解直角三角形(4)
2019版中考数学 三角形分类训练四 解直角三角形 鲁教版
2019版中考数学三角形分类训练四解直角三角形鲁教版典例诠释：考点一勾股定理及其逆定理的应用例1 (xx·大兴一模)《九章算术》中记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”译文：有一根竹子原高一丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图1-10-95，我们用线段OA和线段AB来表示竹子，其中线段AB表示竹子折断部分，用线段OB表示竹梢触地处离竹根的距离，则竹子折断处离地面的高度OA是尺.图1-10-95【答案】【名师点评】本题是以古代数学著作为背景，首先要读懂题目，哪些线段是已知，哪些线段是未知：OB=3，OA+AB=10，求OA的长，利用勾股定理即可得解.考点二求三角函数值例2 (xx·延庆一模)如图1-10-96，在4×4的正方形网格中，tan α的值等于( )图1-10-96A.2B.C.D.【答案】A【名师点评】求三角函数方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法．常用的方法有：①根据特殊的三角函数值求值；②直接应用三角函数定义;③借助变量之间的数量关系求值;④根据三角函数关系求值;⑤构造直角三角形求值.例3 (xx·怀柔二模)如图1-10-97，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC=7米，则树高BC为( )图1-10-97A．7sin α米B．7cos α米C．7tan α米D．(7+α)米【答案】C【名师点评】此题考查三角函数的定义和仰角的知识，已知∠A、AC，求BC，利用∠A 的正切值即可.考点三特殊三角函数值的计算例4 (xx·怀柔一模)2sin 45°－．【答案】 2【名师点评】此题考查了实数的运算，掌握零指数幂、负整数指数幂的运算法则是关键，另外要求我们熟练记忆一些特殊角的三角函数值．考点四解直角三角形例5 如图1-10-98，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长.图1-10-98【答案】3+【名师点评】将斜三角形转化为直角三角形是解决三角形中有关计算的重要思想方法，解决的方法是作三角形的高．例6 (xx·东城二模)如图1-10-99，矩形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF ⊥AM，垂足为F，交AD于点E．(1)求证：∠BAM=∠AEF；(2)若AB=4，AD=6，cos∠BAM=，求DE的长.图1-10-99(1)【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠BAD=90°.∵EF⊥AM，∴∠AFE=∠B=∠BAD=90°.∴∠BAM+∠EAF=∠AEF+∠EAF=90°.∴∠BAM=∠AEF.(2)【解】在Rt△ABM中，∠B=90°，AB=4，cos∠BAM=，∴AM=5.∵F为AM中点，∴AF=.∵∠BAM=∠AEF，∴cos∠BAM=cos∠AEF=.∴sin∠AEF=.在Rt△AEF中，∠AFE=90°，AF=，sin∠AEF=，∴AE=，∴DE=AD－AE=6－=.【名师点评】(1)通过“同角的余角相等”易证；(2)在△ABM中，知AB和∠BAM的余弦值可以得到AM的长，再利用相似或三角函数求AE的长，从而求出DE的长.考点五解直角三角形的应用例7 (xx·门头沟一模)如图1-10-100，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔，，分别为130米，400米，1 000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC 的总长度是( )图1-10-100A.1 200+270B.800+270C.540+600D.800+600【答案】C基础精练：1.(xx·平谷一模)在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这个数学问题的意思是说：“有一个边长为1丈(1丈=10尺)的正方形水池，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1 尺．如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？”如图1-10-101，设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为．图1-10-101【答案】2.(xx·顺义一模)《算法统综》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大伟，在《算法统综》有一道“荡秋千”的问题:“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”如图1-10-102，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程.【答案】图1-10-1023.如图1-10-103，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行米．图1-10-103【答案】104.(xx·通州一模)在我国古算书《周髀算经》中记载周公与商高的谈话，其中就有勾股定理的最早文字记录，即“勾三股四弦五”，亦被称作商高定理. 如图1-10-104是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理. 图1-10-105是由图1-10-104放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，那么矩形KLMJ的面积为.