陕西省安康市高考数学二模试卷文(含解析)
2020届陕西省安康市高三教学质量检测第二次联考数学文科试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合 或 ，集合 ，则 （）
【详解】
.因为 在 上不单调.
所以 在 上有解，
又 在 上单调递减，
所以 ， ，
故 .
故选：C
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．A
【解析】
【分析】
由题得 ，再利用诱导公式化简求值.
【详解】
.
故选：A
【点睛】
本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对正三棱锥的外接球问题，通过求得半径求出四面体的边长是解题的关键，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．
【详解】
由 ，得
；
整理得
由基本不等式得，
，当且仅当 等号成立；
此时 .
故选:C
【点睛】
本题考查向量数量积求模长的应用，以及基本不等式求最值，考查计算能力，属于中档题.
12．A
【解析】
【分析】
由棱长为 的正四面体 求出外接球的半径，进而求出正三棱锥 的高及侧棱长，可得正三棱锥 的三条侧棱两两相互垂直，进而求出正三棱锥 的表面积.
故选：A.
【点睛】
本题考查命题的充要条件的判断，属基础题.
7．A
【解析】
【分析】
陕西省安康市(新版)2024高考数学部编版模拟(评估卷)完整试卷
C．已知直线 ， ，平面 ，且
，则直线 ， 平行
D．已知两条相交直线 ， ，且 平面 ，则 与 相交
第 (2)题 已知复数
，且
A．
，
，其中a，b为实数，则（ ）
B．
，
C． ，
D． ，
第 (3)题
已知实数x，y满足不等式组
，则
的最大值为（ ）
A．
B．0
第 (4)题
已知向量
，
且
A．
B．
第 (5)题 已知函数
（1）求m的值；
（2）若正数a，b，c满足
，证明：
.
第 (4)题
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，PA=2AD=4，且PC= .点E在PC上.
.
，令
(1)求证：平面BDE⊥平面PAC； (2)若E为PC的中点，求直线PC与平面AED所成的角的正弦值.
第 (5)题 已知函数
D．
D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第 (1)题 已知双曲线
，若
A．
的上焦点为 ，过焦点 作 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，并与另一条渐近线交于点
，则 的离心率可能为（ ）
B．
C．
D．
第 (2)题 已知双曲线
的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，焦点到渐近线的距离为 .过 作直线 交双曲
（1）若函数 （2）当
，
．
为单调函数，求实数 的取值范围；
时，证明：
在
恒成立．
，则 的值为__．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第 (1)题 已知
2024年安康市高三数学(文)2月模拟考试卷附答案解析
2024年安康市高三数学（文）2月模拟考试卷（总分：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,3,5,7,9,11,1,3,7A B ==，则A B =ð（）A ．{}5,9,11B ．{}3,5,9C ．{}1,5,9D ．{}1,5,9,112．已知复数z 满足i 56i z -=，则z 的虚部为（）A ．5B ．5-C ．5i D ．5i-3．执行如图的程序框图，输出的结果为（）A ．()4,3B ．()6,5C ．()12,7D ．()30,114．若函数()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为6π，则()f x 的图象的一条对称轴方程为（）A ．π2x =B ．2π3x =C ．πx =D ．2πx =5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4135S a a =+，则42aa =（）A ．4B ．5C ．16D ．256．“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知函数()331xf x =+，则()f x 的图象（）A ．关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于直线32x =对称C ．关于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．关于直线12x =对称8．在区间[]05，内随机取一个实数a ，则关于x 的不等式()2220x a x a +--<仅有2个整数解的概率为（）A ．25B ．310C ．15D ．1109．已知正三棱台111ABC A B C -中，111A B C △的面积为ABC的面积为，12AA =，则该三棱台的体积为（）A．3B．3C ．193D ．38910．已知函数()2()e 1x f x x λ=-+有两个极值点p ，q ，若2q p =，则(0)f =（）A ．ln 212-B ．21ln 2-C ．1ln 2-D ．11ln 2-11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 且与一条渐近线平行的直线与C 的右支及另一条渐近线分别交于,B D 两点，若FB BD =，则C 的渐近线方程为（）A ．2y x=±B．y =C ．y x=±D．y =12．已知ABC 中，6AB =，π3C =，若ABC 所在平面内一点D 满足102DA DB DC ++= ，则DA DB ⋅的最大值为（）A ．19825-B ．9925-C ．6625-D ．3325-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知圆锥的底面半径为1，，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为．14．已知数列{}n a 中，11a =，且()1110n n a a +++=，则{}n a 的前12项和为．15．小明的生日是12月23日，他从1，2，2，3这四个数字的所有不同排列中任选一种设置为自己的4位数手机密码，则他设置的密码中1与3相邻的概率为.16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线1:2l x =-，直线l '过点F 且与抛物线C 交于M ，N两点，O 为坐标原点，若34MF NF =，则OMN 的面积为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4cos 0sin sin B AC A B+-=．(1)证明：2222a b c +=；(2)若2sin cos sin sin BB A C=，求cos A 的值．18．为了适应当代年轻人的生活需求，某餐厅推出了一款套餐，现随机抽取了10位顾客请他们对这款套餐进行评分，所得数据为84，85，88，89，92，93，93，95，95，96，规定评分大于90为“满意”.(1)求这10位顾客评分的平均数以及方差；(2)为了解不同性别的顾客对这款套餐的看法，餐厅又随机抽取了100位顾客进行调查，已知这100位顾客的满意率与第一次抽取的10位顾客的满意率相等，完成下面的22⨯列联表，并判断：是否有99%的把握认为不同性别的顾客对这款套餐的满意程度有差异？满意不满意总计男性顾客401050女性顾客50总计100附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.()20P K k ≥0.10.050.010.0010k 2.7063.8416.63510.82819．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，16AA =，4BC =，A ABC CB =∠∠，D 为棱BC 的中点，E 为棱1BB 上靠近1B 的三等分点，F 为线段AD 上的动点.(1)求证：1C E ⊥平面DEF ；(2)若四面体1C DEF 的体积为203，求EFD ∠的正弦值.20．记函数()f x 的导函数为()f x '，()f x '的导函数为()f x ''，设D 是()f x 的定义域的子集，若在区间D 上()0f x ''≤，则称()f x 在D 上是“凸函数”.已知函数()2sin f x a x x =-.(1)若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎣⎦上为“凸函数”，求a 的取值范围；(2)若2a =，判断()()1g x f x =+在区间()0,π上的零点个数.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 过C 的上顶点与右顶点且与圆224:5O x y +=相切．(1)求C 的方程．(2)过C 上一点()00,A x y 作圆O 的两条切线1l ，2l （均不与坐标轴垂直），1l ，2l 与C 的另一个交点分别为()11,M x y ，()22,N x y ．证明：①直线AM ，AN 的斜率之积为定值；②120x x +=．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．已知平面直角坐标系xOy 中，直线l 过坐标原点且倾斜角为α.以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2π4sin 106ρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭.(1)求l 的极坐标方程以及C 的直角坐标方程；(2)若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，l 与C 交于M ，N 两点，设OM ON OM ON λ+=，求λ的最大值.[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()23f x x m x =++-.(1)若2m =，求不等式()10f x >的解集；(2)若对任意3x ≥，不等式()2f x x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.1．A【分析】由补集概念计算即可得出结果.【详解】根据补集定义，由{}{}1,3,5,7,9,11,1,3,7A B ==可得{}5,9,11A B =ð；故选：A 2．B【分析】根据复数的除法运算求z ，进而可得结果.【详解】由题意可得：56i65i iz +==-，所以z 的虚部为5-．故选：B.3．D【分析】运行程序，从而计算出输出的结果.【详解】运行程序，1,1x y ==，1,2,1,2s t x y ====，判断否，2,3,2,3s t x y ====，判断否；6,5,6,5s t x y ====，判断否；30,11,30,11s t x y ====，判断是，输出()30,11.故选：D 4．D【分析】根据三角函数的周期性求得ω，进而求得()f x 的对称轴.【详解】依题意2π16π,3ωω==，由1πππ362x k -=+，得3π2π,Z x k k =+∈，所以()f x 的图象的一条对称轴为2πx =，D 选项正确，ABC 选项错误.故选：D 5．C【分析】根据等比数列的知识求得公比q ，从而求得正确答案.【详解】设等比数列的公比为q ，0q ≠，若1q =，则411314252S a a a a ==≠+，所以1q ≠，所以()()()()()()4121422131111111115,411a q a q q q S qq q a a a a q a q q -+-+-===+==+++-，所以24216a q a ==.故选：C 6．B【分析】利用三角恒等变换得到1tan 2α=-或tan 3α=，从而得到答案.【详解】()22225cos 25sin 2105cos sin 10sin cos cos sin 0αααααααα++=⇔-+++=223cos 2sin 5sin cos 0αααα⇔-+=，显然cos 0α≠，则22tan 5tan 30αα--=，解得1tan 2α=-或tan 3α=．所以“5cos 25sin 210αα++=”是“1tan 2α=-”的必要不充分条件.故选：B 7．C【分析】根据对称性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】AB 选项，()()()()331,2,12410f f f f ==≠±，所以AB 选项错误.C 选项，()331x f x --=+，()()()3133333333131311313x x x x x x x f x f x -+⨯-+=++==+++++，所以()f x 的图象关于点30,2⎛⎫⎪⎝⎭对称，C 选项正确.D 选项，()()()30,012f f f =≠±，所以D 选项错误.故选：C 8．C【分析】利用一元二次不等式解得()2,x a ∈-，可得区间()2,a -内仅包含1,0-两个整数，再利用几何概型概率公式可得结果.【详解】根据题意可得不等式()2220x a x a +--<等价于()()20x x a +-<；因为[]0,5a ∈，所以不等式的解集为()2,a -；依题意可得区间()2,a -内仅有两个整数，即包含1,0-两个整数，可得01a <≤；由几何概型概率公式可得其概率为101505P -==-.故选：C 9．B【分析】先计算出三棱台的高，进而计算出三棱台的体积.【详解】由()111211111πsin 423A B C S A B A B =⨯⨯== ，()21πsin 623ABC S AB AB =⨯⨯== ，设1,O O 分别是ABC 、111A B C △的中心，设1,D D 分别是11,BC B C 的中点，则,,A O D 三点共线，111,,A O D 三点共线，11ππ6sin4sin 33AD A D =⨯==⨯=，则11111133OD AD O D A D ==，1DD =过1D 作1D E AD ⊥，垂足为E ，则11//D E OO ，而13D E =，所以三棱台的体积为(126382333⨯⨯+=.故选：B10．D【分析】求导，得到方程组，求出ln 2p =，进而得到1ln 2λ=，得到答案.【详解】依题意，()e 2xf x x λ'=-，则e 20e 20p q p q λλ⎧-=⎨-=⎩，因为2q p =，所以2e 2e 4p p pp λλ⎧=⎨=⎩，显然λ，0p ≠，两式相除得e 2p =，则ln 2p =，代入e 2p p λ=中，解得1ln 2λ=，则1(0)1ln 2f =-．故选：D11．C【分析】设直线:()b BD y x c a =-，()()1122,,,B x y D x y ，由()b y x c ab y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得到,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再根据条件得出3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入方程22221x y a b-=，即可求出结果.【详解】易知C 的渐近线方程为b y x a =±，不妨设直线:()bBD y x c a=-，()()1122,,,B x y D x y ，联立方程得()b y x c ab y xa ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22x c =，22bc y a =-，所以,22c bc D a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又FB BD = ，而11(,)FB x c y =- ，11(,)22c bc BD x y a =--- ，得到111122c x c x bc y y a ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，解得113,44bc x c y a ==-，故3,44c bc B a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22221x y a b-=中，得2222911616c c a a -=，得到222c a =，又222c a b =+，得到2221b a =+，解得1b a =，故所求C 的渐近线方程为y x =±，故选：C.12．A【分析】根据向量的线性运算可得4DM CD =，即可根据数量积的运算律，结合模长公式以及不等式即可求解.【详解】取AB 中点为M ，连接,DA DB ,由102DA DB DC ++= 得02241DM DC DM CD =⇒+= ,所以()4413255255DA DC CA MC CA CA CB CA CA CB =+=+=-⨯++=-,()4412355255DB DC CB MC CB CA CB CB CA CB =+=+=-⨯++=-+,故22322361365555252525DA DB CA CB CA CB CA CA CB CB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-+=-+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由于()222222π22cos 363AB CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA =-=+-⋅=+-⋅= ，故22362CB CA CB CA CB CA CB CA CB CA +-⋅=≥⋅-⋅=⋅ ，即36CB CA ⋅≤ ，当且仅当6CB CA ==时等号成立，()()2261361336225252525DA DB CA CB CA CB CA CB CA CB⋅=-++⋅=-+⋅+⋅ 63616361198362550255025CA CB ⨯⨯=-+⋅≤-+⨯=- ,故DA DB ⋅的最大值为19825-，故选：A13．