高等数学二重点题目
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ](A) –2和2； (B) –3和3；(C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yP xy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(r rdr r r d A πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-202202rdr r d C πθ； ()()⎰⎰+-202220412rdr r r d D πθ 。
解：选D 。
()⎰⎰+-=202220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ](A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高等数学二(含答案)
高等数学（二）一、选择题1函数1ln xy x-=的定义域是 （ D ） ](0,1) B (0,1)(1,4)C (0,4) D (0,1)(1,4A ⋃⋃2 设2,0,(x)sin ,0a bx x f bx x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩ 在x=0处连续，则常数a ，b 应满足的关系是 （ C ）A a<bB a>bC a=bD a ≠b3 设(sin )cos 21f x x =+ 则(sin )(cos )f x f x += （ D ） A 1 B -1 C -2 D 24 若(x)xln(2x)f = 在0x 处可导，且'00()2,()f x f x ==则 （ B ）221 B C D e 2e A e5 设(x)f 的一个原函数为xlnx ，则(x)dx xf =⎰ （ B ）22221111x (lnx)C B x (lnx)C24421111C x (lnx)CD x (lnx)C4224A ++++-+-+6 设'(x)(x 1)(2x 1),x (,)f =-+∈-∞+∞ ，则在（12，1）内，f （x ）单调（ B ） A 增加，曲线y=f （x ）为凹的 B 减少，曲线y=f （x ）为凹的 C 减少，曲线y=f （x ）为凸的 D 增加，曲线y=f （x ）为凸的 7 设(0,0)z(x y)e ,xy z y ∂=+=∂则（ C ） A -1 B 1 C 0 D 2 8 设2239k x dx =⎰ ，则k= （ 0 ）9 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ B ） A 0 B 1 C 2 D +∞ 10 {A ，B ，C 三个事件中至少有一个发生}这一事件可以用事件的关系表示为（ A ）A A ⋃B ⋃C B A ⋂B ⋃C C A ⋃B ⋂CD A ⋂B ⋂C 二 填空题11 设21(x)x f x=+ 则"(1)f =____4_____12 与曲线3235y x x =+- 相切且与直线6x+2y-1=0平行的直线方程__y=-3x-6__ 13()sin x x dx +=⎰21cos 2x x C -+ 14 设ln ,z y x dz ==则 _y/x*dx+lnxdy_________ 15 0sin 2lim3x xx→= __2/3_______16函数z = 的定义域为__{(x,y)|x 2+y 2≤1}______ 17 设函数y=xcosx ，则y ’=_cosx-xsinx____18 设函数332,0(x),0x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 则f （0）=____2__________19 曲线32113y x x =-+ 的拐点是__(1,1/3)_________20 若2n x y x e =+ 则(n)y = ___22n n x n A e + _____ 三、计算题 21 求极限02sin 2lim sin 3x x xx x→+-解：原式=00224lim lim 232x x x x xx x x→→+==---22计算lim x x →+∞22 lim limlimx x x x →+∞====解：原式 1=23 计算sin x xdx ⎰cos cos cos cosx sinx xd x x x xdx x =-=-+=-+⎰⎰解：原式24 计算4211xdx xπ++⎰442200424021=dx dx 1+x 1+x 1 =arctan ln(1x )21 =arctan ln(1)4216x x ππππππ+++++⎰⎰解：原式25 设z （x ，y ）是由方程2224x y z z ++= 所确定的隐函数，求dz222(x,y,z)x 42,2,242242224222F y z z F F Fx y z x y z F z x x x F x z z z F z x y y F y z z z z z x y dz dx dy dx dyx y z z=++-∂∂∂===-∂∂∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∂=-=-=∂∂--∂∂∂∴=+=+∂∂--解：设则有：26 设sin x y e x =，证明"'220y y y -+='""'sin cos sin cos cos sin 2cos 222cos 2(sin cos )2sin =0x x x x x x x xxxxy e x e xy e x e x e x e x e x y y y e x e x e x e x =+=++-=∴-+=-++解：27 （1）求曲线x y e = 及直线x=1，x=0，y=0所围成的图形D 的面积S （2）求平面图形D 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积V110011222001e e 1e =ee 222xx x xx x dx ee y e dx ππππ===-==-⎰⎰解：由题知曲线直线的交点：（1，） 则（1） （2））和（28 讨论函数21x y x=+ 的单调区间和凹凸区间，并求出极值和拐点的坐标。
