上海理工大学高等代数试卷11
高代题库试题与答案
高等代数（下）试题(10)一 填空题 （每小题三分共15分）1 A,B 为n 阶可逆矩阵， C=⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。
2 A 为n 阶矩阵， A =21，则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________.4 设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________ 。
5 数量矩阵A=aE 的 特征根 为 _______________。
二 单项选择题（每小题三分共15分）1 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n ⨯m 矩阵,则（ ） (A) 当m>n 时，必有行列式AB ≠0 （B ）当m>n 时，必有行列式AB =0 （C ）当n>m 时，必有行列式AB ≠0 （D ）当n>m 时，必有行列式AB =02设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且秩A=秩B ，则 （ ）(A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。
(B) AB 的秩与AC 的秩一定相等。
(C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。
(D) AB 的秩一定不超过C 的秩。
3 设向量空间V 中含有r 个向量，则下列结论成立的是 （ ） （ A ） r=1； （B ）r=2 ； （C ） r=m （有限数）； （D ） r=1或∞4 数域F 上 n 维向量空间V 有（ ）个基（ A ） １； （B ） n ； （C ） n!； （D ）无穷多.5 设向量空间W= {(a,2a,3a) R a ∈},则W 的基为： （ ） （A ） （ 1, 2, 3,） ； （B ） （a, a ,a ）；（C ） ( a , 2a 3a) ； （D ） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三 （15分）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-417 求X 四 （15分） 把二此型f (,x 2,x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3通过非退化线性替换化成平方和。
线性代数练习题(含答案)
， ( AB ) T
。
1 0 3 0 4 , B 0 1 4．已知矩阵 A 。 1 5 2 1 1
AB
， BA
， ( BA) T
。
2 3 1 1 1 1 5．已知三阶方阵 A 1 1 1 , B 1 2 4 。 5 1 1 1 1 0
2 AT
， 3B T
， (2 A 3B) T
。
共 22 页第 3 页
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编
1 0 3 0 1 , C 2 1 。 ,B 0 2 8．已知矩阵 A 1 3 0 1 3 1 0
Simpo PDF Merge and Split Unregistered Version - 上海理工大学继续教育学院 线性代数习题集选编
第一章
一． 填空题 1．求下列各排列的逆序数 t： 3 5 2 1 4 ，t = ；3 4 2 5 1 ，t = ；2 5 4 3 1 ，t = 。
1）求 A 1 ； 2）解矩阵方程 AX B C 。
1 4 2 0 3 1 8．已知矩阵 A B C 1 2 1 1 0 1
1）求 A 1 , B 1 ；
2）解矩阵方程 AXB C 。
2 2 3 1 3 2 1 9．已知矩阵 A 1 1 0 B 5 3 C 2 0 1 2 1 3 1
A
， A*
， A 1
。
2 7 25．已知二阶方阵 A 。 1 3
2020-2021某大学《高等代数》期末课程考试试卷合集(含答案)
【解】
（1） 方法一：数学归纳法证明 Dn = (n +1)an ． k = 1时， D1 = 2a ，
假设 k n −1时， Dk = (n +1)ak ．则当 k = n 时，
Dn = 2aDn−1 − a2Dn−2 = 2anan−1 − a2 (n −1)an−2 = (n +1)an.
方法二：递推法．
5、在
中，
是 的维数 则 在基
下的矩阵为_________________。
6. 元实二次型
是正定的充分必要条件是它的正惯
性指数等于___________________.
7.对于线性空间 V 中向量
,若在数域 P 中有 个
不全为零的数
,使
,则向量
称为_________.
8.相似矩阵的特征值__________.
（D） 1 + 22 ,2 + 23,3 + 21 . 3 线性方程组 Ax = b 的系数矩阵式 45 矩阵，且 A 的行向量线性无关，则错误的命题是
（ D ）.
(A) 齐次方程组 AT x = 0 只有零解；
（B）齐次方程组 AT Ax = 0 必有非零解； (C) 对任意的 b ，方程组 Ax = b 必有无穷多解； (D) 对任意的 b ，方程组 AT x = b 必有唯一解.
考试日期：
考试时间：120 分钟
试卷总分：100 分
一、填空（共 50 分，每小题 5 分）
1、设矩阵
与
相似，则
。
2、已知
是矩阵
的一个特征向量，则
特征向量 对应的特征值
。
3、 满足________时，二次型
2021-2022年部分高校高等代数考研真题
A
=
1 0 2
−1 1 3
−1 0 1
2 0 −1
1 −2 −2 −1
求 A 的包含 ε1 的最小的不变子空间.
