【拿高分 选好题】(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训8 苏教版
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训6立体几何 苏教版
保温特训(六) 立体几何基础回扣训练1．(2012·某某二模)一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.2．在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．3．如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．4．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题：①若l⊂α，m⊂α，l∥β，m∥β，则α∥β；②若l⊂α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；③若α∥β，l∥α则l∥β；④若l⊥α，m∥l，α∥β，则m⊥β.其中真命题是______________(写出所有真命题的序号)．5．设α，β为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α则n∥α；②若α⊥β，则α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；④若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，则n与m不垂直．其中，所有真命题的序号是________．6．已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________(填上所有符号要求的序号)．7．设a，b为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若a∥α，a∥β，则α∥β；②若a⊥α，α⊥β，则α⊥β；③若a∥α，b∥α，则a∥b; ④若a⊥α，b⊥α，则a∥b.上述命题中，所有真命题的序号是________．8．设l，m，n为三条不同的直线，α为一个平面，下列命题中正确的个数是________．①若l⊥α，则l与α相交；②若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α；③若l∥m，m∥n，l⊥α，则n⊥α；④若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n.9．已知平面α，β，γ，直线l，m满足：α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(请将你认为正确的结论的序号都填上)．10．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确命题的序号是________．11．(2012·某某中学练习)在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥BC，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝BC ＝1，A1B＝ 2.(1)求证：平面A1BC⊥平面ACC1A1；(2)如果D为AB的中点，求证：BC1∥平面A1CD.12．如图，在三棱锥SABC中，平面EFGH分别与BC，CA，AS，SB交于点E，F，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.求证：(1)AB∥平面EFGH；(2)GH∥EF；(3)GH⊥平面SAC.13．如图a，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，F为AD的中点，E在BC上，且EF∥AB.已知AB＝AD＝CE＝2，沿线EF把四边形CDFE折起如图b，使平面CDFE⊥平面ABEF.(1)求证：AB⊥平面BCE；(2)求三棱锥CADE体积．14．如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF.(1)求证：AC⊥平面BDE；(2)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．考前名师叮嘱1．要牢记线面平行与垂直和面面平行与垂直的定义、判定和性质定理以及线线、线面、面面平行与垂直之间的联系和转化．2．不可混淆每种平行与垂直之间转换的条件．3．线面平行的判定定理和性质定理在应用时都是三个条件，但这三个条件易混为一谈；面面平行的判定定理不能把条件错误地记为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行”而导致证明过程跨步太大．4. 平面图形的翻折，立体图形的展开等一类问题，要注意翻折，展开前后有关几何元素的“不变量”与“不变性”．5．立几问题的求解分为“作”，“证”，“算”三个环节，不能只“作”，“算”，而忽视了“证”这一重要环节．参考答案保温特训(六)1．解析由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧高为5cm ，高为4 cm ，所以所求容积为48 cm 3. 答案 482．解析 由题意OA ，OB ，OC ，两两垂直，可将其放置在以O 为一顶点的长方体中，设三边OA ，OB ，OC 分别为a ＞b ＞c ，从而易得S 1＝12a b 2＋c 2，S 2＝12b a 2＋c 2，S 3＝12c a 2＋b 2，故S 21－S 22＝14(a 2b 2＋a 2c 2)－14(b 2a 2＋b 2c 2)＝14c 2(a 2－b 2)，又a ＞b ， 所以S 21－S 22＞0，即S 1＞S 2.同理，用平方后作差法可得S 2＞S 3.∴S 3＜S 2＜S 1.答案 S 3＜S 2＜S 13．解析 如图，分别过点A 、B 作EF 的垂线，垂足分别为G 、H ，连接DG 、CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，所以S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24， 所以V ＝V E ADG ＋V F BHC ＋V AGD BHC ＝13×24×12＋13×24×12＋24×1＝23. 答案 234．解析 ①：只有当l 与m 相交时，才可证明α∥β；③：l 可能在平面β内． 答案 ②④5．解析 ③错误，α，β相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n ＝α∩β，则在β内存在m ⊥n .答案 ①②6．解析 ①正确，此时必有α∥β；②错误，因为此时两平面平行或相交均可；③错误，当两直线a ，b 在两平面内分别与两平面的交线平行即可；④正确，由于α∥β，经过直线α的平面与平面β交于a ′，则a ∥a ′，即a ′∥α，又b ∥α，因为a ，b 为异面直线，故a ′，b 为相交直线，由面面平行的判定定理可知α∥β，综上可知①④是平面α∥平面β的充分条件．答案 ①④7．解析 若a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，即命题①不正确；若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β，即命题②不正确；若a ∥α，b ∥α，则a ∥b 或a 与b 相交或a 与b 异面，即命题③不正确；若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b ，即命题④正确，综上可得真命题的序号为④.答案④8．解析由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故命题①正确；由于不能确定直线m，n 相交，不符合线面垂直的判定定理，命题②不正确；根据平行线的传递性．l∥n，故l ⊥α时，一定有n⊥α.答案 39．解析画图可知①m⊥β、③β⊥γ不一定成立．答案②④10．解析α∥β⇒直线l⊥平面β，由于直线m⊂平面β，∴l⊥m故①正确；由l∥m，直线l⊥平面α可推出直线m⊥平面α，而直线m⊂平面β，∴α⊥β故③正确．答案①③11．证明(1)在△A1AC中，∠A1AC＝60°，AA1＝AC＝1，∴A1C＝1，△A1BC中，BC＝1，A1C ＝1，A1B＝2，∴BC⊥A1C，又AA1⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1，∵BC⊂平面A1BC，∴平面A1BC⊥平面ACC1A1.(2)连接AC1，交A1C于O，连接DO，则由D为AB中点，O为A1C中点得，OD∥BC1，OD⊂平面A1DC，BC1⊄平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.12．证明(1)因为SA⊥平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以SA⊥GH.又因为SA⊥AB，SA，AB，GH都在平面SAB内，所以AB∥GH.因为AB⊄平面EFGH，GH⊂平面EFGH，所以AB∥平面EFGH.(2)因为AB∥平面EFGH，AB⊂平面ABC，平面ABC∩平面EFGH＝EF，所以AB∥EF.又因为AB∥GH，所以GH∥EF.(3)因为SA⊥平面EFGH，SA⊂平面SAC，所以平面EFGH⊥平面SAC，交线为FG.因为GH ∥EF ，EF ⊥FG ，所以GH ⊥FG .又因为GH ⊂平面EFGH ，所以GH ⊥平面SAC .13．(1)证明 在图a 中，EF ∥AB ，AB ⊥AD ，∴EF ⊥AD ，在图b 中，CE ⊥EF ，又平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ， CE ⊥平面ABEF ，AB ⊂平面ABEF ，∴CE ⊥AB ，又∵AB ⊥BE ，BE ∩CE ＝E ，∴AB ⊥平面BCE ；(2)解 ∵平面CDFE ⊥平面ABEF ，且平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，AF ⊥FE ，AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥平面CDEF ，∴AF 为三棱锥A CDE 的高，且AF ＝1，又∵AB ＝CE ＝2，∴S △CDE ＝12×2×2＝2，∴V C ADE ＝13·S △CDE ·AF ＝13×2×1＝23. 14．(1)证明 因为DE ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥AC .因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，因为DE ∩BD ＝D从而AC ⊥平面BDE .(2)解 当M 是BD 的一个三等分点，即3BM ＝BD 时，AM ∥平面BEF .取BE 上的三等分点N ，使3BN ＝BE ，连接MN ，NF ，则DE ∥MN ，且DE ＝3MN ，因为AF ∥DE ，且DE ＝3AF ，所以AF ∥MN ，且AF ＝MN ，故四边形AMNF 是平行四边形．所以AM ∥FN ，因为AM ⊄平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，所以AM ∥平面BEF .。
【拿高分选好题】(新课程)高中数学二轮复习精选过关检测5苏教版
参考答案 过关检测 ( 五 ) 1．解析 根据补集的定义，由于 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， M＝ {1,2,4} ，从而 ?UM＝{3,5,6} ． 答案 {3,5,6} 2．解析 设复数 z＝－ 1＋ bi ，则 | z| ＝ b2＋ 1＝ 2，解得 b＝± 3.