自考高等数学2试题及答案
自考高等数学2试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，满足f(2+x)=f(2-x)的是：A. f(x) = sin(x)B. f(x) = cos(x)C. f(x) = x^2D. f(x) = e^x答案：B2. 设函数f(x)在点x=a处可导，且f'(a)≠0，那么曲线y=f(x)在点(x=a, y=f(a))处的切线斜率为：A. f(a)B. f'(a)C. f(a+1)D. 0答案：B3. 不等式e^x > x^2在区间(0, +∞)上成立的充要条件是：A. x > 0B. x > 1C. x > 2D. x > 3答案：A4. 设数列{an}是等差数列，且a1=1，a2=3，a3=5，则此等差数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B5. 曲线y=x^3在点(1,1)处的法线方程为：A. y=3x-2B. y=-3x+4C. y=3x+2D. y=-3x-2答案：B6. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若f(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)在[a,b]上：A. 有最大值和最小值B. 有最大值或最小值C. 有界但不一定有最大值或最小值D. 无界答案：A7. 二元函数z=xy^2在点(1,1)处的偏导数分别为：A. 1, 2B. 2, 1C. 1, 1D. 2, 28. 设函数f(x)在区间(-∞, +∞)上满足f(x)=f(x+3)，则f(x)的周期为：A. 1B. 3C. 6D. 不确定答案：B9. 利用定积分的几何意义，计算曲边梯形的面积，其公式为：A. ∫[a,b] f(x) dxB. ∫[b,a] f(x) dxC. ∫[a,b] f(x) + g(x) dxD. ∫[a,b] f(x) - g(x) dx答案：A10. 微积分基本定理指出，若函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则：A. F(b) - F(a) = f(b) - f(a)B. F(b) - F(a) = ∫[a,b] f(x) dxC. F(b) - F(a) = f(a) - f(b)D. F(b) - F(a) = ∫[b,a] f(x) dx答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 若函数f(x)=x^2+1在区间[-1,2]上的最大值为M，则M=________。
高数二试题及答案
高数二试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列函数中，哪一个不是周期函数？A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 33. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)的值是：A. 5B. 4C. 3D. 24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 25. 以下哪个选项是定积分∫(0,1) x^2 dx的结果？A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 3/4二、填空题（每题2分，共10分）6. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2，则f'(x) = __________。
7. 函数y = √x的导数是 y' = __________。
8. 曲线y = x^2 + 1与x轴所围成的面积是 __________。
9. 定积分∫(0,2) e^x dx的值是 __________。
10. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f''(x) = __________。
三、解答题（每题10分，共40分）11. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x - 5在区间[-1, 2]上的最大值和最小值。
12. 证明函数f(x) = x^3 - 3x在区间(-∞, +∞)上是增函数。
13. 求曲线y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2在点(1, 4)处的切线方程。
14. 计算定积分∫(1, e) (2x + 1) / x dx。
四、证明题（每题15分，共30分）15. 证明函数f(x) = x^2 + 2x + 3在区间[-1, 1]上是凹函数。
16. 证明定积分∫(0, 1) x * sin(πx) dx = 1/π。
答案：一、选择题1. C2. C3. A4. C5. A二、填空题6. 3x^2 - 12x + 97. 1/(2√x)8. 1/39. e^2 - 110. -2sin(x) - 2cos(x)三、解答题11. 最大值：f(2) = 11，最小值：f(-1) = -1012. 证明略13. 切线方程：y - 4 = 4(x - 1)，即4x - y - 4 = 014. 结果：1 - 1/e^2四、证明题15. 证明略16. 证明略。
高等数学二试题及答案
高等数学二试题及答案一、选择题1. 函数y=2x^3-3x^2+4x-1的导数为：A. 6x^2 - 6x + 4B. 6x^2 - 4x + 4C. 6x^3 - 6x^2 + 4D. 6x^3 - 6x + 4答案：A2. 极限lim(x→0) (sin(x) - x) / x^3的值为：A. 1B. 0C. 不存在D. 无穷大答案：A3. 曲线y=x^2在点x=1处的切线方程为：A. y=2x-1B. y=x+1C. y=2xD. y=x-1答案：A4. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为：A. 1/3B. 1/2C. 1D. 0答案：A5. 级数Σ(n=1 to ∞) (n^2 / 2^n)收敛于：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题1. 函数z=e^(x+y)在点(0,0)的偏导数∂z/∂x为_________。
