球体的对称轴为 z 轴， 原点取在球心上，又设球半径为a． 显然，重心在z 轴上，故`x `y 0．
j为有向线段 OM 与z 轴正向所夹
的角，
z
z M(x, y, z) j O x
q 为从正z 轴来看自x 轴按逆时针
方向转到有向线段 OP 的角． 这样的三个数r、j 、q 叫做点M 的球面坐标． 这里r 、j 、q 的变化范围为 0 r<，0 j <，0q 2． x
M(x, y, z)
q
x
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． 坐标面rr0，q q 0，zz0的意义： rr0 O r0 x z0 zz0
dq rdr 2 zdz
0 0 r
2
2
4
2 1 2 dq r (16 r 4 )dr 0 2 0 x 1 1 6 2 64 2 [8r 2 r ]0 ． 2 6 3
O x2y24
2
y
二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x，y，z)为空间内一点，则点M与数r 、j 、q 相对应， 其中r 为原点O 与点M 间的距离，
q q 0
y
q0
直角坐标与柱面坐标的关系：
x r cosq , y r sin q , z z.
z z M(x, y, z)
柱面坐标系中的体积元素： dv rdrdqdz． O x
柱面坐标系中的三重积分：
q
r
y P(r, q )
y
x
f (x，y，z)dxdydz f (r cos q
r
q
y
P
y
坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义： z
j O q x
r
y
点的直角坐标与球面坐标的关系：
x r sin j cosq , y r sin j sin q , z r cosj .
z z M(x, y, z) j O x r
球面坐标系中的体积元素：