2015年江苏高考南通密卷三(南通市数学学科基地命题)
2015届江苏高考南通市高考模拟密卷(八)(南通市数学学科基地命题)
(第3题图)2015届江苏高考南通市高考模拟密卷（八）(南通市数学学科基地命题) 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1.若复数z 满足（1+i ）z =2 (i 为虚数单位)，则z = ．2.已知集合A ＝{0，1，2}，则满足A ∪B ＝{0，1，2}的集合B 的个数为 ．3.某时段内共有100辆汽车经过某一雷达测速区域，将测得的汽车时速绘制成如图所示的频率分布直方图．根据图形推断，该时段时速超过50km/h4.右图是一个算法流程图，若输入的x 的值为1，则输出S 的值为 ．5.设函数2()log (5)f x x =-(05)x <<，则()1f x <的概率为 ．6.在OA 为边，OB 为对角线的矩形中，()3,1OA =-uur ，()2,OB k =-uu u r，则实数k = ． 7.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，双曲线C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，AB =C 的实轴长为 ．8.已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ．9.已知数列{}n a 为等比数列，前n 项和为n S ，若12a a <，2510a a =，且13S 、22S 、3S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a = ．10.若函数2()2f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 . 11.已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，F 是棱BC 的中点，M 是线段1A F 上的 动点，则△1MDD 与△1MCC 的面积和的最小值是 ． 12.函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ≤0时，()122x f x x a =-+，则函数()f x 的零点个数是 ．13.设正实数x ，y 满足4x yxy x y-=+，则y 的最大值是 ．(第4题图)14.在直角坐标中xOy ，圆1C ：224x y +=，圆2C ：2216x y +=，点()1,0M ，动点P 、Q 分别在圆1C 和圆2C 上，满足MP MQ ⊥，则线段PQ 的取值范围是 ． 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a cos B ＝c cos B ＋b cos C ．（1）求角B 的大小；（2）设向量m =(cos A ，cos 2A )，n =(12，－5)，求当⋅m n 取最大值时，tan C 的值． 16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，ADC ∠=90°，12BC AD =，PA PD =，,M N 分别为AD 和PC 的中点．（1）求证：//PA 平面MNB ；（2）求证：平面PAD ⊥平面PMB ．P AD M N B (第16题图)17．（本小题满分14分）轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC 是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1 m 的平台上E 处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE(抛物线CDE 与抛物线ABC 在同一平面内)，D 为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x 轴在地面上，助跑道一端点A(0,4)，另一端点C(3,1)，点B(2,0)，单位：m. (1)求助跑道所在的抛物线方程；(2)若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C 处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4 m 到6 m 之间(包括4 m 和6 m)，试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．(注：飞行距离指点C 与点E 的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值)18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>与直线()0y kx k =>相交于,A B 两点（从左至右），过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ，直线AC 交椭圆于另一点D ．（12，点B 的坐标为)2,1，求椭圆的方程； （2）若以AD 为直径的圆恰好经过点B ，求椭圆的离心率．xyDABOC(第18题图)19．（本小题满分16分）数列{}n a 的首项为a （0a ≠），前n 项和为n S ，且1n n S t S a +=⋅+（0t ≠）．设1n n b S =+，12n n c k b b b =++++（0k >）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1=t 时，若对任意*N ∈n ，3||||n b b ≥恒成立，求a 的取值范围；（3）当1≠t 时，试求三个正数a ，t ，k 的一组值，使得{}n c 为等比数列，且a ，t ，k 成等差数列． 20．（本小题满分16分）已知函数()22ln f x x x ax =+-，()()()2ln 31g x x x a x =-+-．（1）若函数()f x 在区间[]1,4上单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若曲线()g x 在x e =处的切线平行于直线0x y +=，求证：对()0,x ∀∈+∞，()404e g x x x++>；（3）设函数()()()h x f x g x '=-，试讨论函数()[],1,4y h x x =∈的零点个数．DCBA第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答．．．．．．．．．．．．．．题区域内作答．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知点P (a ，b )，先对它作矩阵M 1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，，求实数a ，b 的值．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为,sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩其中θ为参数．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为πcos()23ρθ+=．求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值.D ．（选修４－５：不等式选讲）定义{},min ,a a b a b b a b⎧=⎨>⎩≤，，设{}222min b h a a b =+，，其中a ，b 均为正实数，证明：h 1≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）已知(1＋x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ．（1）求a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n 的值；（2）求1a 1－1a 2＋1a 3－1a 4＋…＋1a 2n －1－1a 2n的值．23．（本小题满分10分）设数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ；{b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． （1）求a 1； （2）求数列{a n }的通项公式．2015年高考模拟试卷(8)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．1i -; 2．8 ; 3．77 ; 4．153; 5．25; 6．4 ; 7.4 ; 8．{13，23，1}. 【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧π2ω≥π2，3ωπ＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧0＜ω≤1 ω＝k 3，其中k ∈Z ，则k ＝13或k ＝23或k ＝1． 9.3n ; 10．[4,0]-;; 12．3 . 【解析】(0)10f a =+=，所以1a =-．所以()121,0211()1,022x x x x f x x x ⎧--⎪⎪=⎨⎪--+>⎪⎩≤，可以数形结合，先研究0x <时，1212x y y x ==+与的交点只有1个，可以通过比较2x y =在(0,1)处的斜率与12的大小可得．故共有3个零点．（或直接导数研究每一段的图象） 132. 【解析】由4x y xy x y-=+，得414x y x y xy y x -+==-，所以144y x y x -=+≥，解得02y <．14．1⎤⎦. 【解析】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则22112222416x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩． 又PQ 的中点(,)N x y ，即1212(,)22x x y y N ++， 则有222222112212121212()()2()15()42x y x y x x y y x y x x y y ++++++==++，由条件，MP MQ ⊥，得121212121x x y y x x x +=+-=-，所以22152x y x +=+-，即22119()24x y -+=，由于2PQ MN =，MN ∈⎣⎦，所以1PQ ⎤∈⎦．二、解答题15．（1）由题意，2sin A cos B ＝sin C cos B ＋cos C sin B ， 所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ． 因为0＜A ＜π，所以sin A ≠0．所以cos B ＝22．因为0＜B ＜π，所以B ＝π4． （2）因为m·n ＝12cos A －5cos 2A ，所以m·n ＝－10cos 2A ＋12cos A ＋5＝－10⎝⎛⎭⎫cos A －352＋435． 所以当cos A ＝35时，m·n 取最大值．此时sin A ＝45(0＜A ＜π2)，于是tan A ＝43．所以tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A tan B＝7．15．（1）连接AC 交MB 于Q ，连接NQ ，MC ．因为//AM BC ，12AM AD BC ==，所以四边形ABCM 是平行四边形， 所以Q 是AC 的中点．又N 是PC 的中点，所以//NQ PA ．因为NQ ⊂平面MNB ，PA ⊄平面MNB ，所以//PA 平面MNB ． （2）因为PA PD =，AM MD =，所以PM AD ⊥． 因为//MD BC ，MD BC =，所以四边形BCDM 是平行四边形，所以//MB DC ， 因为ADC ∠=90°，即AD DC ⊥，所以AD MB ⊥． 因为PMMB M =，,PM MB ⊂平面平面PMB ，所以AD ⊥平面PMB ． 因为AD ⊂平面PAD所以平面PAD ⊥平面PMB ．17．(1)设助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝a 0x 2＋b 0x ＋c 0，PAD M NCB(第16题图)Q依题意00000004420931c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩,解得 a 0＝1，b 0＝－4，c 0＝4，所以助跑道所在的抛物线方程为f(x)＝x 2－4x ＋4，x ∈[0,3]． (2)设飞行轨迹所在抛物线为g(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)， 依题意()()()()3333f g f g =⎧⎪⎨''=⎪⎩， 即93162a b c a b ++=⎧⎨+=⎩，解得2695b ac a =-⎧⎨=-⎩所以g(x)＝ax 2＋(2－6a)x ＋9a －5 ＝＋1令g(x)＝1因为a<0，所以x3当xg(x)有最大值，为 1d ＝33飞行过程中距离平台最大高度h ＝11即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2 m 到3 m 之间．18．（1）由题意，222222211c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2242a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆的方程为22142x y +=．（2）方法一：设()()1122,,,B x y D x y ，则()11,A x y --，()1,0C x ． 因为,,A C D 三点共线，所以//AC AD ， 由()()1112122,,,AC x y AD x x y y ==++， 得()()1121212x y y x x y +=+，即12112122y y y kx x x +==+． 