新苏教版八年级数学上册《勾股定理》单元测试(附答案)
【苏科版】八年级数学上册第三章 勾股定理 单元测试卷(含答案)
初二数学上册第三章勾股定理单元测试一、选择题（24分）1.一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（）A、4B、8C、10D、122.直角三角形的一直角边长是7cm，另一直角边与斜边长的和是49cm，则斜边的长（）A、18cmB、20cmC、24cmD、25cm3. 在△ABC中，三边长满足b ²-a ²=c ²，则互余的一对角是（）A、∠A与∠BB、∠C与∠AC、∠B与∠CD、∠A、∠B、∠C4. 一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米5.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A、42B、32C、42或32D、37或336. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A、3cm²B、4cm²C、6cm²D、12cm²第6题第8题第12题二、填空题（24分）7. △ABC中，AB=10，BC=16，BC边上的中线AD=6，则AC=8. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，•所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形F的边长为8cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是cm2.9.直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，则直角三角形的面积是.10.在RT△ABC中，∠ACB=90°，且c+a=9,c-a=4，则b= .11.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，则斜边AB= .斜边B上的高线长为.12. 如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的、若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是______.三、解答题（10+10+10+10+12=52分）13. 已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积、14. 在平静的湖面上，有一枝荷花，高出水面1米、一阵风吹过来，荷花被吹到一边，花朵齐及水面、已知荷花移动的水平距离为2米，问这里的水深多少米？15. 如图，一张长方形纸片宽AB＝8 cm，长BC＝10 cm、现将纸片折叠，使顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)，求EC的长、16. 如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC 边上的点，且DE⊥DF.（1）请说明：DE=DF；（2）请说明：BE2+CF2=EF2；（3）若BE=6，CF=8，求△DEF的面积.（直接写结果）17. 如图所示，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB边上一点、（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）若AD=5，BD=12，求DE的长参考答案1.C2.D3.B4.D5.C .6.C7.108. 649.6cm² 10.6 11. 10 4.8 12.7613.14. 如图，设这里水深为xm在Rt△ABC中，（x+1）2=22+x2解之得：x=1.5米、15.解:设CE=x则DE=8-x易知DE=EF AD=AF(折叠度变)直角△ADF AB=8AF=AD=10由勾股定理BF=6CF=10-6=4在直角△CFE中，CD=4，CE=x，EF=DE=8-x由勾股定理: x²+4²=(8-x) ²x+16=x-16x+64 1x=3即EC=3cm16. （1）连接AD因为△ABC是等腰直角三角形，且D为斜边BC中点所以，AD⊥BC且AD平分∠BAC，AD=BD=CD所以，∠DAE=∠C=45°又已知DE⊥DF所以，∠EDA+∠FDA=90°而，∠CDF+∠FDA=90°所以，∠EDA=∠CDF那么，在△ADE和△CDF中：∠DAE=∠DCF（∠C）=45°（已证）DA=DC（已证）∠EDA=∠CDF（已证）所以，△ADE≌△CDF所以，AE=CF，DE=DF.（2）因为AE=CF，AB=AC所以AB-AE=AC-CF即BE=AFRt△AEF中，∠A=90度所以所以.（3）△DEF的面积为25 .17. 证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=D C、∵∠ACE=∠DCE﹣∠DCA，∠BCD=∠ACB﹣∠DCA，∠ACB=∠ECD=90°，∴∠ACE=∠BC D、在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS）、（2）解：又∠BAC=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，即△EAD是直角三角形，∴DE===13、。
苏科版初二数学上册《勾股定理》单元测试卷及答案解析
苏科版初二数学上册《勾股定理》单元测试卷及答案解析一、选择题1、下列各组数据为边的三角形中，是直角三角形的是（）A．、、7 B．5、4、8 C．、2、1 D．、3、2、在直角坐标系中，已知点P的坐标为（5,12），则点P到原点的距离是（）A．5 B．12 C．13 D．173、如图，四边形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积为（）A．6cm2B．30cm2C．24cm2D．72cm24、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AC上一点，且DA＝DB＝5，又△DAB的面积为10，那么DC的长是（）A．3 B．4C．5 D．65、在下列条件中，△ABC不是直角三角形的是（）A．b2＝a2－c2B．a2：b2：c2＝1：3：2C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．∠A+∠B＝∠C6、a、b、c是△ABC的三边长，且关于x的方程x2-2cx+a2+b2=0有两个相等的实数根，则这个三角形是( )A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形7、△ABC是锐角三角形，若AB＝2，∠A＝45°，则AC的长可能是（）A. 1B. 2C.3D.48、如图，在三角形ABC中，∠C=90゜，两直角边AC=6，BC=8，三角形内有﹣点P，它到各边的距离相等，则这个距离是（）A．1 B．2C．3 D．无法确定二、填空题9、已知直线上有一点 B(1，b)，点 B 到原点的距离为，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____.10、如图所示,一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯________.11、如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为_______.（第10题图）（第11题图）（第12题图）12、如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是__________。