答案 ± 3 3．解析 设抽取的女运动员有
PD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是直角梯形， DC∥ AB，∠ BAD＝90°，且 AB＝ 2AD＝
0 的概率是 ________．
2
2DC＝ 2PD＝4， E 为 PA的中点． (1) 求证： DE∥平面 PBC； (2) 求证： DE⊥平面 PAB. 16．( 本小题满分 14 分 ) 如图，在边长为 4 的菱形 ABCD中，∠ DAB＝60°，点 E、F 分别在边 CD、 CB上，点 E 与点 C、D 不重合， EF⊥ AC， EF∩ AC＝ O，沿 EF 将△ CEF翻折到△ PEF 的位置，使平面 PEF⊥平面 ABFED.
故 a＋b＝ 3. 答案 3
6．解析 程序在运行过程中各变量的值如下表示： 第一圈循环：当 n＝1 时，得 s＝ 1， a＝3.
第二圈循环：当 n＝2 时，得 s＝ 4， a＝5 第三圈循环：当 n＝3 时，得 s＝ 9， a＝7 此时 n＝ 3，不再循环，所以输出的 s＝9. 答案 9 7．解析 设线段 AC的长为 x cm ，则线段 CB的长为 (12 － x)cm，那么矩形的面积为 x(12 － x)cm2，由 x(12 － x) ＞ 20，解得 2＜ x＜10. 又 0＜ x＜ 12，所以该矩形面积大于 20 cm 2 的
1
1
∴V1＝ 3S · △ABD PO， V2＝ 3S 梯形 · BFED PO
【拿高分,选好题】高中新课程数学(苏教)二轮复习精选教材回扣保温特训5
保温特训(五) 不等式与推理证明基础回扣训练1．若集合A ＝{x |lg(x －2)＜1}，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12＜2x ＜8，则A ∩B ＝________.2．无限循环小数为有理数，如：0.1,0.23,0.456，…观察0.1＝19，0.2＝29，0.3＝13，…，请你归纳出0.23＝________.3．由“若直角三角形两直角边的长分别为a ，b ，将其补成一个矩形，则根据矩形的对角线长可求得该直角三角形外接圆的半径为r ＝a 2＋b 22”．对于“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a ，b ，c ”，类比上述处理方法，可得该三棱锥的外接球半径为R ＝________.4．不等式4x －2x ＋2＞0的解集是________．5．将推理“函数y ＝2x 2＋x －1的图象是抛物线”改写成三段论为________．6．(2012·南师大附中阶段测试)已知不等式组⎩⎨⎧ y ≤x ，y ≥－x ，x ≤a ，表示的平面区域的面积为4，点P (x ，y )在所给平面区域内，则z ＝2x ＋y 的最大值为________．7．(2012·江苏百校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2－4x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则1a＋9c 的最小值是________．8．已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图①、图②作扇形的内接矩形，若按图①作出的矩形面积的最大值为12R 2tan α，则按图②作出的矩形面积的最大值为________．9．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为________．10．(2012·江苏百校联考)设函数f (x )＝－x 3＋3x ＋2，若不等式f (3＋2sin θ)＜m 对任意θ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为________．11．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 2x －y ≤1x ＋y ≥2y －x ≤2，目标函数z ＝k x ＋2y 仅在点(1,1)处取得最小值，则k 的取值范围是________．12．如图所示，在一机械装置中，小正六边形沿着大正六边形的边顺时针方向滚动，小正六边形长是大正六边形边长的一半，如果小正方形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量OA→围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则θ等于________．13．已知{a n }是裴波纳契数列，满足a 1＝1，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n (n ∈N *，{a n }中各项除以4所得余数按照原来顺序构成的数列记为{b n }，则b 2 012＝________.14．定义域为[a ，b ]的函数y ＝f (x )的图象的两个端点为A 、B ，M (x ，y )为y ＝f (x )图象上任意一点，其中x ＝λa ＋(1－λ)b ，x ∈[a ，b ]，已知向量ON→＝λOA →＋(1－λ)OB→，若不等式|MN →|≤k 恒成立，则称函数y ＝f (x )在[a ，b ]上“k 阶线性近似”．若函数y ＝x －1x 在x ∈[1,2]上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是________．考前名师叮嘱1．判断多个不等式命题的真假，需要逐一给出推理判断或反例说明．常见的推理判断需要利用不等式的基本性质，常见的反例构成方式可以从以下几个方面思考：第一，不等式两边同时乘以一个数或式时，考查所乘数或式的正负；第二，不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方时，结论不再成立；第三，不等式左边是正数，右边是负数，若两边同时取倒数后，不等号方向不变等；2．解决含参不等式要注意分类讨论，分类标准可以从以下几个方面确定，第一，依据问题所涉及数学概念确定分类标准；第二，根据数学中的定理、公式和性质确定分类标准；第三，根据运算的需要确定分类标准；3．求解线性目标函数在线性约束条件下的最值问题的步骤：作图、平移、求值；4．用基本不等式求函数最值时，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后利用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的不等式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．在利用基本不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式，若多次使用了基本不等式，则一定要保证它们等号成立的条件一致，否则得到的结构很可能不是要求的最值；5．解决归纳推理题目的一般步骤：第一，对有限的条件进行观察、分析、归纳、整理；第二，提出带有规律性的结论，即猜想；第三，检验猜想；6．类比推理的一般步骤：第一，找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；第二，用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；第三，检验猜想，同时要将类比推理运用到简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力；7．反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：易导出与已知矛盾的命题；否定性命题；唯一性命题；至多至少型命题；一些基本定理等，证明步骤一般有反设、归谬、存真三步．参考答案保温特训(五)1．解析因为lg(x－2)＜1⇒0＜x－2＜10⇒2＜x＜12，所以A＝(2,12)，又12＜2x＜8⇒－1＜x＜3，所以B＝(－1,3)，故A∩B＝(2,3)．答案(2,3)2．解析观察循环节是一个数字的，分母是9，分子即为循环节，应用归纳推理得循环节是两个数字的，分母为99，分子仍然为循环节，即0.23＝23 99.答案 23993．解析 根据类比推理，将三棱锥补成一个长方体，该三棱锥的外接球半径为长方体体对角线的一半，即为a 2＋b 2＋c 22. 答案 a 2＋b 2＋c 224．解析 根据指数运算法则求解．由4x －2x ＋2＞0得2x (2x －4)＞0，又因为2x ＞0，所以2x ＞4，解得x ＞2，故原不等式的解集为(2，＋∞)．答案 (2，＋∞)5．解析 根据三段论的格式改写．答案 二次函数的图象是抛物线 (大前提)函数y ＝2x 2＋x －1是二次函数 (小前提) 函数y ＝2x 2＋x －1的图象是抛物线 (结论)6．解析 不等式组对应的平面区域是三角形，由面积是4得a ＝2，当目标函数经过点(2,2)时，取得最大值6.答案 67．解析 由条件得4ac ＝16，且a ＞0，c ＞0，所以1a ＋9c ≥21a ·9c ＝3，当且仅当1a ＝9c 时，即a ＝23，c ＝6时等号成立．答案 3 8．