第四章弯曲内力练习
材料力学B 第4章 弯曲内力 [自动保存的]
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4、剪力和弯矩的计算规律 (1) 求剪力的规律 梁内任一截面上的剪力FS，在数值上等于该截面一侧（左 侧或右侧）所有外力在平行于剪力方向投影的代数和。
FS Fi 左
F S (+)
FS(+)
F
或
Fs Fi 右
F
外力取正、负号的方法是： 外力绕该截面顺时针转向取正，逆时针转向取负。 或：左上右下---正，反之---负。 作用在梁上的力偶对剪力没有影响。
第4章
弯曲内力
西南科技大学 土建学院力学教研室
1
第4章
弯曲内力
§4.1 弯曲的概念和工程实例 了解
§4.2 剪力与弯矩
重点掌握
§4.3 剪力图和弯矩图 重点掌握
§4.4 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 重点掌握
§4.5 叠加法绘制弯矩图 掌握
2
重要概念
梁，弯曲变形、平面弯曲、剪力、弯矩
本章重点
解得：
FAy
P (l a ) l
FB y
Pa l
23
FBy
Pa l
P (l a ) FAy l
a
A C
P (l a ) Fy 0 , FS FAy l
②求内力——截面法
P
Bx FBy
P (l a ) x MC 0 , M FAy x l
M
M=qa2 1 2
A 1 2 C a
q 4 3
3 B D
B
0,
a 0 2
FR A 2a M qa FR A 3qa 4
FRA
a FRB 4 a
F
y
0,
FRB FRA qa 0
材料力学04弯曲内力(刘鸿文第5版) [兼容模式]
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第章弯曲内力44.1 弯曲的概念和实例414.2 受弯杆件的简化4.3 剪力和弯矩（重点）4.4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力方程弯矩方程剪力弯矩4.5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系（重点）454.6 平面曲杆的弯曲内力（了解）4.1 弯曲的概念和实例弯曲的概念一、弯曲的概念1. 工程实例起重机大梁火车轮轴阳台挑梁火轮2. 弯曲的概念FB⑴受力特点：杆件所受外力均垂直于轴线。
⑵变形特点：杆件轴线由直线变为曲线。
梁——以弯曲为主要变形的杆件。
二、平面弯曲的概念课本四、五、六章中所讨论的弯曲限制在如下范围内：1. 杆的横截面至少有一根对称轴。
1杆的横截面至少有一根对称轴——一个纵向对称面对称轴对称轴对称轴对称轴2.杆件所受外力均垂直于轴线，且位于梁的纵向对称面内。
——受力特点3.杆件轴线由直线变为一条纵向对称面内的曲线。
3杆件轴线由直线变为条纵向对称面内的曲线——变形特点一、梁的简化 4.2 受弯杆件的简化对于平面弯曲的直梁，外力为作用在纵对称面内的平面力系故在计算简图中通常用梁的来代表梁、梁的简化力系，故在计算简图中通常用梁的轴线来代表梁。
二、支座的简化1. 固定铰支座A AAA 2. 滚动铰支座F AyFAx3AAAF Ay 3. 固定端支座AM A F AyF Ax三、载荷的简化1FM q1.集中载荷F 2. 分布载荷q e3. 集中力偶M e 四、静定梁的基本形式F RF R静的本式1. 悬臂梁一端固定端支座一端自由AB2一端固定铰支座2.简支梁端固定铰一端滚动铰支座3. 外伸梁简支梁的一端或两端伸出支座外l⑴起重机大梁简化实例：AF⑶阳台挑梁⑵火车轮轴qBA4.3剪力和弯矩一、梁的内力试求图示简支梁m -m 截面mFF 的内力。
mx1∑l AB解：1. 求支反力研究整体，受力如图。
Fa0 0xAx F F ==，00A =−=A B0 BAy M Fa F l ∑，0 0yAy B FF F F =+−=∑，F AyF AxF BF A x 以后可省略不求Ay Fa F =()B F l a F −=llA Fa F =()B F l a F −=l2. 截面法求内力截面左段受力如图lmmS 0 0yA FF F =−=∑，研究m -m 截面左段，受力如图。