苏教版初二数学第三章《勾股定理》单元基础练习(含答案)
第三章《勾股定理》单元基础练习一．选择题（共10小题）1．已知在ABC∠的度数是()∠=︒，则BAACB∆中，90∠=︒，60A．30︒B．35︒C．40︒D．502．若直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边的长为()A．17 B．7 C．14 D．133．如图，正方形ABCD的面积是()A．5 B．25 C．7 D．1第3题第4题4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若2+=，大正方形的面积为13，则小正a b()21方形的边长为()A．3B．2 C．5D．65．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若BC=，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2 6AC=，5所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是()A．72 B．52 C．80 D．766．如图所示，将一个含有45︒角的三角板的直角顶点放在直线b上，已知//∠=︒，a b，若135那么2∠的度数是()A．35︒B．45︒C．55︒D．65︒第6题第9题7．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是()A．1，3，2 B．4，5，6 C．5，12，13 D．1，2，5 8．下列各组数据中，不是勾股数的是()A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，6，99．已知直线//m n，将一块含45︒角的直角三角板ABC按如图方式放置，其中斜边BC与直线n交于点D．若125∠=︒，则2∠的度数为()A．60︒B．65︒C．70︒D．75︒10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知90AB=，8AC=，∠=︒，6BAC点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为()A．40 B．44 C．84 D．88二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt ABC∠=︒，点D是AB延长线上的一点，则CBD∠A∠=︒，50ACB∆中，90的度数是︒．第11题第12题12．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．13．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于．第13题第14题14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图中是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼凑而成的．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 ．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为 ．第15题第16题16．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠= ︒（点A ，B ，P 是网格线交点）．17．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 ．18．如图，每个小正方形边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则2AB = ，ABC ∠=︒．第18题第19题第20题19．如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为0.7米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得AE 长为0.9米，则梯子底端点B 移动的距离为了 米．20．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m ，宽1.2m 的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m 长．三．解答题（共6小题）21．如图，90B ACD ∠=∠=︒，3BC =，13AD =，12CD =，求AB 的长．22．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC = cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ = ；（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．23．如图，已知30MAN ∠=︒，点B 在射线AM 上，且6AB =，点C 在射线AN 上． （1）若ABC ∆是直角三角形，求AC 的长；（2）若ABC ∆是等腰三角形，则满足条件的C 点有 个； （3）设BC x =，当ABC ∆唯一确定时，直接写出x 的取值范围．24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．2221(1)2OA =+=，11S =22231(2)3OA =+=，22S =22241(3)4OA =+=，13S =⋯（1）（直接写出答案）210OA = ，并用含有(n n 是正整数）的等式表示上述变规律：2n OA = ；n S = ．（2）若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．26．如图所示，已知ABCBC cm∆边上=，12=，P、Q是ABCAB cmB∆中，90∠=︒，16的两个动点，其中点P从点A开始沿A B→方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C A→→方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts．（1）出发3s后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发多久后，PQB∆能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ∆成为等腰三角形的运动时间．参考答案一．选择题（共10小题）1．已知在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，则B ∠的度数是( ) A ．30︒ B ．35︒ C ．40︒ D ．50【解答】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒， 30B ∴∠=︒，故选：A ．2．若直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边的长为( ) A ．17 B ．7 C ．14 D ．