23π##23π【分析】根据体积先计算出圆锥的高，再根据高计算出圆锥的母线，即展开图扇形的半径，最后在根据弧长公式求出圆心角.【详解】设圆锥（如图所示）的高为h ．因为2122π13h π⋅⋅⋅=22h =221(22)3SA =+=．将圆锥沿SA 展开所得扇形的弧长为底面周长2π，根据弧长公式2πSA α⋅=，所以圆心角2π3α=.故答案为：2π3.14．6-【分析】由已知可得111n n a a +=-+，借助数列的周期性、分组求和即可得出结果.【详解】依题意1n a ≠-，故111n n a a +=-+，11a =,所以212a =-，32a =-，41a =，…，故{}n a 的前12项和为112462⎛⎫--⨯=- ⎪⎝⎭．故答案为：6-15．12##0.5【分析】根据题意可先算出四个数的全排列的总情况数，再计算出中1与3相邻的种类数，即可得出结果.【详解】依题意将4个数随意排列可先任意选两个位置排上两个2，再把剩下的两位置上排上1、3，共组成2242C A 12=种密码，若1与3相邻，可将其看成一个整体，再与两个2共三个元素进行排列，首先选两个位置排上2，有23C 种排列；剩余的位置排上1、3，内部排列有22A 种，共2232C A 6=种；所以他设置的密码中1与3相邻的概率为61122P ==.故答案为：1216．7324【分析】由准线方程可得抛物线为22y x =，设直线l '的方程为12x my =+并于抛物线联立，利用韦达定理和34MF NF=即可求得M ，N 两点的纵坐标，再由OMN OMF ONF S S S =+ 可得结果.【详解】易知准线1:22l p x =-=-，可得1p =，所以可得抛物线22y x =，则1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；设直线l '的方程为12x my =+，如下图所示：联立直线和抛物线方程可得2210y my --=，易知0∆>；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，可得12122,1y y m y y +==-；由34MF NF=可得1234y y =-，即1234y y =-；联立1212134y y y y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩可解得1223y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1223y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；又OMN 的面积为()1212111244OMN OMF ONF S S S OF y y y y =+=+=-= 故答案为：7324【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三角形相似将线段比例转化成纵坐标的比值，结合韦达定理和三角形面积表达式求解.17．(1)证明见解析【分析】（1）（2）由正余弦定理边角互化，结合余弦定理化简计算求解.【详解】（1）证明：由正弦定理及条件可得4cos 0b aC a b+-=，由余弦定理可得22222402b a a b c ab ab ++--⋅=，化简得2222a b c +=．（2）由2sin cos sin sin B B A C =得22222a c b b ac ac+-=，化简得2223a c b +=，又2222a b c +=，故32b c =，所以2a c =，故2223cos 26b c a A bc +-==．18．(1)平均数为91，方差为16.4(2)22⨯列联表见解析，有99%的把握认为不同性别的顾客对这款套餐的满意程度有差异【分析】（1）根据平均数和方差的计算方法求得正确答案.（2）先补全22⨯列联表，然后计算2K 的值，从而做出判断.【详解】（1）平均数为848588899293939595969110+++++++++=，方差为()()()()()()()()()()2222222222849185918891899192919391939195919591969110-+-+-+-+-+-+-+-+-+-16.4=（2）抽取的10名顾客的满意率为6100%60%10⨯=，所以抽取的100名顾客中，满意的有10060%60⨯=人，由此补全22⨯列联表如下：满意不满意总计男性顾客401050女性顾客203050总计6040100所以()221004030201016.667 6.63560405050K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为不同性别的顾客对这款套餐的满意程度有差异.19．(1)证明见解析【分析】（1）通过证明11,C E DE AD C E ⊥⊥来证得1C E ⊥平面DEF ；（2）根据四面体1C DEF 的体积求得DF ，进而求得EFD ∠的正弦值.【详解】（1）由于A ABC CB =∠∠，所以AB AC =，由于D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，由于1CC ⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，所以1CC AD ⊥，由于11,,BC CC C BC CC =⊂ 平面11BCC B ，所以AD ⊥平面11BCC B ，由于1C E ⊂平面11BCC B ，所以1AD C E ⊥.由题设易知1112,4,B E BE C E DE C D =====所以22211C E DE C D +=，所以1C E DE ⊥，由于,,AD DE D AD DE =⊂ 平面DEF ，所以1C E ⊥平面DEF ；（2）由（1）得AD ⊥平面11BCC B ，所以DF ⊥平面11BCC B ，111120,2323C DEF F C DE V V DF DF --⎛==⨯⨯== ⎝，由于DE ⊂平面11BCC B ，所以DF DE ⊥，所以EF ==s in6EFD ∠=.20．(1)[)2,-+∞(2)1个【分析】（1）根据“凸函数”定义对函数求导，由不等式sin 20a x --≤在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立即可求得a 的取值范围；（2）易知()21sin 2x x g x =-+，由导函数求得其在()0,π上的单调性，利用零点存在定理可知零点个数为1个.【详解】（1）由()2sin f x a x x =-可得其定义域为R ，且()cos 2f x a x x '=-，所以()sin 2f x a x ''=--，若()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“凸函数”可得()sin 20f x a x ''=--≤在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，当0a ≥时，显然符合题意；当a<0时，需满足πsin202a --≤，可得20a -≤<；综上可得a 的取值范围为[)2,-+∞；（2）若2a =，可得()21sin 2x x g x =-+，所以()o 22c s x x g x =-'，令()o 22c s x x h x =-，则()22sin x h x '--=；易知()02sin 2x h x '-=<-在区间()0,π上恒成立，因此可得()()22cos x x h x g x '==-在()0,π上单调递减；显然ππππ2cos 026663g -⨯'⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，ππππ2cos 024442g -⨯'⎛⎫=-< ⎪⎝⎭；根据零点存在定理可得存在0ππ,64x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00002cos 2x g x x '-==，因此可知当()00,x x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()00,x 上为单调递增；当()0,πx x ∈时，()0g x '<，即()g x 在()0,πx 上为单调递减；又()21sin 00210g -=+=，显然在()00,x 上()g x 不存在零点；而()22sin 0π2ππ11πg =+--<=，结合单调性可得在()0,πx 上()g x 存在一个零点；综上可知，()()1g x f x =+在区间()0,π上仅有1个零点.21．(1)2214x y +=(2)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）利用已知求参数，得到椭圆方程即可.（2）①利用点到直线的距离得到斜率满足的方程，结合韦达定理得到斜率的乘积，简单转化得到定值即可.②联立方程，结合韦达定理用斜率表示所求式，化简得到定值即可.【详解】（1）设椭圆的半焦距为(0)c c >．依题意，离心率2c e a ==，则2a b =，=c ①．直线:1x yl a b +=，即0bx ay ab +-==联立①②，解得2a =，1b =，故C 的方程为2214x y +=．（2）（i ）设过点A 且与圆O 相切的直线的方程为()00(0)y y k x x k -=-≠，=()22200005410540x k x y k y --+-=，记直线AM ，AN 的斜率分别为1k ，2k ，则2020122200514454154544x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，为定值．（ii ）由（i ）的过程可知直线()010:AM y y k x x -=-，联立方程得()01022,440,y y k x x x y ⎧-=-⎨+-=⎩则有()()()22211010010148440k x k y k x x y k x ++-+--=，故()11001021814k k x y x x k -+=+．直线()020:AN y y k x x -=-，同理可得()22002022814k k x y x x k -+=+．故()()1100220010202212881414k k x y k k x y x x x x k k --+++=+++()001100112211118844141144x y k k x y k k k k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭=++⎛⎫+- ⎪⎝⎭21010010221188281414k x k y x k y k k -+=+++201002128214x k x x k +==+，则120x x +=．22．(1)直线l 的极坐标方程是θα=，C的直角坐标方程为22210x y x +--+=(2)4【分析】（1）根据极坐标方程、直角坐标方程等知识求得正确答案.（2）写出直线l 的参数方程，代入曲线C 的直角坐标方程，根据根与系数关系以及三角函数的最值等知识求得λ的最大值.【详解】（1）直线l 过坐标原点且倾斜角为α，所以直线l 的极坐标方程是θα=，由2π4sin 106ρρθ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，得()2sin 2cos 10ρθρθ-++=，所以22210x y x +--+=.（2）由（1）得C的直角坐标方程为22210x y x +--+=，即()(2213x y -+=，所以圆C的圆心为(，半径r =，画出图象如下图所示，由图可知：当π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，直线l 与圆C 有两个交点，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数），将()cos ,sin t t αα代入22210x y x +--+=并化简得：()22cos 1t t αα-++，所以12122cos ,1t t t t αα+=+=，由于α是锐角，所以12120,0t t t t +>>，所以120,0t t >>，所以1212π4sin 6OM ON t t OM ON t t λα++⎛⎫====+ ⎪⋅⎝⎭，由于ππ2π,663α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以当πππ,623αα+==时，λ取得最大值为4.23．(1)()11,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭(2)[]9,3-【分析】（1）利用分类讨论法分别求出不等式()10f x >在不同取值范围时的解集，即可求得结果；（2）根据题意将不等式恒成立问题转化为求二次函数最值，即可得实数m 的取值范围为[]9,3-.【详解】（1）当2m =时，可得()223f x x x =++-；若<2x -，则()23213f x x x x =--+-=-；不等式()10f x >等价于1310x ->，解得3x <-；此时不等式的解集为{}|3x x <-；若322x -≤≤，则()2325f x x x x =++-=-；不等式()10f x >等价于510x ->，解得5x <-；此时不等式的解集为∅；若32x >，则()22331f x x x x =++-=-；不等式()10f x >等价于3110x ->，解得113x >；此时不等式的解集为113x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；综上可知，不等式()10f x >的解集为()11,3,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）若3x ≥，可得()23f x x m x =++-，不等式()2f x x ≤恒成立等价于223x m x x ++-≤，即223x m x x +≤-+；所以可得222323x x x m x x -+-≤+≤-+，即22333x x m x x -+-≤≤-+对任意3x ≥恒成立，利用二次函数单调性可得233y x x =-+在[)3,+∞上单调递增，其最小值为3；函数23y x x =-+-在[)3,+∞上单调递减，其最大值为9-；所以93m -≤≤.即实数m 的取值范围为[]9,3-.。
陕西省安康中学2023届高三下学期5月学业质量检测(二)文科数学试题及参考答案
陕西省安康中学2023届高三下学期5月学业质量检测（二）文科数学试题及参考答案一、选择题1.设全集{}Z x x x x U ∈≤--=,022，{}01，-=M C U ，则（）A .M ∈2B .M ∈-1C .M∈0D .M∉12.已知复数i z +=2，且0=+-b z az ，其中b a ,为实数，则（）A .4,1-=-=b aB .4,1=-=b aC .4,1-==b aD .4,1==b a 3.已知向量b a ,满足22==b a，()()82=+⋅-b a b a ，则b a 与的夹角为（）A .6πB .3πC .32πD .65π4.某高中体育教师从甲、乙两个班级中分别随机抽取女生各15名进行原地投掷铅球测试，并将每名学生的测试成绩制成如图所示的茎叶图.以样本估计总体，下列说法错误的是（）A .甲班女生成绩的中位数与乙班女生成绩的中位数大致相同B .从甲班女生中任取1人，她的成绩不低于8.2的概率大于0.2C .乙班女生成绩的极差大于甲班成绩的极差D .乙班女生成绩不低于7.5的概率约为0.65.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤-+00042x y x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A .0B .3C .4D .56.设F 为抛物线C ：()022>=p px y 的焦点，准线为l ，O 为坐标原点，点A 在C 上，AO AF =，点A 到准线l 的距离为3，则AOF ∆的面积为（）A .2B .22C .3D .327.执行如图所示的程序框图，输出的=k （）A .3B .4C .5D .68.已知函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<>>+=2,0,0cos πϕωϕωA x A x f 的部分图象如图所示，则（）A .()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3127cos 2ππx x f B .()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=324cos 2ππx x f C .()⎪⎭⎫⎝⎛-=32411cos 2ππx x f D .()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32411cos 2ππx x f 9.在正方体1111D C B A ABCD -中，M 是线段11D C （不含端点）上的动点，N 为BC 的中点，则（）A .AM BD ⊥B .平面⊥BD A 1平面M AD 1C .MN ∥平面BDA 1D .CM ∥平面BDA 110.在各项均为正数的等比数列()n a 中，1643=-a a ，465=-a a ，则使得1<n a 成立的n 的最小值为（）A .7B .8C .9D .1011.已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<<+=202sin πϕϕx x f ，若083=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，则（）A .将()x f 的图象向右平移8π个单位长度后，可得到一个偶函数的图象B .()x f 的图象的对称中心的坐标为()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛+0,212ππC .直线85π-=x 是()x f 图象的一条对称轴D .()x f 的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-883ππ，12.