2015大学自招数学

（2,2）
（3,3）
其相应的集合 S 和 T 是
S (13) ，，， (3 1)
T (2， 1)，， 2 3
(a1 , a1 ) (a2 , a1 )
(a1 , a2 ) (a2 , a2 )
(a1 , a3 ) (a2 , a3 )
(a1 , a4 ) (a2 , a4 )
设 f n 2n 1 对 n 3k k 1 成立
f a 2 f b a 2b f( ) , 3 3 a 2b f (a) 3 f ( ) 2 f (b) 3
令 a 3k 1,
b 1
则 f 3k 1 3 f k 1 2 f 1 32(k 1) 1 2 6k 1
解题分析：首先要弄清 A ， B ， C 顺序不同为不同组的理解：即
A 1 ， 2， 3 , B 1,3, 4, C 3,5 与 A 1,3, 4 , B 1 ， 2， 3, C 3,5 为 不 同 的
组；其次再考虑用分类讨论的方法求解，实际操作发现分类种类太 繁琐，由此可知，这并不是命题人的命题意图，所以另辟蹊径，考 虑数形结合的方法，因为这是解决集合问题的通性通法。
3 x 1 所以
300 故 x
z 1 的三个根是
3
1,
1 2 300 x ,
1 3i 1 3i , , 2 2
1 0, , 1
2 2
（2014 年北约第 3 题）.已知函数 f x ，满足
f( f a 2 f b a 2b ) , 3 3 f 1 1, f 4 7, 则 f 2014 （
由（1） （2）可知， m n 。
第二讲
函数与方程
3
（2014 卓越联盟第 1 题） x 2 x 2 1 0 的解集
解：
x 2x2 1 0 x 2 x 1 0
2
3
3
2
( x 1)( x x 1) 0
1 5 1 5 ( x 1)( x )( x )0 2 2
(a1 , ak ) (a2 , ak )
(a3 , a1 )
(a3 , a2 )
(a3 , a3 )
(a3 , a4 ) (a4 , a4 )
(a3 , ak )
(a4 , a1 )
(a4 , a2 )
(a4 , a3 )
(a4 , ak )
(ai , ai ) (ak , a1 ) (ak , a2 ) (ak , a3 ) (ak , a4 ) (ak , ak )
0 1 2 3 4 5 6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 C6 26 64
由于1，2，…,6在交替和中有32次系数为负，32次系数为正，
例： （2010 浙江大学） 设 M x f x x , N x f f x x , （1）求证： M N ; （2） f x 为单调增函数时，是否有 M N ？并证明。

1 1 3 3 x x 5 2 x x
1 1 300 例： （复旦大学）数 x 满足 x 1 ，求 x 300 x x
1 解：因为 x 1 ，所以 x2 x 1 0 ， x
又 3 0 ，所以 x 为虚数
因为 x3 1 x 1 ( x2 x 1) 0 ，
解（I） ：集合 0， 1 ， 2， 3 不具有性质 P ．因为 0 A ，而 0 A 。
集合 1， 2， 3 具有性质 P ，其中形如 (a，b) 是有序数对如下：
(13) ，，， (3 1), 2,3 , 3,2 , 1,2 , 2, 1
（-1，-1）
集合与命题在自主招生考试中一般是以小题形式出现，但偶尔 也会综合其他知识点出现在大题中。
典型例题
例:(2013 年全国高中竞赛 1) 设集合 A {2,0,1,3} ，集合
B {x x A, 2 x 2 A} .则集合 B 中所有元素的和为_____.
解：由 x A 知 B 2,0, 1, 3 ，
所以共有 2(1 6 15) 44 种。
例:对于集合 1,2,..., n 和它的每一个非空子集，我们定义“交替和” 如下：把集合中的数按从小到大的顺序，然后从最大的数开始交替 地加减各数（例如 1,2,4,6,9 的交替和是 9-6+4-2+1=6，而 5 的交替 和就是 5） 。对于 n 7 ，求所有这些交替和的总和。
解：由题意， x2 2ax a 0 有实根，
所以 4 a 2 a 0, 所以 a ,0 1,
函数 f x lg( x2 2ax a) 的定义域是 R ，则 a 的取值范围是（
f 3k 2 3 f k 2 2 f 2 6k 3
f 3k 3 3 f k 3 2 f 3 6k 5
f n 2n 1 n N , f 2014 4027.
