第二章：高斯光学1
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高斯光学
2015-3-9
对于近轴光而言，AO= - l ，OA’= l ’, tgu = u, tgu’ = u’
n i h -u A -l O E i’ φ r C u’ n’
A’
l’
有： l u = l’ u’ = h
将上式代入 nu( l r ) n' u'( l' r )，消去 l , l’ ,整理后得：
n sin I ' sin I n' U' U I I'
sin I ' L' r( 1 ) sinU '
上述四个公式就是球面折射光路计算公式，当 n, n’, r 和 L, U 已知时，可依次求出U’ 和 L’。
2015-3-9
无限远轴上物点发出的光线
h 是轴上物点A发出的一条入射光线的投射高度
A
－U －L
h
由三角关系：
h tgU L
2015-3-9
当 L - 即物点向无限远处左移时，由于任何 光学系统口径有限，所以此时 U 0
h
－L
※ 即无限远轴上物点发出的光线与光轴平行
2015-3-9
当物点位于光轴上无限远处时，可以认为它发出的 光是平行于光轴的平行光，此时有 L＝－∞，U＝0
7
（二）线段
1. 沿轴线段：从起点（原点）到终点的方向与光 线传播方向相同，为正；反之为负。 即线段的原点为起点，向右为正，向左为负。
原点
+
-
原点
2015-3-9
8
※ 原点规定：
（1）曲率半径 r ,以球面顶点O为原点，球 心C在右为正，在左为负。
E A C
O
应用光学，工程光学经典习题，例题汇总
（2）角度：一律以锐角来度量，规定顺时针转为正，逆时针转为负。 U、U ' ——由光轴起转到光线；
I、I ' ——由光线起转到法线；
——由光轴起转到法线。
6. 近轴光路计算公式（6 个）
答： i lru r
l'
r
ri ' u'
i'
n n'
i
u 2 u1'
u' u i i' l2 l1' d1
（1）垂轴放大倍率为多少？
（2）照相胶片离照相物镜像方焦点 F 多远？
解：根据题意，鱼先经水面成像，由公式（2-9）为
1 l'
1.33 1000mm
0
解之得
l' 751.88mm
然后再被照相物镜成像，其 x 值为
定的介质来 说，是一个和入射角无关的常数 n1 sin I1 n1 sin I 2 。
2、如何区分实物空间、虚物空间以及实像空间和虚像空间？是否可 按照空间位置来划分物空间和像空间？
答：实物空间：光学系统第一个曲面前的空间。虚物空间：光学系统第一个曲面 后的空间。实像空间：光学系统最后一个曲面后的空间。虚像空间：光学系统最 后一个曲面前的空间。物空间和像空间在空间都是可以无限扩展的，不能按照空 间进行划分。
统的组合焦距为： f ' 80mm
求像的方向有两种：
第一种方法：先对第一透镜成像，再对第二透镜成像。
图 1-23
首先对第一透镜成像，如图 1-23 所示，l1 50mm, f1' 100mm, 根据高斯成像公
式求得：
11 l1' l1
1 f1'
1 l1'
I、I ' ——由光线起转到法线；
——由光轴起转到法线。
6. 近轴光路计算公式（6 个）
答： i lru r
l'
r
ri ' u'
i'
n n'
i
u 2 u1'
u' u i i' l2 l1' d1
（1）垂轴放大倍率为多少？
（2）照相胶片离照相物镜像方焦点 F 多远？
解：根据题意，鱼先经水面成像，由公式（2-9）为
1 l'
1.33 1000mm
0
解之得
l' 751.88mm
然后再被照相物镜成像，其 x 值为
定的介质来 说，是一个和入射角无关的常数 n1 sin I1 n1 sin I 2 。
2、如何区分实物空间、虚物空间以及实像空间和虚像空间？是否可 按照空间位置来划分物空间和像空间？
答：实物空间：光学系统第一个曲面前的空间。虚物空间：光学系统第一个曲面 后的空间。实像空间：光学系统最后一个曲面后的空间。虚像空间：光学系统最 后一个曲面前的空间。物空间和像空间在空间都是可以无限扩展的，不能按照空 间进行划分。
统的组合焦距为： f ' 80mm
求像的方向有两种：
第一种方法：先对第一透镜成像，再对第二透镜成像。