答案：12. 极限lim(x→∞) (1+1/x)^x的值为_________。
答案：e3. 曲线y=2x^3在点x=-1处的法线方程为_________。
答案：y=-6x+24. 定积分∫(1,2) (2t^2 + 3t + 1) dt的值为_________。
答案：10/35. 幂级数Σ(n=0 to ∞) (x^n / 2^n)在|x|≤2时收敛于_________。
答案：1 + x三、计算题1. 求函数f(x)=ln(x^2-4)的反函数，并证明其在定义域内是单调的。
解：首先找到反函数的定义域，由于ln(x^2-4)的定义域为x^2-4>0，解得x^2>4，因此x<-2或x>2。
设y=ln(x^2-4)，则x^2-4=e^y，解得x=±√(e^y+4)。
由于x<-2或x>2，我们选择x=√(e^y+4)作为反函数，定义域为y>ln(4)。
显然，当y>ln(4)时，函数√(e^y+4)是单调递增的，因此反函数也是单调的。
高等数学二机考复习题
高等数学（二）机考复习题一．单项选择题(在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内.) 1.设y=2cosx ,则y '=( )A.2cosx ln2B.-2cosx sinxC.2cosx (ln2)sinxD.-2cosx-1sinx 2.设f(x 2)=)x (f ),0x (x11'≥+则=( ) A.-2)x 1(1+ B.2x 11+ C.-2)x 1(x 21+ D.2)x 1(x 21+3.曲线y=1x x132=在处切线方程是( )A.3y-2x=5B.-3y+2x=5C.3y+2x=5D.3y+2x=-5 4.设y=f(x),x=e t ,则22dty d =( )A. )x (f x 2''B. )x (f x 2''+)x (f x 'C.)x (f x ''D. )x (f x ''+xf(x) 5.设y=lntg x ，则dy=( ) A.xtg dx B.xtg x d C.dx xtg x sec 2 D.xtg )x tg (d6.下列函数中，微分等于xln x dx的是( ) A.xlnx+c B.21ln 2x+c C.ln(lnx)+c D.xx ln +c 7.下列函数在给定区间满足拉格朗日中值定理条件的是( )A.y=|x|,[-1,1]B.y=x 1,[1,2] C.y=32x ,[-1,1] D.y=2x 1x -,[-2,2] 8.函数y=sinx-x 在区间［０,π］上的最大值是( )A.22B.0C.-πD.π 9.下列曲线有水平渐近线的是（ ）A.y=e xB.y=x 3C.y=x 2D.y=lnx 10.⎰-2x xdee =( )A.-c e 21x 2+ B. -c e 2x+ C-c e 212x +- D.c e 412x+-11.⎰=dx 2x 3( )A.c 2ln 231x 3+ B.31(ln2)23x+c C. 3123x +c D.c 2ln 2x 3+ 12.⎰+πdx )14(sin =( )A.-cos 4π+x+cB.-c x 4cos 4++ππC.c 14sin x ++πD. c x 4sin x ++π13.⎰-)x cos 1(d =( )A.1-cosxB.x-sinx+cC.-cosx+cD.sinx+c 14.⎰-aax 〔f(x)+f(-x)〕dx=( )A.4⎰axf(x)dx B.2⎰ax 〔f(x)+f(-x)〕dx C.0 D.以上都不正确15.设F(x)=⎰-x adt )t (f a x x，其中f(t)是连续函数，则)x (F lim a x +→=( )A.0B.aC.af(a)D.不存在16.下列积分中不能直接使用牛顿—莱布尼兹公式的是( )A.⎰+1xe1dxB.⎰π40tgxdx C.dx x1x12⎰+ D.⎰π40ctgxdx17.设f(x)=⎩⎨⎧≤≤<≤-1x 0,20x 1,1，则⎰-11dx )x (f 21=( )A.3B.23C.1D.2 18.当x>2π时，⎰π'x2dt )ttsin (=( ) A.x x sin B. x x sin +c C x x sin -π2 D. xx sin -π2+c19.下列积分中不是广义积分的是( )A.⎰-21022)x 1(dx B.⎰e1xln x dxC.⎰-113xdx D.⎰+∞-0x dx e20.下列广义积分中收敛的是( )A. ⎰+∞xdx sin B.⎰-11x dxC.⎰--012x 1dx D.⎰∞--0x dx e21.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1 C. (-3，1) .{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1} 22.下列函数中为奇函数的是（ ）A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-23.设f(x+2)=x 2-2x+3,则f[f(2)]=( )A.3B.0C.1D. 2 24.y=的反函数是xx323+( )A.y=233x x +--B.y=xx 332+ C.y=log 3x 1x 2- D.y=log 3x 2x1- 25.设n n u ∞→lim =a,则当n →∞时，u n 与a 的差是（ ）A ．无穷小量 B.任意小的正数 C ．常量 D.给定的正数26.设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<>0x ,x 1sin x 0x ,x1sin ,则)x (f lim 0x +→=（ ）A ．-1 B.0 C.1 D.不存在27.当0x →时,x cos x sin 21是x 的( )A.