图1-10-104 图1-10-105【答案】1106.(xx·丰台二模)如图1-10-106所示，河堤横断面迎水坡AB的坡角是30°，堤高BC= 5 m，则坡面AB的长度是( )图1-10-106A.10 mB.10 mC.15 mD.5 m【答案】A7.(xx·平谷二模)如图1-10-107，为测量一棵与地面垂直的树BC的高度，在距离树的底端4米的A处，测得树顶B的仰角∠α=74°，则树BC的高度为( )图1-10-107A.米B.4sin 74°米C.4tan 74°米D.4cos 74°米【答案】C8.(xx·西城一模)某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况．如图1-10-108，通过直升机的镜头C观测水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为300米，点A，D，B在同一直线上，则雪道AB 的长度为( )图1-10-108A．300米B．1 502米C．900米D．(300+300)米【答案】D9.(xx·顺义二模)如图1-10-109，为了使电线杆稳固的垂直于地面，两侧常用拉紧的钢丝绳索固定，由于钢丝绳的交点E在电线杆的上三分之一处，所以知道BE的高度就可以知道电线杆AB的高度了．要想得到BE的高度，需要测量出一些数据，然后通过计算得出.请你设计出要测量的对象：；请你写出计算AB高度的思路：.图1-10-109【解】∠BCE和线段BC；思路：①在Rt△BCE中，由tan∠BCE=，求出BE=BC·tan∠BCE，②由AE=AB，可求得BE=AB，AB=BE=BC·tan∠BCE．10.(xx·延庆一模)如图1-10-110，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速驶向港口P．乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速驶离港口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)图1-10-110【解】依题意，设乙船速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，PC=2x，如图1-10-111,过P作PD⊥BC于D，∴BP=86－2×15=56.图1-10-111在Rt△PDB中，∠PDB=90°,∠BPD=60°，∴P D=PB·cos 60°=28.在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴PD=PC·cos 45°=·2x=x，∴x=28，即x=14≈20．答：乙船的航行速度为每小时20海里．11.(xx·通州二模)如图1-10-112，在ABCD中，∠1=∠2，∠3=∠4，EF∥AD，请直接写出与AE相等的线段(两条即可)，写出满足勾股定理的等式.(一组即可)图1-10-112【答案】AD，DF12.(xx·平谷二模)已知：如图1-10-113，∠ACB=90°，AC=BC , AD = BE, ∠CAD=∠CBE,(1)判断△DCE的形状，并说明你的理由；(2)当BD∶CD=1∶2，∠BDC=135°时，求sin∠BED的值.图1-10-113【解】(1)如图1-10-114.图1-10-114∵AC=BC,AD=BE,∠CAD=∠CBE,∴△ADC≌△BEC,∴DC=EC,∠1=∠2.∵∠1+∠BCD=90°，∴∠2+∠BCD=90°.∴△DCE是等腰直角三角形.(2)∵△DCE是等腰直角三角形，∴∠CDE=45°.∵∠BDC=135°，∴∠BDE=90°.∵BD∶CD=1∶2,设BD=x，则CD=2x，DE=2x，BE=3x.∴sin∠BED==.13.如图1-10-115所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正切值等于．图1-10-115【答案】14.(xx·丰台二模)将两个直角三角板按图1-10-116中方式叠放，BC=4，那么BD= .图1-10-116【答案】215.(xx·石景山一模)如图1-10-117，在四边形ABCD中，AB=2,∠A=∠C=60°,DB⊥AB于点B，∠DBC=45°，求BC的长.图1-10-117【解】如图1-10-118,过点D作DE⊥BC于点E.图1-10-118∵DB⊥AB,AB=2，∠A=60°，∴BD=AB·tan 60°=2.∵∠DBC=45°，DE⊥BC，∴BE=DE=BD·sin 45°=.∵∠C=∠A=60°，∠DEC=90°，∴CE==，∴BC=+.16.(xx·昌平一模)如图1-10-119，已知：BD是四边形ABCD的对角线，AB⊥BC，∠C=60°，AB=1，BC=3+，CD=2.(1)求tan∠ABD的值；(2)求AD的长.图1-10-119【解】(1)如图1-10-120,作DE⊥BC于点E.∵在Rt△CDE中，∠C=60°，CD=2，∴CE=,DE=3.∵BC=3+，∴BE=BC－CE=3+=3.∴DE=BE=3.∴在Rt△BDE中，∠EDB=∠EBD=45°.∵AB⊥BC，∠ABC=90°，∴∠ABD=∠ABC－∠EBD=45°.∴tan∠ABD=1.图1-10-120(2)如图1-10-120,作AF⊥BD于点F.在Rt△ABF中，∠ABF=45°,AB=1，∴BF=AF=.∵在Rt△BDE中，DE=BE=3，∴BD=3.∴DF=BD－BF=3=.∴在Rt△AFD中，AD==.17.(xx·西城一模)如图1-10-121，在ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F．(1)求证：四边形AEDF是矩形；(2)连接BD，若AB=AE=2，tan∠FAD=，求BD的长．