已知球O 的半径为2，三棱锥ABC O -地面上的三个顶点均在球O 的球面上，32π=∠BAC ，3=BC ，则三棱锥体积的最大值为（）A .41B .31C .21D .22二、填空题13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，176=+a a ，555=S ，则公差为.14.从甲、乙、丙等6名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙、丙3人中恰好有两人入选的概率为.15.圆心在直线021=--y x l ：上，且与直线02=-y x l ：相切的一个圆的方程为.16.若不等式02ln 222≥-++-x x aex x 对()+∞∈∀,0x 恒成立，则a 的取值范围是.三、解答题17.已知ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且b A c C a =+sin 3cos .（1）求A ；（2）若41sin =B ，证明：bc b c 3322=-.18.如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为正方形，侧面SAD 为等边三角形，2=AB ，22=SC .（1）证明：平面SAD ⊥平面SCD ；（2）点P 在侧棱SC 上（异于点C ），2=BP ，若过P B A ,,三点的平面与侧棱SD 交于点Q ，求四棱锥ABPQ S -的体积.19.某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：500g/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：并计算得（1）计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和均月销售收入；（2）求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到0.01）.（3）若样本相关系数75.0≥r ，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.附：样本相关系数20.已知函数()()R a ax e x f x∈--=1.（1）讨论()x f 的单调性；（2）若()x f 在区间[)∞+，0上有两个不同的零点，求a 的取值范围.21.已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛362,32231N M ，，.（1）求E 的方程；（2）已知()02，P ，是否存在过点()0,1-G 的直线l 交E 于B A ,两点，使得直线PB P A ,的斜率之和等于1-？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==t y tx 2（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为()()R k k ∈=-+0sin 1cos θρθρ.（1）写出l 的直角坐标方程和C 的普通方程；（2）若l 与C 有两个交点，求k 的取值范围.23.已知c b a ,,均为正数，且142=++c b a ，证明：（1）182112≥++cb a ；（2）8144222≥++c b a .参考答案一、选择题1.A 解析：由题意得{}2,1,0,1-=U ，从而{}2,1=M ，故A 正确.2.B解析：∵i z -=2，∴()()()()i a b a b i i a b z az 12222++-+=+--+=+-，由0=+-b z az ，得⎩⎨⎧=+=-+01022a b a ，即⎩⎨⎧=-=41b a .3.C 解析：()()82222=-⋅-=+⋅-b b a a b a b a .又22==b a ，∴1-=⋅b a.∴21,cos -=⋅=ba b a b a ，∵π≤≤b a ,0，∴b a 与的夹角为32π.4.C 解析：由茎叶图可知甲班女生样本的成绩的中位数为7.7，乙班女生样本的成绩的中位数为7.6，∵两者很接近，∴A 说法正确；甲班女生样本的成绩不低于8.2的有5人，∴甲班女生样本的成绩不低于8.2的概率为2.031155>=，∴B 说法正确；乙班女生样本的成绩的极差为9.1-5.6=3.5，甲班女生样本的成绩的极差为9.3-5.9=3.4，∵两者样本极差很接近，∴乙班女生成绩的极差和甲班成绩的极差大小不一定，∴C 说法不正确；乙班女生样本的成绩不低于7.5的有9人，∴乙班女生样本的成绩不低于7.5的概率为6.0159=，∴D 说法正确.5.C解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示（阴影部分）.作直线02=+y x ，直线y x z +=2中，z 表示直线的纵截距，直线向上平移，z 增大，平移直线02=+y x ，当直线过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最大，即目标函数y x z +=2取得最大值.解方程组⎩⎨⎧=-=-+0042y x y x ，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛3434，A ，故目标函数y x z +=2取得最大值为434342=+⨯=z.6.B解析：由题意得⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，2p x l -=：.∵AO AF =，∴4p x A =.∵点A 到准线l 的距离为3，∴324=⎪⎭⎫⎝⎛--p p ，解得4=p ，∴C 的方程为：x y 82=.不妨设A 在x 轴上方，则()221，A ，∴222222121=⨯⨯=⋅=∆A AOF y OF S .7.B解析：执行第一次循环，123,110,212,312=-=-=+==⨯==+=x y k x y ；执行第二次循环，448,211,422,826=-=-=+==⨯==+=x y k x y ；执行第三次循环，12820,312,842,20482=-=-=+==⨯==+⨯=x y k x y ；执行第四次循环，321648,413,1682,488202=-=-=+==⨯==+⨯=x y k x y ∵32>15，∴循环结束，输出4=k .8.C解析：由图象可知2=A .∵()1cos 20==ϕf ，∴21cos =ϕ，又2πϕ<及结合图象可知3πϕ-=.∵()034cos 24=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πωf ，∴由五点法作图可知()Z k k ∈+=-23234πππω，解得()Z k k ∈+=46112ππω.∵4611282>+=πππωπk ，∴121<k ，且Z k ∈.又0>ω，∴0=k ，从而2411πω=，因此()⎪⎭⎫⎝⎛-=32411cos 2ππx x f .9.B解析：∵111111111D D C AD D C D A AD D A =⊥⊥ ，，，⊂111D C AD ，M AD 1，∴⊥1AD 平面M AD 1，又⊂D A 1平面BD A 1，∴平面BD A 1⊥平面M AD 1，故B 正确；以点D 为原点，分别以1,,DD DC DA 所在直线为z y x ,,轴建立空间直角坐标系，设2=AB ,则()()()()()0,2,1,0,2,0,0022020221N C A A B ，，，，，，，，.设()()202,,0<<y y M ，则()022，，=DB ，()2021，，=DA .设平面BD A 1的法向量为()111,,z y x m =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅02202211111z x DB m z x DA m ，可得11=x ，得()1,1,1--=m .又()2,,2y AM -=，则042≠-=⋅y AM DB ，故A 不正确；∵()2,2,0-=y CM ，∴0≠-=⋅y CM m，故D 不正确；∵()2,2,1--=y MN ，∴01≠+=⋅y MN m，故C 不正确.10.C 解析：由()()⎩⎨⎧=-=-=-=-41161565343q a a a q a a a ，得41235==q a a ，∴21=q 或21-=q （舍去），由()()1611213=-=-q q a q a ，得1281=a ，∴n n n qa a --==8112，由128<-n，得08<-n ，∴8>n ，即n 的最小值为9.11.D 解析：∵083=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，∴()Z k k ∈=+πϕπ43，则()Z k k ∈+-=ππϕ43.∵20πϕ<<，∴1=k .从而4πϕ=，∴()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=42sin πx x f .将()x f 的图象向右平移8π个单位长度后，得到()x x x g 2sin 482sin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππ的图象，()x g 是奇函数，∴A 不正确.由ππk x =+42()Z k ∈，可知()x f 的对称中心为()Z k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛-0,82ππ，∴B 不正确；由242πππ+=+k x ()Z k ∈，可知()x f 的对称轴为82ππ+=k x ()Z k ∈.由8582πππ-=+k ，得23-=k ，与Z k ∈矛盾，∴C 不正确.由224222πππππ+≤+≤-k x k ()Z k ∈得()x f 的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-883ππππk k ，()Z k ∈，令0=k ，得()x f 的一个单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-883ππ，，∴D 正确.12.A 解析：记球O 的半径为R ，ABC ∆所在外接圆的半径为r ，由r A BC 2sin =，得r 2233=，∴1=r ，设三棱锥的高为h ，则3122222=-=-=r R h ，∴3=h ；在ABC ∆中，如图：等价于BC 边在外接圆上固定，A 点在劣弧BC 上运动，显然当A 点为BC 的中点时，高AD 最大，AD 的最大值216tan 2=⨯=πBC ，ABC ∆面积的最大值4332121=⨯⨯=，三棱锥ABC O -体积的最大值4143331=⨯⨯=.二、填空题13.3-解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+552455111211d a d a ，解得3-=d .14.209解析：从6名同学中随机选3名的方法数为2036=C ，甲、乙、丙3人中恰好有两人入选的方法数为91323=C C ，因此所求概率209=P .15.()()21122=++-y x （答案不唯一）解析：∵直线021=--y x l ：与直线02=-y x l ：平行，设圆心坐标为()2,-a a ，∵圆心到直线2l 的距离等价于圆的半径r ，∴222=+-=a a r ，取1=a ，则圆的方程为()()21122=++-y x .16.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 解析：令()2ln 222-++=-x x aex x f x ，则()()()a x x e x x a e x x f x x x ln 22ln 22ln 2ln 22ln 222++--=-+-+=+---，令()()+∞∈+-=,02ln 2x x x x g ，，则()xxx x g -=-='212，当()2,0∈x 时，()0>'x g ；当()∞+∈，2x 时，()0<'x g ∴函数()x g 在区间()2,0上单调递增，在区间()∞+，2上单调递减，∴()()2ln 22max ==g x g ，当0→x 时，()-∞→x g ，∴()(]2ln 2,∞-∈x g ，令()x g t =，()(]2ln 2,∞-∈-=t t e t h t，，则()1-='te t h ，当()0,∞-∈t 时，()0<'t h ；当(]2ln 2,0∈t 时，()0>'t h ，∴函数()t h 在区间()0,∞-上单调递减，在区间()2ln 2,0上单调递增，∴()()10=≥h t h ，若()0≥x f 恒成立，即()0ln 2≥+a t h 恒成立，∴1ln 2≤-a ，∴a 的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e .三、解答题17.解：（1）∵b A c C a =+sin 3cos ，由正弦定理得B A C C A sin sin sin 3cos sin =+，∵π=++C B A ，∴()C A B +-=π，∴()C A A C C A +=+sin sin sin 3cos sin ，∴C A C A A C C A sin cos cos sin sin sin 3cos sin +=+,∴C A A C sin cos sin sin 3=，∵0sin ≠C ，∴33tan =A ，又π<<A 0，∴6π=A .（2）在ABC ∆中，由正弦定理得A b B a sin sin =，由（1）知，6π=A ，又41sin =B ，∴b a 2141=，∴b a 2=，由余弦定理得bc c b A bc c b a 3cos 222222-+=-+=，∴bc c b b 34222-+=，即bcb c 3322=-18.解：（1）∵△SAD 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，∴2======AB CD BC AD SD SA ，又∵22=SC ，∴222SC CD SD =+，∴SD CD ⊥，由∵四边形ABCD 为正方形，∴AD CD ⊥，又∵D SD AD = ，⊂AD 平面SAD ，⊂SD 平面SAD ，∴⊥CD 平面SAD ，又⊂CD 平面SCD ，∴平面SAD ⊥平面SCD .（2）由（1）知，∵⊥CD 平面SAD ，CD AB ∥，∴⊥AB 平面SAD ，又∵⊂SA 平面SAD ，∴SA AB ⊥，∴SC AB SA SB ==+=2222，又∵BCP SCB BCC BP ∠=∠==，2，∴易知BCP ABC ∆∆~，∴SC BP BC PC =，即2222=pc ，∴SC PC 212==，∴P 为SC 中点.∵CD AB ∥，⊄AB 平面SCD ，⊂CD 平面SCD ，∴∥AB 平面SCD .又∵平面 ABPQ 平面SD SCD PQ =，⊂AB 平面ABPQ ，∴PQ AB ∥，∴CD PQ ∥，∴Q 是SD 的中点，且AB CD PQ 2121==，又∵⊥AB 平面SAD ，⊂AQ 平面SAD ，∴AQ AB ⊥，∴四边形ABPQ 为直角梯形.又∵AD SA =，∴SD AQ ⊥，且3122222=-=-=SQ SA AQ ，由（1）知SD CD ⊥，∵CD PQ ∥，∴SD PQ ⊥，又∵Q AQ PQ = ，⊂PQ 平面ABPQ ，⊂AQ 平面ABPQ ，∴⊥SD 平面ABPQ ，即SQ 是四棱锥ABPQ S -的高.∴四棱锥ABPQ S -的体积()()23123213123131=⨯⨯+⨯=⋅⋅+⋅=⋅=-SQ AQ AB PQ SQ S V ABPQ ABPQ S .19.解：（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：()4.115.12125.11119.105.1061=+++++⨯=x （元），平均月销售量为()8.14.15.18.19.122.261=+++++⨯=y （万袋），平均月销售收入为：361122616161=⨯=∑=i i i y x （万元）.（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----=∑∑∑∑∑∑======612261226161261261666i i i i i i i i i i i i i i y y x x y x y x y yx xy y x x r ()()98.057.0212.146.08.212.18.169.194.11656.7828.14.11612222-≈⨯-≈⨯-=⨯-⨯-⨯⨯-=.（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数75.098.0>≈r ，∴该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.20.解：（1）∵()()R a ax e x f x ∈--=1，∴()a e x f x -='，①当0≤a 时，()0>'x f 恒成立，此时()x f 在()∞+∞-，上单调递增；②当0>a 时，令()0=-='a e x f x ，解得a x ln =，当()a x ln ,∞-∈时，()0<'x f ，()x f 在区间()a ln ,∞-上单调递减，当()+∞∈,ln a x 时，()0>'x f ，()x f 在区间()∞+，a ln 上单调递增.综上所述，当0≤a 时，()x f 在()∞+∞-，上单调递增；当0>a 时，()x f 在区间()a ln ,∞-上单调递减，在区间()∞+，a ln 上单调递增.（2）∵()1--=ax e x f x ，∴()0100=-=e f ，即0=x 是()x f 的一个零点.