同阶无穷小量B.高阶无穷小量C.低阶无穷小量D.较低阶的无穷小量 28.x21sinx 3lim x •∞→=( )A.∞B.0C.23D.3229.设函数⎩⎨⎧≤<-≤<-=3x 1,x 21x 0,1x )x (f 在x=1处间断是因为( )A.f(x)在x=1处无定义B.)x (f lim 1x -→不存在C. )x (f lim 1x +→不存在 D. )x (f lim 1x →不存在30.设f(x)=⎩⎨⎧≥+<0x )x 1ln(0x ,x ,则f(x)在x=0处( )A.可导B.连续,但不可导C.不连续D.无定义31．函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x ，在点x=0处 （ ） A ．极限不存在B ．极限存在但不连续C ．可导D ．连续但不可导32．设f(x)为可导函数，且1x2)x (f )x x (f lim 000x =∆-∆+→∆，则=')x (f 0（ ）A ．1B ．0C ．2D ．2133．设F(x)=f(x)+f(-x)，且)x (f '存在，则)x (F '是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数C ．非奇非偶的函数 D ．不能判定其奇偶性的函数 34．设y=xxln ，则dy=（ ）A ．2x xln 1- B ．dx x xln 12- C ．2x 1x ln - D ．dx x 1x ln 2-35.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导36．下列四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（ ）A ．y=|x|+1B ．y=4x 2+1C ．y=2x1D ．y=|sinx|37．函数y=3x3x ln 2-+的水平渐近线方程是（ ） A ．y=2B ．y=1C ．y=-3D ．y=038．若)x (F '=f(x)，则⎰'dx )x (F =（ ） A ．F(x)B ．f(x)C ．F(x)+CD ．f(x)+C39．设f(x)的一个原函数是x ，则⎰xdx cos )x (f =（ ） A ．sinx+C B ．-sinx+C C ．xsinx+cosx+C D ．xsinx -cosx+C40．设F(x)=dt te 1xt 2⎰-，则)x (F '=（ ）A ．2x xeB ．2x xe - C ．2x xe - D ．2x xe --41．设广义积分⎰+∞α1x1发散，则α满足条件（ ）A ．α≤1B ．α<2C ．α>1D ．α≥142.设z=cos(3y -x)，则xz∂∂=（ ） A ．sin(3y -x) B ．-sin(3y -x) C ．3sin(3y -x) D ．-3sin(3y -x) 43．函数z=x 2-y 2+2y+7在驻点（0，1）处（ ） A ．取极大值 B ．取极小值 C ．无极值 D ．无法判断是否取极值 44．设D={(x,y)|x ≥0，y ≥0,x+y ≤1}，⎰⎰⎰⎰βα+=+=D2D1dxdy )y x (I ,dxdy )y x (I ，0<α<β，则（ ） A ．I 1>I 2 B ．I 1<I 2 C ．I 1=I 2 D ．I 1，I 2之间不能比较大小45．级数5n 7n)1(1n 1n --∑∞=-的收敛性结论是（ ） A ．发散 B ．条件收敛 C ．绝对收敛 D ．无法判定46．幂级数n1n n x 3n 3∑∞=+的收敛半径R=（ ）A ．41 B ．4 C ．31D ．3 47．微分方程y ln y y x ='的通解是（ ）A ．e x +CB ．e -x +C C ．e CxD ．e -x+C48.下列集合中为空集的是（ ） A.{x|e x =1} B.{0} C.{(x, y)|x 2+y 2=0}D.{x| x 2+1=0,x ∈R}49.函数f(x)=2x 与g(x)=x 表示同一函数，则它们的定义域是（ ） A.(]0,∞-B.[)+∞,0C.()+∞∞-,D.()+∞,050.函数f(x)==π-⎩⎨⎧≥<)4(f ,1|x |,01|x ||,x sin |则（ ）A.0B.1C.22D.-22 51.设函数f(x)在[-a, a] (a>0)上是偶函数，则f(-x)在[-a, a]上是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.可能是奇函数，也可能是偶函数 52.=+→)2x (x x2sin lim 0x （ ）A.1B.0C.∞D.253.设2x10x e )mx 1(lim =-→，则m=（ ）A.21 B.2 C.-2D.21-54.设f(x)=⎩⎨⎧=≠2x ,12x ,x 2,则=→)x (f lim 2x （ ）A.2B.∞C.1D.455.设x1ey -=是无穷大量，则x 的变化过程是（ ）A. x →0+B. x →0-C. x →+∞D. x →-∞56.函数在一点附近有界是函数在该点有极限的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 57.定义域为[-1，1]，值域为（-∞，+∞）的连续函数（ ） A.存在 B.不存在 C.存在但不唯一 D.在一定条件下存在 58.下列函数中在x=0处不连续的是（ ）A. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,10x ,|x |xsinB. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1sin x C. f(x)=⎩⎨⎧=≠0x ,10x ,e xD. f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠0x ,00x ,x1cos x 59.设f(x)=e 2+x,则当△x →0时，f(x+△x)-f(x)→（ ）A.△xB.e 2+△xC.e 2D.060.设函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0x ,1x 0x ,e 2x ，则=---→0x )0(f )x (f lim 0x （ ）A.