解析 图②中，矩形被平分后的一半在结构上与图①完全相似，从而其面积大小为2×12R 2tan α2＝R 2tan α2.答案 R 2tan α29．解析 由指数函数图象可得f (a )＞－1，所以g (b )＞－1，即－b 2＋4b －3＞－1，解得2－2＜b ＜2＋ 2.答案 (2－2，2＋2)10．解析 因为f ′(x )＝－3x 2＋3＝－3(x －1)(x ＋1)≤0对x ∈[1，＋∞)恒成立，所以原函数在x ∈[1，＋∞)递减，而1≤3＋2sin θ≤5，所以m ＞[f (3＋2sin θ]max＝f (1)＝4.答案 (4，＋∞)11．解析 作出不等式组对应的平面区域如图，目标函数为y ＝－k 2x ＋12z ，仅在(1,1)差取得最小值时，有－1＜－k 2＜2，解得－4＜k ＜2.答案 (－4,2)12．解析 因为由图形可知转过一条边，向量OA→围绕着点O 旋转了－π，所以旋转一周，向量OA→围绕着点O 旋转了－6π. 答案 －6π13．解析 先求出数列{b n }的前几项，再进行归纳．因为{a n }中的项依次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，所以{b n }中的项依次为：1,1,2,3,1,0,1,1,2,3，…，所以{b n }是以6为周期的周期数列，所以b 2 012＝b 335×6＋2＝b 2＝1. 答案 114．解析 根据新定义求出|MN →|，再利用基本不等式求最值，得k 的取值范围．由题意可知，A (1,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，2－λ－12－λ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－λ，32(1－λ)，λ∈[0,1]，则|MN →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－λ－12－λ－32(1－λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪32＋λ－22＋1λ－2≤32－2，当且仅当a ＝22时等号成立，所以k ≥32－ 2.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32－2，＋∞。
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训1集合与常用逻辑用语 苏教版
保温特训(一) 集合与常用逻辑用语基础回扣训练1．设a ，b 都是非零实数，y ＝a |a |＋b |b |＋ab |ab |可能取的值组成的集合是________． 2．已知集合A ＝{x |x ＞5}，集合B ＝{x |x ＞a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值X 围是________．3．设不等式x 2－x ≤0的解集为M ，函数f (x )＝ln(1－|x |)的定义域为N ，则M ∩N 为________．4．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．5．“a ≥0”是“∃x ∈R ，ax 2＋x ＋1≥0为真命题”的________条件．6．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．7．已知不等式x 2－2x ＋1－a 2＜0成立的一个充分条件是0＜x ＜4，则实数a 的取值X 围应满足________．8．已知集合S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x －2x ＜0，T ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a 2＋a ≥0}(a ∈R )，则S ∪T ＝R 的充要条件是________．9．已知集合U ＝{1,3,5,9}，A ＝{1,3,9}，B ＝{1,9}，则∁U (A ∪B )＝________.10．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B的集合C 的个数为________．11．若自然数n 使得作加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)运算均不产生进位现象，则称n 为“给力数”，例如：32是“给力数”，因32＋33＋34不产生进位现象；23不是“给力数”，因23＋24＋25产生进位现象．设小于1 000的所有“给力数”的各个数位上的数字组成集合A ，则集合A 中的数字和为________．12．“a ＝1”是“函数f (x )＝2x－a 2x ＋a在其定义域上为奇函数”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)13．(2012·致远中学质量检测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012(a 2 011－1)＝－1，则下列四个命题中真命题的序号为________．①S 2 011＝2 011；②S 2 012＝2 012；③a 2 011＜a 2；④S 2 011＜S 2.14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的序号是________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥n n ⊂α⇒m ⊥α；② ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αa ⊂β⇒α⊥β； ③ ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ；④ ⎭⎪⎬⎪⎫n ⊂βm ∥β⇒m ∥n 考前名师叮嘱1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3．已知集合A 、B ，当A ∩B ＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A ＝∅或B ＝∅；求集合的子集时是否忘记∅？4．对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n －1,2n －1,2n－2.5．“p 且q ”的否定是“非p 或非q ”；“p 或q ”的否定是“非p 且非q ”．6．命题的否定只否定结论；否命题是条件和结论都否定．参考答案保温特训(一)1．解析 分四种情况：(1)a ＞0且b ＞0；(2)a ＞0且b ＜0；(3)a ＜0且b ＞0；(4)a ＜0且b ＜0，讨论得y ＝3或y ＝－1.答案 {3，－1}2．解析 命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，∴A ⊆B ，∴a ＜5.答案 a ＜53．解析 M ＝[0,1]，N ＝(－1,1)，则M ∩N ＝[0,1)．答案 [0,1)4．解析 设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12，即所求人数为12人．答案 125．解析 a ≥0时，∃x ∈R ，ax 2＋x ＋1≥0；但∃x ∈R ，ax 2＋x ＋1≥0时，a ＜0也可以． 答案 充分但不必要6．解析 依题意可知，必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”是指在集合中有与k 相邻的元素．故所求的集合可分为如下两类：因此，符合题意的集合是：{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．答案 67．解析 由题意可知，当0＜x ＜4时，x 2－2x ＋1－a 2＜0成立，令f (x )＝x 2－2x ＋1－a 2，∴f (4)＜0得，a ＜－3或a ＞3， f (0)＜0得，a ＞1或a ＜－1.综上，a ＞3或a ＜－3.答案 a ＜－3或a ＞38．解析 S ＝{x |0＜x ＜2}，T ＝{x |x ≥a ＋1或x ≤a }，若S ∪T ＝R ，则a ≥0且a ＋1≤2⇒0≤a ≤1.反之，若0≤a ≤1，则S ∪T ＝R .答案 0≤a ≤19．解析 易得A ∪B ＝A ＝{1,3,9}，则∁U (A ∪B )＝{5}．答案 {5}10．解析 A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}，故满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数即为集合{3,4}的子集个数22＝4个．答案 411．解析 给力数的个位取值：0,1,2给力数的其它数位取值：0,1,2,3，所以A ＝{0,1,2,3}集合A 中的数字和为6.答案 612．解析 根据奇函数的定义求出a 的值，再判断充分条件、必要条件．由函数f (x )＝2x －a 2x ＋a是定义域上的奇函数，所以f (－x )＝2－x －a 2－x ＋a ＝－f (x )＝－2x －a 2x ＋a对定义域上的每个x 恒成立，解得a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝2x－a 2x ＋a 在其定义域上为奇函数”的充分不必要条件．答案 充分不必要条件13．解析 该题通过条件(a 2－1)3＋2 012(a 2－1)＝1，(a 2 011－1)3＋2 012(a 2 011－1)＝－1，考查函数与方程的思想，由于函数f (x )＝x 3＋x 是奇函数，由条件有f (a 2－1)＝1，f (a 2 011－1)＝－1.另外，f ′(x )＝3x 2＋1＞0，所以，f (x )是单调递增的，而f (1)＝2＞1＝f (a 2－1)，∴a 2－1＜1，a 2＜2，所以，a 2－1＝－(a 2 011－1)，∴a 2＋a 2 011＝2，且a 2－1＞a 2 011－1，∴a 2＞0＞a 2 011；又由等差数列{a n }考查等差数列概念与通项公式，由此可得S 2 012＝a1＋a2 0122×2 012＝2 012，d＜0，∴S2 011＝S2 012－a2 012＝2 012－(2－a2＋d)＝2 010＋a1＞a1＋a2＝S2.答案②③14．解析①错误，m与α有可能斜交或平行或在α内；②正确；③正确；④错误，m与n可能异面．答案②③。