图 1-23
首先对第一透镜成像，如图 1-23 所示，l1 50mm, f1' 100mm, 根据高斯成像公
式求得：
11 l1' l1
1 f1'
1 l1'
激光原理第二章_华中科技大学课件
2.1光线的传播
• 双周期透镜波导的光线稳定条件 • 当θ 为实数时，光线与光轴的距离在rmax和-rmax之间振荡； 即光线传播被约束在透镜孔径形成的波导之中，不会发生 溢出。 • θ 为实数等价于|b|≤1，即：
d d d2 1 1 1 f1 f 2 2 f1 f 2
d d 0 (1 )(1 ) 1 2 f1 2 f2
2.1光线的传播
• 在腔内经过N次往返之后的光线参数为：
rn n r0 T n 0
其中Tn为光线矩阵，可以按照矩阵理论求出：
A Bn 1 A sin sin(n 1) T C D C sin sin 其中： arccos A D / 2
1
rt,rt' ro,ro' ri,ri'
d
ro rt ro' rt rt ' f
ro ri dri ' ro' ri ( d 1)ri ' f f
1
2f 3
1 A B 1 C D f
r 3, 3
r1, 1
1 0 1 L 1 0 1 L r1 r5 2 2 2d 0 1 0 1 1 1 1 A 1 5 R1 R2 R2
2
2
2
d dr ds ds
•该式为决定光线在双周期透镜波导内传播规律的差分方程， 等价于微分方程：
r" Ar 0
•该方程具有 r ( z ) r (0) exp( i A z ) 的解，用 rs 作为试探解对差分方程进行试探，可得到：
应用光学第二版胡玉禧课件第二章
−l
β =
y' y
y' nl ' = β = y n ' l （2.15） -------垂轴放大率仅取决于共轭面的位置。
l'
第二章
高斯光学
四、近轴光学公式的实际意义 1、作为衡量光学系统成像质量的标准； 2、近似确定光学系统的成像尺寸。 例1.(习题1）一根长500mm， n =1.5的玻璃棒，两端面为凸 球面，半径分别为50mm和100mm，高1mm的物体位于左端 球面顶点之前200mm处，
图2.11 过节点的光线
第二章
高斯光学
B A′ A F H H′ F′ B′
§2-5 由基面、基点求理想像
一、作图法求像 1、典型光线及性质 2、用作图法求光学系统的理想像 1) 轴外 点B或 一垂 轴线 段AB 的像 （图2.14-5）
B′ B A′ F A N H M M ′ N′ H′ F′
M 2 ' A2 ' // N 2 ' F2 '
图（d）：为（a）、（b）、（c）的总结果图。
B′ A2 F2 H2 H F1′ 2′ A2′ F2′ A1′ A1 F1 M1′
M1 H1 F2
M2
M2′ A2′ F ′ 2
H1′ H2 F1′ 2′ H
图 (c)
图 (d )
第二章
二、解析法求像
高斯光学
3、作图注意几点(P.37）
图2. 16
作图法求轴上点的像
第二章
高斯光学
图（b）：同2）中法一；
轴上点经两个光组的像 图（a）：作A1M1 ；
M1
A F1 F2 H1 H1′H2 F ′H2′ 1 F2′ A1
应用光学(第三讲) 第二章 高斯高学 - 厦门大学
(1) ( 2) (3)
u2 u`1 0.068
l2 l `1 d1 147 .0588 5 142 .0588
l2 r2 142 .0588 10 i2 u2 0.068 1.034 r2 10 n2 1.5163 i2 ` i2 (1.034 ) 1.568 n2 ` 1.0
• 2、焦点： • 像方焦点：无限远 轴上物点与所对应 的像点F`为像方焦 点； • 物方焦点：无限远 轴上像点所对应的 物点F； • 物/像方焦平面 • 性质： • A、平行于光轴入射 的任意一光线，其 共轭光线一定通过 焦点F`； • B、和光轴成一定夹 角的平行光束，通 过光学系统后，必 交于像方焦平面上 同一点。
L`1 r1
l `1 r1
U `1 U1 I1 I `1
u`1 u1 i1 i`1
图2-26