又,B D 均在椭圆上， 有22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②， ①—②，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+=-，所以直线BD 的斜率2212122212122y y x x b b k x x a y y k a-+'==-⋅=-⋅-+， 由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ， 所以AB BD ⊥，即1k k '⋅=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率c e a ==． 方法二：设(),B t kt ，则()(),,,0A t kt C t --， 所以直线AD 的方程为()2ky x t =-． 由()222212x y a b k y x t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y ，得()22222224a k b x x t a b +-=，即()222222222224240b a k x a k tx a k t a b +-+-=，所以2222224A D a k t x x b a k +=+， 从而2222224D a k t x t b a k =++，即2222322222234(,)44a k b a k D t t b a k b a k+++， 所以直线BD 的斜率232222222222224344a k t kt b b a k k a k b a k t t b a k-+'==-+-+， 由于以AD 为直径的圆恰好经过点B ，所以AB BD ⊥，即1k k '⋅=-，所以222a b =，所以椭圆的离心率c e a ==． 19．（1）因为1n n S t S a +=⋅+ ①当2n ≥时，1n n S t S a -=⋅+ ②，①—②得，1n n a t a +=⋅（2n ≥），又由a S t S +⋅=12，得12a t a ⋅=，所以，}{n a 是首项为a ，公比为t 的等比数列，所以1-⋅=n n t a a （*N ∈n ）．（2）当1=t 时，a a n =，na S n =，1+=na b n ，由3||||n b b ≥，得|1||31|na a ++≥，(3)[(3)2]0n a n a -++≥ （*）当0>a 时，3<n 时，（*）不成立；当0<a 时，（*）等价于(3)[(3)2]0n n a -++≤ （**）3=n 时，（**）成立． 4n ≥时，有(3)20n a ++≤，即23a n -+≤恒成立，所以27a -≤． 1=n 时，有420a +≥，12a -≥．2n =时，有520a +≥，25a -≥． 综上，a 的取值范围是22,57⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．（3）当1≠t 时，tt a S n n --=1)1(，(1)11111n nn a t a at b t t t -=+=+----， 2(1)1(1)n n an at t c k n t t -=++---12221(1)(1)1(1)n at a t k t at n t t t ++---=+⋅+---， 所以，当2210,1(1)0(1)a t t k t at t +-⎧=⎪-⎪⎨--⎪=⎪-⎩时，数列}{n c 是等比数列，所以1,,1a t t k t =-⎧⎪⎨=⎪-⎩ 又因为a ，t ，k 成等差数列，所以2t a k =+，即211t t t t =-+-，解得t =从而，a =k =．所以，当a =t =k =时，数列}{n c 为等比数列． 20．（1）由题意，()2120f x ax x '=+-≥在[]1,4x ∈上恒成立， 即2212a x x+≤在[]1,4x ∈上恒成立． 设()[]()22211112()1,448t x x x x x =+=+-∈，所以()3,38t x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以328a ≤，即316a ≤． （2）由()()()2ln 31g x x x a x =-+-，得()()ln 212g x x a x '=+--．由题意，()1g e '=-，即()ln 2121e a e +--=-，所以1a =．所以()()ln 3g x x x =-．不等式()404e g x x x ++>即为()4()4e g x x x>-+． 由()ln 2g x x '=-，知函数()g x 在2x e =处取最小值为2e -，设()4()4e x x xϕ=-+，因为0x >，所以42()4e x e x -+=-≤-， 当且仅当212x e =时取“=”，即当212x e =时，()x ϕ的最大值为2e -，因为2212e e ≠，所以()()g x x ϕ>，即原不等式成立． （注：不等式()404e g x x x ++>即为42ln 20e x x+->， 设()42ln 2e x x xϕ=+-，证明()0x ϕ>对()0,x ∀∈+∞成立，证明略） （3）()()()()222ln ln 212ln 212h x x x ax x a x x a x ax =+--+--=+--+⎡⎤⎣⎦， ()()()()()222111211212ax a x x ax h x a ax x x x-+-+-+'=+--==-． ①当a ≥0时，由于[]1,4x ∈，所以()0h x '≤，所以()h x 在[]1,4上递减，由()110h a =+>，()4ln 4820h a =--<，所以函数()h x 在[]1,4上的零点个数1；②当0a <时，()()1212a x x a h x x⎡⎤⎛⎫-⋅--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦'=， 1当112a -≤，即12a -≤时，当[]1,4x ∈时，()0h x '≥，所以()h x 在[]1,4上递增， 因为()11h a =+，()4ln 4820h a =-->， 所以当112a -<-≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0； 当1a -≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数1． 2当142a -≥，即108a -<≤时，()0h x '≤，所以()h x 在[]1,4上递减， 因为()110h a =+>，()4ln 482h a =--，所以当()40h >，即()11ln 2184a -<-≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0； 当()40h ≤，即()1ln 2104a -<≤时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数1． 3当1142a <-<，即1128a <<--时， 满足11,2x a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0h x '≤；1,42x a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '≥，A DC BE即函数()h x 在11,2a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上递减，在1,42a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增， 因为()110h a =+>，()4ln 4820h a =-->，而111ln 1224h a a a ⎛⎫⎛⎫-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设12t a =-，则()1ln 12t t t μ=-+，且14t <<， 由()11222t t t tμ-'=-=，知()1,2t ∈时，()0t μ'>，()2,4t ∈时，()0t μ'<， 即()t μ在()1,2上为增函数，在()2,4上为减函数，因为()111ln11022μ=-+=>，()4ln 4210μ=-+>， 所以当14t <<时，()0t μ>，即102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭， 所以当1128a <<--时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0． 综上所述，当()11ln 214a -<<-时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数0； 当1a -≤或()1ln 214a -≥时，函数()h x 在[]1,4上的零点个数1．第Ⅱ卷（附加题，共40分） 21.A ．连接BC ，,AB CD 相交于点E ． 因为AB 是线段CD 的垂直平分线， 所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°． 设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE即有(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =．所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，AC =B．依题意，NM2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦，由逆矩阵公式得， (NM)1-1414⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5a=，b=C．由πcos()23ρθ+=，得1(cos)22ρθθ-=，即l的直角坐标方程为40x--=．因为椭圆C的参数方程为,sin,xyθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以椭圆C上的点到直线l距离π4)42dθ+==,所以d的最大值为2，最小值为2．D．因为a，b均为正实数，所以2222abha b+≤．因为222a b ab+≥，所以2221aba b+≤，即21h≤．22．（1）令x＝0得，a0＝1；令x＝1得，a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n．于是a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝22n－1．（2）a k＝C k2n，k＝1，2，3，…，2n，首先考虑1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1＝k!(2n+1－k)!(2n＋1)!＋(k＋1)!(2n－k)!(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋1－k＋k＋1)(2n＋1)!＝k!(2n－k)!(2n＋2)(2n＋1)!＝2n＋2(2n＋1) C k2n，则1C k2n＝2n＋12n＋2(1C k2n＋1＋1C k＋12n＋1)，因此1C k2n－1C k＋12n＝2n＋12n＋2(1C k2n＋1－1C k＋22n＋1)．故1a1－1a2＋1a3－1a4＋…＋1a2n－1－1a2n＝2n＋12n＋2(1C12n＋1－1C32n＋1＋1C32n＋1－1C52n＋1＋…＋1C2n－12n＋1－1C2n＋12n＋1)＝2n＋12n＋2(1C12n＋1－1C2n＋12n＋1)＝2n＋12n＋2(12n＋1－1)＝－nn＋1．23．（1）首先，容易得到一个简单事实：{a n}与{b n}均为不减数列且a n∈N，b n∈N．若a1=b1=0，故{a n}中小于等于1的项至少有一项，从而b1≥1，这与b1=0矛盾．若a1=b1≥2，则{a n}中没有小于或等于1的项，从而b1=0，这与b1≥2矛盾．所以，a1=1．（2）假设当n=k时，a k=b k=k，k∈N*．若a k+1≥k+2，因{a n}为不减数列，故{a n}中小于等于k+1的项只有k项，于是b k+1=k，此时{b n}中小于等于k的项至少有k+1项(b1，b2，…，b k，b k+1)，从而a k≥k+1，这与假设a k=k矛盾．若a k+1=k，则{a n}中小于等于k的项至少有k+1项(a1，a2，…，a k，a k+1)，于是b k≥k+1，这与假设b k=k矛盾．所以，a k+1=k+1．所以，当n=k+1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n=b n=n对一切正整数n恒成立．所以，a n=n，即为所求的通项公式．。
高三数学-南通市2015届高三高考密卷(四)(数学学科基地命题)数学试题
又
a1 2014 53d 53( 38 d ) 0 38 d 0 0 38 d 38 d 0
38 d 1, 2,19 ， d 37,36,19 ，所以公差 d 的所有可能取值之和为 92．
考点：等差数列的综合应用. 二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 15.(本小题满分 14 分)在△ABC 中， 角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，tan C sin A sin B . cos A cos B （1）求 C ； （2）若△ABC 的外接圆直径为 1,求 a b 的取值范围.
a sin A, b sin B ，即 a b sin A sin B sin( ) sin( ) 3 cos ，而 3 3
3
3
，由此可得
3 a b 3 .也可以用 2
a b sin A sin B sin A sin(
3 3 3 3 3 9 ，故有 A( , ) ，因此 b ， b . 4 4 2 2 4 4
考点：简单线性规划问题，已知最值求参数. 10.若 x 0, y 0, 则
2 2
x y x y
的最小值为．
【答案】 【解析】
试题分析： 时，取等号.