图1-10-121(1)【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，即AF∥ED.∵DF∥EA,∴四边形AEDF是平行四边形.∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴四边形AEDF是矩形.(2)【解】如图1-10-122.精品-图1-10-122∵四边形AEDF是矩形，∴FD=AE=2，∠F=90°.∵在Rt△AFD中，tan∠FAD==，∴AF=5.∵AB=2，∴BF=AB+AF=7.∴在Rt△BFD中，BD==.真题演练：1.(xx·北京)计算：+4sin 45°－+|1－|.【答案】2.(xx·北京)如图1-10-123，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝，BE＝2.求CD的长和四边形ABCD的面积.图1-10-123【解】如图1-10-124,过点D作DH⊥AC，图1-10-124∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=，∴EH=DH=1.又∵∠DCE=30°，∴HC=，DC=2.∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=2，∴AB=AE=2，∴AC=2+1+=3+，∴=×2×(3+)+×1×(3+)=.-精品。
解直角三角形应用4湘教版
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为 一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用.
下： 1.沿着水平地面向前300m到达D点，在D点测得山 顶A的仰角为60 °，求山高AB. 2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300m到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB. A
D 30° C
x E x
F B
三、小结
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作 辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）； 当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意， 把实际问题化归为直角三角形中的边角关系.
（ 返 回 ）
）
d
D
h
铅 垂 线
） 仰角 ） 俯角
水平线
k D d 2 tg
i
h
tg
( 为斜角 )
( 为坡角 )
一、基础题
1、在Rt △ABC中， ∠ C=90°，∠A的正切等 于2，BC=6，则这个三角形的面积等于____________, 斜边AB=_______________ . 2、某人沿着坡角为45 °的斜坡走了310 则此人的垂直高度增加了____________m .
解直角三角形应用
回顾知识要点
1、解直角三角形定义
2、直角三角形中的边角关系 3、在解直角三角形中，经常接触的名称
1、在一个直角三角形中，已知一条边和一 个锐角或者已知两条边，可以求出其他的边 和角，这就是解直角三角形.
2、在 ABC 中 , C 为直角 , 有下列的边角关系
三边的关系
25.3解直角三角形4- 坡度问题
图25.3.5图25.3.6 25.3解直角三角形4－－ 坡度问题课时学习目标1．掌握坡角与坡度概念, 能利用解直角三角形解决有关实际问题。
2．由实际问题转化为几何问题时,学会自己画图,建立模型.学习重点难点重点: 灵活应用解直角三角形知识解决实际问题。
难点:由实际问题转化为几何问题(建模)。
课前预习导学 （ 自学课本完成下列问题）1.坡面的铅垂高度（h ）和水平长度（l ）的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即=i ．(坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6．)2.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有tan α＝ ．3.坡度越大，坡角α就越 ，坡面就越 ．4.计算: ︒︒+︒+︒60cot 60tan 30cos 30sin 22225．如图，两建筑物的水平距离BC 为24米，从点A 测得点D 的俯角α＝30°，测得点C 的俯角β＝60°，求AB 和CD 两座建筑物的高．（结果保留根号）课堂学习研讨例1如图25．3．6，一段路基的横断面是梯形，高为4．2米，上底的宽是12．51米，路基的坡面与地面的倾角分别是32°和28°．求路基下底的宽．（精确到0．1米）例2、 一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽6米，坝高20米，斜坡 AB 的坡度1i ＝1∶3，斜坡CD 的坡度2i ＝1∶2．5．求：（1） 斜坡AB 与坝底AD 的长度；（精确到0．1米）（2） 斜坡CD 的坡角α．（精确到1°）A B CA AB B CC 30° 第3题 课达标堂检测1. 如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是 。
2.如图，坡角为30 的斜坡上两树间的水平距离AC 为2m ，则两树间的坡面距离AB 为（ ）A ．4mB ．3mC ．43m 3D ．43m3. 如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌。
4 解直角三角形
∵ tan B b , b 30,
a
∴
a
b tan
B
30 tan 25。
64.