-1B.-∞C.+∞D.161.设总收益函数R(Q)=40Q-Q 2，则当Q=15时的边际收益是（ ） A.0 B.10 C.25 D.375 62.设函数f(x)=x(x-1)(x-3)，则f ＇(0)=（ ） A.0 B.1 C.3 D.3！ 63.设y=sin 33x，则y ＇=（ ）A.3x sin32B.3x sin2C.3x cos 3x sin 32D.3xcos 3x sin264.设y=lnx,则y (n)=（ ）A.(-1)n n!x -nB.(-1)n (n-1)!x -2nC.(-1)n-1(n-1)!x -nD.(-1)n-1n!x -n+165.=)x (d )x (sin d 2（ ）A.cosxB.-sinxC.2xcos D.x2xcos 66.f ＇(x)<0,x ∈(a, b) ，是函数f(x)在(a, b)内单调减少的（ ） A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.无关条件 67.函数y=|x-1|+2的极小值点是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 68.函数y=2ln3x3x -+的水平渐近线方程为（ ） A. y=2 B. y=1 C. y=-3 D. y=069.设f(x)在[a, b](a<b)上连续且单调减少，则f(x)在[a, b]上的最大值是（ ） A. f(a)B. f(b)C.)2ba (f + D.)3a2b (f + 70.=-⎰2)3y 2(dy（ ）A.C )3y 2(613+--B.C )3y 2(613+- C.C 3y 21+-D.C )3y 2(21+--71.设f(x)在（-∞，+∞）上有连续的导数，则下面等式成立的是（ ） A.⎰+='C )x (f dx )x (f x 22 B.⎰+='C )x (f 21dx )x (f x 22C.⎰=')x (f 21)dx )x (xf (22D.⎰=)x (f dx )x (xf 2272.⎰=)tgx (xd sin ln （ ） A. tgxlnsinx-x+C B. tgxlnsinx+x+C C. tgxlnsinx-⎰x cos dx D . tgxlnsinx+⎰x cos dx73.=+⎰--21dx 3x x（ ） A.-1-3ln2B.-1+3ln2C.1-3ln2D.1+3ln274.⎰=π210dx )x 2(tg （ ） A.2ln 21-B.2ln 21 C.2ln 1πD.2ln 1π-75.经过变换x t =，⎰=-94dx 1x x ( )A.⎰-94dt 1t tB.⎰-942dt 1t t 2 C. ⎰-32dt 1t tD.⎰-322dt 1t t 2 76.⎰∞+-=1x dx e x1 ( )A.e2B.-e2C.2eD.-2e77.⎰=-211x dx ( )A.2B.1C.∞D.32 78.级数∑∞=-1n nn25)1(的和等于 ( )A.35B.－35C.5D.－579.下列级数中，条件收敛的是( ) A.∑∞=--1n n 1n )32()1( B.∑∞=-+-1n 21n 2n n )1(C.∑∞=--1n 31n n1)1( D.∑∞=--1n 31n n51)1(80.幂级数 ∑∞=---1n n1n n)1x ()1( 的收敛区间是（ ） A.(]2,0B.(]1,1-C.[]0,2-D.()+∞-∞,94.点（－1，－1，1）在下面哪一张曲面上 ( ) A.z y x 22=+B.z y x 22=-C.1y x 22=+D.z xy =81.设 f(u,v)=(u+v)2，则 )yx ,xy (f =( ) A.22)x1x (y +B.22)y 1y (x +C.2)y1y (x +D.2)x1x (y +82.设 )x2y x ln()y ,x (f +=，则=')0,1(f y ( ) A.21B.1C.2D.083.设22y xy 3x 2z -+=，则=∂∂∂yx z2( ) A.6 B.3 C.－2 D.284.下列级数中发散的是( ) A.∑∞=--1n 1n n 1)1( B. ∑∞=-++-1n 1n )n 11n 1()1(C.∑∞=-1n nn1)1( D.∑∞=-1n )n 1( 85.下列级数中绝对收敛的是( A ) A.∑∞=--1n 1n nn )1( B.∑∞=--1n 1n n1)1( C. ∑∞=-3n nn ln )1( D.∑∞=--1n 321n n)1(86.设+∞=∞→n n u lim ，则级数)u 1u 1(1n 1n n ∑∞=+- ( ) A.必收敛于1u 1B.敛散性不能判定C.必收敛于0D.一定发散 87.设幂级数∑∞=-0n n n)2x (a在x=-2处绝对收敛，则此幂级数在x=5处 (C )A.一定发散B.一定条件收敛C.一定绝对收敛D.敛散性不能判定88.设函数z=f(x,y)的定义域为D={(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1}，则函数f(x 2,y 3)的定义域为( ) A.{(x,y)|0≤x ≤1,0≤y ≤1} B.{(x,y)|-1≤x ≤1,0≤y ≤1} C.{(x,y)|0≤x ≤1,-1≤y ≤1} D.{(x,y)|-1≤x ≤1,-1≤y ≤1} 89.设z=(2x+y)y ，则=∂∂)1,0(xz ( )A.1B.2C.3D.090.设z=xy+yx,则dz=( ) A.(y+dy )y x x (dx )y 12-+ B. dy )y 1y (dx )y x x (2++-C. (y+dy )y x x (dx )y 12++D. dy )y 1y (dx )yx x (2+++91.过点(1，-3，2)且与xoz 平面平行的平面方程为(C )A.x-3y+2z=0B.x=1C.y=-3D.z=2 92.⎰⎰≤≤-≤≤1y 11x 0dxdy=( )A.1B.-1C.2D.-2 93.微分方程y x 10y +='的通解是( )A.c 10ln 1010ln 10y x =--B. c 10ln 1010ln 10yx =-C.10x +10y =cD.10x +10-y =c94．