x y x y
x y x y 2 xy
1
2 xy x y 2 xy
1
2 xy 4 xy
2 ， 当且仅当 x y 2
考点：基本不等式的应用. → → 11.在 Rt△ABC 中，CA＝CB＝2，M，N 是斜边 AB 上的两个动点，且 MN＝ 2，则 CM · CN 的 取值范围为．
江苏高考南通密卷一(南通市数学学科基地命题)
2015年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设，，其中是虚数单位，则 ．2．已知集合，．若，则实数的取值范围是 ．3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中株树木 的底部周长（单位：)，所得数据如图．则在这株树木 中，底部周长不小于的有 株． 4．设向量，，且，若， 则实数 ．5．如图所示的流程图的运行结果是 ． 6．将边长为的正方形沿对角线折起，使， 则三棱锥的体积为 ． 7．设等差数列的前项和为，若，． 当取最大值时， ． 8．已知，且，则 ．9．若在区间内任取实数，在区间内任取实数，则直线与圆 相交的概率为 ．10．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是，则实数的取值范围为 ．11．已知函数满足：当时，，当时，．若在区间内，函数恰有一个零点，则实数的取值范围是 ．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆，若椭圆上存在点，使得过点引圆的两条切线，切点分别为、，满足，则椭圆的离心率的取值范围是 ．13．设数列的通项公式为，则满足不等式的正整数的集合为 ． 14．设函数，则满足的的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（本小题满分14分）在中，的对边分别为，且． （1）求角的大小； （2）设，为垂足，若，，求的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，为上一点．（1）求证：平面平面；（2）若∥平面，求证：为的中点．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路L，L在OA上设一站，在OB上设一站B，铁路在部分为直线段，且经过大学．其中，，．（1）求大学与站的距离；（2）求铁路段的长．18．（本小题满分16分）设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积； （3）如图，、、、是椭圆的顶点，是椭圆上除顶点外的任意点，直线交轴于点，直线交于点．设的斜率为，的斜率为，求证：为定值．19．（本小题满分16分） 已知函数，，其中函数的图象在点处的切线平行于轴． （1）确定与的关系；（2）若，试讨论函数的单调性；（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，求证：． 20．（本小题满分16分）设数列的前项和为，满足． （1）当时，①设，若，．求实数的值，并判定数列是否为等比数列； ②若数列是等差数列，求的值；（2）当时，若数列是等差数列，，且，131ni n λ=-≤+ 求实数的取值范围．DCBA第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．． 内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设、是圆的两条弦，直线是线段 的垂直平分线．已知，求线段的长度． B ．（选修４－２：矩阵与变换）若点在矩阵对应变换的作用下得到点，求矩阵的逆矩阵． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆经过点，圆心是直线与极轴的交点，求圆的 极坐标方程． D ．（选修４－５：不等式选讲）设均为正数，．求证：111a b c++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）已知数列满足，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列是等比数列；（2）设，求证：当，时，12241521n n n b b b n +++++<-+． 23．（本小题满分10分）如图，已知点，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，为平面内的动点，过作的垂线，垂足为，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）设是上的任意一点，过作轨迹的切线，切点为、． ①求证：、、三点的横坐标成等差数列；②若，，求的值．2015年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.； 10.； 11.；【解析】当时，，由条件得，11()2()2ln 2ln f x f x x x===-，函数恰有一个零点方程有唯一解，在直角坐标系内分别作出与的图象，当直线经过点时，，当直线和曲线相切时，切点为，此时，由图象可知，当时，函数与的图象由唯一的交点．12.；【解析】在四边形中，，，，，由题意得，，即，化解得，又在椭圆中，． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列的通项公式为，所以数列为等比数列，首项为，公比；数列也是等比数列，首项为，公比．不等式等价于，即231()1()323231132n n --⋅>--，解之得，，只能取． 14.；【解析】()3ln33ln32(33)ln322ln320x x x xf x --'=+-=+-≥->，函数在上单调递增，且，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得或．二、解答题15. （1）tan (2)tan b A c b B =-，由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A BB C B A B⋅=-⋅, 又在中，， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-， 即sin()2sin cos A B C A +=， 又，， 又，；（2） 由余弦定理，，，，，， 11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅，即，， 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅===.16.（1）底面为矩形，，又，，，平面， 又，平面平面；（2）连接，交于，连接，平面，平面平面，，，底面为矩形，是的中点，即，，为的中点.17. （1）在中，，且，，由余弦定理得，2222cos AM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯ 13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=，即大学与站的距离为； （2），且为锐角，，在中，由正弦定理得，,，，， ， ，，，sin sin()4ABO πα∴∠=-=，又，sin sin()AOB πα∴∠=-， 在中，， 由正弦定理得，，即1521AB =，，即铁路段的长为． 18. （1）圆的方程为，直线与圆O 相切，，即，又，，，椭圆的方程为；（2）由题意，可得11((,M N ，圆的半径，AB ∴==的面积为；（3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --，的斜率为，直线的方程为， 由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中，，， 则直线的方程为， 令，则， 即， 直线的方程为，由，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，，的斜率421212(21)4242121k k k m k k k k -+-==-+-+- ，2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 19. （1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++，，由题意得，；（2）11(21)(1)()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--'=++=+--=>，①当时，， 当时，，函数在单调减； 当时，，函数在单调增；②当时，即，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>， 函数在上单调减；函数在和单调增；③当时，即，2(1)()0(0)x g x x x-'=≥>，函数在单调增；④当时．即，12()(1)2()(0)a x x a g x x x--'=>， 函数在单调减区间；函数在和单调增；（3）由题设，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x xx x x x --⇔<-<22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ① 令，则11()1(1)xh x x x x-'=-=>，时，，函数在是减函数， 而，时，，， 222111()ln 10x x xh x x x ∴=-+<，即， ②令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>，时，，在是增函数，时，， 2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->， 即221111ln x x x x -< ③由①②③得． 20.（1），，①令，可得，即， 令，可得，即，,213122n n a S n n ∴+=++， ①当时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即，又，，，数列是等比数列； ② 数列是等差数列，设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+，， 1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当时，数列是等差数列，，(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+，22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， ，，2n 1(1)11111(1)1n n a n n n n ++++==+-++， 1111ni n n ==+-∴+， 13311111n i n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即，，，令， 22222()1x f x x x -'=-=，当时，，在上是增函数，而，，．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A ．连接BC ，相交于点．因为AB 是线段CD 的垂直平分线，所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设，则，由射影定理得 CE 2＝AE ·EB ，又，即有，解得（舍）或 所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，． B ．，即， 解得，， 解法一：， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设，由，得32103201c dc d e f e f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦31,30,20,2 1.c d e f c d e f +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． C ．因为圆心为直线与极轴的交点，所以令，得，即圆心是，又圆经过点，圆的半径1r =，圆过原点，圆的极坐标方程是． （说明：化为普通方程去完成给相应的分数）D.由为正数，根据平均值不等式，得，，．将此三式相加，得1112()a b c ++≥111a b c ++．由，则有．所以，111a b c ++= 22.（1）令，则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n nc n n ++++++++++====+++=， ，，，数列，即是等比数列； （2）由（1）得，，，下面用数学归纳法证明当，时，12241521n n n b b b n +++++<-+．①当时，不等式的左边，右边，而，时，不等式成立；②假设当时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+；当时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++-4111152121221k k k k <-++-++++ 41152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++当时，不等式也成立． 由①②可得，当，时，12241521n n n b b b n +++++≤-+． 23. （1）设，则，，，，，，22()2()p y p x p y p ∴+=--，，即动点的轨迹的方程为；另解：设，则，，，以为邻边的平行四边形是菱形，，y p =+ ，， 即动点的轨迹的方程为；（2）①设，，，则切线的方程，21101()42x x p x x p p∴--=-，， ① 同理， ②方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-=，，即、、三点的横坐标成等差数列.方法2：由①②得是方程的两根，，即、、三点的横坐标成等差数列.②由①②得是方程的两根，，，，，20，20=，20=， ，或.。
2015届江苏高考南通市高考模拟密卷(三)(南通市数学学科基地命题)
2015届江苏高考南通市高考模拟密卷（三）(南通市数学学科基地命题)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，则R M N （ ）ð= .2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位）， 则||a bi += ．3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.5．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 6．函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,则(0)f 的值为 .7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 .8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知12128,2,1,2a a b b =-=-==，那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是 .9．已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3π.若BF ＝BD＝2，则多面体的体积 ．10．如果关于x 的方程23ax x +=有两个实数解，那么实数a 的值是 ． 11．设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x⎧-⎪=⎨++>⎪⎩… 若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为 .12．已知椭圆2221(3x y a a +=>的中心、右焦点、右顶点依次为,,,O F G直线2x =x 轴 交于H 点，则FG OH取得最大值时a 的值为 .FEDCBA13．在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC =，BA BC BABC+3BD BD，则四边形ABCD 的面积是 ．14．()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ，则关于x 的函数()()(10)F x f x a a =+-<<的所有零点之和为 （用a 表示） 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值；（2）若OA OB OC +=，1813OB OC ⋅=，求cos()3πθ-.16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABC D -中,PAC ⊥平面平面ABC D ,ABC ∆是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=,点N 在线段PB 上,且13PN NB =. (1)求证：PA BD ⊥； (2)求证：//MN 平面PDC .17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行， 为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a 为常数，25a ≤≤），设每枚徽章的售价为x 元（3541x ≤≤）.根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚. （1）求该商店的日利润()L x 与每枚徽章的售价x 的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大？并求出()L x 的最大值.CBP18．(本小题满分16分) 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点)． （1）若A 是椭圆E 的上顶点，12,F F 分别是左右焦点，直线12,AF AF 分别交椭圆于,B C ，直线BO 交AC于D ，求证:3:5ABD ABC S S ∆∆=；（2）若12,A A 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆E 于点P ．求证：OP OM ⋅为定值.19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x 在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.20.（本小题满分16分）若数列{}n C1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”； （2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++，其中i N ∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n a -⋅；（2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑，20n n i i b a ==∑，记11[(1)]niin i n i d b C ==+-∑，且不等式(1)n nt d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围.2015年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．(]0,1； 2； 3．1027； 由流程图，b 和a 的值依次为1,1;3,2;10,3;1027,4，结束循环. 45．24；6．7112； 8．{}3,5 ；【解析】 由已知得，1614,2n n n a n b -=-=，令n n a b =，可得16142n n --=，解得3n =或5，所以满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{}3,5. 9【解析】如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O .因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，ED ⊥AC .因为，ED ，BD ⊂平面BDEF ，且ED ∩BD ＝D ，所以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A -BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3π，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AOS四边形BDEF ＝4，所以，V 四棱锥A -BDEF＝10．2± ； 11．[]0,2； 12．2； 13．；【解析】 设BA a BA=，BC b BC=，BD c BD=，则|a |=|b |=|c |=1，a +b ，所以，得cos<a ,b >=12,又由AD BC =，所以，可得图形为有一个3π角的菱形，所以，其面积22S =⨯=. 14．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】 根据对称性，作出R 上的函数图象，由()()F x f x a =+，所以，零点就是()f x 与()0,1y a =-∈交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数()f x 的图象与()0,1y a =-∈的交点在()2,4之间的交点关于3x =对称，所以，126x x +=，在()()5,43,2----之间的两个交点关于3x =-对称，所以，346x x +=-，设(]1,0x ∈-，则[)0,1x -∈，所以，12()log (1)()f x x f x -=-+=-，即12()log (1)f x x =--+，由()0f x a +=，所以，12log (1)0x a --++=，即5112a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，12345112ax x x x x ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭.二、解答题OFEDCBA15. （1）由于34(,)55B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4sin 5θ= ，所以4tan 3θ=-， 所以1tan 1tan()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)OA =,(cos ,sin )OB θθ=,所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+,22218cos (1cos )sin cos cos sin 13OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++=. 所以5cos 13θ=，所以12sin 13θ=，所以cos()coscos sinsin 333πππθθθ-=+=16．