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刚体力学运动学问题
刚体力学运动学问题引言刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的运动规律。
刚体力学的基本概念和原理对于解决实际问题、设计工程结构以及理解自然现象都具有重要意义。
本文将探讨刚体力学中的运动学问题。
刚体运动学的基本概念与原理刚体是指其各部分保持相对位置不变的物体。
刚体运动学研究刚体在不考虑受力情况下的运动规律。
刚体的运动可以通过位置、速度和加速度来描述。
位置是指刚体相对于某个参考点的位置。
对于平面上的刚体，通常使用笛卡尔坐标系来描述位置。
对于空间中的刚体，通常使用三维笛卡尔坐标系来描述位置。
速度是指刚体的位置随时间变化的速率。
速度可以分为瞬时速度和平均速度。
瞬时速度是指刚体在某一时刻的瞬时位置变化速率，平均速度是指某一时间段内的平均位置变化速率。
加速度是指刚体的速度随时间变化的速率。
加速度可以分为瞬时加速度和平均加速度。
瞬时加速度是指刚体在某一时刻的瞬时速度变化速率，平均加速度是指某一时间段内的平均速度变化速率。
刚体运动学问题的解决方法解决刚体运动学问题的基本方法是建立合适的运动学方程，并通过求解方程来得到所求的物理量。
以最简单的刚体运动学问题为例，假设一个刚体在平面上做匀速直线运动。
首先，确定参考点和坐标系。
然后，通过观察刚体的运动，得到其位置随时间的关系。
根据运动学的定义，可以得到刚体的速度和加速度随时间的关系。
利用这些关系，可以建立运动学方程。
最后，通过求解运动学方程，可以获得所求的物理量。
结论刚体力学运动学问题是物理学中的重要问题，通过建立合适的运动学方程，可以解决刚体的位置、速度和加速度等运动规律。
刚体力学的研究对于实际问题的解决和工程设计具有重要意义。
刚体运动学原理理解刚体在运动中的基本行为
刚体运动学原理理解刚体在运动中的基本行为刚体（rigid body）是指在运动过程中形状保持不变的物体。
而刚体运动学是研究刚体在运动中的基本行为和性质的物理学分支。
刚体运动学理论可以帮助我们分析和描述刚体的运动方式、速度、加速度以及与其他物体之间的相互作用等。
一、刚体的定义和基本特性刚体是指一个物体的形状在运动过程中保持不变，即其内部各个点之间的距离和角度不会发生变化。
这就意味着刚体的旋转轴和平动轴是重合的，刚体不会发生形变。
刚体运动学理论的基本特性有：1. 刚体的运动是由物体整体的平动和转动两部分构成的。
平动是指刚体作为一个整体沿直线运动，而转动是指刚体绕一个固定点或固定轴进行旋转。
2. 刚体运动学只考虑刚体的几何特性和其所受到的外部作用力，而不考虑内部的形变和应力等因素。
3. 刚体运动学的分析可以用向量和坐标系等工具进行描述，从而对刚体的位移、速度和加速度等进行量化和计算。
二、刚体的平动运动刚体的平动运动是指刚体作为一个整体沿直线运动，与转动无关。
在刚体平动运动中，刚体的各个点具有相同的位移和速度。
我们通过以下几个要素来描述刚体的平动运动：1. 位移（displacement）：位移是指刚体从一个位置移动到另一个位置的偏移量。
在刚体平动运动中，各个点的位移是相等的。
2. 速度（velocity）：速度是指单位时间内刚体的位移量。
在刚体平动运动中，各个点的速度也是相等的。
3. 加速度（acceleration）：加速度是指单位时间内速度的变化量。
在刚体平动运动中，刚体的加速度是常量，各个点的加速度也是相等的。
三、刚体的转动运动刚体的转动运动是指刚体绕一个固定点或固定轴进行旋转。
在刚体转动运动中，刚体的各个点具有不同的位移和速度。