（2014 北约第 4 题）. 函数 f x lg( x2 2ax a) 的值域是 R ， 则 a 的取值范围是（ A. 0 a 1 , B ,0 ） C 1, D. ,0 1,
2015高校自主招生数学复习策略
中国人民大学附属中学 尹述喜
2015年5月
第一讲集合与命题来自集合是现代数学大厦的基石，是组合数学的基础。以集合为载 体可以承载丰富的知识、方法和数学思想，可以有效的考查数学阅 读能力、即时学习能力、创新意识等素质能力。
逻辑作为一门研究思维的科学，与我们学习生活有着情丝万缕 的联系，在科学中尤其是数学中运用非常广泛，因此集合与逻辑是 自主招生，保送生考试，高考以及竞赛命题中的重要素材。
当 x 2, 3 时， 2 x2 2, 7 A,
当 x 0, 1 时， 2 x2 2,1 A,
满足要求；
不满足要求。
从而 B 2, 3 ，其元素的和为 5
例:设 A B C 1,2,3,4,5 且 A B 1,3 ， 则符合此条件的 A,B,C 共有 多少组（注：A，B，C 顺序不同为不同组） A 500 组 B 75 组 C 972 组 D 125 组
1 5 又 x 0 ，所以 1 x ， 2 1 5 1 5 所以 x ( , 1), x (1, ) 2 2
例： （2012 华约 2）. 求方程 x 11 6 x 2 x 27 10 x 2 1 实根的个数。
解：
x 11 6 x 2 (
综合①、②可知 f x1 x1 ，因此 x1 M , 与假设矛盾， 所以假设不能成立，即 M N .
注意：若把 f x 为单调增函数改为减函数，未必有 M N
如 f x x ，易得 M x f x x 0 ，
而 N x f f x x R ， 显然 M N
x 2 3)2 x 2 3
x 2 5
x 2 5
x 27 10 x 2 ( x 2 5) 2
x 11 6 x 2 x 27 10 x 2
x 2 3
因为 所以
a b ab a b
① 若 f x1 x1 ，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1 ，矛盾；
②若 f x1 x1 ，由于 f x 为单调增函数， 所以 f f x1 f x1 ，即 x1 f x1 ，矛盾。
证明： （1）若 M ，显然有 M N ;
若 M ，则存在 x0 M ，满足 f x0 x0 ， 所以 f f x0 f x0 x0 ，故 x0 N ，所以 M N ;
假设 M N ，由于 M N ，必存在 x1 N , 但 x1 M ，因此 f x1 x1 ，
若 A 0, B 8, 8 B 矛盾; 若 A 1, B 7, 7 A, 1 B ，共 1 种;
1 若 A 2, B 6, 6 A, 2 B ，共 C6 6 种;
若 A 3, B 5, 5 A, 3 B ，共 C62 15 种;
若 A 4, B 4, 4 A, 4 B ，矛盾.
可见， S 中元素的个数不多于 T 中元素的个数，即 m ≤ n ；
另一方面：对于 (a，b) T ，根据定义， a A ， b A ，且 a b A ，从 而 (a b，b) S ．如果 (a，b) 与 (c，d ) 是 T 的不同元素，那么 a c 与 b d 中至少有一个不成立，从而 a b c d 与 b d 中也不至少有一个不成 立，故 (a b，b) 与 (c d，d ) 也是 S 的不同元素．可见， T 中元素的个 数不多于 S 中元素的个数，即 n ≤ m 。
）
A.
4027 ，
B. 4028，
C.
4029，
D . 4030
f 4 2 f 1 7 2 1 4 2 1 解：f (2) f ( 3 ) 3 3 3 1 2 4 f 1 2 f 4 1 2 7 f (3) f ( ) 5. 3 3 3
（2014 年华约 1 题） ：已知正整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 满足任取四个数 求和构成的集合为 44,45,46,47 ，求整数 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 的值。
解：五个数任取四个数，可以得到五个和值，故必有 两个和值相同。这五个和值之和为：