13【解答】由勾股定理可得：斜边2251213=+=，故选：D ．3．如图，正方形ABCD 的面积是( ) A ．5B ．25C ．7D ．1【解答】设正方形的边长为c ， 由勾股定理可知：22234c =+， 225c ∴=，故选：B ．4．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()21a b +=，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为( ) A ．3B ．2C ．5D ．6【解答】如图所示：2()21a b +=， 22221a ab b ∴++=，大正方形的面积为13， 221138ab =-=，∴小正方形的面积为1385-=．故小正方形的边长为5， 故选：C ．5．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若6AC =，5BC =，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是( )A ．72B ．52C ．80D ．76【解答】依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则 222125169x =+=所以13x =所以“数学风车”的周长是：(136)476+⨯=． 故选：D ．6．如图所示，将一个含有45︒角的三角板的直角顶点放在直线b 上，已知//a b ，若135∠=︒，那么2∠的度数是( ) A ．35︒B ．45︒C ．55︒D ．65︒【解答】490∠=︒，134180∠+∠+∠=︒， 3180359055∴∠=︒-︒-︒=︒，直线//a b ， 2355∴∠=∠=︒故选：C ．7．以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是( ) A ．1，3，2B ．4，5，6C ．5，12，13D ．1，2，5【解答】A 、2221(3)2+=，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；B 、222456+≠，不符合勾股定理的逆定理，故此选项符合题意；C 、22251213+=，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意；D 、22212(5)+=，符合勾股定理的逆定理，故此选项不合题意．故选：B ．8．下列各组数据中，不是勾股数的是( ) A ．3，4，5B ．7，24，25C ．8，15，17D ．5，6，9【解答】A 、222345+=，是勾股数；B 、22272425+=，是勾股数；C 、22281517+=，是勾股数；D 、222569+≠，不是勾股数．故选：D ．9．已知直线//m n ，将一块含45︒角的直角三角板ABC 按如图方式放置，其中斜边BC 与直线n 交于点D ．若125∠=︒，则2∠的度数为( )A ．60︒B ．65︒C ．70︒D ．75︒【解答】设AB 与直线n 交于点E ， 则1254570AED B ∠=∠+∠=︒+︒=︒． 又直线//m n ，270AED ∴∠=∠=︒．故选：C ．10．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，已知90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，点D 、E 、F 、G 、H 、I 都在矩形KLMJ 的边上，则矩形KLMJ 的周长为( )A ．40B ．44C ．84D ．88【解答】如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，∴四边形AOLP 是正方形，边长6814AO AB AC =+=+=，61420KL ∴=+=，81422LM =+=，∴矩形KLMJ 的周长为2(2022)84⨯+=．故选：C ．二．填空题（共10小题）11．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，50A ∠=︒，点D 是AB 延长线上的一点，则CBD ∠的度数是 140 ︒．【解答】90ACB ∠=︒，50A ∠=︒， 9050140CBD ∴∠=︒+︒=︒，故答案为：140．12．图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 36 ．【解答】正方形的边长为221086-，∴此正方形的面积为2636=，故答案为：36．13．如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成．如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那么一个直角三角形的两直角边的和等于 10 ．【解答】设设三角形的两直角边分别为x ，y ， 则22252()4x y x y ⎧+=⋯⎨-=⋯⎩①②， 由②得2224x y xy +-=⋯③， ①-③得248xy =则()22225248100x y x y xy +=++=+=， 10010x y +==．故答案是：10．14．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．图中是由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼凑而成的．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若12310S S S ++=，则2S 的值是 103．【解答】将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， 正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，12310S S S ++=，∴得出18S y x =+，24S y x =+，3S x =，12331210S S S x y ∴++=+=，故31210x y +=，1043x y +=，所以21043S x y =+=，故答案为：103．15．如图所示的图形由4个等腰直角形组成，其中直角三角形（1）的腰长为1cm ，则直角三角形（4）的斜边长为 4 ．【解答】4个三角形均为等腰直角三角形，∴直角三角形④的斜边长122224=⨯⨯⨯⨯=．故答案为：4．16．如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠= 45 ︒（点A ，B ，P 是网格线交点）．【解答】45CPA ∠=︒，CPA PAB PBA ∠=∠+∠， 45PAB PBA ∴∠+∠=︒，故答案为：45．17．已知三角形三边长分别是6，8，10，则此三角形的面积为 24 ． 【解答】2226810+=，∴此三角形为直角三角形， ∴此三角形的面积为：168242⨯⨯=． 故答案为：24．18．如图，每个小正方形边长为1，A 、B 、C 是小正方形的顶点，则2AB = 10 ，ABC ∠=︒．【解答】连接AC ． 根据勾股定理可以得到：2221310AB =+=，2222125AC BC ==+=，5510+=，即222AC BC AB +=， ABC ∴∆是等腰直角三角形， 45ABC ∴∠=︒．故答案为：10，45．19．如图所示，一架梯子AB 长2.5米，顶端A 靠墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 距离为0.7米，梯子滑动后停在DE 的位置上，测得AE 长为0.9米，则梯子底端点B 移动的距离为了 1.3 米．