3 1 −1 3. 求 A = −1 3 1 的若尔当标准形及有理标准形.
022
二、证明题.
1. 已知向量组 α1, α2, · · · , αr 线性无关, 且可由向量组 β1, β2, · · · , βs 线性表 出, 证明: 存在某个向量 βj (1 ≤ j ≤ s), 使得向量组 βj, α2, · · · , αr 线性无关.
1 2
1 1
c −2 0
112
(1) 若 A 有特征值 4, 1, −2 , 求 a, b, c. (2) 设 α = (1, k, 1)T 是 B−1 的一个特征向量, 求 k .
五、(15 分) 设 A, B 都是 n 阶实对称矩阵, 且 A 正定, 证明: AB 的特征值 都是实数.
六、(15 分) 设 σ 是 n 维线性空间 V 上的一个线性变换, 证明: σ 的秩 +σ 的零度 = n.
1
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
北京交通大学 2022 年高等代数考研真题
一、填空题 (每题 3 分)
1. 2n 级排列 13 · · · (2n − 1)(2n)(2n − 2) · · · 42 的逆序数为
.
2. 设 4 阶方阵 A, B 的伴随矩阵为 A∗, B∗, 且它们的秩为 r(A) = 3, r(B) =
1
2x1 3x1
+ 3x2 + 5x2
+ (a + 2)x3 + 4x4 = b + 3 + x3 + (a + 8)x4 = 5
上海理工大学高数期末复习试题
释 疑 解 难（第七章）（第七章）一、求垂直于平面0=z 且通过点)1,1,1(0-M 到直线îíì==+-001:x z y L 垂线的平垂线的平 面方程。
面方程。
解：解：直线L 的方向向量}1,1,0{--=l，过点0M 与直线L 的平面N 的方程的方程 0)1()1(=--+-z y ，即0=+z y解方程组ïîïíì=+==+-0001z y x z y ，得直线L 与平面N 的交点)21,21,0(1-M 由题意，设所求平面方程为0=++D By Ax ，将0M 、1M 坐标代入，得坐标代入，得ïîïíì=+-=+-02D B D B A ，解得D A =，D B 2=，所求的平面方程为：012=++y x 。
二、证明两直线二、证明两直线231212-=-+=-z y x 与112111-=+=--z y x共面，并求该平面方程。
共面，并求该平面方程。
解：解：记)3,2,2(1-M ，}2,1,1{1-=l ，)1,1,1(2-M ，}1,2,1{2-=l则}2,1,1{21--=M M∵0211121211)(2121=----=×´M M l l ∴两直线共面。
∴两直线共面。
取}1,3,5{21--=´=l l n则所求平面方程为则所求平面方程为0)3()2(3)2(5=-++---z y x ，即0135=--+z y x 。
三、求平面02122=++-z y x 与05247=-+z x 所成二面角的平分面方程。
所成二面角的平分面方程。
解：解：过两平面交线的平面束方程过两平面交线的平面束方程0)5247(2122=-++++-z x z y x l ，即，即0)521()242(2)71(=-+++-+l l l z y x其法向量}242,2,71{l l +-+=n，已知两平面法向量分别是，已知两平面法向量分别是}2,2,1{1-=n 与}24,0,7{2=n由题意知||||||||2211n n n n n n n n ×±=×，解得253±=l 所以所求平面方程为所以所求平面方程为025*******=++-z y x 和027011252=+--z y x 。
上海理工大学专升本入学考试高等数学试题
一、 选择题（每题 3 分，共 15 分）
1.
lim
x 1
x
____C_____。
x 2x 1
A. 0
B.
C. 不存在
1
D. e 2
2
1. 0 | x 1 | dx ___1____
2. f (x) 在 [a,b] 上 连 续 是 f (x) 在 [a,b] 上可积的____充分_____条件。
3. 方 程 xy 2x2 y x3 y 4 y sin x 是_____三_____阶微分方程。
2. 两 个 无 穷 大 的 和 一 定 是
___D____。
A. 无 穷 大 量
B. 常 数
C. 没有极限
D. 上述都不对
4. 平行于向量 m {6,7,6} 的单位向
量
是
_
6 11
,
7 11
连续可导，求 2 z 。 xy
令
x r cos
y
r
s in
原式
y
rdrd 1
2 d
1
1
d
(1
r
2
)
ln(1 r 2 ) 1
ln
D 1 r2 2 0
0 1 r2
4
04
x
0
1
z f 2x x
2 z 2xf (2 y) 4xyf xy
C. 无穷间断点
D. 震荡间断点
二、 填空题（每空 3 分，共 15 分）
三、 计算题（每题 6 分，共 36 分）
2x
1. lim 0 ln(1 t)dt x0 1 cosx
上海理工大学高数试卷_A1_1
五. （6 分）计算 I n 六. （8 分）设
0 x n e x dx .
xeห้องสมุดไป่ตู้ x , f x 1 , 4 x2
2
x0 2 x0
, 计算1 f x 3dx .