新课讲解
例 4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分
别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形 的其他元素．(长度精确到0.01) 解：已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B的大小．而 已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数． ∵∠A＝26°44′，∠C＝90°， ∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
新课讲解
典例分析
分析：紧扣解直角三角形中“知二求三”的特征进行解答 .
解： ①能够求解；②不能求解；③能够求解； ④能够求解；⑤能够求解 .
答案：C
新课讲解
典例分析
例 2. 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角 形的其他元素．(角度精确到1′)
∴∠ B=90° - ∠ A=60° .
∵ tan A= a ，
b
∴
3= a , 3 12
∴ a= 4 3.
c 2a 8 3.
新课讲解
（ 2）在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，∠ A=60°，
∴∠ B=90° - ∠ A=30° .
∵ sin A= a ， ∴ 3 = a ,
c
26
∴ a 3 3.
, cos
B
B的邻边 斜边
正切：tan
A
A的对边 A的邻边
，tan
B
B的对边 B的邻边
当堂小练
在Rt△ABC中， ∠C＝90° ， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a, b, c，根据下列条 件求出直角三角形的其他元素（角度精确 到1° ): (1) 已知 a = 4, b =8;
2019-2019学年九年级数学下册第1章直角三角形的边角关系4解直角三角形课件北师大版
第一章 直角三角形的边角关系
4 解直角三角形
学习新知
检测反馈
在日常生活中,我们常常遇到与 直角三角形有关的问题,知道直 角三角形的边可以求出角,知道
角也可以求出相应的边.如图所
示,在Rt△ABC中共有几个元素? 我们如何利用已知元素求出其他 的元素呢?
学习新知
已知两条边解直角三角形
只知道角度是无法求出直角三角形的边长的.
问题2 只给出一条边长这一个条件,可以解直角三角形吗?
只给出一条边长,不能解直角三角形.
解直角三角形需要满足的条件: 在直角三角形的6个元素中,直角是已知元素,如果再知道一 条边和第三个元素,那么这个三角形的所有元素就都可以确定
下来.
1.如图所示的是教学用直角三角板,边
方法1:已知两条边的长度,可以先利用勾股定理 求出第三边,然后利用锐角三角函数求出其中一个 锐角,再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个
锐角.
方法2:已知两条边的长度,可以先利用锐角三角函 数求出其中一个锐角,然后根据直角三角形中两锐 角互余求出另外一个锐角,再利用锐角三角函数求
出第三条边.
已知一条边和一个角解直角三角形
解析:根据图形得出点B到AO的距离是指BO的长,根据 锐角三角函数定义得出BO=ABsin 36°,即可判断A,B错误; 过A作AD⊥OC于D,则AD的长是点A到OC的距离,根据锐 角三角函数定义得出AD=AOsin 36°,AO=AB·sin 54°,所以 AD=sin 36°·sin 54°,即可判断C正确,D错误.故选C.
例2 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且b=30，∠B=25°.求这个三 角形的其他元素(边长精确到1).