由（1）得：①当0≤a 时，()x f 在()∞+∞-，上单调递增，有且只有一个零点0=x ，不合题意；②当0>a 时，()x f 在区间()a ln ,∞-上单调递减，在区间()∞+，a ln 上单调递增，ⅰ)当0ln ≤a ，即10≤<a 时，()x f 在区间[)∞+，0上单调递增，∴()x f 在区间[)∞+，0上有且只有一个零点0=x ，不合题意；ⅱ)当0ln >a ，即1>a 时，()x f 在区间[)a ln 0，上单调递减，在区间()∞+，a ln 上单调递增，当a x ln =时，()x f 取得极小值，也是最小值()()a f x f ln min =，且由()x f 的单调性知，()()00ln =<f a f ，又∵1>a ，∴()a a ln 1ln 2>+，()()()()()()[]1ln 1ln 1ln 1ln 22221ln 22+-=+-=+-=++a a a a a a a a e a f a ，令()()1ln 2+-=a a a g ，则()()1111212122222+-=++-=+-='a a a a a a a a g ，当()+∞∈,1a 时，()0>'a g ，()a g 单调递增，()()()02ln 111ln 2>-=>+-=g a a a g ，∴()()()[]01ln 1ln 22>+-=+a a a a f ，∴由零点存在定理知，()x f 在区间()()1ln ,ln 2+a a 有零点，∴结合()x f 的单调性及()00=f 知，()x f 在区间[)∞+，0上有两个不同的零点，综上所述，若()x f 在区间[)∞+，0上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是()∞+，1.21.解：（1）设椭圆E 的方程为()n m n m ny mx ≠>>=+,0,0122，由点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛362,32231N M ，，在E 上，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13894149n m n m ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3141n m ，∴E 的方程为13422=+y x .（2）存在，理由如下：显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 的方程为1-=ky x ，()()2211,,y x B y x A ，，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=134122y x ky x 消去x 得：()0964322=--+ky y k ，则439,436221221+-=+=+k y y k k y y ，得()438222121+-=-+=+k y y k x x ，()()()434121436439111222222212122121++-=++-+-=++-=--=k k k k k k y y k y y k ky ky x x 因此()()()()()()4221142222212121122121212112212211++-+--+-=++-+-+=-+-x x x x y y ky y ky y x x x x y y x y x y x y x y ()()144316434124318431842322222221212121-=-=+++++-+-+-=++-+-=k k k k k k k k x x x x y y y ky ，解得1=k ，∴存在符合要求的直线l ，其方程为01=+-y x .22.解：（1）∵直线l ：()()R k k ∈=-+0sin 1cos θρθρ，∴0sin cos =+-k k θρθρ.将x y ==θρθρcos sin ，代入上式，化简得0=+-k y kx，即l 的直角坐标方程为()1+=x k y .∵t x t y ==，42，消去参数t ，得x y 42=.又0≥t ，∴C 的普通方程为()042≥=y x y .（2）联立()⎩⎨⎧=+=xy x k y 412，当0=k 时，0,0==x y ，∴l 与C 只有一个交点，不符合题意；当0≠k 时，1-=k y x ，将1-=ky x 代入x y 42=，得0442=+-k y ky .若l 与C 有两个交点，∵0>y ，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>->04016160242kk k k ，解得10<<k .综上可知，k 的取值范围为()1,0.23.解：（1）()⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++c b b c c a a c b a a b c b a c b a c b a 4284642211221121842282426=⨯+⨯+⨯+≥cb bc c a a c b a a b ，当且仅当1216131===c b a ，，时，等号成立.∴182112≥++cb a .（2）证明：由柯西不等式得：()()1424164412222=++≥++⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a c b a ，当且仅当c b a 4241==，即8116818811===c b a ，，时，等号成立.∴8144222≥++c b a .。
陕西省安康市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷含解析
陕西省安康市2019-2020学年第二次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列{}n a 为等差数列，且16112a a a π++=，则()39sin a a +=的值为（ ）A B ． C ．12D ．12-【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质和已知可得623a π=，即可得到9343a a π+=，代入由诱导公式计算可得．【详解】解：由等差数列的性质可得1611632a a a a π++==，解得623a π=， 963324a a a π+==∴，()394sin sin s si in 333n a a ππππ∴⎛⎫=+=-= =⎪⎝+⎭ 故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用，涉及三角函数求值，属于基础题．2．设双曲线221x y a b+=的一条渐近线为2y x =-，且一个焦点与抛物线24x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ） A ．225514x y -= B ．225514y x -= C ．225514y x -= D ．225514x y -= 【答案】C 【解析】 【分析】求得抛物线的焦点坐标，可得双曲线方程221y x b a-=-的渐近线方程为y =，由题意可得4b a =-，又21c =，即1b a -=，解得a ，b ，即可得到所求双曲线的方程. 【详解】解：抛物线24x y =的焦点为()0,1可得双曲线()2210,0x y b a a b+=><即为221y x b a-=-的渐近线方程为y =2=，即4b a =- 又21c =，即1b a -= 解得15a =-，45b =. 即双曲线的方程为225514y x -=.故选：C 【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，属于中档题.3．抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，若点(1,0)A -，则PFPA的最小值为（ ）A ．12B ．C D 【答案】B 【解析】 【分析】通过抛物线的定义，转化PF PN =，要使||||PF PA 有最小值，只需APN ∠最大即可，作出切线方程即可求出比值的最小值． 【详解】解：由题意可知，抛物线24y x =的准线方程为1x =-，(1,0)A -，过P 作PN 垂直直线1x =-于N ，由抛物线的定义可知PF PN =，连结PA ，当PA 是抛物线的切线时，||||PF PA 有最小值，则APN ∠最大，即PAF ∠最大，就是直线PA 的斜率最大，设在PA 的方程为：(1)y k x =+，所以2(1)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，解得：2222(24)0kx k x k -++=，所以224()2440k k ∆=--=，解得1k =±， 所以45NPA ∠=︒，||2cos ||2PF NPA PA =∠=． 故选：B ．【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，转化思想的应用，属于基础题．4．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型. 5．如图，正三棱柱111ABC A B C -各条棱的长度均相等，D 为1AA 的中点，,M N 分别是线段1BB 和线段1CC 的动点（含端点），且满足1BM C N =，当,M N 运动时，下列结论中不正确．．．的是A ．在DMN ∆内总存在与平面ABC 平行的线段B ．平面DMN ⊥平面11BCC B C ．三棱锥1A DMN -的体积为定值D ．DMN ∆可能为直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】A 项用平行于平面ABC 的平面与平面MDN 相交，则交线与平面ABC 平行；B 项利用线面垂直的判定定理；C 项三棱锥1A DMN -的体积与三棱锥1N A DM -体积相等，三棱锥1N A DM -的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D 项用反证法说明三角形DMN 不可能是直角三角形.A 项，用平行于平面ABC 的平面截平面MND ，则交线平行于平面ABC ，故正确；B 项，如图：当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN 必过正方形BCC 1B 1的中心O,由DO 垂直于平面BCC 1B 1可得平面DMN ⊥平面11BCC B ，故正确；C 项,当M 、N 分别在BB 1、CC 1上运动时,△A 1DM 的面积不变,N 到平面A 1DM 的距离不变,所以棱锥N-A 1DM 的体积不变,即三棱锥A 1-DMN 的体积为定值,故正确；D 项,若△DMN 为直角三角形,则必是以∠MDN 为直角的直角三角形,但MN 的最大值为BC 1,而此时DM,DN 的长大于BB 1,所以△DMN 不可能为直角三角形,故错误. 故选D 【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.6．直线20(0)ax by ab ab ++=>与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切【答案】D 【解析】 【分析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论． 【详解】解：由题意，圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径1r =，∵圆心到直线的距离为222ab d a b=+222a b ab +≥Q ，1d ∴≤，【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．7． 若数列{}n a 满足115a =且1332n n a a +=-，则使10k k a a +⋅<的k 的值为( ) A ．21 B ．22C ．23D ．24【答案】C 【解析】因为123n n a a +-=-，所以{}n a 是等差数列，且公差12,153d a =-=，则224715(1)333n a n n =--=-+，所以由题设10k k a a +⋅<可得2472454547()()0333322n n n -+-+<⇒<<，则23n =，应选答案C ．8．数列{a n }，满足对任意的n ∈N +，均有a n +a n+1+a n+2为定值.若a 7=2，a 9=3，a 98=4，则数列{a n }的前100项的和S 100=( ) A ．132 B ．299C ．68D ．99【答案】B 【解析】 【分析】由12n n n a a a ++++为定值，可得3n n a a +=，则{}n a 是以3为周期的数列，求出123,,a a a ，即求100S . 【详解】对任意的n ∈+N ，均有12n n n a a a ++++为定值，()()123120n n n n n n a a a a a a +++++∴++-++=，故3n n a a +=，{}n a ∴是以3为周期的数列，故17298392,4,3a a a a a a ======，()()()100123979899100123133S a a a a a a a a a a a ∴=+++++++=+++L ()332432299=+++=.故选：B . 【点睛】本题考查周期数列求和，属于中档题.9．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-=B ．()()22211x y +++=C ．()()22215x y -+-= D ．()()22215x y +++=【答案】A 【解析】 【分析】求出所求圆的半径，可得出所求圆的标准方程. 【详解】圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的半径为1，因此，所求圆的方程为()()22211x y -+-=.故选：A. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，一般求出圆的圆心和半径，考查计算能力，属于基础题.10．已知不同直线l 、m 与不同平面α、β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（ ） A ．若//αβ，则l//m B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l β⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则m α⊥【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中平行关系、垂直关系的相关判定和性质可依次判断各个选项得到结果. 【详解】对于A ，若//αβ，则,l m 可能为平行或异面直线，A 错误； 对于B ，若αβ⊥，则,l m 可能为平行、相交或异面直线，B 错误； 对于C ，若l β⊥，且l α⊂，由面面垂直的判定定理可知αβ⊥，C 正确； 对于D ，若αβ⊥，只有当m 垂直于,αβ的交线时才有m α⊥，D 错误. 故选：C . 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中的平行关系与垂直关系的相关命题.11．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．6π B ．12πC ．1112πD ．56π【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【详解】将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6y x π=+的图象重合， 则226k πϕπ=+，即12k πϕπ=+，k Z ∈，∴当0k =时，ϕ取得最小值为12πϕ=，故选：B ． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 12．已知函数()2cos sin 6f x x x m π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭（m ∈R ）的部分图象如图所示.则0x =（ ）A ．32π B ．56π C ．76π D ．43π-【答案】C 【解析】 【分析】由图象可知213f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,可解得12m =-,利用三角恒等变换化简解析式可得()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,令()=0f x ,即可求得0x .【详解】 依题意，213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即252cos sin 136m ππ⋅+=-, 解得12m =-；因为()13112cos sin 2cos cos 6222f x x x x x x π⎫⎛⎫=⋅+-=⋅+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭211cos cos sin 2cos 2sin 22226x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭ 所以02262x k πππ+=+，当1k =时，076x π=. 故选:C. 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解析式和已知函数值求自变量,考查三角恒等变换在三角函数化简中的应用,难度一般.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省安康市(新版)2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷
陕西省安康市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(2)题等腰直角三角形ABC 的直角顶点A 在x 轴的正半轴上，点B 在y 轴的正半轴上，点C 在第一象限，且，O 为坐标原点，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．第(3)题如图1，一圆形纸片的圆心为，半径为，以为中心作正六边形，以正六边形的各边为底边作等腰三角形，使其顶角的顶点恰好落在圆上，现沿等腰三角形的腰和中位线裁剪，裁剪后的图形如图2所示，将该图形以正六边形的边为折痕将等腰梯形折起，使得相邻的腰重合得到正六棱台．若该正六棱台的高为，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．第(4)题圆与圆的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离第(5)题如图，正△ABC 的中心位于点G （0，1），A （0，2），动点P 从A 点出发沿△ABC 的边界按逆时针方向运动，设旋转的角度（0≤x≤2π），向量在方向的射影为y （O 为坐标原点），则y 关于x 的函数的图象是（ ）A．B．C．D．第(6)题若复数满足为纯虚数，则（）A．-3B．C．D．3第(7)题已知双曲线的上､下焦点分别为，，过的直线与双曲线的上支交于M，N两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(8)题设，，，则下列关系正确的是（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题若复数，则（）A．B．z的实部与虚部之差为3C．D．z在复平面内对应的点位于第四象限第(2)题已知函数，则（）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分不必要条件C．当时，D．当时，第(3)题如图，已知正方体中，分别为棱、的中点，则下列说法正确的是（）A．四点共面B．与异面C．D．RS与所成角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题的展开式中的常数项为___________（用数字作答）.第(2)题写出一个具有下列性质①②③的函数___________.①定义域为；②函数是奇函数；③.第(3)题已知等比数列的前项和为，若，为实数，则______.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数.(1)当时，讨论函数的单调性；(2)当时，证明：对任意的，；(3)讨论函数在上零点的个数.第(2)题已知，，动点满足，其中分别表示直线的斜率，为常数，当时，点的轨迹为；当时，点的轨迹为．（1）求的方程；（2）过点的直线与曲线顺次交于四点，且，，是否存在这样的直线，使得成等差数列？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．第(3)题在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若曲线C和直线l相交于M，N两点，Q为MN的中点，点，求．第(4)题已知正项数列的前n项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.第(5)题如图，在三棱柱中，在底面ABC上的射影为线段BC的中点，M为线段的中点，且，.(1)求三棱锥的体积；(2)求MC与平面所成角的正弦值.。
2020年陕西省高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜03．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π6．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．87．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e210．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a是实数，且是一个纯虚数，则a=_______．14．已知正项数列{a n}满足a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣a，若a1=1，则a10=_______．15．若向量=（3，1），=（7，﹣2），则的单位向量的坐标是_______．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y 轴上一点，则△APF面积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．19．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=BC=，求三棱锥P﹣AEF的体积．20．设O是坐标原点，椭圆C：x2+3y2=6的左右焦点分别为F1，F2，且P，Q是椭圆C上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．2020年陕西省高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合M={x|}，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合M和集合N，然后再求出集合M∩N．．【解答】解：集合M={x|}=[，3），函数f（x）=ln（1﹣）=[0，1），则M∩N=[，1），故选：B．2．已知命题p：∃x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：∀x∈R，log3x≤0 B．￢p：∃x∈R，log3x≤0C．￢p：∀x∈R，log3x＜0D．￢p：∃x∈R，log3x＜0【考点】复合命题的真假．【分析】利用命题的否定即可判断出．【解答】解：命题p：∃x∈R，log3x≥0，则￢p：∀x∈R，log3x＜0．故选：C．3．若tanα=，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tan，则sin4α﹣cos4α=（sin2α+cos2α）•（sin2α﹣cos2α）=sin2α﹣cos2α===﹣，故选：B．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到，解出即可．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．故选C．5．某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可．【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π•2=8π．圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：=28π，几何体的体积为：36π．故选：C．6．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，若|AF|=x0，则x0等于（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F（，0）∵A（x0，y0）是C上一点，|AF|=x0，∴x0=x0+，解得x0=1．故选：A．7．如果执行如图所示的框图，输入N=5，则输出的S等于（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是计算出输出S=的值．【解答】解：n=5时，k=1，S=0，第一次运行：S=0+=，k=1＜5，第二次运行：k=1+1=2，S==，k=2＜5，第三次运行：k=2+1=3，=，k=3＜5，第四次运行：k=3+1=4，S==，k=4＜5，第五次运行：k=4+1=5，S==，k=5，结束运行，输出S=．故选：D．8．在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离不大于1的概率是（）A．B．1﹣C．D．1﹣【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出点到O的距离不大于1的点对应的图形的面积，并将其和长方形面积一齐代入几何概型计算公式进行求解．【解答】解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离不大于1的概率P==．故选A．9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0求得与y，x轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可得到所求值．【解答】解：y=e的导数为y′=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为y﹣e2=e2（x﹣6），即为y=e2x﹣e2，令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为•3•e2=e2．故选：A．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A．B．C．﹣D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1， +φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行比较即可．【解答】解：∵∀x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，∴当x≥0时函数f（x）为减函数，∵f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选：D12．若直线l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．1或﹣1 D．0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=﹣1，n=0时，满足条件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设a是实数，且是一个纯虚数，则a=﹣2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值．【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．已知正项数列{a n}满足a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣a，若a1=1，则a10=28．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式变形得到a n+1﹣a n=3，即数列{a n}是公差为3的等差数列，求出等差数列的通项公式得答案．【解答】解：由a n+1（a n+1﹣2a n）=9﹣，得，即，∴a n+1﹣a n=±3，又数列是正项数列，∴a n+1﹣a n=3，即数列{a n}是公差为3的等差数列，∵a1=1，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+3（n﹣1）=3n﹣2，则a10=3×10﹣2=28．故答案为：28．15．若向量=（3，1），=（7，﹣2），则的单位向量的坐标是（﹣，）．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】求出向量，从而求出的单位向量的坐标即可．【解答】解：∵向量=（3，1），=（7，﹣2），则=（﹣4，3），由=5，得单位向量的坐标是（﹣，），故答案为：（﹣，）．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2x+t与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由判别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d==，即有△APF的面积的最小值为d•|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理．【分析】（I）根据基本不等式求出ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB===．∵ac≤（）2=．∴当ac=时，cosB取得最小值．（II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．又∵a+c=3，∴ac=6．∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．∴A=或A=．18．某种产品的质量以其指标值来衡量，其指标值越大表明质量越好，且指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的指标值，得到了下面的试验结果：A配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数8 20 42 22 8B配方的频数分布表指标值分组[90，94）[94，98）[98，102）[102，106）[106，110]频数 4 12 42 32 10（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其指标值t的关系式为y=，估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述产品平均每件的利润．【考点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式．【分析】（1）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值．（2）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值．【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质的频率为=0.3∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42；（2）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间[90，94），[94，102），[102，110]的频率分别为0.04，0.54，0.42，∴P（X=﹣2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X ﹣2 2 4P 0.04 0.54 0.42∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68．19．四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD=PD，E，F分别为CD，PB的中点．（1）求证：EF⊥平面PAB；（2）设AB=BC=，求三棱锥P﹣AEF的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取PA 中点G ，连结FG ，DG ，由题意可得四边形DEFG 为平行四边形，得到EF ∥DG 且EF=DG ，再由PD ⊥底面ABCD ，可得平面PAD ⊥平面ABCD ，进一步得到平面PAB ⊥平面PAD ，由PD=AD ，PG=GA ，可得DG ⊥PA ，而DG ⊂平面PAD ，得到DG ⊥平面PAB ，从而得到EF ⊥平面PAB ；（2）连接PE ，BE ，可得，求解直角三角形得到PD=1，然后利用等积法把三棱锥P ﹣AEF 的体积转化为B ﹣AEF 的体积求解．【解答】（1）证明：取PA 中点G ，连结FG ，DG ，由题意可得BF=FP ，则FG ∥AB ，且FG=，由CE=ED ，可得DE ∥AB 且DE=， 则FG=DE ，且FG ∥DE ，∴四边形DEFG 为平行四边形，则EF ∥DG 且EF=DG ，又PD ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面ABD ，则平面PAB ⊥平面PAD ，由PD=AD ，PG=GA ，可得DG ⊥PA ，而DG ⊂平面PAD ，∴DG ⊥平面PAB ，又EF ∥DG ，得EF ⊥平面PAB ；（2）解：连接PE ，BE ，则，∵AB=BC=，∴BC=1，则PD=1，∴V P ﹣AEF =V B ﹣AEF ====．20．设O 是坐标原点，椭圆C ：x 2+3y 2=6的左右焦点分别为F 1，F 2，且P ，Q 是椭圆C 上不同的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；（Ⅱ）设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和判别式大于0，由等比数列的中项的性质，结合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可得到直线PQ的斜率．【解答】解：（I）证明：x2+3y2=6即为+=1，即有a=，b=，c==2，由直线PQ过椭圆C的右焦点F2（2，0），且倾斜角为30°，可得直线PQ的方程为y=（x﹣2），代入椭圆方程可得，x2﹣2x﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得|PQ|=•=•=，由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a=4，可得|F1P|+|QF1|=4﹣==2|PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx+m，代入椭圆方程x2+3y2=6，消去y得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣2）=0，则△=36k2m2﹣12（1+3k2）（m2﹣2）=12（6k2﹣m2+2）＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，∵直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列，∴•==k2，即km（x1+x2）+m2=0，即有﹣+m2=0，由于m≠0，故k2=，∴直线PQ的斜率k为±．21．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设a≤﹣2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤﹣2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．