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训7概率与统计 新人教版
保温特训(七) 概率与统计基础回扣训练(限时40分钟)1．某学校有教师150人，其中高级教师15人，中级教师45人，初级教师90人．现按职称分层抽样选出30名教师参加教工代表大会，则选出的高、中、初级教师的人数分别为( )．A ．5,10,15B ．3,9,18C ．3,10,17D ．5,9,16 2．已知x 、y 取值如下表：从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a ＝( )．A ．1.30B ．1.45C ．1.65D ．1.803．已知A ＝{1,2,3}，B ＝{x ∈R |x 2－ax ＋b ＝0，a ∈A ，b ∈A }，则A ∩B ＝B 的概率是( )．A.29B.13C.89 D ．14．扇形AOB 的半径为1，圆心角90°.点C ，D ，E将弧AB 等分成四份．连接OC ，OD ，OE ，从图中所有的扇形中随机取出一个，面积恰为π8的概率是( )．A.310 B.15 C.25 D.125．先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为m ，n ，则mn 是奇数的概率是( )．A.12B.13C.14D.16 6．为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：(1)在该校中随机抽取100名学生，并编号1,2,3， (100)(2)在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；(3)请下列两类学生举手：(i)摸到白球且号数为偶数的学生；(ii)摸到红球且不喜欢数学课的学生．如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( )．A ．88%B ．90%C ．92%D ．94%7．下表是降低技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝0.7x ＋0.35，那么下列点一定在回归直线上的是( ).(4.5,3.5) 8．一个质地均匀的正四面体骰子四个面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷这颗正四面体骰子两次，则两次底面上的数字之积大于7的概率为( )．A.14B.38C.12D.589．某运动会期间来自A 大学2名和B 大学4名的共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A 大学志愿者的概率是( )．A.115 B.25 C.35 D.141510．为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结果如下：附：K 2＝n ad －bc 2a＋bc ＋d a ＋cb ＋d参照附表，得到的正确结论是( )．A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关” 11．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2ax ＋b 2＝0.若a 是从0,1,2三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，则使上述方程有实根的概率是________． 12．在样本的频率分布直方图中共有9个小 长方形，若第一个长方形的面积为0.02， 前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1 600，则(即第五组)的频数为________． 13．若袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．14．在某次体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：91,94,94,96,93,91,93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．15．根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20～80 mg/100 mL(不含80)之间，属于酒后驾车；血液酒精浓度在80 mg/100 mL(含80)以上时，属于醉酒驾车．据报道，某市2011年4月19日查处酒后驾车和醉酒驾车共100人．按照血液中酒精含量(单位：mg/100 mL)，可以把这100人分为第一组[40,50)，第二组[50,60)，第三组[60,70)，第四组[70,80)，第五组[80,90)，第六组[90,100]，现有以下部分图表：②图2中阴影部分的面积为________．(2)若从这100人中随机抽查两人，求这两人均属醉酒驾车的概率． 【临考易错提醒】1．概率与频率的关系不清．概率的定义是：在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率m n总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率．这个常数是客观存在的，它不依赖于某次试验事件发生的频率，它是在大量的重复同一个试验时事件发生的频率的一个稳定值．要特别注意随机事件发生的概率的客观存在性和确定性． 2．混淆事件的互斥与对立．不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，必有一个发生的两个互斥事件叫做对立事件．两个事件互斥不一定对立，对立一定互斥(即不互斥就一定不对立)．如果用集合来表示两个事件，互斥事件的两个集合的交集是空集，如果其并集是全集，则这两个互斥事件也是对立事件．在解答与这两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．3．古典概型中的等可能性事件的概率是最常见的一种概率问题，解决这类问题的重要前提是求基本事件的总数，这些基本事件必须是等可能的．同时应注意：在涉及抛掷骰子的问题中，将一枚骰子连续抛掷两次和将两枚骰子抛掷一次是一样的．但出现的点数为(a ，b )和(b ，a )却是两种不同的情况，应作为两个基本事件．4．易混淆古典概型与几何概型，对度量的标准把握不准导致求解错误； 5．易混淆系统抽样与分层抽样导致样本数据计算错误；6．误把频率分布直方图纵轴的几何意义当做频率，导致样本数据的频率求错；不能准确读出茎叶图中的数据导致样本数据的数字特征计算错误；7．解决概率类综合解答题，首先要注意把一个“大的随机事件”拆成若干个“小的互斥的随机事件的和”，再把每个“小的随机事件”分成若干个相互独立事件乘积，在解决过程中要做到分类时“不重不漏”，分步时“过程完整”，只有这样才能正确地解答关于这类概率的综合计算题，在分拆的过程中要时时刻刻对照互斥事件的概念，核查分拆结果．8．概率模型判断不准致误．解决概率问题时，要反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意，正确判断各个事件之间的关系，并分析应用所学概率模型(如互斥事件)的公式进行解答．参考答案 保温特训(七)1．B [由于分层抽样选出30名教师占总数的15，因此选出的高级教师的人数为15×15＝3，选出的中级教师的人数为45×15＝9，选出的初级教师的人数为90×15＝18.]2．B [代入中心点(x ，y )，可知a ＝1.45.]3．C [随着a ，b 的取值变化，集合B 有9种可能，如表，经过验证很容易知道其中有8种满足集合A ∩B ＝B ，所以概率是89.