（1）因为ABC ∆是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥, 又PAC ABCD ⊥平面平面,,PACABCD AC =平面平面BD ⊂平面ABCD ,,BD AC ⊥所以BD ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ,所以.PA BD ⊥.(2)在正三角形ABC 中,BM =在ACD 中，因为M 为AC 中点, DM AC ⊥，所以AD CD =, 因为120ADC ∠=,所以60ADM ∠=. 所以, DM =,所以:3:1BM MD =, 所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD . 又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所 以//MN 平面PDC . 17. （1）设日销售量为x k e ，则4010k e =， 所以4010k e =，则日销售量为4010x e e 枚.每枚徽章的售价为x 元时，每枚徽章的利润为(30)x a --元，则日利润40401030()(30)10(3541)x xe x aL x x a e x e e --=--=≤≤.（2）4031()10(3541)x a xL x e x e +-'=≤≤.①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， 所以()0,()L x L x '≤在[]35,41上单调递减，CBP则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤，令()0L x '=，得31x a =+， 当[]35,31x a ∈+时，()0,()L x L x '>在[]35,31a +上单调递增； 当(]31,41x a ∈+时，()0,()L x L x '<在(]31,41a +上单调递减. 所以当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -.综上，当24a ≤≤时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润()L x 最大,5max ()10(5)L x a e =-; 当45a <≤时，每枚徽章的售价为（31a +）元时，该商店的日利润()L x 最大，9max ()10a L x e -= . 18. （1）易得22211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以,椭圆E 的方程为22142x y +=；所以，12(A F F ，所以，直线:AB y x =:AC y x =- 将y x =230x +=，所以(B，同理可得C ， 所以直线BO 为14y x =，联立12y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得交点D ，所以，88,53AD AC ==，即:3:5AD AC =所以，:3:5ABDABCSS=；（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， 易得直线1MA 的方程为0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=,得()2222000140822y y y x x +++-=，由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭，，. 19. (1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3. 又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=， 所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）. ①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=, 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-. 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e -，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=, 所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-.即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++, 所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =， 所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+, 所以212x x e > .20. （1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.(32s =532(22n n --+4223222n -≤+214411)322n n S +--=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列” . （2）充分性设等比数列{}n a 的公比q ，且0 1.q << 则1111(1)1111n n n a q a a q aS q q q q-==-<----. 令11a M q=-，则.n S M < 因为222222112()(1)(1)()(1)11n n n n n n n a aS S q q q q q q q ++++=--=--+--21222122111()(12)()(1)11n n n n a aq q q S q q++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”.C因为0.n a > 所以，0.q >下面用反证法证明，1q <（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立;当1q >，则111(1)111n n n a q a a S q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a a q M q q ->-- 因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，．由AB = 2 BC ，所以，AB OC =，因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．于是△ADB ≅△CDO ，所以，AD DC =所以，A C ∠=∠.B ．由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩， 则3,2a b ==．矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=---- 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=．C. 将1C 化为直角坐标方程为4380x y --=将2C 化为直角坐标方程为22y x =将直线方程代入22y x =可得22380y y --=解之可得1232y y +=，124y y =-，所以，2212124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 由柯西不等式，得()2222111(236)()236b c d b c d ++++++≥， 即()2222236b c d b c d ++++≥．由条件，得()2253a a --≥，解得12a ≤≤== 时等号成立， 代入111,,36b c d ===时，max 2a =；211,,33b c d ===时，min 1a =， 所以a 的取值范围是[1,2]．22. （1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为12， ()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）X 的分布列为:所以，1155934567.84161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 23. （1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差则()0n i i n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++01120()(2)n n n n n n n n a C C C d C C nC =++++++因为11k k n n kC nC --=所以122n nn n C C nC ++011111()n n n n n C C C ----=+++ 所以()0n i i n i a C ==∑1022n n a nd -⋅+⋅=12n n a -⋅.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明.（2）令1x =，则223202(14)22222421n n n n i i a =-=++++==⋅--∑ 令1x =-，则20[(1)]0ni i i a =-=∑，所以20n n i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=- 根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n n n n n n n nd C C C C C =--+---++-- 01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+(14)(11)1(3)n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=； 当n 为奇数，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-； 综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-.。
江苏高考南通密卷二(南通市数学学科基地命题)
2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合，，且，则实数的值为 ．2．设2(12)(,R)i a bi a b +=+∈，其中是虚数单位，则 ． 3．已知函数是奇函数，当时，，且， 则 ．4．右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 ． 5．设点，，，是球表面上的四个点，，，两两互相垂 直，且，则球的表面积为 ．6．已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为 ． 7．将参加夏令营的名学生编号为：，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 ． 8．中，“角成等差数列”是“sin sin )cos C A A B =+”成立的的 条件． (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一) 9．已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条 渐近线分为弧长为的两部分，则双曲线的离心率为 ．10．已知442cos sin ,(0,)32πααα-=∈，则 ．11．已知正数依次成等比数列，且公比．将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比的取值集合是 ． 12． 如图，梯形中，，，， 若，则 ．13．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 ．14．设函数满足，且当时， ．若在区间内，存在个不同的实数，使得312123()()()f x f x f x t x x x ===，则实数的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在中，，． （1）求的值；（2）若，求的面积．第12题图0,1s n ←←第4题图16．（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，．在面中，，，为的中点，过三点的平面交于点．（1）求证：为中点；（2）求证：平面平面．17．（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为，体积为．（1）求关于的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值．18．（本小题满分16分）(第17题图)图B CA1B1C1MNA第16题图已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足．（1）求椭圆的方程；（2）证明：为定值；（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由．19．（本小题满分16分）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足，．（1）若，．①当时，求数列和的通项公式；②若数列是唯一的，求的值；（2）若，，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值．20．（本小题满分16分）设函数有且仅有两个极值点．（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．．A．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AD是∠BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EF∥BC．B．（选修４－２：矩阵与变换）已知，求矩阵．C．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆．（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长．D．（选修４－５：不等式选讲）设正数满足，求的最小值．AB DE FO·【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）直三棱柱中，已知，，，.是的中点.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为．（1）求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求32015132015CiimC=∑的值．1A1B1CDAC B2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．； 2．； 3．； 4．； 5．； 6．； 7．； 8．充分不必要；【解析】条件“角成等差数列”；结论“sin sin )cos C A A B =+”sin()cos sin cos A B A B A B +=+cos sin cos A B A B =或或．所以条件是结论的充分不必要条件． 9．； 10．； 11．；【解析】若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）；若删去，则成等差数列，，即，（舍去）或或（舍去）或． 12．；【解析】0AD DC CB BA +++=，，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-， ，，，，． 13．；【解析】由条件得，不妨设，则，即；同理得当时，．而，的取值范围是． 14．．【解析】，，当时，，，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点与与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决）．由图可知，满足题意得实数的取值范围为．二、解答题15．（1）因为在中，，所以为锐角，且cos A =．所以sin sin()cos 2C A A π=+=（2）由正弦定理得，所以sin sin BC C AB A === 因为在中，，所以为钝角，且cos C ==． 因为在中，，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+=+=．所以的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=．16． (1)由题意，平面平面，平面与平面交于直线， 与平面交于直线，所以． 因为，所以，所以．因为为的中点，所以，所以为中点． (2)因为四边形是边长为的菱形，． 在三角形中，，，由余弦定理得， 故，从而可得，即． 在三角形中，，，，则，从而可得，即． 又，则．因为，面，面，所以平面． 又平面，所以平面平面．17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．设正三棱锥侧面的高为，高为．由题意得，解得．则h=．所以，正三棱锥体积21133V Sh==设4452100(100)4848x xy V===，求导得，令，得，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，所以，当时，取得极大值也是最大值．此时，所以．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为．18．（1）由题设：22111,a b⎪+=⎪⎩解得，椭圆的方程为（2）①直线的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b++=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则，直线的方程为，由得，，同理，22222221123313(1)(1)(1)12122kk kk k k k+++⋅+⋅+⋅+++，2221122OA OB OM∴++=为定值；（3）由（2）得：①直线的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b+=+=+=；②直线的斜率存在且不为0时，22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k kkOA OM k kkk k k+++=+=+=+++⋅+⋅++原点到直线的距离1d=，直线与圆相切，即存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切．19．（1）①由数列是等差数列及，得，由数列是等比数列及，得．设数列的公差为，数列的公比为，若，则有，解得或9,22dq⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．所以，和的通项公式为或2912,23(2)nnna nb-⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩②由题设，得，即（*）．因为数列是唯一的，所以若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意；若，则，解得，代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意．所以，或．（2）依题意，，设公比为，则有336(3)(33)d d qq=-+++，（**）记，，则．将（**）中的消去，整理得2()3()360d m n d m n+-++-=，=而，所以的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．所以，当时，的最大值为．20．(1)．显然，是直线与曲线两交点的横坐标．由，得．列表：此外注意到： 当时，；当及时，的取值范围分别为和．于是题设等价于<，故实数的取值范围为． (2)存在实数满足题设．证明如下： 由(1)知，，，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故．记231()(01)2x xe R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x x e x R x e x -'=-<， 于是，在上单调递减． 又，故有唯一的零点． 从而，满足的．所以，． 此时，， 又，，，而， 故当时,.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结．因为与圆相切，所以． 因为与为弧所对的圆周角， 所以．又因为是的平分线， 所以． 从而．于是． B ．设则1 0 1 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B ABDEF O·C ．（1）圆是将圆绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆的极坐标方程是．（2）将代入圆的极坐标方程，得， 所以，圆被直线所截得的弦长为． D. 因为均为正数，且，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥=，当且仅当时，上式等号成立． 从而1111323232a b c ++≥+++． 故的最小值为．此时．22．在直三棱柱中，，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C , 是的中点，， （1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-， 设平面的法向量，则，即，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量， 而，1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， 直线与平面所成角的正弦值为； （2），设平面的法向量，则， 即，取222032x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，平面的法向量，121212130cos ,n n n n n n ⋅∴<>==⋅， 二面角的大小的余弦值．23．（1）因为含元素的子集有个，同理含的子集也各有个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合的所有个元素的子集中：以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个；以为最小元素的子集有个，以为最大元素的子集有个．222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++22231244(1)()n n n C C C C --=+++++， 3131n C i i n m n C =∴=+∑． 32015132015201512016C i i m C =∴=+=∑．。
【南通市数学学科基地命题】江苏省2015年高考数学模拟试卷及答案(5)
（2）答完5道题后,设 ，求 的分布列及其数学期望.