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
04章弯曲内力习题课
1KN 1KN
1KN
归纳：
1.根据微分关系作Q、M图步骤:
①求约束反力； ②确定分段，计算控制截面上的剪力和弯矩值；
③根据微分关系确定各段内力图形状；
④由② 、 ③作内力图。
2.控制截面的选择:
①分布荷载的起点和终点、集中力和集中力偶 作用点、支座点； ② M为极值（Q=0）的截面。
积分关系：
q(x) MA A QA QB B MB
q A
P=qa D
解：（1）支反力
R A qa 2
RB 5qa 2
2a
RB
B
a
RA
Q
qa / 2
C
qa
3 qa 2
qa QA RA 2 3 QB左 R A q 2a qa 2 QBD qa
MA 0
(2)作剪力图、弯矩图
M B qa 2
MC qa 2 8
②M 图 BC 段不为零 , 因为 BC
段Q=0，所以该段 M=常量。
Pa Pa P Q图 M图 Pa P
③在B、C点无集中力偶，M 图不应有突变；
Pa
例：已知梁的弯矩图，试画出梁的剪力图和荷载图。
1KN .m 1KN .m
A
B
2 KN .m 1m 3m
C
D
1m
2 KN 1KN
3KN .m
1KN .m
M D M A Q ( AD )
2a
a
qa / 3
1 5 5 25 2 0 qa a qa 2 3 3 18
M B左 M D Q ( DB ) 25 2 1 1 1 qa a qa 18 2 3 3 4 2 qa 3
材料力学考研复习资料第4章弯曲内力
M eb l
发生在C截面右侧
思考：对称性与反对称性
FA
F
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
F/2
x
F/2
x
M
Fl/4
FA
Me
FB
A
B C
l/2
l/2
Fs
Me l
x
Me/2
M
Me/2
x
结论：
• 结构对称、外力对称时，弯矩图为正对称， 剪力图为反对称
• 结构对称、外力反对称时，弯矩图为反对称， 剪力图为正对称
34
A1 2
34
Bx
内力
FS M
1—1 -P -Pa
2—2 2P -Pa
3—3 2P Pa
4—4 2P -2Pa
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值= 集中力偶矩大小。
例 图示简支梁受到三角形分布荷载的作用，最大荷
载集度为q0，试求截面C上的内力。
1 FS1
M1 Fa ( 顺 )
截面2—2
Fy 0 FS2 FA F 0
F
C2 2 M2
FA 2 FS2
FS2 FA F 2F MC2 0 M2 F a 0
M 2 Fa ( 顺 )
y
Me =3Fa
F
1A2 3 4
B
1 2 34
x
a
a
FA
2a
FB
截面3—3 F
C33 M3
1 8
ql
FSB左
1 ql 8
剪力方程为常数，剪力图为
水平线。
M图：
材料力学第04章(弯曲内力)-06
x
dx
q(x)
M(x)
FS(x)+dFS (x)
A
FS(x) dx M(x)+d M(x)
q( x)dx dFS ( x)
dFS x qx
dx
剪力的导数等于该点处荷载 集度的大小。
MA 0 ,
忽略高阶微量
FS(x)dx
1 2
q( x)(dx) 2
M (x)
[M (x) dM (x)] 0
F C
集中力偶
Me C
水平直线
FS 图
FS
FS
斜直线
FS
FS
特
征
x
x
x
x
FS>0 FS<0 降函数 增函数
向下突变
FS FS1
C
FS2
x
FS1–FS2=F
无变化 FS
x C
M
斜直线
图M
M
M
特
x
x
曲线
M x
有折角
xM
x
向下突变
M M1
x
征 增函数 降函数
M2 M 2 M1M e
4、将微分关系转为积分关系
4-6m
Fs=-4kN M=4(6-x)kN.m
M图下侧画正M
M图在受拉区
4kN 4kN
22 4 ⊕
2
⊙ Fs(kN) 4
M(kN.m)
8
§4-4 梁的内力图
Fs=12-4x kN M=12x-2x2 kN.m
M图下侧画正M M图在受拉区
4kN/m
6m 12
⊕
⊙ Fs(kN) 12
M(kN.m)
弯曲内力PPT课件专题培训