故选C.]4.A [据题意若扇形面积为8，据扇形面积公式8＝2×α×1⇒α＝π4，即只需扇形中心角为π4即可，列举可得这种情况共有3种，而整个基本事件个数共有10种，故其概率为310.]5．C [先后掷两次正方体骰子总共有36种可能，要使mn 是奇数，则m ，n 都是奇数，因此有以下几种可能：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5)共9种可能．因此P ＝936＝14.] 6．B [摸到白球且号数为偶数的学生应有50×25＝20人，则摸到红球且不喜欢数学课的学生有6人，而在100名学生中，摸到红球的学生人数应有100×35＝60，这说明不喜欢数学课的学生占10%.]7．D [本题考查线性回归直线方程及样本数据均值的计算，难度较小．由回归直线的性质：回归直线必经过点(x ，y )，据已知数据易得x ＝4.5，y ＝3.5，即点(4.5,3.5)一定在回归直线上．]8．B [两次抛掷的基本事件16，两次底面上的数字之积大于7的情况有(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以两次底面上的数字之积大于7的概率为P ＝616＝38.故选B.]9．C [法一 P ＝2×415＋115＝915＝35，法二 P ＝1－615＝35.]10．A [K 2＝－2110×90×100×100≈18.18>10.828.所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”．] 11．解析 设事件A 为“方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根”．当a ≥0，b ≥0时，方程x 2＋2ax ＋b 2＝0有实根等价于a ≥b ，基本事件共有12个：(0,0)、(0,1)、(0,2)、(0,3)、(1,0)、(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,0)、(2,1)、(2,2)、(2,3)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，事件A 中包含6个基本事件，所以事件A 发生的概率为P (A )＝612＝12.答案 1212．解析 设前五个长方形面积的公差为d ，由9个长方形的面积为1，可得d ＝0.8216，中间一组的频数为1 600×(0.02＋4d )＝360. 答案 36013．解析 总的取法是4种，能构成等差数列的有{2,3,4}，{2,4,6}2组，故所求概率为P ＝24＝12.答案 1214．解析 s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，∵x ＝93，∴s 2＝15(1＋1＋0＋4＋0)＝1.2. 答案 1.215．解 (1)①0.01 0.15 5 ②0.6 (2)100人中醉酒驾车的有15人，所以两人均为醉酒驾车的概率P ＝15×14100×99＝7330.。
高中新课程数学(苏教)二轮复习精选教材回扣保温特训
保温特训(十) 附加必做部分基础回扣训练1．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A ＝6，M是CC1的中点．(1)求证：A1B⊥AM；(2)求二面角B -AM-C的平面角的大小．2．如图，在长方体ABCD -A1B1C1D1中，已知AB＝4，AD＝3，AA1＝2，E，F分别是棱AB，BC上的点，且EB＝FB＝1.(1)求异面直线EC1与FD1所成角的余弦值；(2)试在面A1B1C1D1上确定一点G，使DG⊥平面D1EF.3．某校高一、高二两个年级进行乒乓球对抗赛，每个年级选出3名学生组成代表队，比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，但不能参加两盘单打比赛．若每盘比赛中高一、高二获胜的概率分别为37，47.(1)按比赛规则，高一年级代表队可以派出多少种不同的出场阵容？(2)若单打获胜得2分，双打获胜得3分，求高一年级得分ξ的概率分布列和数学期望．4．设m，n∈N*，f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋x)n.(1)当m＝n＝2 011时，记f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 011x2 011，求a0－a1＋a2－…－a2 011；(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m，n变化时，试求x2系数的最小值．5. 已知数列{a n}满足：a1＝12，a n＋1＝2a na n＋1(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)证明：不等式0＜a n＜a n＋1对于任意n∈N*都成立．考前名师叮嘱1．求异面直线所成角一般可以通过在异面直线上选取两个非零向量，通过求这两个向量的夹角得出异面直线所成角，特别注意的异面直线所成角的范围，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值．2．二面角的计算可以采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解．最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角．3．用平面的法向量和直线的方向向量来证明空间几何问题，简单快捷．解题的关键是先定与问题相关的平面及其法向量．如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创设法向量．4．解决概率问题，关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，列出随机变量ξ的所有取值并求出相应的概率P(ξ)，列出分布列，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思考方法．5．求离散型随机变量的分布列首先要明确随机变量取哪些值，然后求取每一个值得概率，最后列成表格形式．6．离散型随机变量分布列的两个性质：①p i≥0(i＝1,2，...)；②P1＋P2＋ (1)7. 要注意区别“二项式系数”与二项式展开式中“某项的系数”8．在解决与系数有关的问题时，常用“赋值法”，这种方法是一种重要的数学思想方法．9．求二项式展开的某一项或者求满足某些条件、具备某些性质的项，其基本方法是利用二项式的通项公式分析讨论解之．10．有些数学问题，形式上极其类似二项式定理的展开式形式，因而我们要能扣住它的展开式各项特征，适当加以变化，进而构造出定理的相应结构，达到解决问题之目的．11．数学归纳法解题的基本步骤： (1)明确首取值n 0并验证真假．(必不可少) (2)“假设n ＝k 时命题正确”并写出命题形式．(3)分析“n ＝k ＋1时”命题是什么，并找出与“n ＝k ”时命题形式的差别．弄清左端应增加的项．(4)明确等式左端变形目标，掌握恒等式变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设．12．数学归纳法解题时要注意，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉．参考答案 保温特训(十)1．(1)证明 以点C 为原点，CB 、CA 、CC 1所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系Cxyz ，如图所示，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，A 1(0，3，6)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62.所以A 1B →＝(1，－3，－6)，AM →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－3，62. 因为A 1B →·AM →＝1×0＋(－3)×(－3)＋(－6)×⎝ ⎛⎭⎪⎫62＝0，所以A 1B ⊥AM .(2)解 因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC ，所以CC 1⊥BC .因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，又AC ∩CC 1＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1，即BC ⊥平面AMC .所以CB→是平面AMC 的一个法向量，CB →＝(1,0,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BAM 的一个法向量，BA→＝(－1，3，0)，BM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，0，62.由⎩⎪⎨⎪⎧n ·BA→＝0，n ·BM →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x ＋62z ＝0，令z ＝2，得x ＝6，y ＝ 2.