我们通过以下几个要素来描述刚体的转动运动：1. 角位移（angular displacement）：角位移是指刚体绕固定点或固定轴从一个角度位置转动到另一个角度位置的偏移量。
刚体力学
v
dR 2 dt
dr2 dt
v2
ω2
r2
v2
dR1 dt
da dt
v1
ω1 a
又： r1 r2 a
v v1 ω1 a ω1 r2
v v1 ω1 a ω2 r2
(ω1 ω2 ) r2 0
由于点的任意性，故有：
ω 1
ω2
6.1.3 刚体的一般运动
2. 角速度是矢量
6.1.3 刚体的一般运动
2. 角速度是矢量
可见，角位移一般不是矢量。
在上面的例子中，角位移是有限大小的，而 （瞬时）角速度只与无限小的角位移相联系。现在 我们来证明，角速度的合成服从平行四边形法则， 从而是真正的矢量。
6.1.3 刚体的一般运动
3. 刚体角速度的绝对性
6.1.1 刚体的性质
2. 刚体的质心
刚体是由连续分布的质点所组成的质点组，由第三 章(3.2.5)式知，刚体的质心为：
mC dm dV
rC
rdm dm
rdV dV
这里的积分应遍及刚体的全部体积。在实际计算时， 我们常用质心位矢的分量形式，为：
L m[r1 (ω r1) r2 (ωr2 )]
2mr1 (ω r1)
在上例中角动量L不但与角速度ω 的方向不同，而且它的方向随刚 体旋转，并不固定。
6.3.2 定轴转动刚体的动量矩定理
在外力矩的作用下，刚体的角动量将发生变化。 由质点组的角动量定理：
M dL dt
v1
dR1 dt
v2
刚体力学的理论与工程实践
刚体力学的理论与工程实践刚体力学是物理学中的一个重要分支，研究物体在外力作用下的平衡和运动规律。
它的理论基础可以追溯到古代，但随着科学技术的发展，特别是近代力学的建立，刚体力学得到了更加深入的研究和应用。
本文将介绍刚体力学的基本概念、原理以及其在工程实践中的应用。
刚体是指具有固定形状和大小，内部各点之间相对位置不变的物体。
在刚体力学中，我们假设刚体是不可变形的，即在外力作用下，刚体的形状和大小不会发生变化。
这是因为刚体的内部原子或分子之间的相互作用力非常强大，使得刚体能够保持其形状和大小不变。
刚体力学的基本原理之一是平衡条件。
当一个刚体处于平衡状态时，其受力和力矩之和都为零。
受力为零意味着刚体不会发生平动，即整体不会有加速度。
力矩为零意味着刚体不会发生转动，即整体不会有角加速度。
通过这些平衡条件，我们可以推导出刚体在不同情况下的运动规律。
在刚体力学中，我们还需要引入一些重要的概念，如质心、力臂和力矩。
质心是刚体所有质点的质量加权平均位置，它在刚体受力时扮演着重要的角色。
力臂是指力作用线与质心连线之间的垂直距离，它决定了力矩的大小。
力矩是力对质心产生的转动效果，它等于力的大小与力臂的乘积。
刚体力学的理论不仅仅停留在纸面上，它在工程实践中有着广泛的应用。
例如，机械工程师在设计机械系统时需要考虑刚体力学的原理，以确保机械系统的稳定性和安全性。
在建筑工程中，刚体力学的理论可以用来分析和设计桥梁、大厦等结构物的承载能力。
此外，在汽车、飞机等交通工具的设计和制造中，刚体力学的原理也是不可或缺的。
刚体力学的应用还延伸到体育运动领域。
例如，在击球运动中，运动员需要根据刚体力学的原理来调整击球的力量和角度，以达到最佳效果。
在体操、跳水等项目中，运动员的身体姿势和动作也受到刚体力学的影响，他们需要通过合理的动作设计来实现更高的难度和更好的表现。
总之，刚体力学作为物理学的一个重要分支，不仅有着深厚的理论基础，还广泛应用于工程实践和体育运动中。
刚体力学原理在航空航天中的应用
刚体力学原理在航空航天中的应用航空航天工程是现代科学技术的重要领域之一，它涉及到许多物理学原理的应用。
其中，刚体力学原理在航空航天中扮演着重要的角色。
刚体力学原理是研究刚体运动和力学性质的学科，它在航空航天领域中的应用广泛而深入。