所以|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于f（x1）﹣f（x2）≥4x2﹣4x1，即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．令g（x）=f（x）+4x，则+4=．于是g′（x）≤=≤0．从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|．选做题：请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（Ⅰ）求证：AD∥EC；（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】圆的切线的性质定理的证明；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系；与圆有关的比例线段．【分析】（I）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（II）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】解：（I）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E，∴AD∥EC．（II）∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，∴62=PB•（PB+9）∴PB=3，在⊙O2中由相交弦定理，得PA•PC=BP•PE，∴PE=4，∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12[选修4-4：坐标系与参数方程]23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当α变化时，求|AB|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用即可化为直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=4x，利用根与系数的关系、弦长公式及参数的几何意义即可得出．【解答】解：（I）由ρsin2θ=4cosθ，得（ρsinθ）2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．（II）将直线l的参数方程代入y2=4x，得t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|===，当α=时，|AB|的最小值为4．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转化为≤1，解出即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，﹣1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；（2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，﹣1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，只需≤1即可，解得：0＜a≤2．2020年9月8日。
陕西省安康市高新中学2024届高三高考模拟考试理科 数学(二)试题【含答案】
2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（二）本试卷共4页，23题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､考号等填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第I 卷一､选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若4i1ix z -=+的虚部为2，则x =（）A ．4B ．4-C ．8D ．8-2．已知集合{3},{233}M N x x ==->∣，则()R M N ⋃=ð（）A ．(),1∞-B ．(],3-∞C ．[)1,+∞D ．()3,103．某地区中午11时到夜里23时的气温分布如图所示，关于这5个时刻的温度，以下说法错误的是（）A ．5个时刻温度的极差为7CB ．5个时刻温度的中位数为9C C ．平均温度为5CD ．下午17时温度最高4．在数列{}n a 中，120,1,n a a a >==*22212,10n n n n a a a ++∀∈++=N ，则2024a =（）AB ．1CD 5．函数()3cos f x x x =的部分图象为（）A ．B ．C ．D ．6．已知命题:,e 0x p x ax ∃∈-=R 为假命题，则a 的取值范围为（）A ．()[),0e,∞∞-⋃+B ．(](),0e,∞∞-⋃+C ．()0,e D ．[)0,e 7．已知正三棱台111ABC A B C -2，则该三棱台的表面积为（）A ．B ．C ．18+D ．188．《九章算术》中《方田》一章给出了计算弧田面积的公式：弧田面积12=（弦⨯矢+矢2）.弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为π0,2θθ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且7cos 25θ=，半径等于10m 的弧田，按照上述给出的面积公式计算弧田面积是（）A ．214mB ．218mC ．240mD ．260m 9．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，3AB =，在四棱锥内部有一半径为1的球与四棱锥各面都相切，则四棱锥P ABCD -的体积为（）A ．6B ．9C ．12D ．1610．设,A B 分别为椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左､右顶点，M 是C 上一点，且::3:5:7MA MB AB =，则C 的离心率为（）A ．35B ．37C ．1511D ．728614311．已知函数()()()2sin (0,0,2π)f x x ωϕωϕ=+>∈在区间π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，π5π136f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则ωϕ=（）A ．π3B ．5π6C ．11π27D ．7π912．已知197971,cos ,e 987a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b>>D ．c b a>>第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二､填空题：本题共4小题，每小题5分.13．寒假期间，小明和爷爷奶奶爸爸妈妈五人自驾一辆七座（含司机座位）商务车出去游玩，其中爸爸妈妈会开车，小明不能坐副驾，则不同的坐法种数为.（用数字作答）14．菱形ABCD 的边长为2,60DAB ∠= ，以D 为圆心作圆且与AB 相切于,E Q 是D 与CD 的交点，则AQ AEAE⋅= .15．已知圆22:4O x y +=与直线(02)x m m =<<交于,M N 两点，与x 轴交于,A B 两点，直线MA 与NB 交于点()(),,Q E F -，则QE QF -=.16．如图，平面四边形ABCD 中，3,2,,90AB AC BC AD DC ADC ∠==== ，则四边形ABCD 面积的最大值为.三､解答题：解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知()2111,1n n a nS n S n n +=-+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若(1)(1)12n n nn n b a ⎡⎤=-+-+⎣⎦，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .18．如图，在多面体PABCD 中，90,,ABC DAB DBC ∠= 都是等边三角形，AC PB PB ==⊥平面,ABC M 为PC 的中点.(1)证明：BM AD ⊥；(2)求AD 与平面PAC 所成角的正弦值.19．某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比()%,y A 学员已经训练了1年，下表记录了A 学员最近七周“准点球”的百分比：周次()x 1234567()%y 5252.853.55454.554.955.3若z =(1)根据上表数据，计算y 与z 的相关系数r ，并说明y 与z 的线性相关性的强弱；（若0.751r ≤≤，则认为y 与z 线性相关性很强；若0.30.75r ≤<，则认为y 与z 线性相关性一般；若0.3r <，则认为y 与z 线性相关性较弱）（精确到0.01）(2)求y 关于x 的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）；(3)若现在认为A 学员“准点球”的百分比为55%，并以此为概率，现让A 学员打3个球，以X 表示“准点球”的个数，求X 的分布列及数学期望.参考公式和数据：对于一组数据()()()1122,,,,,,,n n u v u v u v r =721211ˆˆ,.72ˆ.05nni ii i i ini ii u v nuvu v nuvba v bu z z unu ===--==--≈-∑∑∑∑，71729.98, 1.926, 5.3.86, 4.13.i i i z y z y zy =≈≈=≈≈∑20．已知抛物线22(0)y px p =>上的动点与()2,0M (1)求p ；(2)过点()2,1Q 的直线l 交抛物线于,A B 两点，直线l '平行于l ，且与抛物线仅有一个公共点N ，求ABN 面积的最小值.21．已知函数()()22e 4xf x x a x x -=--在定义域()0,∞+上仅有1个极大值点.(1)求a 的取值范围；(2)若()()1212,12f x f x x x =<<<，证明：124x x +>.请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πsin (0)6m m ρθ⎛⎫-=< ⎪⎝⎭.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 相切，求切点的极坐标.选修4-5：不等式选讲23．已知函数()233f x x x =++-.(1)求()9f x x ≤-+的解集；(2)求曲线()y f x =与直线12y =所围成的图形的面积.1．D【分析】根据复数的除法运算化简即可得解.【详解】由题得()()()4i 1i 44i 22x x x z ----+==，则422x --=.故8x =-.故选：D.2．A【分析】分别解出集合M 、N ，得到M N ⋃，进而得到()R M N ⋃ð.【详解】由题得[)()1,10,3,M N ∞==+，故[)1,M N ∞⋃=+，所以()()R ,1M N ∞⋃=-ð.故选：A.3．B【分析】结合极差、中位数、平均数定义分析图象即可得.【详解】由图可知，5个时刻温度的极差为927-=，故A 正确；中位数为4，故B 错误；平均温度为()12347955++++=，故C 正确；比较几个数值可知下午17时温度最高，故D 正确.故选：B.4．A【分析】根据递推公式得出3n n a a +=,进而202420212a a a ====【详解】由22212310n n n a a a +++++=与2221210n n n a a a ++++=相减得：2230n n a a +-=，即33()()0n n n n a a a a ++-+=，又0n a >，故3n n a a +=，所以202420212a a a ==== 故选：A.5．B【分析】判断函数()f x 的奇偶性从而排除选项A 、D ；再判断当π02x <<时()f x 函数值的符号即可排除C.【详解】因为()3cos f x x x =为奇函数，所以排除A,D ；当π02x <<时，()3cos 0f x x x =>，所以排除C.故选：B.6．D【分析】由命题:,e 0x p x ax ∃∈-=R 为假命题，得到:,e 0x p x ax ⌝∀∈-≠R 为真命题.方法一：参数分离e (0)x a x x ≠≠，并构造函数()e ,0x f x x x=≠，通过导数求函数单调性求解；方法二：将:,e 0x p x ax ⌝∀∈-≠R 转化为直线y ax =与曲线e x y =没有交点，通过导数求切斜方程即可.【详解】法一：由题可得:,e 0x p x ax ⌝∀∈-≠R 为真命题，易知0x =满足e 0x ax -≠，符合题意，此时a ∈R ；当0x ≠时，e 0xax -≠可变形为e xa x≠，令()e ,x f x x x =0≠，则()()21e x x f x x-'=，当()(),00,1x ∞∈-⋃时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，当(),0x ∞∈-时，()f x 单调递减，且()0f x <；当()0,1x ∈时，()f x 单调递减；当()1,x ∞∈+时，()f x 单调递增，所以当0x >时，()()1e f x f ≥=，作出函数()f x 的图象如图①所示，由题可知直线y a =与函数()f x 的图象没有交点，数形结合可得0e ≤<a .法二：由题可得:,e 0x p x ax ⌝∀∈-≠R 为真命题，即直线y ax =与曲线e x y =没有交点.设直线y kx =与曲线e x y =切于点()00,e xx ，由e xy =，得e x y '=，则0e e ==x x k x ，所以01,e x k ==，所以直线e y x =与曲线e x y =相切，若直线y ax =与曲线e x y =没有交点，如图②所示，则0e ≤<a .故选：D.7．A【分析】由上下底面的面积可求出上下底面边长，构造直角三角形结合棱台的高求出侧面梯形的高，求出侧面积后得表面积.【详解】由面积公式可得正三棱台上下底面边长分别为2和4，设1C 在底面ABC 内的射影为H ，作HQ BC ⊥于Q，1C H ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则有1C H BC ⊥，又HQ BC ⊥，1C H HQ H = ，1,C H HQ ⊂平面1C HQ ，所以BC ⊥平面1C HQ ，1C Q ⊂平面1C HQ ，所以1BC C Q ⊥，由4BC =，112B C =，11BB CC =，则1CQ =，又π6HCQ ∠=，所以3HQ =，则1C Q =，故三棱台的侧面积为2439323+⨯⨯=故选：A.8．A【分析】先根据半角公式求出sin ,cos22θθ，再分别求出弦长和矢长，再根据弧田的面积公式即可得解.【详解】由7cos 25θ=，可得34sin ,cos 2525θθ==，故弦长为210sin122θ⨯=，矢长为1010cos22θ-=，所以所求弧田面积为()221122214m 2⨯⨯+=.故选：A.9．C【分析】设出PA x ＝，直接用3Vr S =表，解出x ，再求体积即可．【详解】如图设PA x ＝，3AB BC CD DA ====，PA ABCD ⊥平面,则,PA AD PA AB ⊥⊥,则PD PB ==132ADP ABP S S x ==⨯ PA ⊥平面ABCD ，显然平面PAD ⊥平面ABCD ,，AD 为交线，四边形ABCD 为正方形，可以证得CD ⊥平面PAD ，BC ⊥平面PAB ,则12CDP CBP S S ==⨯ ，因此ADP ABP CDP CBP ABCDS S S S S S ++=++表V V V V V11322333922x x =⨯⨯+⨯+⨯=+因为133ABCD V S PA x =⋅=，根据3V r S =表，代入计算得，1=解得4x =，则312V x ==.故选：C.10．D【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan 11MA MAB k ∠==，tan MB MBA k ∠==-，设00(,)M x y ，则22MA MB b k k a ⋅=-，得2245143b a =，结合离心率的概念即可求解.【详解】在MAB △中，由22237511cos 23714MAB ∠+-==⨯⨯，得sin MAB ∠=tan MA MAB k ∠==，由22257313cos 25714MBA ∠+-==⨯⨯，得sin MBA ∠=所以33tan 13MB MBA k ∠==-，设00(,)M x y ，则200022000MA MBy y y k k x a x a x a ⋅==+--，又()2222222000022221,,MA MB x y b b y x a k k a b a a+=∴=--∴⋅=-，又224545,1113143143MA MBb k k a ⎛⋅=-=-∴= ⎝⎭，143e ∴=.故选：D.11．C【分析】()f x 在区间π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，用周期公式，缩小ω范围02ω<≤．π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()11π1π5πsin ,2π3236k k ωϕωϕ⎛⎫⋅+=∴⋅+=+∈ ⎪⎝⎭Z ①，π5π136f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，得出对称中心7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，进而得到()227π2ππ12k k ωϕ⋅+=+∈Z ②，两式相减，得到()21283k k ω=+-，因为02ω<≤，求出ω．代入①，根据()0,2πϕ∈，解出ϕ即可．