所以n ＝(6，2，2)因为|CB →|＝1，|n |＝23，所以cos 〈CB →，n 〉＝C B →·n |CB →||n |＝22，因此二面角B -AM -C 的大小为45°.2．解 (1)以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有D (0,0,0)，D 1(0,0,2)，C 1(0,4,2)，E (3,3,0)，F (2,4,0)， 于是EC 1→＝(－3,1,2)，FD 1→＝(－2，－4,2)．设EC 1与FD 1所成角为α，则cos α＝EC 1→·FD 1→|EC 1→||FD 1→|＝(－3)×(－2)＋1×(－4)＋2×2(－3)2＋12＋22(－2)2＋(－4)2＋22＝2114. ∴异面直线EC 1与FD 1所成角的余弦值为2114.(2)因点G 在平面A 1B 1C 1D 1上，故可设G (x ，y,2)．DG →＝(x ，y,2)，FD 1→＝(－2，－4，2)，EF →＝(－1,1,0)．由⎩⎪⎨⎪⎧DG →·FD 1→＝0，DG →·EF →＝0得⎩⎨⎧－2x －4y ＋4＝0，－x ＋y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23，y ＝23.故当点G 在面A 1B 1C 1D 1上，且到A 1D 1，C 1D 1距离均为23时，DG ⊥D 1EF .3．解 (1)先安排参加单打的队员有A 23种方法，再安排参加双打的队员有C 12种方法， 所以，高一年级代表队出场共有A 23C 12＝12种不同的阵容．(2)ξ的取值可能是0,2,3,4,5,7.P (ξ＝0)＝64343，P (ξ＝2)＝96343，P (ξ＝3)＝48343， P (ξ＝4)＝36343，P (ξ＝5)＝72343，P (ξ＝7)＝27343.ξ的概率分布列为所以E (ξ)＝0×64343＋2×96343＋3×48343＋4×36343＋5×72343＋7×27343＝3.4．解 (1)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 011＝(1－2)2 011＋(1－1)2 011＝－1.(2)因为2C 1m ＋C 1n ＝2m ＋n ＝20，所以n ＝20－2m ，则x 2的系数为22C 2m ＋C 2n ＝4×m (m －1)2＋n (n －1)2＝2m 2－2m ＋12(20－2m )(19－2m )＝4m 2－41m ＋190.所以当m ＝5，n ＝10时，f (x )展开式中x 2的系数最小，最小值为85.5．(1)解 由题意，得a 2＝23，a 3＝45. (2)证明 ①当n ＝1时，由(1)知0＜a 1＜a 2，不等式成立． ②设当n ＝k (k ∈N *)时，0＜a k ＜a k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，由归纳假设，知a k ＋1＞0.而a k ＋2－a k ＋1＝ 2a k ＋1a k ＋1＋1－2a ka k ＋1＝2a k ＋1(a k ＋1)－2a k (a k ＋1＋1)(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＝2(a k ＋1－a k )(a k ＋1＋1)(a k ＋1)＞0，所以0＜a k ＋1＜a k ＋2，即当n＝k＋1时，不等式成立．由①②，得不等式0＜a n＜a n＋1对于任意n∈N*成立．。
【拿高分,选好题第二波】(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训4数列、不等式 新人教版
保温特训(四) 数列、不等式基础回扣训练(限时40分钟)1．公差不为零的等差数列第2,3,6项构成等比数列，则公比为( )．A ．1B ．2C ．3D ．42．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )．A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶34．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，2x ＋y －9≤0，则z ＝x ＋3y 的最大值等于( )．A ．9B ．12C ．27D ．365．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，则S 10的值为( )．A ．－110B ．－90C ．90D ．1106．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 4a 5a 6＝52，则a 7a 8a 9＝( )．A ．10B ．22C ．8 D. 27．设数列{a n }满足a 1＋2a 2＝3，且对任意的n ∈N *，点列{P n (n ，a n )}恒满足P n P n ＋1＝(1,2)，则数列{a n }的前n 项和S n 为( )．A ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43B ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －34C ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －23D ．n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －128．如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于 ( )．A ．32B ．64C ．－32D ．－649．若a ，b ∈(0，＋∞)，且a ，b 的等差中项为12，α＝a ＋1b ，β＝b ＋1a，则α＋β的最小值为( )．A ．3B ．4C ．5D ．610．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为( )．A ．3B ．4C ．3 2D ．4 211．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________． 12．在等差数列{a n }中，a 5＝1，a 3＝a 2＋2，则S 11＝________.13．正项数列{a n }满足a 1＝2，(a n －2)2＝8S n －1(n ≥2)，则{a n }的通项公式a n ＝________. 14．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m＋4n的最小值为________．15．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，13是函数f (x )＝a x(a >0且a ≠1)图象上的一点，等比数列{a n }的前n 项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和为T n ，问使T n >1 0002 011的最小正整数n 是多少？(3)若＝－12a n ·b n ，求数列{}的前n 项和．【临考易错提醒】1．易忽视数列通项公式中n 的取值X 围导致数列中的单调性与函数的单调性混淆，如数列{a n }的通项公式是a n ＝n ＋2n，求其最小项，则不能直接利用均值不等式求解最值，因为n不能取2，所以既要考虑函数的单调性，又要注意n 的取值限制．2．已知数列的前n 项和求a n 时，易忽视n ＝1的情况，直接用S n －S n －1表示a n ；应注意a n ，S n 的关系中是分段的，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活利用整体代换等方法进行基本运算，如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解结果．4．易忽视等比数列的性质，导致增解、漏解现象，如忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同而造成增解；在等比数列求和问题中忽视公比为1的情况导致漏解，在等比数列中S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q n1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1，na 1，q ＝1.5．不能正确利用不等式的性质进行同解变形，导致利用已知条件求解取值X 围时X 围扩大或缩小，如同向不等式相加、异向不等式相减、不等式两边同乘一个数时忽视该数的符号变化导致出错等．6．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．7．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.8．易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．