• 在计算中，平行于光轴的入射光线的投射高度h1可 以任意取，因为公式中其它参数与此成比例。因此 计算得到的像方截距l`不受h1的影响。 • 接下来应用转面公式来计算下一个球面的的像方参 数，一直到第K个面。 • 第K个面的像方截距求出后，就可得到像方的焦点F` （用与第K面顶点距离来表示，此值不是焦距）。 • 根据几何关系则可求得像方焦距的大小。从而可得 到像方主点的位置H`（以F`为基点）。
• 前面物像关系的解法是图解法，图解法会 由于作图的准确因素造成一定的误差。 • 精确的解法是解析的方法来求出物像关系。 • 按照所选坐标原点的不同，有两种物像关 系计算式： • 以焦点为原点的——牛顿公式 • 以主点为原点的——高斯公式
牛顿公式
A • 如图所示： • x-以物方焦点F为 原点到物点的距离， 由左向右为正，反 B 之为负； • x`-以像方焦点F` 为原点，到像点的 距离，由左向右为 正，反之为负。 • 物高和像高用y,y` 表示
第二章：应用光学——高斯光学
高斯光学的历史背景
创始人：卡尔·弗里德里希·高斯 形成时间：19世纪初 目的：研究光的传播和成像 应用领域：光学仪器、光学设计、光学测量等
高斯光学的基本原理
基本概念：高斯光学是研究光在均匀介质中的传播和聚焦的学科 基本原理：光的传播遵循高斯定理即光在均匀介质中的传播速度与介质的折射率成正比 应用领域：高斯光学广泛应用于光学仪器的设计和制造如显微镜、望远镜等 发展历程：高斯光学起源于19世纪初经过不断发展和完善已成为光学领域的重要分支
高斯光束的变换
变换原理：基于高斯光束的 性质和光学原理
变换类型：包括平移、旋转、 缩放等
变换应用：在光学测量、成 像、通信等领域有广泛应用
变换效果：可以实现对高斯 光束的精确控制和调整提高
光学系统的性能和效率。
高斯光束的耦合与分离
耦合：将两个或多个高斯光束合并为一个光束 分离：将高斯光束分解为两个或多个光束 应用：在光学通信、光学测量、光学成像等领域有广泛应用 技术：包括光束整形、光束耦合、光束分离等技术
03
高斯光学的应用
高斯光束的传输
光束传输：高斯光束在传输过程中保持其形状和强度不变 应用领域：高斯光束广泛应用于激光通信、激光加工、激光医疗等领域 传输特性：高斯光束具有较好的传输特性如低发散、低损耗等 传输距离：高斯光束的传输距离取决于其功率、波长和传输介质等因素
高斯光束的聚焦
聚焦原理：高斯光束在传播过程中保持其形状和强度不变 应用领域：激光切割、焊接、打标等 聚焦方法：使用透镜或反射镜进行聚焦 聚焦效果：高斯光束的聚焦效果取决于其形状和强度
感谢观看
汇报人：
实验结果：高斯光束具有很好的聚焦特性能量分布均匀符合高斯分布
实验结论：高斯光束在光学实验和实际应用中具有重要价值可用于激光加工、光学测量等领 域。
理想光学系统
y tan L
tan L ★显微镜视角放大率 tan f1 f 2
2-6 透镜
一、透镜的分类
分类： 球面透镜（工艺简单） 非球面透镜（像质更好，工艺复杂）
d > tm 凸透镜 （双凸，平凸，月凸） d < tm 凹透镜 （双凹，平凹，月凹）
d
tm
思考：平行平板对光线没有汇聚或发散作用， 但若整体弯曲后呢？
二、透镜参数计算
透镜是由两个折射球面组成的光组。对于单个折射球面：
n' n n' n 由： l' l r
n
F
Q Q’
n’
F’
n’ r f’ n’ n 得： nr f n’ n
H H’ O
-f
r f’
C
结论：单折射球面在近轴区是理想系统，两主面重合。 提示：透镜在近轴区也是理想系统。透镜的理想系统模型， 是两折射球面理想光组组合的等效系统。
d f1 ' f 2
lF '
lH
xH '
蓝△相似 红△相似
f ' Q' H ' f2 ' H2 ' M 2 '
f1 ' M 1 ' H1 ' F2 N 2
f ' f1 ' f2 '
同理
f1 ' f 2 ' f ' f1 f 2 f
由图可知： F1’和 F’是第二光组的一对共轭点； x F 和 F2 是第一光组的一对共轭点。 x '
★一对主点、一对主平面； （共轭）
★一对焦点、一对焦平面； （非共轭，f和f ’不一定相 等，说焦距一般指f ’） ★一对节点、一对节平面； 理想系统的焦点、主点确 定后，焦距也就随之确定， 该理想系统的模型也就完全 确定了，从而可方便地建立 理想光学系统图解法和解析 法求像理论。