【详解】()f x 在区间π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，5πππ,0263ωω∴-≤∴<≤，由π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()11π1π5πsin ,2π3236k k ωϕωϕ⎛⎫⋅+=∴⋅+=+∈ ⎪⎝⎭Z ①.又π5π136f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x \图象关于点7π,012⎛⎫⎪⎝⎭对称，即()227π2ππ12k k ωϕ⋅+=+∈Z ②.由②-①得()()2121ππ22π8463k k k k ωω⋅=-+⇒=+-，由于02ω<≤，则23ω=，代入①，即()1112π5π11π2π2π9618k k k ϕϕ+=+∈⇒=+Z ，由于()0,2πϕ∈，则11π18ϕ=，则ωϕ=11π27．故选：C.12．B【分析】构造函数()2cos 12x f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭和()()e 1,(0)xg x x x =-+>，利用导数求解函数的单调性，即可求解.【详解】令()2cos 12x f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin f x x x =-'，令()πsin ,0,2x x x x ϕ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则()()1cos 0,x x x ϕϕ=->'即()f x '单调递增，所以()()00f x f ''>=，故()f x 为增函数，所以()1007f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，可得197cos 798>，故a b <.令()()e 1,(0)x g x x x =-+>，则()e 10xg x '=->，故()g x 为增函数，所以()1097g g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭0，即19798e097->.所以19797e 98-<，故c a <，所以c a <<b 故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤(1)作差或变形；(2)构造新的函数()h x ；(3)利用导数研究()h x 的单调性或最值；(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．13．600【分析】先选司机，再选副驾，结合分类分布计数原理计算即可求解.【详解】先选司机有12C 种，再选副驾，若副驾坐人，则有1335C A 种；若副驾不坐人，则有45A 种，故不同的坐法种数为()11312355C C A A 600+=.故答案为：60014．1+3##31+【分析】由题意可得3DE =，1AE = ，利用平面向量的数量积的定义和运算律、线性运算计算即可求解.【详解】由题可知3DE =，1AE = 则3DQ =，所以cos 601,cos 03AD AE AD AE DQ AE DQ AE ︒︒⋅==⋅== ，故(13)AQ AE AD DQ AE AD AE DQ AE =⋅=+⋅⋅+⋅=+，故13AQ AEAE⋅=+ .故答案为：13+15．4【分析】设(,)Q x y ，运用圆的对称性和圆周角定理，得到直线斜率之间的关系，后用两点间的斜率公式代入即可得到(,)Q x y 刚好满足双曲线定义，用定义解题即可.【详解】设(,)Q x y ，且(2,0),(2,0)A B -，又2QA MA k x k y ==+，2QB NB MB k y k k x -==-=，QA QB MA MB k k k k =-，根据直径所对圆周角是直角，知道MA MB ⊥，则1MA MB k k =-，则1QA QB MA MB k k k k =-=，122y yx x ⋅=+-，即224x y -=，则点Q 在以()(),E F -为焦点的双曲线上，4QE QF -=.故答案为：416．10【分析】设(13),BC x x ACB ∠θ=<<=，利用余弦定理求出cos θ，进而可求出sin θ，再根据ABCD ADC ABC S S S =+ 换元，结合三角函数的性质即可得解.【详解】设(13),,(0,π)BC x x ACB ∠θθ=<<=∈，则222,,,sin ADC ABC AC x AD CD S x S x θ===== ，而222224959cos 44x x x x x θ+--==，则sin θ==所以22ABCD ADC ABC S S S x x =+==+ ，令()()254cos 0,πx ϕϕ-=∈，则254cos x ϕ=+，则54cos 54cos 3sin ABCD S ϕϕϕ=+=++()55sin 10ϕβ=++≤，其中43sin ,cos 55ββ==，当且仅当4cos 5ϕ=时取等号，此时2415x =，即x =，所以四边形ABCD 面积的最大值为10.故答案为：10.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：（1）利用正弦定理实现“边化角”；（2）利用余弦定理实现“角化边”.求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解.17．(1)21n a n =-(2)12282433n n T n +=+⨯-【分析】（1）根据题意，化简得到111n n S S n n +-=+，得出数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，求得2n S n =，进而求得{}n a 的通项公式；（2）由（1）得到，当n 为奇数时，12n b n =-；当n 为偶数时，1212n n b n +=-+，结合()()2135212462n n n T b b b b b b b b -=+++++++++ ，结合等差数列、等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）解：由()211n n nS n S n n +-+=+，可得()()111n n nS n S n n +-+=+，所以111n nS S n n+-=+，又由11a =，所以11111S a ==，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，所以()111nS n n n=+-⨯=，则2n S n =，当2n ≥时，21(1)n S n -=-，所以221(1)21n n n S S a n n n --==--=-，又当1n =时，11a =满足上式，所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可知当n 为奇数时，12n n b a n =-=-；当n 为偶数时，122212n n n n b a n +=+⨯=-+，所以212342n nT b b b b b =+++++ ()()135212462n n b b b b b b b b -=+++++++++ 357921222222n n +=++++++ ()246222812222n n -=++++++ 114282824.1433n n n n +-=+⨯=+⨯--18．(1)证明见解析(2)12.【分析】（1）由全等三角形的判断方法和线面垂直的判定定理可得DQ ⊥平而ABC ，进而可得12DQ AC ==0AD BM ⋅= 即可；（2）由（1），利用空间向量法求解线面角即可.【详解】（1）由90,,ABC DAB DBC ∠= 都是等边三角形，AC =可得2AB BC ==.取AC 的中点为Q ，则QB QC QA ==，又DB DC DA ==，所以QBD QCD QAD ≅≅ ，所以90DQA DQC DQB ∠∠∠=== ，即,DQ AC DQ BQ ⊥⊥，又,AC BQ Q AC BQ =⊂ 、平而ABC ，故DQ ⊥平而ABC .因为ABC ADC ≅△△，所以190,2ADC ABC DQ AC ∠∠====因为PB ⊥平面,90ABC ABC ∠= ，AB BC ⊂、平面ABC ，所以PB ⊥,AB PB BC ⊥，又AB BC ⊥，所以,,BA BC BP 两两垂直，以B 为原点，,,BA BC BP 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()((()2,0,0,1,1,2,2,0,2,0A D P C -，20,1,2M ⎛ ⎝⎭，所以(21,1,2,0,1,AD BM ⎛=--= ⎝⎭ ，所以0AD BM ⋅=，则AD BM ⊥.（2）由（1）知(()2,2,2,0AP AC =-=-，设平面PAC 的法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即220,220,x x y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩取2z =1,1x y ==，所以(2m =，设AD 与平面PAC 所成的角为θ，则1sin cos ,2AD m AD m AD m θ⋅===，所以AD 与平面PAC 所成角的正弦值为12.19．(1)0.94，y 与z 线性相关性很强(2) 1.8950.22y z =+，55.89%(3)分布列见解析，()3320E X =.【分析】（1）根据题意中的公式求出相关系数r ，结合其表示的意义即可下结论；（2）根据最小二乘法计算可得 1.8950.22y z =+，进而2ˆ 1.8950.2yx =，将9x =代入即可求解；（3）由题意可知113,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，利用二项分布求出对应的概率，列出X 的分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）77i iz y zyr -∑729.987103.730.940.754.13-⨯=≈>故y 与z 线性相关性很强.（2）7172217ˆ7i ii ii z y zybzz ==-=-∑∑729.987103.731.8882.05-⨯=≈，1.88853.86 1.8881.92650.22a y z =-=-⨯≈，所以y 关于z 的线性回归方程为 1.8950.22y z =+，将z = 1.8950.22y z =+，得2ˆ50.2y=.当9x =时， 1.8950.2255.89y ==，故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%.（3）现在A 学员任打一球是“准点球”的概率为：P =551110020=，由题意113,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则()33117290C 1208000P X ⎛⎫==⋅-= ⎪⎝⎭，()2131********C 120208000P X ⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎝⎭，()223111132672C 120208000P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()3331113313C 208000P X ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭.分布列为X0123P7298000267380003267800013318000数学期望()113332020E X =⨯=.20．(1)1(2)2【分析】（1）设抛物线上的动点为()00,H x y ，则()220244HM x p x =+-+，根据二次函数的性质，找出最小值，得到p 的值.（2）先设直线()12x t y =-+，与抛物线联立计算得到AB =线l '的方程为x ty m =+，与抛物线联立令Δ0=，得到2,2t N t ⎛⎫⎪⎝⎭，计算N 到AB 的距离d ，求得面积公式，算出范围即可.【详解】（1）设抛物线上的动点为()00,H x y ，()222200000||2442HM x y x x px =-+=-++=()200244x p x +-+，因为HM 00x =时，2||43HM =>，故可知20p ->，且216(24)34p --=，解得1(3p p ==舍).（2）由（1）知，抛物线方程为22y x =，由题意可知，直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为()()()112212,,,,x t y A x y B x y =-+，代入22y x =，可得22240y ty t -+-=，则1212Δ0,2,24y y t y y t >+==-，所以12AB y y =-设平行线l '的方程为x ty m =+，将x ty m =+代入22y x =，可得2220y ty m --=，当0'∆=时，N y t =，则22N t x =，即2,2t N t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点N 到直线AB的距离为：d ==故1122ABNS d AB =⋅=⋅()3221242t t =-+3221(1)32t ⎡⎤=-+⎣⎦，当1t =时，ABN S 取得最小值332，此时1,12N ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】思路点睛：①通过点与点的距离，求得最小值，得到p 的值.②设直线，得到弦长AB ，l '与l 平行，设出l '，联立求出N 坐标，求出N 到AB 距离，算出面积公式，求出范围.21．(1)[)0,∞+(2)证明见解析【分析】（1）求得()()()2e 2xf x x x a -'=-+，根据题意，得到2x =为()f x 的极大值点，得出()e 20xg x x a -=+>，利用导数求得函数的单调性，得出20a ≥，即可求解；（2）因为212,42>->x x ，转化为证明()()114f x f x <-，令()()()4h x f x f x =--，求得()()()42e 4e x x h x x x x --⎡⎤=-+-⎣'⎦，令()e x p x x -=，利用导数求得函数的单调性，得到()()4p x p x >-，得到()4e 4e x x x x -->-，进而得到()()2h x h <，即可得证.【详解】（1）解：由函数()()22e 4xf x x a x x -=--，可得()()()()()22e 222e 2xx f x x x a x xx a --'=---=-+，因为函数在定义域()0,∞+上仅有1个极大值点，即()f x '有零点为2x =，所以2x =为()f x 的极大值点，在()0,∞+上，则须()e 20xg x x a -=+>，又由()()1e xg x x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()()0,g x g x '>单调递增，值域为12,2e a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭；当()1,x ∈+∞时，()()0,g x g x '<单调递减，值域为12,2e a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故只须20a ≥，即0a ≥，所以a 的取值范围为[)0,∞+.（2）证明：由（1）知：()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，要证124x x +>，只须证214x x >-，因为212,42>->x x ，只须证()()214f x f x <-，即证()()114f x f x <-，令()()()4,12h x f x f x x =--<<，则()()()4h x f x f x +''=-'()()()()42e 224e 2x x x x a x x a --⎡⎤=-++--+⎣⎦()()42e 4e x x x x x --⎡⎤=-+-⎣⎦令()e xp x x -=，可得()()1exp x x -'=-当()1,x ∈+∞时，()()1e 0xp x x -'=-<，()p x 为减函数，当12x <<时，可得4x x <-，则()()4p x p x >-，即()4e4e xx x x -->-，所以()4e 4e 0x x x x --+->，则12x <<时，()()0,h x h x '>为增函数，故()()20h x h <=，即()()114f x f x <-，故原不等式得证.【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．(1)22(2)4x y -+=，20(0)x m m +=<(2)11π6⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据22cos sin 1αα+=即可求出圆C 的普通方程；根据公式法计算化简即可求出直线l 的直角坐标方程；（2）易知切点位于第四象限，结合图形和π,6COM OM ∠ρ==计算即可求解.【详解】（1）由圆C 的参数方程22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），得2cos 22sin x yαα=-⎧⎨=⎩（α为参数），所以2222(2cos )(2sin )(2)4x y αα+=-+=，故圆C 的普通方程为22(2)4x y -+=.由πππsin sin cos cos sin 666m ρθρθρθ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，可得20x m -+=，故直线l 的直角坐标方程为20(0)x m m +=<.（2）由直线:20l x m -+=以及0m <，可知切点位于第四象限，如图，设切点为M ，直线l 与x 轴的交点为A ，圆心()2,0,C CM l ⊥，又l 的倾斜角为π6CAM ∠=，可得ππ,22cos 66COM OM ∠ρ===⋅=则切点M 的极坐标为11π6⎛⎫ ⎪⎝⎭.23．(1)[]6,0-(2)24【分析】（1）根据题意，得到()33,39,3333,3x x f x x x x x --<-⎧⎪=+-≤≤⎨⎪+>⎩，把不等式()9f x x ≤-+，转化为等价不等式组，即可求解；（2）画出曲线()y f x =与直线12y =的图像，求得,,A B C 的坐标，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）解：因为()33,32339,3333,3x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=++-=+-≤≤⎨⎪+>⎩，则不等式()9f x x ≤-+，即为3339x x x <-⎧⎨--≤-+⎩或3399x x x -≤≤⎧⎨+≤-+⎩或3339x x x >⎧⎨+≤-+⎩，解得63x -≤<-或30x -≤≤或∅，所以60x -≤≤，即不等式()9f x x ≤-+的解集为[]6,0-.（2）解：作出曲线()y f x =与直线12y =的图像，如图所示，可求得()()()3,6,3,12,5,12A B C --，曲线()y f x =与直线12y =所围成的图形为ABC ，则()358BC =--=，且//BC x 轴，则BC 边上的高为1266-=，故所求面积为186242ABC S =⨯⨯=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