9．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点与点(－2,2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点到点(1,1)的距离的平方等．10．解决不等式恒成立问题的常规求法是：借助相应函数的单调性求解，其中的主要技巧有数形结合法、变量分离法、主元法，通过最值产生结论．应注意恒成立与存在性问题的区别，如对∀x ∈[a ，b ]，都有f (x )≤g (x )成立，即f (x )－g (x )≤0的恒成立问题，但对∃x ∈[a ，b ]，使f (x )≤g (x )成立，则为存在性问题，即f (x )min ≤g (x )max ，应特别注意两函数中的最大值与最小值的关系．参考答案 保温特训(四)1．C [设公差为d ，由题意知：a 23＝a 2a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，解得d ＝－2a 1，所以公比为a 3a 2＝a 1＋2da 1＋d＝3，选C.]2．B [由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.]3．A [∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列，记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ，进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.]4．B [作出实数x 、y 满足的可行域，结合图形可知，当直线y ＝z 3－x3过点(3,3)时，目标函数z ＝x ＋3y 取得最大值12.]5．D [a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110.]6．A [因为a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9成等比数列，公比为2，所以a 7a 8a 9＝10，选A.] 7．A [设P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，则P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1,2)，即a n ＋1－a n ＝2，所以数列{a n }是以2为公差的等差数列．又a 1＋2a 2＝3，所以a 1＝－13，所以S n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －43，选A.]8．A [a 5＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×a 5a 4＝a 51q1＋2＋3＋4＝(－2)10＝32.]9．C [由题意知a ＋b ＝1，α＋β＝a ＋1b ＋b ＋1a ＝1＋1a ＋1b ＝1＋1ab，由a ，b ∈(0，＋∞)，得a ＋b ≥2ab ，又a ＋b ＝1，因而ab ≤14，则α＋β的最小值为5.]10．B [画出区域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，∴y ＝－2x ＋z ，令l 0： y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距 z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.]11．解析 依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋12y ＋1＝6，x ＋2y ≥4，即x ＋2y 的最小值是4.答案 412．解析 d ＝2，a 6＝3，S 11＝11a 1＋a 112＝11a 6＝33.答案 3313．解析 因为(a n －2)2＝8S n －1(n ≥2)，所以(a n ＋1－2)2＝8S n ，两式相减得： 8a n ＝a 2n ＋1－a 2n ＋4a n －4a n ＋1，整理得： 4(a n ＋1＋a n )＝(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )，因为{a n }是正项数列，所以a n ＋1－a n ＝4，所以{a n }是以4为公差，2为首项的等差数列，所以a n ＝2＋4(n －1)＝4n －2. 答案 4n －214．解析 点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1； 2m＋4n＝2m＋22n≥22m ·22n ＝22m ＋2n＝2 2.答案 2 215．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.∴a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29， a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227.又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，∴c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，∴a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－23n ，n ∈N *.S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)．又∵b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合该通项公式，∴b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 011，得n >1 00011，满足T n >1 0002 011的最小正整数为91.(3)＝－12a n ·b n ＝－12·－23n ·(2n －1)＝13n ·(2n －1)，设数列{}的前n 项和为P n ，则P n ＝c 1＋c 2＋…＋＝1·13＋3·132＋5·133＋…＋(2n －3)·13n －1＋(2n －1)·13n ①则3P n ＝1＋3·13＋5·132＋…＋(2n －1)·13n －1②②－①得：2P n ＝1＋2·13＋2·132＋…＋2·13n －1－(2n －1)·13n＝1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋132＋…＋13n －1－(2n －1)·13n＝1＋2·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－(2n －1)·13n＝2－2n ＋13n. ∴P n ＝1－n ＋13n，即{}的前n 项和为1－n ＋13n.。
(新课程)高中数学二轮复习 精选教材回扣保温特训1集合、逻辑用语、算法、推理与证明 新人教版
6保温特训(一) 集合、逻辑用语、算法、推理与证明基础回扣训练(限时30分钟)1．设集合A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ＋2≤0，x ∈Z }，则A ∩B 等于( )．A ．(－1,3)B ．[1,2]C ．{0,1,2}D ．{1,2}2．复数z 满足(－1＋i)z ＝(1＋i)2，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．关于命题p ：A ∩∅＝∅，命题q ：A ∪∅＝A ，则下列说法正确的是( )．A ．(綈p )∨q 为假B ．(綈p )∧(綈q )为真C ．(綈p )∨(綈q )为假D ．(綈p )∧q 为真 4．“α＝π6”是“cos 2α＝12”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．i 为虚数单位，复数1＋a i2＋i为纯虚数，则实数a 等于( )．A ．－2B ．－13 C.12 D ．26．下列命题中真命题的个数是( )．①“∀x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∃x ∈R ，x 2－x <0”；②若|2x －1|>1，则0<1x <1或1x<0；③∀x ∈N *,2x 4＋1是奇数A ．0B ．1C ．2D ．3 7．设A ＝{x |x 2－4x －5<0}，B ＝{x ||x －1|>1}，则A ∩B ＝( )．A ．{x |－1<x <0或2<x <5}B ．{x |－1<x <5}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0或x >2}。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
保温特训(八) 概率、统计、算法与复数
基础回扣训练
1．复数z ＝1＋i ，则2z
＋z 2
＝________.
