04-1章弯曲内力-2

C
l 2 l 2
B
RB
(2)列Q、M方程 AC段
y 0, R
A
Q( x) 0, l x (0, ) 2
M(x)
RA Q ( x ) P 2 ,
x
Q(x)
M 0,
CB段
RA x M 0, l x [0, ] 2
CB段 M(x) Q(x) l x RB
q
l M(x)
q 2 M 0, 2 x M ( x) 0, q 2 M ( x) x x 0, l 2
(2)作Q、M图
x
Q
Q(x)
ql
M
Q max ql
M max
ql 2
2
1 2 ql 2
例题: 作Q、M 图
解：（1）支反力
P
A
RA AC段
RA
RA RB P 2
(3)
作Q、M图 m
A
RA Q
C
l 2 l 2
B
RB
AB段 AC段
ml +
CB段
M +
m Q RA , x (0, l ) l m l M RA x x, x [0, ) l 2 m M RB l x l x l l x ( , l] 2
CB段
Q
+
P2 P2
—
l Q( x) RB P 2, x ( , l) 2 l M ( x) RB l x P l x 2, x [ , l ] 2
Q max P 2 M max Pl 4
M +
Pl 4
有集中力作用处，Q图有突变.
例题:梁，已知Q，L。列Q，M方程；画Q，M图。 m A RA C
dM x qL qx Q x dx 2
RA
x
Q(x)
dQ x q, dx
d 2M x q 2 dx
这个微分关系是 偶然？必然？
习题
4-2(c,e,g,i)
0 x1 l
M x1 ＝M－FP 2l x1 ＝2FP l－FP 2l x1 ＝FP x1
y O A
MO=2FPl
C
FP
x B l
解： 3 ． 建立剪力方程和弯 矩方程
l x2
对于 CB 段梁的剪力和弯矩 方程，在x2处截开后，考察右边 部分的平衡。
根据平衡方程
建立剪力方程和弯矩方程时，需要根据梁上的外力(包括载 荷和约束力)作用状况，确定控制面，从而确定要不要分段，以 及分几段建立剪力方程和弯矩方程。 为了建立剪力方程和弯矩方程，必须首先建立Oxy坐标系， 其中O为坐标原点，x坐标轴与梁的轴线一致，坐标原点O一般取 在梁的左端，x坐标轴的正方向自左至右，y坐标轴铅垂向上。
l x1 x2
y O
MO=2FPl
A
l x1
C
FP
x B l
解： 3 ． 建立剪力方程和弯 矩方程 对于 AC 段梁的剪力和弯矩 方程，在x1处截开后，考察右边 部分的平衡。
MO=2FPl
M(x)
C
FP
B l
根据平衡方程
FQ(x) 2l－ x1
M＝0
F ＝0 F x F ＝0 －M x1 ＋M－FP 2l x1 ＝0
y Q 1 P
MO=2FPl
M(x1)
C
FP
B l
解： 3 ． 建立剪力方程和弯 矩方程
FQ(x1) 2l－ x1
F ＝0
y
FQ x1 FP＝0
M＝0
－M x1 ＋M－FP 2l x1 ＝0
得到AC段的剪力方程与弯矩方程：
FQ x1 ＝FP
0 x1 l
M RA x Px 2,
l Q( x) RB P 2, x ( , l) 2 l M ( x) RB l x P l x 2, x [ , l ] 2
(3)作Q、M图
AC段
P
A RA
l 2
C
l 2
B RB
l Q RA P 2 , x (0, ) 2 l M RA x Px 2, x [0, ] 2
l 2 l 2
解：（1）支反力
B
RB
RA RB m l
（2）列Q、M方程
AB段 M(x)
RA
m Q RA , l
x (x')
AC段
CB段
Q(x’) l x RB
m l M RA x x, x [0, ) l 2 m M RB l x l x l l x ( , l] 2
确定了分段之后，首先，在每一段中任意取一横截面，假 设这一横截面的坐标为x；然后从这一横截面处将梁截开，并假 设所截开的横截面上的剪力FQ(x)和弯矩M(x)都是正方向；最后 分别应用力的平衡方程和力矩的平衡方程，即可得到剪力FQ(x) 和弯矩M(x)的表达式，这就是所要求的剪力方程FQ(x)和弯矩方 程M(x)。
m2 m2
—
Q max m l , M max m 2
有集中力偶作用处，M图有突变.