陕西省安康市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．cos480°的值为( )A．B．C．﹣D．﹣2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=( ) A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜7．当a＞l时，函数f （x）=log a x和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．若x0是方程e x=3﹣2x的根，则x0属于区间( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，2）9．函数f（x）=sin（2x+）则下列结论正确的是( )A．f（x）图象关于直线x=对称B．f（x）图象关于（，0）对称C．f（x）图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象D．f（x）在（0，）上为增函数10．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（l﹣y），若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，7] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1]∪；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．命题P：已知a＞0，函数y=a x在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．17．设函数f（x ）=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若sin（π+α）=，|α|，求f（x）的值．18．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）是平行四边形ABCD中的三顶点．（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值．19．已知函数f（x）=在x=l处的切线与直线x﹣y+10=0平行．（1）求a的值；（2）若函数y=f（x）﹣m在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．20．设数列{a n}的前n项和为S n满足点（n，S n）在函数f（x）=x2﹣8x图象上，{b n}为等比数列，且b1=a5，b2+a3=﹣1（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n=n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．21．已知函数f（x）=x2﹣ax3，g（x）=me x﹣x﹣1，曲线y=g（x）在x=0处取得极值．（1）求m的值；（2）若a≤0，试讨论y=f（x）的单调性；（3）当a=，x＞0时，求证：g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．陕西省安康市2015届高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．cos480°的值为( )A．B．C．﹣D．﹣考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：运用诱导公式即可化简求值．解答：解：cos480°=cos（360°+120°）=cos120°=﹣cos60°=﹣．故选：D．点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值，属于基础题．2．设全集U=R，集合A={x|1og2x≤2}，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}，则（C U B）∩A=( ) A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣1]∪（0，3）C．，B={x|（x﹣3）（x+1）≥0}=（﹣∞，﹣1]∪分析：依题意，利用等比数列的性质，可求得a5=4，从而可得答案．解答：解：在正项等比数列{a n}中，∵a1•a9==16，∴a5=4，∴log2a5=log24=2，故选：A．点评：本题考查等比数列的性质，考查对数的运算，属于基础题．6．若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有( )A．﹣＞0 B．﹣＜0 C．＞D．＜考点：不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用不等式的性质即可得出．解答：解：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故选：D．点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．7．当a＞l时，函数f （x）=log a x和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：函数的图象与图象变化．专题：函数的性质及应用．分析：根据对数函数和一次函数的图象和性质即可判断解答：解：∵a＞l时，f （x）=log a x的图象经过第一四象限，g（x）=（l﹣a）x的图象经过第二四象限，∴f （x）=log a x和g（x）=（l﹣a）x的图象的交点在第四象限故选：D．点评：本题考查了对数函数和一次函数的图象和性质，属于基础题8．若x0是方程e x=3﹣2x的根，则x0属于区间( )A．（﹣1，0）B．（0，）C．（，1）D．（1，2）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据题意，设函数f（x）=e x﹣（3﹣2x），判断函数f（x）在哪个区间内存在零点即可．解答：解：根据题意，设函数f（x）=e x﹣（3﹣2x）=e x+2x﹣3，∵f（﹣1）=e﹣1﹣2﹣3＜0，f（0）=e0+0﹣3=﹣2＜0，f（）=+2×﹣3=﹣2＜0，f（1）=e+2﹣3=e﹣1＞0，f（2）=e2+4﹣3=e2+1＞0，∴f（）•f（1）＜0；∴f（x）在区间（，1）内存在零点，即x0∈（，1）．故选：C．点评：本题考查了判断函数零点的应用问题，解题时应根据根的存在性定理进行解答，是基础题目．9．函数f（x）=sin（2x+）则下列结论正确的是( )A．f（x）图象关于直线x=对称B．f（x）图象关于（，0）对称C．f（x）图象向左平移个单位，得到一个偶函数图象D．f（x）在（0，）上为增函数考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：分别根据函数的对称性，单调性和周期性的性质进行判断即可得到结论．解答：解：A．f（）=sin（2×+）=sinπ=0，不是最值，∴f（x）的图象关于直线x=对称错误；B．f（）=sin（2×+）=cos≠0，∴f（x）的图象关于关于点（，0）对称，错误；C．∵f（x）图象向左平移个单位，得到函数g（x）=sin=cos2x的图象，故C正确；D．由﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z．得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．取k=0，可知f（x）在上为增函数，x超过时递减，∴选项D不正确．故选：C．点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数的对称性，周期性，单调性的性质的判断方法，属于基础题．10．在R上定义运算⊗：x⊗y=x（l﹣y），若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是( )A．（﹣∞，﹣3） B．（﹣∞，7] C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1]∪；④命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，则其中正确命题的序号为①④．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据对数函数的图象和性质，可判断①；根据函数的奇偶性，可判断②；求出函数的值域，可判断③；根据三角函数的定义，可判断④．解答：解：对于①，∵函数y=1n（x+2）的单调递增区间为（﹣2，+∞），故在区间（0，+∞）上单调递增；故①正确；对于②，y=3x+3﹣x是偶函数，y=3x﹣3﹣x是奇函数；故②错误；对于③，y=的值域为（0，]；故③错误对于④，命题“若cosx≠cosy，则x≠y”是真命题，故④正确；故正确命题的序号是：①④，故答案为：①④．点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的单调性，奇偶性，值域等知识点，难度不大，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．命题P：已知a＞0，函数y=a x在R上是减函数，命题q：方程x2+ax+1=0有两个正根，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据指数函数的单调性，可求出命题p中实数a的取值范围；根据一元二次方程根的个数与△的关系，可求出命题q：方程x2+2ax+1=0有两个正根，实数a的取值范围；综合讨论结果，可得答案．解答：解：若命题p为真，即函数y=a x在R上是减函数，所以0＜a＜1，若命题q为真，方程x2+ax+1=0有两个正根，即，则a≤﹣2，因为p或q为真命题，p且q为假命题，所以命题p与q中一真一假，当p真q假时，则满足，即0＜a＜1；当p假q真时，则满足，即a∈∅；综上所述，a的范围为{a|0＜a＜1}．点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，指数次函数的单调性，一元二次方程根的个数与△的关系，难度不大，属于基础题．17．设函数f（x ）=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx（x∈R）（1）求f（x）的最小正周期；（2）若sin（π+α）=，|α|，求f（x）的值．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由两角和与差的正弦函数公式化简函数解析式可得f（x）=sin（2x+）+，从而可求f（x）的最小正周期；（2）先求sinα=﹣，又|α|，即可求得cos，sin2，cos2，化简f（α）﹣后代入即可求值．解答：解：（1）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx=sinxcosx﹣cos（π+x）cosx=sinxcosx+cos2x=sinxcosx+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期为T==π（2）∵sin（π+α）=，∴sinα=﹣，又|α|，∴cos，sin2，cos2∴f（α）﹣=sin（2）=sin2αcos+cos2αsin=点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的周期性及其求法，属于基础题．18．在直角坐标系xoy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2）是平行四边形ABCD中的三顶点．（1）求点D的坐标；（2）求平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：（1）设D（x，y），由平行四边形的性质定理可得：，利用向量坐标运算即可得出．（2）=（1，2），=（1，﹣1）．可得，，．利用向量夹角公式可得cos∠BAD=，即可得出．解答：解：（1）设D（x，y），由平行四边形的性质定理可得：，∴（1，2）=（3﹣x，2﹣y），∴，解得，∴D（2，0）．（2）=（1，2），=（1，﹣1）．∴=1﹣2=﹣1，=，=．∴cos∠BAD==．∴平行四边形ABCD中的较小内角的余弦值为．点评：本题考查了平行四边形的性质定理、向量坐标运算、向量夹角公式、数量积运算，考查了计算能力，属于中档题．19．已知函数f（x）=在x=l处的切线与直线x﹣y+10=0平行．（1）求a的值；（2）若函数y=f（x）﹣m在区间上有两个零点，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（1）先化简f（x）==﹣1，从而求导f′（x）==a；从而得到f′（1）=a=1；解得．（2）由（1）知，f（x）=﹣1，x∈，f′（x）=；列表说明取值范围，从而解得．解答：解：（1）∵f（x）==﹣1；∴f′（x）==a；∵函数f（x）在x=l处的切线与直线x﹣y+10=0平行，∴f′（1）=a=1；故a=1；（2）由（1）知，f（x）=﹣1，x∈，f′（x）=；列表如下，x 1 （1，e） e （e，e2） e2f′（x） 1 + 0 ﹣f（x）﹣1 ↑极大值﹣1 ↓﹣1则当函数y=f（x）﹣m在区间上有两个零点时，实数m的取值范围为考点：数列的求和；等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由点（n，s n）在函数f（x）=x2﹣8x的图象上得到数列递推式S n=n2﹣8n，由a n=s n ﹣s n﹣1=求得数列的通项公式．再由数列{b n}为等比数列，b1=a5=1，b2=2求得公比，代入等比数列的通项公式求得b n；（2）把b n=2n﹣1代入c n=n•b n，然后由错位相减法求得数列的前项n和T n．解答：解：（1）∵点（n，s n）在函数f（x）=x2﹣8x的图象上，∴S n=n2﹣8n，当n=1时，a1=s1=﹣7，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣8n）﹣ =2n﹣9，而a1=﹣7满足上式，∴a n=2n﹣9．∵数列{b n}为等比数列，b1=a5=1，b2=2，∴q=2，则b n=2n﹣1；（2）c n=n•b n=n•2n﹣1，T n=c1+c2+…+c n=1•20+2•21+3•22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1．+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n．两式相减得：．∴．点评：本题考查了数列的函数特性，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．21．已知函数f（x）=x2﹣ax3，g（x）=me x﹣x﹣1，曲线y=g（x）在x=0处取得极值．（1）求m的值；（2）若a≤0，试讨论y=f（x）的单调性；（3）当a=，x＞0时，求证：g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；证明题；导数的综合应用．分析：（1）由题意求导g′（x）=me x﹣1，从而得到g′（0）=me0﹣1=0，从而解得．（2）先求函数f（x）=x2﹣ax3的定义域，求导f′（x）=2x﹣2ax2=2x（﹣ax+1）；从而判断函数的单调性；（3）当a=时，f（x）=x2﹣x3，令h（x）=g（x）﹣x3﹣=e x﹣x2﹣x﹣1，（x＞0）；从而求导证明．解答：解：（1）∵g（x）=me x﹣x﹣1，∴g′（x）=me x﹣1，又∵曲线y=g（x）在x=0处取得极值，∴g′（0）=me0﹣1=0，解得，m=1；（2）函数f（x）=x2﹣ax3的定义域为R，f′（x）=2x﹣2ax2=2x（﹣ax+1）；当a=0时，由f′（x）＞0得x＞0，由f′（x）＜0得x＜0，故y=f（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）；当a＜0时，由f′（x）＞0得x＞0或x＜，由f′（x）＜0得＜x＜0；故y=f（x）的增区间为（﹣∞，），（0，+∞），减区间为（，0）；（3）证明：当a=时，f（x）=x2﹣x3，令h（x）=g（x）﹣x3﹣=e x﹣x2﹣x﹣1，（x＞0）；h′（x）=e x﹣x﹣1，＞0，易知h（x）在（0，+∞）内单调递增，h（x）＞h（0）=0，即g（x）﹣x3＞f（x）﹣x2．点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．。