首先，刚体力学原理在航空航天中的应用可以帮助工程师设计和优化飞行器的结构。
在飞行器设计过程中，刚体力学原理可以用来分析和计算各个零部件的受力情况和变形程度。
通过合理地应用刚体力学原理，工程师可以确定飞行器的结构参数，以保证其在飞行过程中具有足够的刚度和强度，从而确保飞行器的安全性和可靠性。
其次，刚体力学原理在航空航天中的应用还可以帮助工程师预测和解决飞行器在不同工况下的振动问题。
飞行器在飞行过程中会受到各种外界力的作用，如气动力、重力和惯性力等。
这些力的作用会导致飞行器的振动，而振动对飞行器的结构和性能都会产生不利影响。
通过应用刚体力学原理，工程师可以计算出飞行器在不同工况下的振动频率和振动模态，并针对性地设计减振装置，以降低飞行器的振动幅度，提高其飞行稳定性和乘坐舒适性。
此外，刚体力学原理还可以用于分析和计算飞行器的姿态控制问题。
在飞行过程中，飞行器需要根据不同的任务需求和环境条件来调整自身的姿态，以保持稳定飞行或完成特定的任务。
刚体力学原理可以用来描述和分析飞行器在不同姿态下的运动规律和力学特性，从而为飞行器的姿态控制提供理论基础。
工程师可以根据刚体力学原理设计和优化姿态控制系统，以实现飞行器的精确控制和稳定飞行。
最后，刚体力学原理在航空航天中的应用还可以帮助工程师优化飞行器的推进系统。
飞行器的推进系统是其能够在大气中或太空中自由运动的关键。
通过应用刚体力学原理，工程师可以分析和计算推进系统受力情况和动力学特性，从而确定最佳的推进方案和参数。
这样可以提高飞行器的推进效率，降低能源消耗，延长飞行器的使用寿命。
综上所述，刚体力学原理在航空航天中的应用广泛而深入。
它可以帮助工程师设计和优化飞行器的结构，预测和解决振动问题，分析和计算姿态控制，以及优化推进系统。
大学物理刚体力学
大学物理刚体力学标题：大学物理中的刚体力学在物理学的研究中，大学物理是引领我们探索自然界规律的重要途径。
而在大学物理中，刚体力学是一个相对独特的领域，它专注于研究物体在受到外力作用时的质点运动规律。
本文将探讨大学物理中的刚体力学。
一、刚体概念及特性刚体是指物体内部各质点之间没有相对位移，形状和体积不发生变化的理想化物体。
在刚体力学中，我们通常将刚体视为一个整体，研究其宏观运动规律。
刚体具有以下特性：1、内部质点无相对位移。
2、刚体不发生形变，形状和体积保持不变。
3、刚体在运动过程中，内部任意两质点间的距离保持不变。
二、刚体力学的基础知识1、刚体的运动形式刚体的运动形式包括平动、转动和振动。
平动是指刚体沿直线作均匀速度的运动；转动是指刚体绕某轴线作角速度变化的运动；振动是指刚体在平衡位置附近作往复运动的周期性运动。
2、刚体的动力学基础动力学是研究物体运动状态变化的原因和规律的科学。
在刚体力学中，动力学的基本方程包括牛顿第二定律、动量定理和动能定理等。
这些方程为我们提供了分析刚体运动状态变化的基本工具。
三、刚体的转动惯量转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量。
它与刚体的质量、形状和大小有关。
在物理学中，转动惯量是研究刚体转动规律的重要参数。
通过计算转动惯量，我们可以了解刚体在受到外力矩作用时角速度变化的规律。
四、刚体的角动量角动量是描述物体绕某轴线旋转的物理量，与物体的质量、速度和半径有关。
在刚体力学中，角动量是一个非常重要的概念。
它可以帮助我们理解刚体在受到外力矩作用时的角速度变化规律。
同时，角动量守恒定律也是刚体力学中的一个重要定律。
在已知刚体的质量、转动惯量和角动量的基础上，我们可以建立刚体的动力学方程。
动力学方程可以帮助我们分析刚体在受到外力作用时的运动状态变化规律。
对于复杂的动力学问题，我们通常需要借助数学软件进行数值模拟和分析。