设函数f )x 1x (+=x 2+2x1，则f(x)=（ ）A ．x 2B ．x 2-2C ．x 2+2D ．24x 1x +95．在实数范围内，下列函数中为有界函数的是（ ） A ．e x B ．1+sinx C ．lnx D ．tanx 96．=++++∞→2x 1x x limx （ ）A ．1B ．2C ．21D ．∞ 97.下列函数中为微分方程0y y =+'的解的是( )A.x eB.-x eC.x e -D.x e +x e - 98.下列微分方程中可分离变量的是( ) A.2x x y dx dy += B.y x y dx dy += C.)0k (1)b y )(a x (k dxdy ≠+++=， D.x y sin dx dy =- 99.设函数f(x)=x x x kx +-≠=⎧⎨⎪⎩⎪4200,,在点x=0处连续，则k 等于( ) A. 0B.14 C. 12D. 2100.设D ：0≤x ≤1，0≤y ≤2，则⎰⎰+Ddxdy x1y=( ) A.ln2B.2+ln2C.2D.2ln2101.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5］B. (1，5］C. (1，5)D. (1，+∞) 102. limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 2 103.二元函数f(x,y)=ln(x －y)的定义域为( )A. x －y>0B. x>0, y>0C. 12D. 2104.函数y=2｜x ｜－1在x=0处( ) A.无定义 B.不连续 C.可导 D.连续但不可导 105.设函数f(x)=e 1－2x ，则f(x)在x=0处的导数f ′(0)等于( ) A. 0 B. e C. –e D. －2e 106.函数y=x －arctanx 在［－1，1］上( ) A.单调增加 B.单调减少 C.无最大值 D.无最小值 107.设函数f(x)在闭区间［0，1］上连续，在开区间(0，1)内可导，且f ′(x)>0，则( ) A. f(0)<0 B. f(1)>0 C. f(1)>f(0) D. f(1)<f(0) 108.以下式子中正确的是( ) A. dsinx=－cosx B. dsinx=－cosxdx C. dcosx=－sinxdx D. dcosx=－sinx 109.下列级数中，条件收敛的级数是( )A. n nnn =∞∑-+111() B.n nn =∞∑-11()C.n nn=∞∑-111()D.n nn=∞∑-1211()110.方程y ′—y=0的通解为( ) A. y=ce x B. y=ce －x C. y=csinxD. y=c 1e x +c 2e －x二.判断题（正确的在括弧里用R 表示，错误的在括弧里用F 表示。
高中数学二试题库及答案
高中数学二试题库及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）的图像与x轴有两个交点，则下列说法正确的是（）。
A. \( a > 0 \)且\( b^2 - 4ac > 0 \)B. \( a < 0 \)且\( b^2 - 4ac > 0 \)C. \( a > 0 \)且\( b^2 - 4ac < 0 \)D. \( a < 0 \)且\( b^2 - 4ac < 0 \)2. 已知\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)为锐角，则\( \cos \theta \)的值为（）。
A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)3. 集合\( A = \{x | x^2 - 5x + 6 = 0\} \)，\( B = \{x | x^2 - 5x + 6 < 0\} \)，则\( A \cap B \)为（）。
A. \( \{2, 3\} \)B. \( \{2\} \)C. \( \{3\} \)D. 空集4. 若\( \log_2 8 = 3 \)，则\( \log_2 32 \)等于（）。
A. 3B. 5C. 6D. 95. 函数\( y = \frac{1}{x} \)的图像关于（）对称。
A. y轴B. x轴C. 原点D. 直线y = x6. 已知\( \tan \alpha = 2 \)，求\( \sin \alpha \)的值（）。
A. \( \frac{2}{\sqrt{5}} \)B. \( \frac{1}{\sqrt{5}} \)C. \( \frac{2}{\sqrt{3}} \)D. \( \frac{1}{\sqrt{3}} \)7. 函数\( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 \)的极大值点是（）。
高等数学2知识点总结和例题
高等数学2知识点总结和例题高等数学2课程主要包含了微积分的高级内容，如多元函数微积分、向量场、曲线积分、面积积分、常微分方程等。
本文将对这些知识点进行总结，并提供一些例题和解答，以供大家参考。
1. 多元函数微积分1.1 偏导数多元函数的偏导数定义：设函数z=f(x,y)，在点(x0,y0)的邻域内，当y=y0时，f(x,y)关于x的导数存在，则称该导数为函数f(x,y)在点(x0,y0)处的偏导数，记为fx(x0,y0)。
偏导数的计算方法：对于多元函数z=f(x,y)，求其在点(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0)时，将y视为常数，对x求一阶导数即可。
1.2 全微分全微分的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)连续且存在偏导数，则称与∆z=f(x,y)-f(x0,y0)满足的关系式∆z=A∆x+B∆y+o(∆r)，其中A=fx(x0,y0)，B=fy(x0,y0)，∆r=√[(∆x)^2+(∆y)^2]称作函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分。