tan L ★显微镜视角放大率 tan f1 f 2
2-6 透镜
一、透镜的分类
分类： 球面透镜（工艺简单） 非球面透镜（像质更好，工艺复杂）
d > tm 凸透镜 （双凸，平凸，月凸） d < tm 凹透镜 （双凹，平凹，月凹）
d
tm
思考：平行平板对光线没有汇聚或发散作用， 但若整体弯曲后呢？
二、透镜参数计算
透镜是由两个折射球面组成的光组。对于单个折射球面：
n' n n' n 由： l' l r
n
F
Q Q’
n’
F’
n’ r f’ n’ n 得： nr f n’ n
H H’ O
-f
r f’
C
结论：单折射球面在近轴区是理想系统，两主面重合。 提示：透镜在近轴区也是理想系统。透镜的理想系统模型， 是两折射球面理想光组组合的等效系统。
d f1 ' f 2
lF '
lH
xH '
蓝△相似 红△相似
f ' Q' H ' f2 ' H2 ' M 2 '
f1 ' M 1 ' H1 ' F2 N 2
f ' f1 ' f2 '
同理
f1 ' f 2 ' f ' f1 f 2 f
由图可知： F1’和 F’是第二光组的一对共轭点； x F 和 F2 是第一光组的一对共轭点。 x '
★一对主点、一对主平面； （共轭）
★一对焦点、一对焦平面； （非共轭，f和f ’不一定相 等，说焦距一般指f ’） ★一对节点、一对节平面； 理想系统的焦点、主点确 定后，焦距也就随之确定， 该理想系统的模型也就完全 确定了，从而可方便地建立 理想光学系统图解法和解析 法求像理论。
应用光学各章知识点归纳
第一章几何光学基本定律与成像概念波面：某一时刻其振动位相相同的点所构成的等相位面称为波阵面, 为光波波阵面的传播，与波面对应的法线束就是 光束。
波前：某一瞬间波动所到达的位置。
光线的四个传播定律：1）直线传播定律： 在各向冋性的均匀透明介质中，光沿直线传播，相关自然现象有：日月食，小孔成像等。
2）独立传播定律： 从不同的光源发出的互相独立的光线以不同方向相交于空间介质中 的某点时彼此不影响，各光线独立传播。
3） 反射定律：入射光线、法线和反射光线在同一平面内，入射光线和反射光线在法线 的两侧，反射角等于入射角。
4） 折射定律：入射光线、法线和折射光线在同一平面内；入射光线和折射光线在法线 的两侧，入射角和折射角正弦之比等于折射光线所在的介质与入射光线所在的介质的折射率（折射）光线的方向射到媒质表面，必定会逆着原来的入射方 向反射（折射）出媒质的性质。
光程：光在介质中传播的几何路程 S 和介质折射率n 的乘积。
各向同性介质： 光学介质的光学性质不随方向而改变。
各向异性介质：单晶体（双折射现象）马吕斯定律：光束在各向同性的均匀介质中传播时， 始终保持着与波面的正交性，并且入射波面与出射波面对应点之间的光程均为定值。
全反射临界角：C = arcsin 全反射条件：1） 光线从光密介质向光疏介质入射。
2） 入射角大于临界角。
共轴光学系统： 光学系统中各个光学兀件表面曲率中心在一条直线上。
物点/像点：物/像光束的交点。
实物/实像点： 实际光线的汇聚点。
虚物/虚像点： 由光线延长线构成的成像点。
共轭：物经过光学系统后与像的对应关系。
（ A , A'的对称性）完善成像：任何一个物点发出的全部光线，通过光学系统后，仍然聚交于同一点。
每一个物之比，即sin Isin In' n简称波面。
光的传播即 光路可逆：光沿着原来的反射 费马原理： 光总是沿光程为极小，极大，或常量的路径传播。
n2ni点都对应唯一的像点。
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n n n n ,可得 l' l r
i
1 1 2 l' l r
-U A C A´
-i´
-U´ O
-r
-L
-L´
3． 球面反射镜的放大率公式 将n = n 代入下式
y nl y nl
可得
y l y l
16
第二章 高斯光学
本章是本课程的理论基础
也是本课程的重点。
理想光学系统最早由高斯提出， 故通常把理想光学系统的理论称 为高斯光学
§2.1 近轴光学系统的光路计算
• 大多数光学系统都是由折、反射球面或
平面组成的共轴球面光学系统