例题：简支梁，已知q,L， 试 列Q，M方程；画Q，M图。 解：（1）支反力
ql RA RB 2 （2）列Q、M方程
q
l RA M(x) RB
ql Q x qx, x (0, l ) 2 ql qx M x x x, x [0, l ] 2 2
§4-4 剪力方程和弯矩方程、剪力图与弯矩图
剪力方程和弯矩方程的建立
剪力方程 Q(x):描述剪力沿梁的轴线变化规律的方程．
弯矩方程 M(x):描述弯矩沿梁的轴线变化规律的方程．
描述内力变化规律有两种方法： 1. 数学方程——剪力方程与弯矩方程； 2. 图形——剪力图与弯矩图。 两种描述方法都要： 1. 确定变化区间； 2. 遵循正负号规则。
（3）作Q、M图
RA
Q
x
Q(x)
ql / 2
x l
2:
M ql
2
l 2
8;
M
ql / 2
Q max
ql 2
ql 2 M max 8
ql 2 / 8
Q、M方程
qL Q x qx q 2 qL qx M x x x 2 2
l
RA M(x) RB
本题：若分别对M（x）， Q（x）求一阶导数，得：
上述结果表明，AC段和CB段的剪力方程是相同的；弯矩 方程不同，但都是x的线性函数。
剪力图与弯矩图
绘制剪力图和弯矩图有两种方法：第一种方法是 ：根据剪力方程和弯矩方程绘制出相应的图线。 绘制剪力图和弯矩图的第二种方法是：应用载
荷集度、剪力、弯矩之间的微分关系来画剪力图和
弯矩，我们以后讲解。
例题：求梁的剪力方程，弯矩方程； 并作Q、M 图。 解：(1)列Q、M方程
变化区间——控制面
在一段杆上，内力按同一种函数规律变化，这一段杆 的两个端截面称为控制面（control cross-section）。据此 ，下列截面均可为控制面： 集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 均布载荷（集度相同）起点和终点处的截面。
变化区间——控制面
外力规律发生变化截面——集中力、集中力偶 作用点、分布荷载的起点和终点处的横截面。
建立剪力方程和弯矩方程的方法与过程，实际上 与前面所介绍的确定指定横截面上的剪力和弯矩的方 法和过程是相似的，所不同的，现在的指定横截面是 坐标为x的横截面。
需要特别注意的是，在剪力方程和弯矩方程 中，x是变量，而FQ(x)和M(x)则是x的函数。
例题
MO=2FPl FP
B A l
C
l
悬臂梁在B、C两处分别承受集中力FP和集中力偶 M＝2FPl 的作用。梁的全长为2l。 试写出：梁的剪力方程和弯矩方程。
解： 1．确定控制面和分段
y O A l
MO=2FPl
C
FP
x B l
分为AC和CB两段建立剪 力和弯矩方程。
2．建立Oxy坐标系 以梁的左端 A 为坐标原 点，建立Oxy坐标系。
y O A
解：3．建立剪力方程和弯矩方程 MO=2FPl
C
FP
x B l
在 AC 和 CB 两段分别以坐标 为x1和x2的横截面将梁截开。
FP
M(x2) B 2l－ x2 FQ(x2)
F ＝0 M＝0
y
FQ x2 FP＝0
－M x2 －FP 2l x2 ＝0
得到CB段的剪力方程与弯矩方程：
FQ x2 ＝FP
l x1 2l
M x2 ＝－FP 2l x2
0 x1 l