4
七. （8 分）求由抛物线 y 2 x , y x 围成的平面图形的面积，以及此图形绕 x 轴旋转而成
2 2
的立体体积. 八. （6 分）若 f x 在 a, b 上连续，在 a, b 内可导，且 f a f b 0 ， 求证：存在一点 x0 a, b ，使 f x0 f x0 0 .
2
8. 设
f x x a x , x 在x a 处 连续，求f a .
x0
,
f x x 二. （8 分）设 f x 在 , 有连续的二阶导数， f 0 0, g x f 0
上海理工大学
第一学期《高等数学 A》试卷-1
编号 一 二 三 四 五 六 七 八
姓 名
得分 阅卷人 一. 计算下列各题.（48 分） 1. lim (csc x ).
x0
学 号
班 级
任 课 教 师
装 订 线 外 不 要 答 题 ， 装 订 线 内 不 要 写 姓 名 、 学 号 、 班 级 、 任 课 老 师 ， 违 者 试 卷 按
0
1 x
2. .
y ln( x 1 x 2 ) ,求 y 和 y .
y 1 xe y ，求
dy . dx
3.
4.
2
1
x
1 3 x dx .
2
11-12(2)高等代数与解析几何试卷(A)参考答案及评分标准
中国计量学院2011 ~ 2012学年第 2 学期《高等代数》(2)课程试卷（A ）参考答案及评分标准一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.D2.B3.D4.C5.A二、填空题(每小题3分，共15分)1.1111⎛⎫ ⎪-⎝⎭；2. __1，-3__；3.100010011⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭； 4. 20x y +-= 5.222x y pz +=．三、计算题1．(12分)设A 是3P 中的线性变换，且A 在基)1,1,1(1-=η,)1,0,1(2-=η,)1,1,0(3=η下的矩阵为101110121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭求A 在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵.解 因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011， 所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，-------------4分故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211 -------------12分2．(12分)求λ矩阵222211λλλλλλλλλλ()A ⎛⎫-⎪=- ⎪ ⎪+-⎝⎭的标准形、不变因子、行列式因子、初等因子．解 对-λ矩阵作初等变换,有A =)(λ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--222211λλλλλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--222101λλλλλλ→ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--)1(00001λλλλ → )()1(0000001λλλλD =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+ 标准形为: ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=)1(000001)(λλλλD ；----------------------6分 不变因子为：)1()(,)(,1)(321+===λλλλλλd d d ；----------------------8分 行列式因子为：)1()(,)(,1)(2321+===λλλλλλD D D ；----------------------10分 初等因子为：1,,2+λλλ.----------------------12分3．(12分) 设二次型()222123123121323,,22448f x x x x x x x x x x x x =---++ ，求一正交变换 x Ty =，将二次型化为标准形. 解 二次型对应的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=242422221A ，----------------------2分且A 的特征多项式为 2)2)(7(-+=-λλλA E ，特征值为2,7321==-=λλλ．---------------------4分 相应的特征向量为 ()()()1,0,2,0,1,2,2,2,1321=-=-=ααα，---------------------6分正交化,可得()()⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=-=1,54,52,0,1,2,2,2,1321βββ， 再单位化,有⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=535,534,532,0,51,52,32,32,31321ηηη， ----------------------8分令X=TY ，其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=53503253451325325231T ，----------------------10分 则 232221'227y y y AX X ++-=．----------------------12分4.(12分) 求顶点在原点，准线为01,0122=+-=+-z y z x 的锥面方程. 