全微分的计算方法：计算函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分时，首先求出其偏导数，然后用偏导数构造微分式，即dz=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy。
1.3 链式法则链式法则的定义：设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)有连续的偏导数，并且u=g(x,y)在点(u0,v0)有连续的偏导数，则复合函数z=f[g(x,y)]在点(x0,y0)具有偏导数，且有：∂z/∂x = (∂z/∂u)·(∂u/∂x) + (∂z/∂v)·(∂v/∂x)∂z/∂y = (∂z/∂u)·(∂u/∂y) + (∂z/∂v)·(∂v/∂y)其中(∂u/∂x)、(∂u/∂y)、(∂v/∂x)、(∂v/∂y)可以由u=g(x,y)的偏导数求得，而(∂z/∂u)、(∂z/∂v)可以由z=f(u,v)的偏导数求得。
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1求曲面e^x-z+xy=3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程。
解：∵e^x-z+xy=3==>z=e^x+xy-3==>αz/αx│(2,1,0)=e²+1，αz/αy│(2,1,0)=2∴在点(2,1,0)处切平面的法向量是(e²+1,2,-1)故所求切平面是(e²+1)(x-2)+2(y-1)-(z-0)=0，即(e²+1)x+2y-z=2(e²+2) 所求法线方程是(x-2)/(e²+1)=(y-1)/2=z/(-1)只要求在那一点的就行f(x,y,z)=e^z-z+xy▽f(x,y,z)=(y,x,e^z-1)▽f(2,1,0)=(1,2,0)则设为1x+2y=a再把(2,1,0)代入平面2+2=a=4则平面是x+2y=42函数z=ln(1+x^2+y^2) 当x=1,y=2时的全微分为z=ln(1+x^2+y^2)dz/dx=1/(1+x^2+y^2)*2x=1/(1+1^2+2^2)*2*1=1/3dz/dy=1/(1+x^2+y^2)*2y=1/(1+1^2+2^2)*2*2=2/3函数z=ln(1+x^2+y^2) 当x=1,y=2时的为dz=(dx+2dy)/310求球面x²+y²+z²=9在点(1,2,-2)的切平面及法线方程球心（0，0，0），因此切平面法向量为（1，2，-2），又切平面过（1，2，-2），因此切平面方程为1*(x-1)+2*(y-2)-2*(z+2)=0 ，化简得x+2y-2z-9=0 。
由于直线为（1，2，-2），所以法线方程为x-1=(y-2)/2=(z+2)/(-2) 。
求球面X^2+Y^2+Z^2=21在点(1,2,4)处的法线方程及切平面方程求解题过程法线即圆心和该点的连线∴为(x-0)/1=(y-0)/2=(z-0)/4即x=y/2=z/4其为(1,2,4)切平面上的任意两点的连线都应与垂直设切平面是ax+by+cz=C设面上两点分别为(x1,y1)(x2,y2)则ax1+by1+cz1=Cax2+by2+cz2=C两式相减得：a(x1-x2)+b(y1-y2)+c(z1-z2)=0左边正好是向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)的形式∴向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是垂直的由于(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是任取的，所以向量(a,b,c)只能为∴a=1，b=2，c=4∴其切平面则应为x+2y+4z=C解出C=21∴切平面为x+2y+4z=2114交换下列积分次序1 ∫（积分限0到1）dx∫(积分限x的平方到x）f(x,y)dy 解：原式=∫(0,1)dy∫(√y,y)f(x,y)dx。
交换积分次序,∫(上限2,下限0)dy∫(上限2y,下限y^2)f(x,y)dx|(上限4，下限2) dx |（上限2，下限x/2）f()dy15∫ ∫(D)sinx/xdxdy,其中D是由直线y=0,y=x及x=1围成计算二重积分∫D∫xsiny/xdxdy=∫[0,1]∫[0,x]xsiny/xdxdy=∫[0,1]∫[0,x]x^2siny/xd(y/x)dx=∫[0,1]x^2(-cos(y/x))[0,x]dx=∫[0,1]x^2(1-cos1)dx=x^3/3(1-cos1)[0,1]=(1-cos1)/3I=重积分sinX/Xdxdy 其中D是由直线y=x 和y=x^2围成的闭区域显然被积函数关于x不可积，故肯定要先对y积分I=∫（0,1)∫(x^2,x)sinx/xdydx=∫(0,1)(sinx/x)(y)(x^2,x)dx=∫(0,1)xsinx+sinxdx下面就简单了。
（）内为积分上下限∫∫[D]sinx/xdxdy=∫(0,1)dx∫(x,x^2)sinx/xdy=∫(0,1)(x-1)sinxdx=[sinx-xcosx+cosx]|(0,1)=sin1-1求二重积分∫∫sinx/x dxdy, D:y=x,y=x/2,x=2所围区域∫∫e^(-y^2)dxdy,其中D是由x=0，y=x，y=2所围成的闭区域。
求解D的顶点是：(0，0)、(0，2)、(2，2)∫∫ e^(-y²) dxdy，Y型区域= ∫(0~2) ∫(0~y) e^(-y²) dxdy= ∫(0~2) ye^(-y²) dy= (-1/2)∫(0~2) e^(-y²) d(-y²)= (-1/2) • [e^(-y²)] |(0~2)= (-1/2) • [e^(-4) - 1]= (-1/2) • (1/e⁴ - 1)= 1/2 - 1/(2e⁴) ≈ 0.49084计算∫∫e^(-y^2)dxdy 其中D是由y=x, y=1及y轴所围成的区域先对x积分在对y积分∫∫e^(-y^2)dxdy=∫(0,1)[∫(0,y)e^(-y^2)dx]dy=∫(0,1)ye^(-y^2)dy=-1/2 ∫(0,1)e^(-y^2)d(-y^2)=-e(-y^2)/2|(0,1)=(1-1/e)/2二重积分∫∫√x²+y²dxdy D:x²＋y²≤a²x=rcost,y=rsint那么∫∫√x²+y²dxdy D:x²＋y²≤a²=∫∫r√(rcost)²+(rsint)²drdt D:0≤r≤a，0≤t≤2π=∫∫r*rdrdt=∫∫r²drdt=∫r²dr *∫dt D:0≤r≤a，0≤t≤2π=r³/3（从0到a）* t（从0到2π）=a³/3*2π=2πa³/3算三重积分∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv，其中V为球面x^2+y^2+z^2=4与抛物面z=(x^2+ y^2)/3所围成的立体。