FAy＝M / l FBy＝ -M / l
2．写出剪力和弯矩方程
AC FS x1 ＝M / l 0 x1 a
M x1 ＝Mx1 / l 0 x1 a
Mb / l
CB FS x2 ＝M / l 0 x2 b
M x2 ＝ Mx2 / l 0 x2 b
3. 依方程画出剪力图和弯矩图。
目录
24
载荷集度、剪力和弯矩关系：
d
2M (x) dx2
dFs (x) dx
q(x)
1. q＝0，Fs=常数， 剪力图为直线； 2. M(x) 为 x 旳一次函数，弯矩图为斜直线。
2.q＝常数，Fs(x) 为 x 旳一次函数，剪力图为斜直线； M(x) 为 x 旳二次函数，弯矩图为抛物线。
分布载荷向上（q > 0），抛物线呈凹形；
b
b
a dFS
qdx
a
dM dx FS
dM FSdx
b
b
dM a
a FSdx
FS
b
FS
a
Aq
b a
M
b
M
a
AFS
b a
从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下） 突变，突变幅度为集中力旳大小。弯矩图在该处为尖点。
从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上
（下）突变，突变幅度为集中力偶旳大小。剪力图在该点没
q
A
FAy
9qa/4
B
4a
a
FBy
Fs （+）
9a / 4
（-） qa
7qa/4
81qa2/32 qa2
（+） M
4．求出剪力为零旳点 D 到A旳距离。 qa 5．从A截面左侧开始画弯
弯曲内力和应力基本概念练习
弯曲内力和应力基本概念练习下卷材料力学 - 1 - 弯曲内力练习一、选择题1．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。
以下结论中（）是错误的。
A．AB段剪力表达式为FQ(x)=-qx；B．AB段弯矩表达式为M(x)=-1qx2； 2Ｃ．BCqa2段剪力表达式为FQ(x)=2L2；(L-x)。
Ｄ．BC段弯矩表达式为M(x)=-qa2L题1图题2图2．外伸梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论中（）是错误的。
A．当力偶作用点C位于支座B的右侧时，梁的弯矩图为梯形；Ｂ．当C点位于支座B的右侧时，梁上各截面的弯矩M(x)≥0；Ｃ．当C点在梁上移动时，梁的剪力图不改变；Ｄ．当C点在梁上移动时，梁的中央截面上弯矩不改变。
第 1 页共 6 页题3图下卷材料力学 - 2 -3．简支梁受集中力作用，如图所示，以下结论中（）是错误的。
A．AC段，剪力表达式为 FS(x)=Fb； LFbx；Ｂ．AC段,弯矩表达式为M(x)=LＣ．CB段，剪力表达式为 FS(x)=Fa； LFa(L-x)。
Ｄ．CB段,弯矩表达式为M(x)=L4．简支梁的四种受载情况如图，设M1、M2、M3、M4分别表示梁（a）、（b）、（c）、（d）中的最大弯矩，则下列结论中（）是正确的。
A．M1 >M2 = M3 >M4；Ｂ． M1 >M2 > M3 >M4；Ｃ．M1 >M2 >M3 = M4；Ｄ． M1 >M2 >M4> M3 。
（a）（b）（c）（d）5．外伸梁受均布载荷作用，如图所示。
以下梁的剪力、弯矩图第 2 页共 6 页下卷材料力学 - 3 - 中（）是正确的。
A．（a）；Ｂ．（b）；Ｃ．（c）；Ｄ．（d）。
F sFs弯曲应力一. 选择题1．在推导弯曲正应力公式σ=My时，假设纵向线段间无挤压，IZ 这是为了（）。
A．保证正应力合力FN = ∫A σdA=0；Ｂ．保证纵向线段为单向拉伸（压缩）；Ｃ．保证梁发生平面弯曲；Ｄ．保证梁不发生扭转变形。
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第四章 弯曲内力
一、选择题
1、具有中间铰的静定梁如图所示，在列全梁的剪力和弯矩方程时，分段正确
的是（ ）
A ）二段：AC 、CE ；
B ）三段：A
C 、C
D 、D
E ； C ）四段：AB 、BC 、CD 、DE 。
2、简支梁部分区段受均布载荷作用，如图所示，以下结论错误的是（ ）
A ）AC 段，剪力表达式qa x Q 41
)(=
B ）A