解 设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为：z Zy Y x X ==----------------------3分 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,， -----------6分 将它们代入准线方程，并消去参数t ，得：0)()(222=-+--y z y z z x即：0222=-+z y x此为所要求的锥面方程. ----------------------12分5. (12分)求过双曲抛物面z y x =-41622上的点（2,1,0）的直母线方程. 解：双曲抛物面z y x =-41622的两族直母线为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x u uy x )24(24 及 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-z yx v v yx 24(24----------------------6分将点（2,1,0）分别代入上面两族直母线的方程，求得,1==v u----------------------10分因此，所求的直母线方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+z y x yx 24124 及 ⎪⎩⎪⎨⎧==-024z y x ----------------------12分四、证明题((每小题5分，共10分)1.在2R 中，定义变换(,)(2,2)x y x y x y σ=++． （1）证明：σ是2R 的线性变换.（2）取2R 的一组基：12(1,0),(0,1)εε==，求σ的值域2()σR 及2()σR 的一组基.证明(1)设1221x x A y y σξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，σ是2R 到R 的映射，且2,,k αβ∀=∈∀∈R R ，有()()k l A k l kA lA σαβαβαβ+=+=+，所以σ是线性变换；-----------------3分(2) 对于2R 的基：12(1,0),(0,1)εε==，有12()(1,2),()(2,1)σεσε==，易知12(),()σεσε线性无关，于是它们构成2()σR 的一组基，且值域为 12()((),())((1,2),(2,1))L L σσεσε==3R .-----------------5分 2.欧氏空间V 中的线性变换A 称为反对称的，如果对任意α，β∈V ，有（A α，β）= —（α，A β）． 证明：如果V 1是反对称线性变换A —子空间，则V 1⊥也是A —子空间．证明 任取∈αV 1⊥，可证A ∈αV 1⊥，即A ∈αV 1，事实上，任取β∈V 1，由于V 1是A 子空间，因此A β1V ∈，而∈αV 1⊥，故（α，A β）=0．----------------------3分再由题设，A 是反对称的，知（A α，β）= —（α，A β）=0，----------------------4分由β的任意性，即证A ∈αV 1 ．从而V 1⊥也是A —子空间．----------------------5分。
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上海理工大学
研究生试题
/学年第 1 学期
课程名称：高等代数
教师签章：年月日教研室主任审查意见：
签章：年月日1.编号栏由研究生部填写。
上海理工大学研究生课程试题*
/ 学年第 1学期 考试课程 高等代数 学 号 姓 名 得 分
一、已知二次型)0(2332),,(322
32221321>+++=a x ax x x x x x x f 通过正交变换化为标准形
2
3222152y y y f ++=，求a 的值及所作的正交变换．（15分）
二、（1）已知5级λ－矩阵A(λ)的各级行列式因子：
3212345()()()1,
()(1),()(1)D D D D D λλλλλλλλλ====-=-
求A(λ)的不变因子和A(λ)的标准形；
（2）设n n
A C
⨯∈，若E A λ-的标准形为：
12()()()n d d d λλλ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
求A 的特征多项式E A λ-和A 的最小多项式.（16分）
三、设n εεε,,,21 是欧氏空间n
R 的一组标准正交基，k ααα,,,21 是n
R 中的任k 个向量，试证k ααα,,,21 为标准正交向量组的充要条件是
⎩
⎨⎧=≠=∑=j i j
i n
s s
j s i ,1,0),)(,(1εαεα （12分）
四、3
P 中，
线性变换σ关于基)1,1,1(1-=α，)1,0,1(2-=α，
)1,1,0(3=α的矩阵为⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=121011101A （1）求σ关于标准基321,,εεε的矩阵；
（2）设3216αααα-+=,321εεεβ+-=,求)(),(βσασ关于基},,{321ααα的坐标. （15分）
五、设σ是3
R 的线性变换,)2,,2(),,(32132321321x x x x x x x x x x x -++-+=σ
（1）求)Im(σ的一个基和维数；
（2）求)(σKer 的一个基和维数．（15分）
六、在线性空间P 4中，求由基1234,,,αααα到基1234,,,ββββ的过渡矩阵，并求(1,4,2,3)α=在基1234,,,αααα下的坐标，其中
1234(1,0,0,0),(4,1,0,0),(3,2,1,0),(2,3,2,1)αααα===-=-
*
注：考题全部写在框内，不要超出边界。
内容一律用黑色墨水书写或计算机打印，以便复印。
1234(1,1,8,3),(0,3,7,2),(1,1,6,2),(1,4,1,1).ββββ====---（12分）
七、设)(),(x g x f 是数域F 上的互素的多项式，A 是F 上的n 阶矩阵，
证明：齐次线性方程组0)()(=X A g A f 的解空间是0)(=X A f 的解空间与0)(=X A g 的解空间的直和. （15分）。