28.2解直角三角形(4)
2、如何将这个三角形转化为两个直角三角形？
3、在 Rt△BCP 中，能直接求出 PB 吗？还缺什么元素？你认为求出哪条边最方便计算？
4、在 Rt△APC 中，求 PC 是，若用正弦函数求解应选用哪个关系式？若用余弦函数呢？
5、请你选择一种方法写出解题过程
三、学生展示——面对困难别退缩，相信自己一定行！！ ！ 已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔 M 在 北偏西 30°，货轮以每小时 20 海里的速度航行，1 小时后到达 B 处，测 得灯塔 M 在北偏西 45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短 距离是多少?(精确到 0.1 海里， 3 1.732 )
沉默是金难买课堂一分，跃跃欲试不如亲身尝试！
学法指导 合作交流、讨论、
一、自主先学————相信自己，你最棒！ 1、利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是怎样的？
北 B
2、方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 90 的水平角叫做方位角，如图所示目标方向线 OA、OB、 OD 的方向角分别是北偏东 60 、________20 、南偏西 45 、 _______60 ，比如我们习惯上所说的 “东南方”是指 目标线为南偏东 45 等等。
0 0 0 0 0
0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
20 O 450
0
A
0
60
东 60
0
D C
二、展示时刻——集体的智慧是无穷的，携手解决下面的问题吧！
O
例 5 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65 方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34 方向上 的 B 处.这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（精确到 0.01） 1、点 A、B、P 三点构成△ABP，你能写出这个三角形中已知那些元素，要 求的又是那一个元素？
7.解直角三角形(4)坡度
解:(1)在Rt△AFB中，∠AFB=90° 在 △ 中 ° AF i=1:1.5 tan α = = i = 1： 1.5 BF α
A 6m F
D i=1:3 β E C
α ≈ 33.7
o
B
在Rt△CDE中，∠CED=90° △ 中 ° DE tan β = = i = 1: 3 CE
β ≈ 18.4o
A Ｂ
a
Ｃ
a b
Ａ
b
2、以后，我们可以得到解直角三角形的几种基本图形： 、以后，我们可以得到解直角三角形的几种基本图形： 几种基本图形 A
B D C A
P
A D i=1:3 B α F E β C
C
B
C
D
B
作业: 作业
1.复习整章知识点 背诵默写 复习整章知识点(背诵默写 表格); 复习整章知识点 背诵默写P79表格 表格 2.完成课本 完成课本P92第2~6题,8题. 完成课本 第 题 题
在每小段上，我们都构造出直角三角形， 在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算 出各段山坡的高度h 然后我们再“ 出各段山坡的高度 1,h2,…,hn,然后我们再“积零为整”，把 然后我们再 积零为整” h1,h2,…,hn相加，于是得到山高 相加，于是得到山高h. 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” 以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲” ”“化曲为直 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位， 的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容． 今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般 过程是： 过程是： 抽象为数学问题 （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 ） 实际问题抽象为数学问题（ 转化为解直角三角形的问题）； 解直角三角形的问题 形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 ）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函 数等去解直角三角形； 数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； ）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． ）得到实际问题的答案．
专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法
专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三 已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ， 即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)． 设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6， 即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。
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他在半空学着绣工的手型，做飞针走线状，写出一个“绣”字，告诉我们这是“绣茶”。
说起绣花，大家知道，古代大家闺秀一定要会针线活。绣茶，说白了，就是在茶砖上绣花，这是由品到赏的转变。据说，绣茶由宋代专门掌握这项技术的宫女用金箔剪成龙凤和花草图案贴在北苑贡 茶上，然后供大家观赏的一种玩茶艺术。绣茶和斗茶一样，也是宋代茶俗，只不过绣茶是宋代皇亲贵族内部流行的玩法，几乎不对外流传，所以自然没法像斗茶那样流行。
说到绣茶，就要提及一个人——蔡襄，蔡襄当时在福建建安为官，当地盛产研膏茶，他根据陆羽的《茶经》，改进研膏茶的制茶技术，大大提升了研膏茶的品质，并取名为“小龙凤团茶”。茶饼圆 润，绣花其上，精致无比。