23．（本小题满分10分）一个非空集合中的各个元素之和是3的倍数，则称该集合为“好集”．
记集合{1，2，3，…，3n}的子集中所有“好集”的个数为f(n)．
（1）求f(1)，f(2)的值；
（2）求f(n)的表达式．
10．［，).【解析】A={x|x<-4，或x>2}．设f(x)＝x2－2ax+4，则f(x)的对称轴x=a>0，由f(-4)=20+8a>0，知B∩{x|x<-4}＝．因此，A∩B中恰有一个整数为3．故f(3)≤0，f(4)＞0．即［，)．
(2)若对每一个正整数k，若将ak＋1，ak＋2，ak＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk.①求p的值及对应的数列{dk}．
②记Sk为数列{dk}的前k项和，问是否存在a，使得Sk＜30对任意正整数k恒成立？若存在，求出a的最大值；若不存在，请说明理由．
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上．直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为．
9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，并且对任意正整数n均有Sn+2＝4Sn+3．则a2=．
10．已知集合A={x|x2+2x－8>0}，B={x|x2－2ax+4≤0}．若a>0，且A∩B中恰有1个整数，则a的取值范围是．
|x－y|+|y－z|的最小可能值．
14．若实数x,y满足x－4＝2，则x的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
【最新】2015年江苏高考3---数学试题及答案
摇 摇 ( 第 17 题)
18. ( 本小题满分 16 分 ) 如图 , 在平面直角坐标系
xOy 中 , 已知椭圆 x2 y 2 a2 + b2 =1( a > b > 0) 的离心率为
点 F 到左准线 l 的距离为 3.
2 2,
且右焦
(1) 求椭圆的标准方程 ; (2) 过线分F别的交直直线线与椭l 圆和交A于B 于点A, PB, 两C,点若, P线C段= 2AABB,的求垂直直线平分AB
1 , y1 ), B( x2 , y 2 ),
将 AB 的方程代入椭圆方程 , 得 (1 + 2k2 2 2 x + 2( k 2
) x - 4k
- 1)= 0,
2
2
2
则 x 2 k 依 2(1 = 1, 2
+k )
2
,
C 的坐标为 (
2k 2,
-k 2 ), 且
1 + 2k
1 + 2k 1 + 2k
6. 已则知m向-量n 的a =值(为2, 摇1)银, 摇b .= (1, - 2) . 若 ma + nb = (9, - 8) ( m, n沂 R),
x2 - x
7. 不等式 2 < 4 的解集为 摇 银摇 .
8. 已知 tan琢= -2,
tan( 琢+ 茁)=
1 7
,
则 tan茁的值为 摇 银摇 .
数学玉试题
参考公式 :
圆柱的体积公式 : V圆柱 = Sh, 其中 S 是圆柱的底面积 , h 为高 . 圆锥的体积公式 : V圆锥 = 1 Sh, 其中 S 是圆锥的底面积 , h 为高 . 一 、填空题 : 本大题共 14 小3 题 , 每小题 5 分 , 共计 70 分 . 请把答案填写在答题卡相应位置上
2015年江苏高考南通密卷1(南通市数学学科基地命题)
12015年高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1．设,a b R ∈，231a bii i+=+-，其中i 是虚数单位，则a b += ．2．已知集合{}P x x a =≤，{}sin ,Q y y R θθ==∈．若P Q ⊇，则实数a 的取值范围是 ． 3．为了了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木 的底部周长（单位：cm )，所得数据如图．则在这100株树木 中，底部周长不小于100cm 的有 株．4．设向量(1,)a m =r，(1,2)b m =-r ，且a b ≠r r ，若()a b a -⊥r r r ，则实数m = ．5．如图所示的流程图的运行结果是 ．6．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a =， 则三棱锥D ABC -的体积为 ．7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若19a =，462a a +=． 当n S 取最大值时，n = ．8．已知44ππθ-≤≤，且1cos 45θ=，则44cos sin θθ-= ．9．若在区间(1,1)-内任取实数a ，在区间(0,1)内任取实数b ，则直线0ax by -=与圆22(1)(2)1x y -+-=相交的概率为 ．10．设函数()sin(2),[,]66f x x x a ππ=+∈-的值域是1[,1]2-，则实数a 的取值范围为 ． 11．已知函数()f x 满足：当[]1,3x ∈时，()ln f x x =，当1[,1)3x ∈时，1()2()f x f x =．若在区间1[,3]3内，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点，则实数a 的取值范围是 ．12．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>和圆222:O x y b +=，若椭圆C 上存在点P ，使得过点P 引圆O 的两条切线，切点分别为A 、B ，满足60APB ∠=，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．13．设数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，则满足不等式113nni i i i a a ==>∑∑的正整数n 的集合为 ．14．设函数()332x x f x x -=--，则满足12(2)(log )0x f x -<的x 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且tan (2)tan b A c b B =-． （1）求角A 的大小；（2）设AD BC ⊥，D 为垂足，若2b =，3c =，求AD AC ⋅uuu r uuu r的值．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD BC ⊥，G 为PA 上一点． （1）求证：平面PCD ⊥平面ABCD ； （2）若PC ∥平面BDG ，求证：G 为PA 的中点．17．（本小题满分14分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心O 后转向东偏北α角方向的OB ．位于该 市的某大学M 与市中心O的距离OM =，且AOM β∠=．现要修筑一条铁路L ，L 在OA 上设一站A ，在OB 上设一站B ，铁路在AB 部分为直线段，且经过大学M ．其中tan 2α=，cos β=15AO km =．（1）求大学M 与站A 的距离AM ；（2）求铁路AB 段的长AB ．18．（本小题满分16分） 设椭圆:C 22221(0)x ya b a b+=>>的离心率为e =y x =C的短半轴长为半径的圆O 相切． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线12x =与椭圆C 交于不同的两点,M N ，以线段MN 为直径作圆D ．若圆D 与y 轴相交于不同的两点,A B ，求ABD ∆的面积；（3）如图，1A 、2A 、1B 、2B 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．第5题图P A B C D G2D CBA 19．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x =，2()()g x f x ax bx =++，其中函数()y g x =的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴． （1）确定a 与b 的关系；（2）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；（3）设斜率为k 的直线与函数()y f x =的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y 12()x x <，求证：2111k x x <<．20．（本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n n a S An Bn C +=++*(0,)A n N ≠∈． （1）当1C =时，①设n n b a n =-，若132a =，294a =．求实数,A B 的值，并判定数列{}nb 是否为等比数列； ②若数列{}n a 是等差数列，求1B A-的值；（2）当0C =时，若数列{}n a 是等差数列，11a =，且*n N ∀∈，131ni n λ=-≤+ 求实数λ的取值范围．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，．．．．．．．．并在相应的答题区域．．．．．．．．． 内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，设AB 、CD 是圆O 的两条弦，直线AB 是线段CD的垂直平分线．已知6,AB CD ==AC 的长度．B ．（选修４－２：矩阵与变换）若点(2,1)A 在矩阵11a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 对应变换的作用下得到点(4,5)B ，求矩阵M 的逆矩阵．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点P，圆心是直线sin()3πρθ-=C 的 极坐标方程．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设,,a b c 均为正数，1abc =．求证：111a b c++≥【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分. 22．（本小题满分10分）已知数列{}n a 满足11a =-，*1(33)46,n n n a n a n N n++++=∈．（1）求证：数列2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设1*3,2n n n b n N a -=∈+，求证：当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+． 23．（本小题满分10分）如图，已知点(0,)F p ，直线:(0)l y p p p =->其中为常数且，M 为平面内的动点，过M 作l 的垂线，垂足为N ，且NM NF FM FN ⋅=⋅uuu u r uuu r uuu r uuu r． （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设Q 是l 上的任意一点，过Q 作轨迹C 的切线，切点为A 、B ． ①求证：A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列；②若(4,)Q p --，20AB =，求p 的值．32015年高考模拟试卷(1) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1. 6；2. [1,)+∞；3. 70；4. 1；5.20；6.3； 7. 5；8. ； 9. 516； 10. [,]62ππ； 11. 1(,6ln3]e ；【解析】当1[,1)3x ∈时，1(1,3]x ∈，由条件得，11()2()2ln 2ln f x f x x x===-，函数()()(0)g x f x ax a =->恰有一个零点⇔方程()f x ax =(0)a >有唯一解，在直角坐标系内分别作出()y f x =与y ax =(0)a >的图象，当直线y ax =经过点1(,2ln 3)3时，6ln 3a = 6ln 3，当直线y ax =和曲线()ln f x x =相切时，切点为(,1)e ，此时1a e =，由图象可知，当16ln3a e <≤时，函数()y f x =与y ax =(0)a >的图象由唯一的交点．