六、总结在大学物理中，刚体力学是一个相对独立且具有重要应用价值的领域。
刚体的力学性质
刚体的力学性质力学是物理学中的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
刚体力学是力学的一个方面，主要研究刚体在受力作用下的力学性质。
在本文中，我们将探讨刚体的力学性质，包括刚体的定义、运动、平衡、转动、惯性等。
1. 刚体的定义刚体是指其形状和尺寸在外力作用下不会发生变化的物体。
在研究刚体的力学性质时，我们将其简化为理想的物体，即质点的集合，不考虑物体的内部结构。
2. 刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种。
平动是指整个刚体沿直线运动，转动是指刚体围绕某个轴进行旋转。
a. 平动：刚体的平动可以分为匀速直线运动和变速直线运动。
刚体的平动是由外力作用引起的，根据牛顿第二定律可以推导出刚体的运动方程。
b. 转动：刚体的转动可以分为绕固定轴的转动和绕自身质心的转动。
刚体的转动是由外力或自重力矩作用引起的，根据牛顿第二定律和角动量定理可以推导出刚体的转动方程。
3. 刚体的平衡刚体的平衡是指刚体在受力作用下不发生平动和转动的状态。
根据力矩平衡条件和合力平衡条件可以推导出刚体平衡的条件。
a. 力矩平衡条件：对于刚体平衡，外力矩和内力矩必须相等。
通过求和刚体上各点的力矩，可以得到刚体平衡的条件。
b. 合力平衡条件：对于刚体平衡，合力必须为零。
通过求和刚体上各点的力，可以得到刚体平衡的条件。
4. 刚体的转动惯量转动惯量是刚体转动惯性的量度，表示刚体转动时其对转动的惯性大小。
刚体的转动惯量与刚体的质量分布以及转动轴的位置有关。
a. 质点的转动惯量：质点的转动惯量等于质点质量乘以距离轴的平方。
b. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过对质点的转动惯量进行求和得到。
不同形状的刚体，其转动惯量的表达式不同。
5. 刚体的转动惯量定理转动惯量定理表明，在转动惯量不变的情况下，刚体的转动惯量与角加速度成正比。
即转动惯量大的刚体转动相同角度所需要的力矩较大。
6. 刚体的稳定性刚体的稳定性是指刚体保持平衡时的能力。
刚体平衡时，若微小扰动引起的恢复力矩大于微小扰动引起的力矩，刚体即具有稳定性。
刚体运动的理论力学分析
刚体运动的理论力学分析刚体运动是经典力学研究的重要内容之一，涉及物体在空间中作直线运动、旋转运动以及复杂运动等方面的分析和研究。
本文将针对刚体运动的理论力学进行分析，并探讨刚体运动的力学定律和相关公式。
一、刚体的定义与特性刚体是指物体在受力作用下，各部分的相对位置不会发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 形状不变性：刚体的形状和大小在运动过程中保持不变。
2. 组成部分的相对位置不变：刚体各部分相对位置保持不变，即不发生形变。
3. 刚体可以进行平动和转动。
二、刚体运动的描述刚体运动可以通过刚体在空间中的位置和姿态的变化来描述。
刚体可以存在三种运动状态：平动、转动和整体运动。
1. 平动：刚体的各个部分保持平行移动，位置和相对位置不发生变化。
平动运动可以由平动的速度和加速度来描述。
2. 转动：刚体绕固定轴线旋转，各个部分围绕轴线进行圆周运动。
转动运动可以通过角速度和角加速度来描述。
3. 整体运动：刚体在空间中同时进行平动和转动，即平动和转动的叠加。
三、刚体运动的力学定律刚体运动的力学定律主要包括牛顿第二定律和角动量守恒定律。
1. 牛顿第二定律：对于平动的刚体，根据牛顿第二定律可以得出以下公式：$$\sum F = ma$$其中，$\sum F$表示作用在刚体上的合力，m为刚体的质量，a为刚体的加速度。
