广东省佛山一中高三年级第一次模拟考试试题——理科数学

佛山一中2010届高三第一次模拟考试理科数学试题2009.9.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题+填空题）和第Ⅱ卷（解答题）两部分第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共70分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，，则 ( )A. B. C. D.2. 复数（）在复平面上所对应的点在第二象限上，则的取值范围是（）A. B. C. D.3. 命题：“若，则”的逆否命题是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，或，则4. 如左图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）A．B．C． D．5. 已知抛物线方程为，过该抛物线焦点且不与轴垂直的直线交抛物线于两点，过点,点分别作垂直于抛物线的准线，分别交准线于两点，那么必是（）A．锐角 B．直角 C．钝角 D．以上皆有可能6. 记者要为5名志愿都和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）Ａ．种Ｂ．种Ｃ．种Ｄ．种7. 设定义在上的函数，若关于的方程有3个不同实数解、、，且，则下列说法中正确的是：( )A .B .C .D .8. 对于任意实数，符号表示不超过的最大整数,例如：，，，那么（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卷恰当的位置.（一）必做题（9~13题）9. 设向量,,若，则；10. 某社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如右图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在（元）的月收入段应抽出人．11．的展开式中，常数项为；（用数字作答）12. 将这个自然数任意分成组,每组两个数,现将每组的两个数中任意一个记为,另一个数记为,按右框图所示进行运算(注：框图中每次“输入”为同一组的值，且每组数据不重复输入.)，则输出的最大值为 ;13. 已知函数的一个零点为，另外两个零点可分别作为一个椭圆、一双曲线的离心率，则；的取值范围是 .(二)选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14.已知参数方程，（参数），则该曲线上的点与定点的距离的最小值是 .15. 如图，是圆的内接三角形，是圆的切线，为切点，交于点，交圆于点，若，，且,则．2010届“三校联考”统一考试理科数学答题卷第Ⅱ卷二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．请将答案填在答题卷恰当的位置.（一）必做题（9~13题）9. 10. 11.12. 13.(二)选做题（14~15题，考生只能从中选做一题，若两题都答，则以第一题为准.）14. 15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．16. （本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）已知，且，求的值．17. （本题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为的函数：，，，，，.（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；（Ⅱ）现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数的分布列和数学期望．18. （本题满分14分）如右图所示,在直角坐标系中,射线在第一象限,且与轴的正半轴成定角,动点在射线上运动,动点在轴的正半轴上运动,的面积为.（Ⅰ）求线段中点的轨迹的方程;（Ⅱ）是曲线上的动点, 到轴的距离之和为,设为到轴的距离之积.问:是否存在最大的常数,使恒成立?若存在,求出这个的值;若不存在,请说明理由.19. （本题满分14分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，,底面, ,为的中点，为的中点.（Ⅰ）证明：直线平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）求点到平面的距离.20. （本题满分14分）已知函数图象上一点处的切线方程为．(Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在内有两个不等实根，求的取值范围（其中为自然对数的底数）；（Ⅲ）令，若的图象与轴交于，(其中)，的中点为，求证：在处的导数．21. （本题满分14分）已知实数，曲线与直线的交点为(异于原点)，在曲线上取一点，过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，接着过点作平行于轴，交直线于点，过点作平行于轴，交曲线于点，如此下去，可以得到点，，…,,…. 设点的坐标为，.（Ⅰ）试用表示，并证明；（Ⅱ）试证明，且（）；（Ⅲ）当时，求证：（）.三校联考理科数学参考答案及评分标准一．选择题答案:二．填空题答案：（一）必做题（9~13题）9. 10. 11. 12.13. ; . (注：第一空2分，第二空3分.)(二)选做题（14~15题，考生只能从中选做一题）14. 15.三．解答题16．（本题满分12分）解：（Ⅰ）………… 3分＝．……………………………………… 4分（注：每个公式1分）所以最小正周期为：…………………………………………… 6分由，得．…………7分∴函数的单调增区间为．………… 8分（Ⅱ）由，得．∴．………………………………………… 9分∴，或，即或．………………………………… 11分∵，∴． (12)分17. （本题满分12分）（1）记事件A为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知…………………4分（2）可取．…………………………………………… 5分，； (8)分故的分布列为………………10分答：的数学期望为 (12)分18. （本题满分14分）解：（1）射线. ……………………………1分设（），则， (3)分又因为的面积为，所以； (4)分消去得点的轨迹的方程为：（）. …………7分（2）设，则，……………………………8分所以 (9)分令则，所以有， (11)分则有：当时，，所以在上单调递减，所以当时，， (13)分所以存在最大的常数使恒成立. ………………………………14分19.（本题满分14分）方法一（综合法）（1）取中点，连接，又………………………2分 (4)分（2）为异面直线与所成的角（或其补角），作连接……………………………5分………………………6分,,，………………………7分, ……8分所以与所成角的大小为……………………9分（3）,点和点到平面的距离相等，连接,过点作于点,………………………10分又,线段的长就是点到平面的距离. …11分， (12)分，所以点到平面的距离为 (14)分（方法不唯一，可酌情相应给分）方法二(向量法)作于点P,如图,分别以所在直线为轴建立坐标系.,,……………………………1分(1)设平面的法向量为,则………………………2分即，取,解得. ………………………………………4分(2)设与所成的角为,…………5分，………………………………7分, 即与所成角的大小为.……………………9分(3)设点到平面的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,由, 得. ……………………13分所以点到平面的距离为…………………………………………14分20．（本题满分14分）解：（Ⅰ），，．∴，且．…………………… 2分解得．…………………… 3分（Ⅱ），令，则，令，得（舍去）．在内，当时，，∴是增函数；当时，，∴是减函数 (5)分则方程在内有两个不等实根的充要条件是………………6分即．……………………………………… 8分（Ⅲ），．假设结论成立，则有 (9)分①－②，得．∴． (10)分由④得，∴ (11)分即，即．⑤令，（)， (12)分则＞0．∴在上增函数，∴， (13)分∴⑤式不成立，与假设矛盾．∴．…………………………………………………14分21. （本题满分14分）解：（Ⅰ）点的坐标满足方程组，所以, …………………1分解得：，故， (2)分因为，所以故，故. …………3分（Ⅱ）由已知，，，即：， (4)分所以因为，所以. (5)分下面用数学归纳法证明（）○11当时，成立；○22假设当时，有成立，（）则当时， (6)分所以 (7)分所以当时命题也成立，综上所述由○11，○22知（）成立 (8)分(注：此问答题如：只是由图可知，而不作严格证明，得分一律不超过2分)（Ⅲ）当时，， ()， (9)分所以 (10)分因为，所以当时，由（Ⅱ）知，所以有.…………………………………………………………………12分又因为，所以，， (13)分故有：▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓……14分。