第六章 伯努力积分和动量定理-1

Q足够大， S2 足够小，则 p2可大大低于 p1
26
文丘里管的工业应用
炼油厂常减压装置
27
文丘里管的工业应用
文丘里式除尘器
28
水力喷射泵
29
作业：P299 第4题
30
第六章 伯努力积分和动量定理
1
第一节 伯努力积分和拉格朗日积分
理想正压流体在有势质量力的作用下，其运动方程在定常及
无旋两种特殊情形下可以积分出来，得到伯努力－拉格朗日
积分方程。 理想流体兰勃－葛罗米柯形式的运动方程为：
dv F divP dt
dv v V2 grad rotv v dt t 2

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Q S2
2p S 2 2 1 S 1
S2 当S2 S1时 ： 0 S1
Q S2
2p

25
喉部的静压：
2 S2 2 p2 p1 p p1 V2 1 2 S1 2 S2 Q 2 1 1 1 p1 Q 2 2 p1 2 2 S 2 S1 2 S 2 S1 2
dp
2
V p gz C 2 V p z C1 2g
9
2


p

2
速度头
压力头
位势头
伯努力方程的物理意义：沿流线总能量守恒
10
V p gz C 2
伯努力方程的适用条件：
2
理想，正压，质量力有势 不可压缩均质流体 定常流动
11
b) 拉格朗日积分
V v ~ grad V rotv v 0 t 2
2
理想，正压，质量力有势
无旋流动
rotv 0
速度场有势，存在势函数φ
v grad
2 grad V ~ grad V 0 t 2
12
梯度是对空间坐标的导数， t 是对时间的导数，空间与
时间是相互独立的变数，因此微分号可以对调，得：
grad grad t t
V grad ~ grad V 0 t 2
2
V 2 ~ grad V 0 t 2
V2 p gz C 2
对流场中各点和各个时刻取同一常数值
14
d) 实际流体的伯努力方程

V1 p1 V2 p2 gz1 gz2 hw 2 2
hw代表由位置1到位置2单位质量的流体沿流线的参量损失
15
2
2
d) 实际流体的总流的伯努力方程
缓变流：层流、过渡流
13
V ~ V f (t ) t 2
2
对于某一固定时刻，f(t)在整个流场中采取同一常数值。 对于不可压缩流体，只受重力时：
V p gz f (t ) t 2
2
c) 对于理想、正压的、质量力有势，不可压缩流体，定常流动 且无旋，只受重力时，得到伯努力－拉格朗日积分方程：
v u pxy x y
w u pxz x z
w v p yz y z
dv F divP dt
3
dv F gradp v grad ( v) dt 3
a) 伯努力积分 对于定常流动：
v 0 t
V 2 ~ grad 2 V rotv v 0
s 对流线上任一点的切线
求单位向量得：
流线
v s V
6
V 2 ~ grad V 2 rotv v 0
将此式两边点乘单位矢量s得：
h mmH 2O
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c) 文丘里管(Venturi tube)
S1V1 S2V2 Q
V1 p1 V2 p2 hw 2 2
忽略能量损失得：
2 2
p p2 p1


2
2
2 S 2 V22 V12 V22 1 2 S1 2 2 Q S2 1 2 S1 S2
2 2
VB 2 gh 2hw 2 gh
Q SB 2gh
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: 流量系数
b) 驻点压力 忽略重力影响，沿O点的流 线建立伯努力方程：
V p po 2
动压 静压 总压
2
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风速管－Pitot tube(1732) 忽略重力影响，沿O点的流 线建立伯努力方程：
2
将本构方程代入运动方程
u 2 u v w pxx p 2 x 3 x y z v 2 u v w p yy p 2 y 3 x y z w 2 u v w pzz p 2 z 3 x y z
V p po 2
动压 静压 总压
2
V
2( po p )

RT V k 2h p
修正 系数
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风速管－Pitot tube(1732) 最简单的估算公式：
V
2( po p )

V
2h


2 水 gh

2 9.8h 4 h 1.205
V ~ V C 2
C是积分常数，在不同的流线上取不同值，Ψ是流线的号码 对不可压缩均质流体：ρ为常数
2

dp


p

流体所受质量力只有重力时：
~ F gz gradV
8
~ V g z ~ 积分得： V gz V ~ V C 2
对理想流体：
0
dv 1 F gradp dt dv v V grad rotv v dt t 2
2
v V 1 grad rotv v F gradp t 2
2
4
正压流体：内部任一点的压力只是密度的函数的流体。若流 体压力不仅是密度的函数，而且还和其他热力学参量（例如 温度等）有关，则称为斜压流体。
2
V v ~ s grad 2 V V rotv v 0 V ~ s grad 2 V 0
2
＝0
在切线方向的方向导数
2 V ~ V 0 s 2
7
沿流线积分，得：
紊流
近似认为在各流动截面上流速分布均匀，可以用平均流速 代替不同流线上的流速，条件是流动处于缓变流状态
V1 p1 V2 p2 gz1 gz2 hw 2 2
平均流速 平均流速
16
2
2
缓变流：在流道中各流线之间的夹角很小，流线趋于平行， 且流线的曲率很小，流线都近似于直线。 1 可忽略惯性力，在流动过程中只受重力 2 在垂直流动方向的截面上无速度分布，压力分布规律 与静水压力分布一致。 3 在流场中只有法向应力，而无剪切应力。
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实际流体总流的伯努力方程适用条件：
不可压缩均质流体 定常流动 缓变流
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第三节 伯努力方程的实际应用
a) 小孔出流 连续性方程：
S AVA SBVB : 体积流量
VA S B 1 VB S A
近似认为 VA 0
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a) 小孔出流
伯努力方程：
pA pB p0
VB gzB gzA hw 2 VB g ( z A z B ) hw 2
1

下式：
gradp grad
定义：

dp

质量力有势：即质量力是一单值函数
~ V
的势函数，满足
~ F gradV
2
则运动方程变为：
v V ~ grad rotv v gradV grad t 2
5
V 2 ~ v grad V rotv v 0 2 t