C 段，弯矩表达式qax x M 41
)(=；
C ）CB 段，剪力表达式)(41
)(a x q qa x Q --=；
D ）CB 段，弯矩表达式)(2
1
41)(a x q qax x M --=。
3、简支梁受集中力偶作用，如图所示，以下结论错误的是（ ）
A ）AC 段，剪力表达式l m
x Q =)(；
B ）A
C 段，弯矩表达式x l m
x M =)(；
C ）CB 段，剪力表达式l m
x Q =)(；
D ）CB 段，弯矩表达式m x l
m
x M +=)(。
4、外伸梁受均布载荷作用，如图所示，以下结论错误的是（ ）
A ）A
B 段，剪力表达式qx x Q -=)(；
B ）AB 段，弯矩表达式221
)(qx x M -=；
C ）BC 段，剪力表达式l qa x Q 2)(2
=；
D ）BC 段，弯矩表达式)(2)(2
x l l
qa x M --=。
5、悬臂梁受载荷的情况如图所示，以下结论错的是（ ）
A ）qa Q 3max =；
B ）在a x a 43<<处，0=Q ；
C ）2
max
6qa M
=； D ）在a x 2=处，0=M 。
6、弱梁的载荷和支承情况对称于C 截面，图示，则下列结论中错误的是（ ）
A ）剪力图、弯矩图均对称，0=c Q ；
B ）剪力图对称，弯矩图反对称，0=c M ；
C ）剪力图反对称，弯矩图对称，0=c M ；
D ）剪力图反对称，弯矩图对称，0=c Q 。
7、右端固定的悬臂梁，长4m ，其弯矩如图所示，则梁的受载情况是（ ）
A ）在m x 1=，有一个顺钟向的力偶作用；
B ）在m x 1=，有一个逆钟向的力偶作用；
C ）在m x 1=，有一个向下的集中力作用；
D ）在m x 41<<处，有向下的均布力作用。
8、长4m 的简支梁，其剪力图如图所示，以下结论错误的是（ ） A ）在m x 40<<处，有向下的均布力q 作用； B ）梁上必有集中力偶作用；
C ）梁左端有3kN 的向上支反力，右端有1kN 的向上支反力；
D ）集中力偶作用点在右支座上。
9、长4m 的简支梁，其弯矩图如图所示，则梁的受载情况是（ ）
A ）在m x 31<<处，有向上的均布力
m
kN q 10=作用，在m x 1=和m x 3=处，各有向下的集中力kN P 20=作用；
B ）在m x 31<<处，有向下的均布力m kN q 10=作用，在m x 1=和m
x 3=处，各有向下的集中力kN P 20=作用；
C ）在m x 31<<处，有向下的均布力m kN q 10=作用；
D ）在m x 31<<处，有向上的均布力m kN
q 10=作用。
10、悬臂梁的受载情况如图所示，以下结论错误的是（ ）
A ）剪力图在AC 段和C
B 段为斜直线； B ）剪力图在A
C 段和CB 段斜直线是平行的； C ）弯矩图在AC 段和CB 段均为二次曲线；
D ）在C 截面处，剪力图有突变（剪力值不连续）。
二、判断题
1．梁发生平面弯曲时，梁的轴线必变形成载荷作用平面内的平面曲线。
（ ） 2．最大弯矩必发生在剪力为零的截面上。
（ ）
3．两梁的跨度、载荷及支承相同，但材料和横截面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不同。
（ ）
4．梁上某一横截面上的剪力值等于截面一侧横向力的代数和，与外力偶无关；其弯矩值等于截面一侧外力对截面形心力矩的代数和，与梁是否具有中间铰无关。
（ ） 5．当梁中某段0=Q 内，则该段内弯矩为常数。
（ ） 6．当梁上作用有向下的均布载荷时，q 为负值，则梁内剪力也必为负值。
（ ） 7．当梁上作用有向下的均布载荷时，梁的弯曲曲线向上凸，弯矩必为负值。
（ ） 8．若简支梁仅作一集中力P ，则梁的最大剪力满足P Q ≤max 。
（ ）
三、剪力和弯矩的描述
1．试求图是各梁指定截面上的剪力和弯矩。
2．列出图示各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
3．用载荷、剪力和弯矩之间的微分关系，绘出各梁的剪力图和弯矩图。
4．绘出各梁的剪力图和弯矩图。
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