【解答】在直角ABC ∆中，已知 2.5AB =米，0.7BC =米，22222507 2.4AC AB BC ∴--=米，在直角CDE ∆中，已知 2.4CE CE EA =+=米， 2.5DE AB ==米，0.9AE =米，1.5CE AC AE ∴=-=米，222225152CD ED CE ∴=-=-=米，2BD ∴=米0.7-米 1.3=米故答案为：1.3．20．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m ，宽1.2m 的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 1.5 m 长．【解答】由图可知这条木板的长为220.9 1.2 2.25 1.5m +==．三．解答题（共6小题）21．如图，90B ACD ∠=∠=︒，3BC =，13AD =，12CD =，求AB 的长．【解答】在Rt ACD ∆中，90ACD ∠=︒，13AD =，12CD =，由勾股定理得：2213125AC =-=，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，5AC =，3BC =，由勾股定理得：22534AB =-=．故AB 的长是4． 22．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）则BC = 12 cm ；（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ = ；（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．【解答】（1）90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =2222201612()BC AC AB cm ∴=--=．故答案为：12； （2）点P 在边AC 的垂直平分线上，PC PA t ∴==，16PB t =-，在Rt BPC ∆中，222BC BP CP +=，即22212(16)t t +-=解得：252t =． 此时，点Q 在边AC 上，2521213()2CQ cm =⨯-=； 故答案为：13cm ．（3）①当CQ BQ =时，如图1所示，则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒．90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠，BQ AQ ∴=，10CQ AQ ∴==，22BC CQ ∴+=，22211t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示，则24BC CQ +=，24212t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示，过B 点作BE AC ⊥于点E ，∴121648205AB BC BE AC ⨯===， ∴22365CE BC BE =-=． 214.4CQ CE ∴==，26.4BC CQ ∴+=，26.4213.2t ∴=÷=秒．综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ ∆为等腰三角形．23．如图，已知30MAN ∠=︒，点B 在射线AM 上，且6AB =，点C 在射线AN 上．（1）若ABC ∆是直角三角形，求AC 的长；（2）若ABC ∆是等腰三角形，则满足条件的C 点有 3 个；（3）设BC x =，当ABC ∆唯一确定时，直接写出x 的取值范围．【解答】（1）当90ABC ∠=︒时，30A ∠=︒，12BC AC ∴=， ∴设BC x =，则2AC x =， 在Rt ABC ∆中，由勾股定理得22364x x +=，解得23x =，23x =-（舍去）．43AC ∴=，当90ACB ∠=︒时，30A ∠=︒132BC AB ∴==， 33AC ∴=．（2）如图3，当AC BC =时，满足题意．如图4，当AC AB =时，满足题意．如图3，当AB BC =时，满足题意．故答案为：3．（3）当6BC 或3BC =时，ABC ∆唯一确定． 即3x =或6x ． 24．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．2221(1)2OA =+=，11S =22231(2)3OA =+=，22S = 22241(3)4OA =+=，13S =⋯ （1）（直接写出答案）210OA = 10 ，并用含有(n n 是正整数）的等式表示上述变规律：2n OA = ；n S = ．（2）若一个三角形的面积是5，计算说明它是第几个三角形？【解答】（1）2221(1)2OA =+=，22231(2)3OA =+=，22241(3)4OA =+=， 21010OA ∴=，1010OA ∴=，2221(1)2OA =+=，112S =22231(2)3OA =+=，222S = 22241(3)4OA =+=，13S =⋯ 2n OA n ∴=，n n S =； 故答案为：10，n ，n ； （2）设它是第m 个三角形，由题意得，5m =， 解得，20m =答：一个三角形的面积是5，它是第20个三角形．25．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．【解答】（1）三边分别为：3、4、5 （如图1)；（2）三边分别为：2、22、10（如图2)；（3）画一个边长为10的正方形（如图3)．26．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，12BC cm =，P 、Q 是ABC ∆边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．（1）出发3s 后，求PQ 的长； （2）当点Q 在边BC 上运动时，出发多久后，PQB ∆能形成等腰三角形？（3）当点Q 在边CA 上运动时，求能使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．【解答】（1）当3t =时，则3AP =，26BQ t ==，16AB cm =，16313()BP AB AP cm ∴=-=-=，在Rt BPQ ∆中，2222613205()PQ BQ BP cm =++．（2）由题意可知AP t =，2BQ t =，16AB =，16BP AB AP t ∴=-=-，当PQB ∆为等腰三角形时，则有BP BQ =，即162t t -=，解得163t =， ∴出发163秒后PQB ∆能形成等腰三角形；（3）①当CQ BQ =时，如图1所示， 则C CBQ ∠=∠，90ABC ∠=︒，90CBQ ABQ ∴∠+∠=︒．90A C ∠+∠=︒，A ABQ ∴∠=∠，BQ AQ ∴=，10CQ AQ ∴==，22BC CQ ∴+=，22211t ∴=÷=秒．②当CQ BC =时，如图2所示，则24BC CQ +=，24212t ∴=÷=秒．③当BC BQ =时，如图3所示，过B 点作BE AC ⊥于点E ，则121648205AB BC BE AC ⨯===， 2222483612()55CE BC BE ∴=-=-=， 214.4CQ CE ∴==，26.4BC CQ ∴+=，26.4213.2t ∴=÷=秒．综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ ∆为等腰三角形．。