12. ；【解析】在四边形OAPB 中，60APB ∠=，90OAP OBP ∠=∠=，OA OB b ==，2OP b ∴=，由题意得，2b a ≤，即a ≤，化解得c a ≥，又在椭圆中1e <，1e ≤<． 13. {1，2，3}；【解析】由于数列{}n a 的通项公式为13()2n n a -=，所以数列{}n a 为等比数列，首项为132a =，公比132q =；数列1{}n a 也是等比数列，首项为23，公比223q =．不等式113n n i i i i a a ==>∑∑等价于1113n ni i i i a a ==>∑∑，即231()1()3231132n n --⋅>--，解之得22()193n <<，n N *∈，n ∴只能取1,2,3． 14. (0,1)(2,)+∞；【解析】()3ln33ln32(33)ln322ln320xx x x f x --'=+-=+-≥->，∴函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，且(0)0f =，112220(2)(log )0log 0x x f x x ->⎧⎪∴-<⇔⎨<⎪⎩或1220log 0x x -<⎧⎪⎨>⎪⎩，解得2x >或01x <<．二、解答题15. （1）tan (2)tan b A c b B =-， ∴由正弦定理，得sin sin sin (2sin sin )cos cos A B B C B A B⋅=-⋅, 又在ABC ∆中，sin 0B ≠， sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B ∴=-， 即sin()2sin cos A B C A +=，又sin()sin 0A B C +=≠， 1cos 2A ∴=，又0A π<<，3A π∴=；（2） 由余弦定理，2222cos a b c bc A =+-，2b =，3c =，3A π=，a ∴11sin 22BC AD AB AC A ⋅=⋅⋅，即32AD =⋅，AD ∴= 227cos 7AD AC AD AC C AD AD ⋅∠∴⋅===.16.（1）底面ABCD 为矩形，BC CD ∴⊥，又PD BC ⊥，,CD PD PCD ⊂平面，PD CD D =， BC ∴⊥平面PCD ， 又BC ABCD ⊂平面， ∴平面ABCD ⊥平面PCD ；（2）连接AC ，交BD 于O ，连接GO ， //PC 平面BDG ，平面PCA 平面BDG GO =， //PC GO ∴， PG COGA OA∴=，底面ABCD 为矩形， ∴O 是AC 的中点，即CO OA =， PG GA ∴=， ∴G 为PA 的中点.17. （1）在AOM ∆中，15AO=，AOM β∠=且cos β=OM =由余弦定理得，2222cosAM OA OM OA OM AOM =+-⋅⋅∠2215215=+-⨯13915152315372.=⨯+⨯-⨯⨯⨯=AM ∴=M 与站A 的距离AM 为；（2）cos β=，且β为锐角，sin β∴=在AOM ∆中，由正弦定理得，sin sin AM OMMAOβ=∠,，sin MAO ∴∠=，4MAO π∴∠=，4ABO πα∴∠=-， tan2α=，sin α∴=，cos α=，sin sin()4ABO πα∴∠=-=AOB πα∠=-， sin sin()AOB πα∴∠=-=，在AOB ∆中，15AO =，由正弦定理得，sin sinAB AOAOB ABO=∠∠，即1521AB =，AB ∴=AB 段的长AB 为．18. （1）圆O 的方程为222x y b +=，直线y x =O 相切，b =，即1b =，又3e =， = 2a ∴=， ∴椭圆C 的方程为221x y +=； （2）由题意，可得11((,22MN ， ∴圆D 的半径r =AB ∴= ∴ABD ∆的面积为1122S =⋅； （3）由题意可知1212(2,0),(2,0),(0,1),(0,1)A A B B --， 2A P 的斜率为k ，∴直线2A P 的方程为(2)y k x =-，4由2214(2)x y y k x =+=-⎧⎪⎨⎪⎩，得2222(14)161640k x k x k +-+-=， 其中2A x =，228214P k x k -∴=+，222824(,)1414k kP k k --∴++，则直线2B P 的方程为211221)k y x k +=-+-（， 令0y =，则2(21)21k x k -=+， 即2(21)(,0)21k F k -+，直线12A B 的方程为220x y -+=，由220(2)x y y k x -+=⎧⎨=-⎩，解得4221421k x k k y k +⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，424(,)2121k k E k k +∴--，∴EF 的斜率421212(21)4242121k k k m k k k k -+-==-+-+- ， ∴2112242k m k k +-=⋅-=（定值）． 19. （1）22()()ln g x f x ax bx x ax bx =++=++， 1()2g x ax b x'∴=++，由题意得(1)120g a b '=++=， 21b a ∴=--；（2）11(21)(1)()2221(0)ax x g x ax b ax a x x x x--'=++=+--=>，①当0a =时，(1)()(0)x g x x x--'=>，当1x >时，()0g x '<，∴函数()g x 在(1,)+∞单调减； 当01x <<时，()0g x '>，∴函数()g x 在(0,1)单调增；②当102a <<时，即112a>，12()(1)2()(0)a x x a g x x x --'=>， ∴函数()g x 在(11,)2a 上单调减；函数()g x 在(12,)a +∞和(0,1)单调增；③当12a =时，即21a =，2(1)()0(0)x g x x x -'=≥>，∴函数()g x 在(0,)+∞单调增；④当12a >时．即112a<，12()(1)2()(0)a x x a g x x x --'=>， ∴函数()g x 在(1,1)2a单调减区间；函数()g x 在(1,)+∞和(0,12)a单调增；（3）由题设210x x >>，21212211ln ln 1111x x k x x x x x x -∴<<⇔<<- 21212121ln ln x x x x x x x x --⇔<-< 22211111ln 1x x x x x x ⇔-<<- ①令()ln 1(1)h x x x x =-+>，则11()1(1)x h x x x x-'=-=>， 1x ∴>时，()0h x '<， ∴函数()g x 在(1,)+∞是减函数， 而(1)0h =，1x ∴>时，()(1)0h x h <=210x x >>，211x x ∴>， 222111()ln 10x x x h x x x ∴=-+<，即2211ln 1x xx x <-， ②令1()ln 1(1)H x x x x =+->，则22111()(1)x H x x x x x-'=-=>，1x ∴>时，()0H x '>， ∴()H x 在(1,)+∞是增函数，1x ∴>时，()(1)0H x H >=， 2221111()ln 10x x H x x x x ∴=+->，即221111ln x x x x -< ③由①②③得2111k x x <<．20.（1）1C =，21n n a S An Bn ∴+=++，①令1n =，可得121a A B =++，即2A B +=，令2n =，可得122421a a A B +=++，即425A B +=，13,22A B ∴==,213122n n a S n n ∴+=++， ①当2n ≥时，21113(1)(1)122n n a S n n --∴+=-+-+， ②①-②，得121n n a a n --=+(2)n ≥，11[(1)]2n n a n a n -∴-=--，即112n n b b -=，又111102b a =-=≠，0n b ≠，112n n b b -=∴， ∴数列{}n b 是等比数列； ②数列{}n a 是等差数列，∴设11(1)(1),2n n n n a a n d S na d -=+-=+， 21n n a S An Bn +=++， 1221()221d dn a n a An B d n ∴++++=+-，*n N ∈ 11221d A d B a a d ⎧=⎪⎪⎪∴=+⎨⎪-=⎪⎪⎩，5111122122223d d d a a d d d Ad B +--=++-∴===； （2）当0C =时，2n n a S An Bn +=+数列{}n a 是等差数列，11a =，∴(1)1(1),2n n n n a n d S n d -=+-=+， 22(1)122d dn n An Bn d ∴++=++-， 1d ∴=，n a n ∴=，21(1)11111(1)1n n a n n n n ++++=+-++， 1111ni n n ==+-∴+， 13311111ni n n n n λλ=∴-≤-≤+-+++，即211n n λ≤+++， *n N ∴∀∈，211n n λ≤+++，令2()f x x x =+， 22222()1x f x x x -'=-=，当2x ≥时，()0f x '>， ()f x ∴在[2,)+∞上是增函数，而12n +≥，min 2(1)31n n ∴++=+，3λ∴≤．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A ．连接BC ，,AB CD 相交于点E ．因为AB 是线段CD 的垂直平分线， 所以AB 是圆的直径，∠ACB ＝90°．设AE x =，则6EB x =-，由射影定理得CE 2＝AE ·EB ，又CE =(6)5x x -=，解得1x =（舍）或5x =所以，AC 2＝AE ·AB ＝5×6＝30，ACB ．2415⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M ，即24215a b +⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦， ∴24,21 5.a b +=⎧⎨-=⎩ 解得2,3.a b =⎧⎨=⎩，∴1231M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 解法一：12det()731M ∴==--， 11212777731317777M ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦. 解法二:设1c d M e f -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，由1M M -=1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，得32103201c d c d e f e f +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥+-⎣⎦⎣⎦∴31,30,20,2 1.c d e f c d e f+=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪-=⎩ 解得1,72,73,71.7c d e f ⎧=⎪⎪⎪=⎪⎨⎪=⎪⎪⎪=-⎩112773177M -⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． C ．因为圆心为直线2sin()sin 33ππρθ-=与极轴的交点，所以令0θ=，得1ρ=，即圆心是(1,0)，又圆C 经过点6P π，）， ∴圆的半径1r ==，∴圆过原点， ∴圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=．（说明：化为普通方程去完成给相应的分数）D.由,,a b c 为正数，根据平均值不等式，得11a b+≥11b c +≥，11a c +≥．将此三式相加，得1112()a b c ++≥++111a b c ++≥．由1abc =，则有1=．所以，111a b c ++≥+= 22.（1）令2n n a c n +=，则11(33)4622(33)(2)23311(1)n n n n n n n a n a n a a n c n n nc n n ++++++++++====+++=， 11210c a =+=≠，0n c ∴≠，13n nc c +∴=，∴数列{}n c ，即2n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）由（1）得123n n a n -+=，132n n a n -∴=⋅-，1312n n n b a n -∴==+， 下面用数学归纳法证明当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++<-+．