2. 角动量守恒定律：对于转动的刚体，根据角动量守恒定律可以得出以下公式：$$L = I\omega$$其中，L为刚体的角动量，I为刚体的转动惯量，$\omega$为刚体的角速度。
四、刚体运动的相关公式1. 刚体的质心位置：刚体的质心位置可以通过以下公式计算：$$\bar{r} = \frac{1}{M}\int r dm$$其中，$\bar{r}$为质心的位置矢量，M为刚体的总质量，r为刚体中各个质点的位置矢量，dm为刚体中微小质元的质量。
2. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：$$I = \int r^2 dm$$其中，I为刚体的转动惯量，r为刚体质点到转轴的距离，dm为刚体中微小质元的质量。
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y0 R
(2)质心坐标系，动量矩定理
fR I
r
i
2
dm
h
2
(
dm)
2(
ridm)
Rh
Ic mh2 0
刚体对某轴的转动惯量等于刚体对于通过其质心 且与该轴平行的转动惯量加上刚体的质量与两轴 间距离平方的乘积。
定理2：正交轴定理
Iz (x2 y 2 )dm x2dm x2dm Ix Iy
外力为保守力
0)
(T
V ) tt 2
(T
V ) tt1
W (外) d
作用于刚体的力系的简化 等效力系
1）滑移矢量
平动
施于刚体力的力不是自由矢量
转动
B
B
F
AF
A
施于刚体的力是滑移矢量
B
A
F2
F3 F1
作用于刚体的力的三要素：大小、方向和作用线
约化中心：刚体内任意制定的一点O。
m0
m1 m2 mN
N
mi
i 1
r0
m1r1
m2r2 mNrN
N
mir i
m1 m2 mN
i 1
N
mi
i 1
刚 质量 体 质心
m0 mi dm
r0 miri mi r dm dm
ω
(rP
rC
)
R
rC
C R
va
va
O
rA A
C
寻找瞬心的方法
QP
不打滑的条件: v Rω, v Rω ,
演示：纯滚动
平面平行运动的动力学
三个自由度
质心运动定理 动量矩定理
参考系的选择
为了避免计算惯性力系的力矩，通常选取 （1）惯性参考系或（2）质心坐标系。
例(p331)：半径为R、质量为m的匀质圆柱,沿倾角为 的静止斜面滚下。斜面与柱之间的摩擦系数为。 试求圆柱滚下的加速度。
Md
2
2
(1)
内力对刚体所作 功的和为零
机械能能守恒原理
E T2 V2 T1V1
保守力场（或耗 散力不作功）
例(p313)：刚体支于不通过重心的水平轴,在重力作 用下作定轴转动,就称为复摆.试研究复摆的运动.
具体分析（定轴问题）
运动方程
动量矩定理
I mghsin
对于小角度摆动
质心可以 在刚体之 外；总是 固结于刚 体。
x0 xdm , y0 ydm , z0 zdm.
dm
dm
dm
例：求半圆形均匀薄板的质心。(p278)
对称性
x0=0, yy00==4?R/3
y
R2 y2
dm 2 R2 y2 dy ydm 2y R2 y2 dy
具体分析（平面平行运动问题）
第一种可能：无滑动滚下
N
x
第二种可能：即滚且滑
运动方程（无滑动滚下） a0 0
0
(1)质心运动定理
mg sin f my0 y
f mg
N mg cos 0
(1)质心运动定理
(3)不打滑运动学判据
mg sin f my0 N mg cos 0
Iz Ix IyZ来自YOyi
xi dmi
X
薄板对于垂直于板面的轴Oz的转动惯量等于薄板 对于位于版面内与轴Oz交于一点的两相互垂直的 轴Ox和Oy的转动惯量之和。
例(p312)：试研究阿特伍德机的运动.滑轮可看作匀 质圆盘.