• 折射球面系统具有普遍意义 • 所以首先讨论单个折射球面折射的光路
计算问题，再过渡到整个光学系统
-L
L′
4
• 反射时：
可得
I I
n sin I n sin I
由折射定律公式
n n
故可以把反射看成 n n 的折射。 结论：P26:
5
二 单个折射球面的光路计算
在给定单个折射球面 的结构参量 n、n 和 r 时，由已知入射光 线坐标 L 和U，计算 折射后出射光线的坐 A 标L 和U
在ΔAEC中，应用正弦定 理有 sin(U ) n -U O D r I E h I′
n´ U′ C A′
-L
L′
Lr sin U r n sin I sin I 在E点，由折射定律得 n
或
r
sin(180 I ) sin I rL rL
sin I
（2-1） （2-2）
y ' nl ' y n 'l
(2 15)
13
当求得一对共轭点的截距l 和l 后，可求得通过 该共轭点的一对共轭面上的垂轴放大率。
仅和共轭面位置有关。
y ' nl ' y n 'l
根据 确定物体的成像特性(即像的正倒，虚实，放大缩小）： yຫໍສະໝຸດ 和y同号，正像1） >0
n n n n l l r
（2-12） （2-14） （1-13）
n n nu nu h r
一个公式的三种不同表示形式，便于不同场合的应用
11
• 例（练习2）:一直径为400mm，n=1.5的玻璃球中有两个小
气泡，一个位于球心，另一个位于圆心右侧1/2半径处。 沿两气泡连线方向在球右边观察，问看到气泡在何处？若 在水中观察，看到气泡又在何处？（水n=1.33）
起点——沿轴:以顶点O为原点， －L，r，L′
角度：方向——顺时针为正
起始轴——
光线与光轴的夹角：光轴转向光线 -U，U′， 光线与法线的夹角：光线转向法线 I，I′
光轴与法线的夹角：光轴转向法线 E
n -U A O D r I h 注：几何图形上所有值标注绝对值 I′
n´ U′ C
2
一 基本概念和符号规则
1.基本概念
• 子午面：通过物点和光轴的截面 • 一条光线，可以用两个量来确定位置：截距和孔径角
物方截距：L＝OA，像方截距：L′=OA′
物方孔径角:U，像方孔径角：U′
入射光线
E n
I
h
I′
n´
U′ C L′
出射光线
-U
A -L O D r
3
2. 符号规则：
线段:方向——自左向右为正,由下向上为正
由图可知
I U I U
6
n -U A
I
E h I′
n´ U′
C L′ A′
O -L
D
r
所以
U I U I
（2-3）
同样，在三角形A'EC中应用正弦定理有
sin U sin I r L r sin I L r r 化简后得像方截距 sin U
• -200mm,-80mm,-200mm,-93.99mm
12
4.近轴区物像大小关系式
E
• 垂轴放大率
B
n
n´ -U
BC对于该球面来 说也是光轴，称 为辅轴
AB＝y，AB=-y
U′
O
A′ B′
A -l
r
l′
C
y' y
∆ABC 和∆ABC相似 得
－y ' l ' r y l r
的光线都离光轴很近，这样的光线称为近轴光
• 光轴附近的一个小区域称为近轴区。
研究近轴区的物象关系的光学称为近轴光学。
在近轴几何光学中，经常用到以下近似公式（一 级泰勒展开）
sinU U tanU
cosU 1
9
3.近轴光线经折射球面计算的其他形式
1 1 1 1 ( ) Q n( ) n r l r l
（2-4）
（2-1）～（2-4）式就是计算光线光路的基本公式。 给出一组L、U，可计算L′、U′
7
第二节：近轴光路计算
由公式可知，L′是U的函数。不同 U 的光线经折射 后不能相交于一点，
∴单个折射球面对轴上物点成像是不完善的，这种 成像缺陷称为像差。
8
• 1.近轴光：
• 如果限制U角在一个很小的范围内，即从A点发出
l′和l同号，球面同侧，虚实相反 y′和y异号，倒像
2） <0
l′和l异号，球面两侧，虚实相同
3） 当 > 1，为放大像；当| < 1，为缩小像
球面反射镜
在折射面的公式中，只要使n = n，便可直接得到反射 球面的相应公式。 1．球面反射镜的物象位置公式 将n = n 代入（2-13）式