①当2n =时，不等式的左边341173412b b =+=+=，右边413555=-=，而73125<， ∴2n =时，不等式成立；②假设当(2)n k k =≥时，不等式成立，即12241521k k k b b b k +++++<-+；当1n k =+时，11122(1)12221221()()k k k k k k k k k b b b b b b b b b +++++++++++++=+++++- 4111152121221k k k k <-++-++++641152214152(1)4152(1)1k k k k =+-++=-+<-++∴当1n k =+时，不等式也成立． 由①②可得，当2n ≥，*n N ∈时，12241521n n n b b b n +++++≤-+．23. （1）设(,)M x y ，则(,)N x p -，(0,)NM y p ∴=+，(,2)NF x p =-，(,)FM x y p =-，(,2)FN x p =-，NM NF FM FN ⋅=⋅，22()2()p y p x p y p ∴+=--，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； 另解：设(,)M x y ，则(,)N x p -，NM NF FM FN ⋅=⋅，()0NF MN MF ∴⋅+=，∴以,MN MF 为邻边的平行四边形是菱形，MF MN ∴=，y p =+ ，24x py ∴=，即动点M 的轨迹C 的方程为24x py =； （2）①设0(,)Q x p -，211(,)4x A x p ，222(,)4x B x p ，则 切线QA 的方程2111(,)42x xy x x p p-=-， 21101()42x xp x x p p∴--=-，22101240x x x p ∴--=， ①同理22202240x x x p ∴--=， ② 方法1:①②得12120()(2)0x x x x x -+-=，12120,20x x x x x ≠∴+-=，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列.方法2：由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，1202x x x ∴+=，即A 、Q 、B 三点的横坐标成等差数列. ②由①②得12,x x 是方程220240x x x p --=的两根，12021224x x x x x p +=⎧∴⎨⋅=-⎩， (4,)Q p --，1221284x x x x p +=-⎧∴⎨⋅=-⎩， 20AB =，20，20，20=， 4217160p p ∴-+=，1p ∴=或4p =.。
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2015年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．已知集合{}2|20M x x x =-≥,{}|1N x x =≤，则R M N （ ）ð= .2．如果1a bi -+与-b i +互为共轭复数（,a b ∈R ，i 为虚数单位）， 则||a bi += ．3．如右图，该程序运行后输出的结果为 .4．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，1AC =．若sin B ＝13，则AM ＝________.5．某单位有,,A B C 三部门，其人数比例为3∶4∶5，现欲用分层抽样方法抽调n 名志愿者支援西部大开发 ．若在A 部门恰好选出了6名志愿者，那么n ＝________． 6．函数()2sin()(0,f x x ωϕω=+>且||)2πϕ<的部分图像如图所示,则(0)f 的值为 .7．连续抛掷两颗骰子得到的点数分别是a ，b ，则函数2()f x ax bx =-在1x =处取得最值的概率是 .8．在等差数列{}n a 和等比数列{}n b 中，已知12128,2,1,2a a b b =-=-==，那么满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是 .9．已知如图所示的多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 是菱形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝3π.若BF ＝BD＝2，则多面体的体积 ．10．如果关于x 的方程23ax x+=有两个实数解，那么实数a 的值是 ．11．设()()2,0,1,0.x a x f x x a x x⎧-⎪=⎨++>⎪⎩… 若()0f 是()f x 的最小值，则实数a 的取值范围为 .12．已知椭圆2221(3x ya a +=>的中心、右焦点、右顶点依次为,,,O F G直线2x =x 轴 交于H 点，则FG OH取得最大值时a 的值为 .13．在四边形ABCD 中，2AB =，AD BC = ，BABC BA BC +=，则四边形ABCD 的面积是 ． 14．()f x 是定义在R 上的奇函数，若当0x ≥时，[)[)12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪--∈+∞⎩ ，则关于x 的函数()()(10)F x f x a a =+-<<的所有零点之和为 （用a 表示） 二、解答题：本大题共6小题，共90分.15．（本小题满分14分）如图，在xoy 平面上，点(1,0)A ，点B 在单位圆上，AOB θ∠=（0θπ<<）（1）若点34(,)55B -，求tan()4πθ+的值；（2）若OA OB OC += ，1813OB OC ⋅= ，求cos()3πθ-.16．（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中,PAC ⊥平面平面A B C D ,ABC ∆是边长为4的正三角形,AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点,又120ADC ∠=,点N 在线段PB 上,且13PN NB =. (1)求证：PA BD ⊥；(2)求证：//MN 平面PDC .17.（本小题满分14分）2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a 元（a 为常数，25a ≤≤），设每枚徽章的售价为x 元（3541x ≤≤）.根据市场调查，日销售量与x e （e 为自然对数的底数）成反比例.已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚. （1）求该商店的日利润()L x 与每枚徽章的售价x 的函数关系式；（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润()L x 最大？并求出()L x 的最大值.FEDCBACBP18．(本小题满分16分) 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点)． （1）若A 是椭圆E 的上顶点，12,F F 分别是左右焦点，直线12,AF AF 分别交椭圆于,B C ，直线BO 交AC 于D ，求证:3:5ABD ABC S S ∆∆=；（2）若12,A A 分别是椭圆E 的左右顶点，动点M 满足212MA A A ⊥，且1MA 交椭圆E 于点P ．求证：OP OM ⋅为定值.19.（本小题满分16分）已知函数21()ln 2f x ax x =+，()g x bx =-，设()()()h x f x g x =-.（1）若()f x在x =处取得极值，且(1)(1)2f g '=--，求函数h (x )的单调区间； （2）若0a =时函数h (x )有两个不同的零点x 1,x 2.①求b 的取值范围；②求证：1221x x e >.20.（本小题满分16分）若数列{}n C1n c +，②存在常数(M M 与n 无关），使n c M ≤.则称数列{}n c 是“和谐数列”.（1）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且442,30a S ==，求证：数列{}n S 是“和谐数列”；（2）设{}n a 是各项为正数，公比为q 的等比数列，n S 是{}n a 的前n 项和，求证：数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应．．．．．．．．．．．．的答题区域内作答．．．．．．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若AB = 2 BC ， 求证：A C ∠=∠．B ．（选修４－２：矩阵与变换）已知矩阵21a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中,a b 均为实数，若点(3,1)A -在矩阵M 的变换作用下得到点(3,5)B ，求矩阵M 的特征值.C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线1325: 45x t C y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）和曲线22:sin 2cos C ρθθ=相交于A B 、两点，求AB 中点的直角坐标．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知实数a ，b ，c ，d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=，求a 的取值范围．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位同学商量高考后外出旅游，甲提议去古都西安，乙提议去海上花园厦门，丙表示随意．最终，三人商定以抛硬币的方式决定结果．规则是：由丙抛掷硬币若干次，若正面朝上，则甲得一分、乙得零分；若反面朝上，则乙得一分、甲得零分，先得4分者获胜．三人均执行胜者的提议．若记所需抛掷硬币的次数为X ． （1）求6X =的概率；（2）求X 的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在数学上，常用符号来表示算式，如记0ni i a =∑=0123n a a a a a +++++ ，其中i N ∈，n N +∈.（1）若0a ，1a ，2a ，…，n a 成等差数列，且00a =，求证：()0nii n i a C ==∑12n n a -⋅；（2）若22201221(1)nknn k x a a x a x a x =+=+++∑ ，20nn i i b a ==∑，记11[(1)]ni in i ni d b C ==+-∑，且不等式(1)n n t d b ⋅-≤恒成立，求实数t 的取值范围.2015年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．(]0,1； 2； 3．1027； 由流程图，b 和a 的值依次为1,1;3,2;10,3;1027,4，结束循环.45．24；6．7112； 8．{}3,5 ；【解析】 由已知得，1614,2n n n a n b -=-=，令n n a b =，可得16142n n --=，解得3n =或5，所以满足n n a b =的n 的所有取值构成的集合是{}3,5. 9【解析】如图，连接AC ，AC ∩BD ＝O .因为四边形ABCD 是菱形，所以，AC ⊥BD ，又因为ED ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以，ED ⊥AC .因为，ED ，BD ⊂平面BDEF ，且ED ∩BD ＝D ，所以，AC ⊥平面BDEF ，所以，AO 为四棱锥A -BDEF 的高．又因为，四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝3π，所以，△ABD 为等边三角形．又因为，BF ＝BD ＝2，所以，AD ＝2，AO＝，S 四边形BDEF ＝4，所以，V 四棱锥A -BDEF＝，即多面体的体积为. 10．2± ； 11．[]0,2； 12．2；13．；【解析】 设BA a BA = ，BC b BC = ，BD c BD =，则|a |=|b |=|c |=1，a +b，所以，得cos<a ,b >=12,又由AD BC = ，所以，可得图形为有一个3π角的菱形，所以，其面积22S =⨯=. 