要用极坐标，答案5*3^(0.5)/pi应该是柱坐标吧，是对于二形的。
V为球面x^2+y^2+z^2=4与z=(x^2+y^2)/3所围成的立体，也就是上面是球面，下面是抛物面。
故z的范围为(x^2+y^2)/3≤z≤√（4-x^2-y^2），上半个球面z大于0.化为柱坐标为(ρ^2)/3≤z≤√(4-ρ^2)x^2+y^2+z^2=4与z=(x^2+y^2)/3的交平面为z=1，x^2+y^2=3故将图形至XOY平面，图形是ρ=x^2+y^2=3所以ρ，θ的范围为：0≤ρ≤√3,0≤θ≤2πdV=ρdρdθdz故积分化为I=∫∫∫(x^2+y^2)^(-0.5)dv=∫∫∫(1/ρ)ρdρdθdz2π √3 √(4-ρ^2)=∫ dθ ∫ dρ∫ dz0 0 (ρ^2)/3√3=2π*∫ [√(4-ρ^2)- (ρ^2)/3]dρ=2π（2π/3+√3/6）计算∫∫∫(x^2+y^2)dxdydz Ω是由曲面z=x^2+y^2及平面z=4所围成的闭区域直接上柱面极坐标x=rcosθ，y=rsinθ原积分=∫∫∫r^2 rdrdθdz=∫(0->2π)dθ ∫(0->2) r^3dr ∫(r^2->4)dz=32π/3计算三重积分∫∫∫（x^2+y^2）dxdydz其中D为曲面2z=x^2+y^2与z=2平面所围成的区域.选用柱：0≤θ≤2Pi,0≤r≤2,r^2/2≤z≤2原式=∫dθ∫dr∫r^3dz=∫dθ∫r^3(2-r^2/2)dr=2Pi*(r^4/2-r^6/12)|r=2=16Pi/3已知L为x²+y²=1在第二象限部分的曲线弧,则∫(x²+y²)ds：∵x²+y²=1 ==>y=√(1-x²)==>y'=-x/√(1-x²)∴ds=√(1+y'²)dx=dx/√(1-x²)故原式=∫<-1,0>dx/√(1-x²)=∫<-π/2,0>dt (令x=sint)=π/2。
求L=∫（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy,其中L是抛物线y=x^2从点A(-1,1)到点B（1，1）的一段弧。
补线段L1：y=1，x：1→-1，这样L+L1为封闭曲线，所围区域是D∮(L+L1) （x²+2xy)dx-(x²+y²siny)dy=∫∫ (2x+2x) dxdy 积分区域为D=0由于积分区域关于y，且被积函数关于x是，所以积分为0下面算L1上的积分∫(L1)（x^2+2xy)dx-(x^2+y^2siny)dy=∫ [1→-1] (x²+2x)dx=-2/3因此原积分=0-(-2/3)=2/3计算∫L(e^xsiny-3y)dx+(e^xcosy+x)dy，其中L是由点(0,0)到点(0,2)x^2+y^2=2y的右半圆周解：(e^xsiny-3y)对y求导得：e^xcosy-3(e^xcosy+x)对x求到得：e^xcosy+1考虑L1：（0,2）到（0.0）的直线段，则L和L1构成封闭曲线，逆时针方向，所围区域为D 由：∫L+L1=∫∫D（1-（-3））dxdy=4*1/2*π=2π所以：∫L=2π-∫L1，在L1：（0,2）到（0.0）的直线段上，x=0，故：∫L=2π+∫[0,2]cosydy=2π+sin2∫L（e∧xsiny-2y+1）dx+（e∧xcosy+3y）dy,其中L是由点A（2，0）到点（0，0）的上半圆周x∧2+y∧2＝2x证明锥面z=2√x^2+y^2被柱面x^+y^=2x所截得的有限部分的面积为√5π可以用曲面积分来求。
因为曲面是锥面z=2√x^2+y^2的一部分。
满足z'x=2x/√x^2+y^2, z'y=2y/√x^2+y^2设∑表示x^2+y^2=2x所围成的圆域，S∑表示这个圆的面积。
所求曲面的面积S=∫∫ds=∫∫∑√[1+(z'x)^2+(z'y)^2] dxdy=√5 (∫∫∑ dxdy)=√5(S∑)=√5π求锥面z=根号(x^2+y^2)被圆柱面x^2+y^2=2x割下部分的曲面面积(是曲面积分)，求详细答案对于z=f(x,y)，面积为A=∫∫D dA=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdyz=√(x²+y²)被x²+y²=2x所割则积分区域D为：0≤x≤2，-√(2x-x²)≤y≤√(2x-x²)化为为：0≤θ≤2π，0≤r≤2cosθ方程为：z=r；方程为：r=2cosθəf/əx=x/r=cosθ，əf/əy=y/r=sinθ(əf/əx)²+(əf/əy)²=cos²θ+sin²θ=1∴A=∫∫D √[1+(əf/əx)²+(əf/əy)²]dxdy=∫∫D √[1+1] rdrdθ=√2∫<0,2π>[∫<0,2cosθ>rdr]dθ=√2∫<0,2π>[<0,2cosθ>r^2/2]dθ=√2∫<0,2π>[2cos²θ]dθ=√2∫<0,2π>[1+cos2θ]dθ=√2/2∫<0,2π>[1+cos2θ]d(2θ)=√2/2[<0,2π>(2θ+sin2θ)]=√2/2[4π-0]=2√2π锥面z^2=x^2+y^2被圆柱面x^2+y^2=2ax所截部分的曲面面积解：∵锥面z²=x²+y²被x²+y²=2ax所截∴所截部分的面积在xy平面上的投影是D：x²+y²=2ax∵αz/αx=x/√(x²+y²)，αz/αy=y/√(x²+y²)∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy=√2dxdy故所截部分的面积=2∫∫<D>√2dxdy=2√2∫∫<D>dxdy=2√2*πa²。