具体分析（刚体动力学问题）
运动方程
T 1R
T
2R
1 2
力质在心连的续动体能+质点组相对于质心的动能。
内质的点传组递动量矩 F
AB C D
XYZ
（弹质性力心,弹动性量波矩） +质点组对于质心F的=m动a量矩。
刚体——?个自由度
自由度——为确定该力学系统
的位置所需要的独立变数的个数。
一个自由质点： 三个自由度
一个自由刚体： 六个自由度
三个移动自由度 三个转动自由度
t 0, vA及ω
vP
vA
ω
(rP
rA)
rP
P
va
rP-rA|rP-rA|
va
aP
aA
ω
(rP
rA)
O
rA
2
A
(rP
rA)
在每一瞬时，刚体中有这
么一点，其即时速度为零。
瞬心
瞬轴
以瞬心C为基点，任意
一P点的速度：
vP
TFt刚itkF2体idkTrdt的it1(动rFWi能ki外rd定k)r理kFFik ik
dri drik
Fik
drk
刚F体ik r的ik 机dr械ik能守0 恒原理
((TF刚rikV体irk)ti的kt2 功(T能r原Vik)理tdt1 rik
刚 体 力 学
第 六 章
刚体——一种质点组
作用于刚体的力系的简化
刚体的平衡
刚体的平动 刚体的定轴转动 刚体的平面平行运动
刚体运动
平转 动动
刚体——一种质点组
质点
刚体
质点组
刚质质质体点点内点—组组力组可—的的不运以动动可动形改能的能量状（变改总质一和变趋点个大质向质组抽点及小心的象组其动完的的某模能动全动些型。量量特不）。，征变的物体
力系 主矢S： S Fi
i
力系 主矩M：
M
Mi
ri
Fi
i
i
主矢S决定刚体的质心的运动；
主矩M决定刚体相对于O点的运动。
计入惯性力 的力矩
刚体的平衡
1）刚体的平衡问题
刚体平衡条件：零力系
六个分量方程式
转平动动平平衡衡：：MSiMFi i0ri
刚体的定轴转动
平动动能 ½mv2 恒力的功 Fs
动能原理
Fs=½mv2-½mv02
(恒力)
转动动能 ½I 2 恒力矩的功 M
动能原理
M =½I 2- ½I 02 (恒力矩)
刚体的平面平行运动
刚体的平面平行运动: 刚体内所 有的运动点都平行于某一平面。
只须研究平行于该平面的任剖面
三个自由度
角速度 =d /dt 角加速度 =d /dt 力矩 M, 转动惯量 I
牛顿第二定律 F=ma 动量 mv, 冲量 ft
动量矩定理 M=I 动量矩 I , 冲量矩 Mt
动量定理
冲量矩定理
Ft=mv-mv0
Mt= I - I 0
动量守恒定律
动量矩守恒定律
mv=恒量
I =恒量
质点的直线运动(刚体的平动)
mgl I
mgl
1 3
ml
2
3g l
例(p320)：刚体可绕O点处的轴转动。今在与O点相 距l的P点施以巨大的冲力F，其指向与OP线垂直。试 求刚体给于轴承的冲力。
动量矩定理，质心运动定理
运动方程
I Fl mh F fx
0 fy
（法向加速度忽略不计）
Y
O
f h
x, y,
质心运动 +绕质心转动
质心运动定理：F（外） m dv0 dt
绕质心的转动：M
/
(外)
/
I0
d
I0
dt
刚体的角位移或角速度，是指刚体 中任一直线的指向的改变或改变率。
转动的角度 是定值
A
刚体运动
平转 动动
B
dC C’
dA A’
B’
dC
C
刚体在一瞬刻的运动
平转 动动
共同的角位移、角速度、角加速度
用角度表征刚体的定轴转动
角坐标 角速度 角加速度
(t) (t) (t) (t) (t)
微分运算
t
(t) 0(t) ( )d
to
t
(t) 0(t) ( )d
to
积分运算
速度 vi ri
mR2
m1g T 1 m1a
m
T2
T1 m2 mT11 T2
T 2 m2g m2a
a R
m1 m2
m2g m1g
定轴转动中的动能定理
定轴转动的动能
质点的动能
T 1 mivi2 1 mi(i)2
i2
i2
1 ( mii2 ) 2 1 I 2
z
如位不 何置稳 维高定 持于平 ？支衡
点： 。质
心
刚体的平动
刚体的平动: 刚体
A
中任一条直线在 各个时刻的位置
A C
C B
都保持平行。
B
A C B
刚体的平动运动：归结为质心运动。 刚体的转动：退化为平衡方程。
可以求约束反力
刚体的定轴转动
1）定轴转动的运动学 刚体的定轴转动: 刚体中有根确定的 直线始终保持不动，整个刚体绕着这 根直线转动，该直线称作转轴。 只有一个自由度
mh
mh
例(p317)：长为l的匀质细杆,可绕杆端的水平轴转
动.先用手持杆使之水平并静止.放手任其转动,试求