14．112a⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】 根据对称性，作出R 上的函数图象，由()()F x f x a =+，所以，零点就是()f x 与()0,1y a =-∈交点的横坐标，共有5个交点，根据对称性，函数()f x 的图象与()0,1y a =-∈的交点在()2,4之间的交点关于3x =对称，所以，126x x +=，在()()5,43,2----之间的两个交点关于3x =-对称，所以，346x x +=-，设(]1,0x ∈-，则[)0,1x -∈，所以，12()log (1)()f x x f x -=-+=-，即12()log (1)f x x =--+，由()0f x a +=，所以，12log (1)0x a --++=，即5112a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，12345112ax x x x x ⎛⎫++++=- ⎪⎝⎭.二、解答题15. （1）由于34(,)55B -，AOB θ∠=，所以3cos 5θ=-，4sin 5θ= ，所以4tan 3θ=-， 所以1tan 1tan()41tan 7πθθθ++==-- ；（2）由于(1,0)OA = ,(cos ,sin )OB θθ=,所以(1cos ,sin )OC OA OB θθ=+=+,22218cos (1cos )sin cos cos sin 13OC OB θθθθθθ⋅=⨯++=++= .所以5cos 13θ=，所以12sin 13θ=，所以cos()coscos sinsin 333πππθθθ-=+=16．（1）因为ABC ∆是正三角形,M 是AC 中点, 所以BM AC ⊥,即BD AC ⊥,又PAC ABCD ⊥平面平面,,PAC ABCD AC = 平面平面BD ⊂平面ABCD ,,BD AC ⊥所以BD ⊥平面PAC .又PA ⊂平面PAC ,所以.PA BD ⊥.(2)在正三角形ABC 中,BM =在ACD 中，因为M 为AC 中点, DM AC ⊥，所以AD CD =, 因为120ADC ∠= ,所以60ADM ∠= . 所以, DM =,所以:3:1BM MD =, 所以::BN NP BM MD =,所以//MN PD . 又MN ⊄平面PDC ,PD ⊂平面PDC ,所 以//MN 平面PDC . 17. （1）设日销售量为x k e ，则4010k e =， 所以4010k e =，则日销售量为4010x e e 枚.每枚徽章的售价为x 元时，每枚徽章的利润为(30)x a --元，则日利润40401030()(30)10(3541)x xe x aL x x a e x e e --=--=≤≤ .（2）4031()10(3541)x a xL x e x e +-'=≤≤ .①当24a ≤≤时，333135a ≤+≤，而3541x ≤≤， 所以()0,()L x L x '≤在[]35,41上单调递减，则当35x =时，()L x 取得最大值为510(5)a e -. ②当45a <≤时，353136a <+≤，令()0L x '=，得31x a =+，OFEDCBACBP当[]35,31x a ∈+时，()0,()L x L x '>在[]35,31a +上单调递增； 当(]31,41x a ∈+时，()0,()L x L x '<在(]31,41a +上单调递减. 所以当31x a =+时，()L x 取得最大值为910a e -.综上，当24a ≤≤时，每枚徽章的售价为35元时，该商店的日利润()L x 最大,5max ()10(5)L x a e =-; 当45a <≤时，每枚徽章的售价为（31a +）元时，该商店的日利润()L x 最大，9max ()10a L x e -= . 18. （1）易得22211,a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，所以,椭圆E 的方程为22142x y +=；所以，12(A F F ，所以，直线:AB y x =:AC y x =- 将y x =230x +=，所以(B，同理可得C ， 所以直线BO 为14y x =，联立12y xy x ⎧=⎪⎨⎪=-+⎩，得交点D ，所以，88,53AD AC ==，即:3:5AD AC =所以，:3:5ABD ABC S S = ； （2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， 易得直线1MA 的方程为0042y yy x =+， 代入椭圆22142x y +=,得()2222000140822y y y x x +++-=， 由()201204828y x y --=+得，()20120288y x y --=+，从而012088y y y =+， 所以()()2220000022220000284888 (2 )48888y y y y OP OM y y y y y ----⎛⎫⋅=⋅=+= ⎪++++⎝⎭ ，，. 19. (1)因为1()f x ax x'=+，所以(1)1f a '=+, 由(1)(1)2f g '=--可得a =b-3. 又因为()f x在x =处取得极值，所以0f '=+=， 所以a = -2,b =1 . 所以2()ln h x x x x =-++，其定义域为（0，+∞）2121(21)(1)()21=x x x x h x x x x x-++-+-'=-++=令()0h x '=得121,12x x =-=，当x ∈（0,1）时，()>0h x '，当x ∈（1,+∞）()<0h x '，所以函数h (x )在区间（0,1）上单调增；在区间（1,+∞）上单调减. （2）当0a =时，()ln h x x bx =+，其定义域为（0，+∞）. ①由()0h x =得ln -x b x =，记ln ()x x x ϕ=-，则2ln 1()x x x ϕ-'=, 所以ln ()xx xϕ=-在(0,)e 单调减，在(,)e +∞单调增， 所以当x e =时ln ()x x x ϕ=-取得最小值1e-. 又(1)0ϕ=，所以(0,1)x ∈时()0x ϕ>，而(1,)x ∈+∞时()0x ϕ<,所以b 的取值范围是（1e-，0）.②由题意得1122ln 0,ln 0x bx x bx +=+=,所以12122121ln ()0,ln ln ()0x x b x x x x b x x ++=-+-=,所以12122121ln ln ln x x x x x x x x +=--，不妨设x 1<x 2,要证212x x e > , 只需要证12122121ln (ln ln )2x x x x x x x x +=->-. 即证2121212()ln ln x x x x x x -->+，设21(1)xt t x =>,则2(1)4()ln ln 211t F t t t t t -=-=+-++, 所以22214(1)()0(1)(1)t F t t t t t -'=-=>++, 所以函数()F t 在（1，+∞）上单调增，而(1)0F =，C所以()0F t >即2(1)ln 1t t t ->+, 所以212x x e > .20. （1）设公比为q ，则3411414161(1)21a a q a a q q s q ⎧==⎧⎪⎪⇒⎨⎨-==⎪⎪⎩-⎩, 所以51322n n s -=-.≤141322n n S +-=-=.且513232.2n n S -=-<即存在常数32,所以，数列{}n S 是“和谐数列” . （2）充分性设等比数列{}n a 的公比q ，且0 1.q << 则1111(1)1111n n n a q a a q aS q q q q-==-<----. 令11aM q =-，则.n S M <因为222222112()(1)(1)((1)11n n n n n n n a aS S q q q q q q q ++++=--=--+--21222122111((12)((1)11n n n n a aq q q S q q++++<-+=-=-- 所以{}n S 是“和谐数列” 必要性等比数列{}n a 各项为正，且n S 是“和谐数列”. 因为0.n a > 所以，0.q > 下面用反证法证明，1q <（1）当1,q =则1,n S na =因为10,a >所以，不存在M ，使1na M <对1n N -∈恒成立; 当1q >，则111(1)111n n n a q a aS q q q q -==---- 所以，对于给定的正数M ，若11,11n a aq M q q ->--因为，1q >，所以，11log (1).q q n M a ->+ 即当11log (1)q q n M a ->+时，有n S M >. 所以，不存在常数M ，使.n S M ≤ 所以，0 1.q <<综上,数列{}n S 是“和谐数列”的充要条件为其公比为01q <<.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o ，． 由AB = 2 BC ， 所以，AB OC =，因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ． 于是△ADB ≅△CDO ， 所以，AD DC =所以，A C ∠=∠.B ．由条件可知233115a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以233,315a b ⨯-=⎧⎨-=⎩， 则3,2a b ==． 矩阵的特征多项式为223()(2)(1)(2)(3)3421f λλλλλλλ--==-----=---- 令()0f λ=,得两个特征值分别为121,4λλ=-=． C. 将1C 化为直角坐标方程为4380x y --= 将2C 化为直角坐标方程为22y x =将直线方程代入22y x =可得22380y y --=解之可得1232y y +=，124y y =-，所以，2212124128y y x x ++== 所以，中点坐标为341,416⎛⎫⎪⎝⎭D. 由柯西不等式，得()2222111(236)()b c d b c d ++++++≥，即()2222236b c d b c d ++++≥． 由条件，得()2253a a --≥， 解得12a ≤≤==时等号成立，代入111,,36b c d ===时，max 2a =；211,,33b c d ===时，min 1a =，所以a 的取值范围是[1,2]． 22. （1）抛掷硬币正面向上、反面向上的概率都为12，()323511156222216P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）X 的分布列为:所以，1155934567.84161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯=23. （1）设等差数列的通项公式为0n a a nd =+，其中d 为公差则()0nii n i a C ==∑12012n n n n n a a C a C a C ++++ 01120()(2)n n n n n n n n a C C C d C C nC =++++++ 因为11k k n n kC nC --=所以122n n n n C C nC ++ 011111()n n n n n C C C ----=+++所以()0ni i n i a C ==∑1022n n a nd -⋅+⋅=12n n a -⋅.注：第（1）问也可以用倒序相加法证明. （2）令1x =，则223202(14)22222421n nnn i i a =-=++++==⋅--∑令1x =-，则20[(1)]0ni i i a =-=∑，所以20nn i i b a ==∑1(242)412n n =⋅-=-根据已知条件可知，012233(41)(41)(41)(1)(41)n n nn n n n n n d C C C C C =--+---++--01223301234[(4)(4)(4)(4)][(1)]1n n n nn n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C =+-+-+-++---+-+++-+(14)(11)1(3)1n n n =---+=-+，所以(3)1n n d =-+将41n n b =-、(3)1n n d =-+代入不等式(1)n n t d b ⋅-≤得，(3)41n n t ⋅-≤-当n 为偶数时，41()()33n n t ≤-，所以22415()()333t ≤-=；当n 为奇数，41[()()]33n n t ≥--，所以1141[()()]133t ≥--=-；综上所述，所以实数t 的取值范围是5[1,]3-.。