2．如图是一个程序框图，则输出结果为________．
3．如图所示的程序框图运行的结果是________．
4．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的值为________．
5．运行如图所示的流程图，则输出的结果S 是________．
6．i 是虚数单位，若复数z ＝(m 2
－1)＋(m －1)i 为纯虚数，则实数m 的值为________． 7．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i ，则z ＝________.
8．箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为
3的倍数的概率是________．
9．若实数m ，n ∈{－1,1,2,3}，且m ≠n ，则方程x 2m ＋y 2
n
＝1表示的曲线是焦点在x 轴上的双
曲线的概率为________．
10．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两
局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为________． 11．对某种电子元件使用寿命跟踪调查，所得样本频率分布直方图如图，若一批电子元件中
寿命在100～300小时的电子元件的数量为400，则寿命在500～600小时的电子元件的数量为________．
12．如图，是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图，利用组中值可估计其平均分为______．
13．某公司生产三种型号A 、B 、C 的轿车，产量分别为1 200辆、6 000辆、2 000辆．为
检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则型号A 的轿车应抽取________辆．
14．复数z ＝2＋3i
3－2i
＝________.
考前名师叮嘱
1．利用古典概型公式求随机事件的概率时：①如果基本事件的个数比较少，可用列举法将
基本事件一一列出．②如果基本事件的个数比较多，也可利用两个计数原理及排列组合的知识计算，再利用概率公式求解．
2．较为简单的问题可直接用古典概型公式计算，较为复杂的问题，可转化为几个互斥事件
的和，利用互斥事件的加法公式求解；也可采用间接解法，先求事件A 的对立事件A 的概率，再用P (A )＝1－P (A )求事件A 概率．
3．几何概型的两个特征：(1)试验的结果有无限多；(2)每个结果的出现是等可能的．解决
几何概型的概率问题，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率．
4．用样本的频率分布估计总体分布，可以分成两种情形讨论：(1)当总体的个体取不同数值
很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图；(2)当总体的个体取不同值较多时，相应的直方图是用图形的面积的大小来表示在各个区间取值的频率．
5．对于框图应注意以下几个问题：①不同的框图表示不同的作用，各框图的作用应注意区
别，不可混淆；②流程线的方向指向不能漏掉；③判断框是根据不同的条件，选择一条且仅有一条路径执行下去，不要搞错；④解决一个问题的算法从开始到结束是完整的，其流程图的表示也要完整．
6．解决复数问题，要注意复数问题实数化的方法，即利用复数相等的概念，把复数问题转
化为实数问题，这是解决复数问题的最常用策略．
7．要注意复数是虚数、复数是纯虚数的条件，注意共轭复数、复数模的几何意义的应用．
参考答案
保温特训(八)
1．解析 21＋i
＋(1＋i)2
＝－＋
－
＋(1＋2i ＋i 2
)＝1－i ＋2i ＝1＋i.
答案 1＋i
2．解析 由框图可知：S ＝0，k ＝1；S ＝0＋2－1，k ＝2；
S ＝(2－1)＋(3－2)＝3－1，k ＝3；S ＝(3－1)＋(4－3)＝4－1，k ＝4；…
S ＝8－1，k ＝8；S ＝9－1，k ＝9；S ＝10－1，k ＝10；S ＝11－1，k ＝11，满足条
件，终止循环，输出S ＝11－1.
答案 S ＝11－1
3．解析 由程序框图的算法原理可得：A ＝0，i ＝1；
A ＝11×2，i ＝2；A ＝11×2＋12×3，i ＝3；… A ＝11×2＋12×3＋…＋1
2 011×2 012
，i ＝2 012；
A ＝
11×2＋12×3＋…＋12 011×2 012＋1
2 012×2 013
，i ＝2 013， 不满足循环条件，终止循环， 输出A ＝11×2＋12×3＋…＋12 011×2 012＋12 012×2 013＝1－12 013＝2 012
2 013
.
答案
2 012
2 013
4．解析 由程序框图可得，第1次循环：i ＝1，a ＝3；第2次循环：i ＝2，a ＝5；第3次
循环：i ＝3，a ＝73，此时退出循环，输出a ＝7
3.
答案 7
3
5．解析 变量i 的值分别取1,2,3,4，…时，变量S 的值依次为12，－1,2，1
2
，…，不难发
现变量S 的值是以3为周期在变化，当i 的取值为2 010时，S ＝2，而后i 变为2 011退出循环．
答案 2
6．解析 由题可得⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2
－1＝0
m －1≠0，
解得m ＝－1.
答案 m ＝－1
7．解析 z (2－3i)＝6＋4i ，z ＝6＋4i
2－3i
＝
＋
＋－
＋
＝
26i
13
＝2i.
8．解析 从五张卡片中任取两张共有5×4
2
＝10种取法，其中号码之和为3的倍数有1,2；
1,5；2,4；4,5，共4种取法，由此可得两张号码之和为3的倍数的概率P ＝410＝2
5.
答案 25
9．解析 根据焦点在x 轴上的双曲线的特征确定基本事件的个数，代入古典概型计算公式
计算即可．因为m ≠n ，所以(m ，n )共有4×3＝12种，其中焦点在x 轴上的双曲线即m ＞0，n ＜0，有(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)共3种，故所求概率为P ＝312＝1
4.
答案 14
10．解析 因为符合条件的有“甲第一局就赢”和“乙赢一局后甲再赢一局”由于两队获胜
概率相同，即为12，则第一种的概率为12，第二种情况的概率为12×12＝1
4，由加法原理得
结果为3
4.
答案 34
11．解析 寿命在100～300小时的电子元件的频率是⎝
⎛⎭
⎪⎫12 000＋32 000×100＝15，故样本容
量是400÷1
5＝2 000，从而寿命在500～600小时的电子元件的数量为 2
000×⎝ ⎛⎭
⎪
⎫32 000×100＝300.
答案 300
12．解析 平均分为： 10×2＋30×4＋50×6＋70×10＋90×8
2＋4＋6＋10＋8＝62.
答案 62
13．解析 根据分层抽样，型号A 的轿车应抽取46× 1 200
1 200＋6 000＋
2 000
＝6(辆)．
答案 6
14．解析 法一 z ＝2＋3i
3－2i ＝
＋＋－＋＝13i
13＝i.
法二 z ＝2＋3i
3－2i
＝
＋－
＝
＋2＋3i
＝i.。