第三章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，等边△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中顶点，，则顶点C的坐标为（）A. B. C. D.2、如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，交射线于点，交射线于点，再分别以、为圆心，的长为半径，两弧在的内部交于点，作射线，若，则两点之间距离为（）A.10B.12C.13D.3、如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6cm、BC＝8cm，现将△ABC折叠，使点B 与点A重合，折痕为DE，则BE的长为( )A.4cmB.5cmC.6cmD.10cm4、如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连结EG，BD相交于点O，BD与HC相交于点P.若GO=GP，则的值是（）A. B. C. D.5、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，若OB=6cm，OC=8cm，则BE+CG的长等于（）A.13B.12C.11D.106、如图以数轴的单位长线段为边作一个正方形，以数轴的原点为旋转中心，将过原点的对角线顺时针旋转，使对角线的另一端点落在数轴正半轴的点处，则点表示的数是（）A. B. C. D.7、绍兴是著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（）A.4mB.5mC.6mD.8m8、如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面积为y，则y与x之间的函数关系式是（）A.y= B.y=C.y=D.y=9、以下列线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A.a=3，b=4，c=6B.a=1，b= ，c=C.a=5，b=6，c=8 D.a= ，b=2，c=10、若为△ABC的三边，且，则△ABC的形状不可能是（）．A.锐角三角形B.钝角三角形C.等腰三角形D.直角三角形11、如图，在正方形ABCD中，AD=5，点E、F是正方形ABCD内的两点，且AE=FC=3，BE=DF=4，则EF的长为（）A. B. C. D.12、三角形的三边长ａ,ｂ,ｃ满足2ａｂ=(ａ+ｂ)2－ｃ2,则此三角形是（）A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等边三角形13、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当△AEF的周长最小时，则DF的长为（）A.1B.2C.3D.414、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A.3cmB.6cmC.3 cmD.6 cm15、底面周长为12cm，高为8cm的圆柱体上有一只小蚂蚁要从A点爬到B点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）cm．A.10B.8C.5D.4二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M的表示的数为________．17、如图，为直角三角形，其中，则的长为________。
第三章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)
第三章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-苏科版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（）A.a = 3， b = 4， c = 6B.a = 6， b = 9， c = 10C.a = 8，b = 15， c = 17D.a = 13， b = 14， c = 152、如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．其中最大的直角三角形两直角边长分别为2，3，则正方形A，B，C，D的面积之和为（）A.13B.26C.47D.943、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，A为大圆上任意一点，过A作小圆的割线AXY，若AX•AY=4，则图中圆环的面积为（）A.16πB.8πC.4πD.2π4、如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD．已知DE=6，∠BAC+∠EAD=180°，则弦BC的弦心距等于（）A. B. C.4 D.35、如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC+于E,∠EDC:∠EDO=1:2,且AC=10,则DE的长度是A.3B.5C.D.6、如图，为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OA n的长度为（）A.（）nB.（）n﹣1C.（）nD.（）n﹣17、直角三角形的两条边长分别是5和12，则斜边上的中线长是（）A.6B.6.5C.6或6.5D.6或2.58、如图1，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥，则圆锥的高为（）A. cmB.4cmC. cmD. cm9、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A.5，6，7B.5，12，13C.1，4，9D.5，11，1210、下列各数中，是勾股数的是（）A.0.3，0.4，0.5B.6，8，10C. ，，D.10，15，1811、如图，已知△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3 上，且 l1，l2 之间的距离为 1，l2，l3 之间的距离为 3，则 AC 的长是（）A. B. C. D.512、如图，在△中，，将△绕点顺时针旋转，得到△，连接，若，，则线段的长为（）A. B. C. D.13、如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点是上一动点，，则的最小值是（）A.10B.7C.5D.414、如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD边上，AE=1，AF=3，P为BD 上一动点，则线段EP+FP的长最短为（）A.3B.4C.5D.615、若△ABC三边长口，b，c满足+l| b-a-1|+(c-5)2=0，则△ABC是( )A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图中，由一个直角三角形和两个正方形组成，如果大正方形的面积为41，AB=5，则小正方形的面积为________．17、在等腰直角中，，，如果以的中点为旋转中心，将这个三角形旋转180°，点落在点处，则的长度为________.18、如图，在锐角△ABC中，AB＝，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD，AB上的动点，则BM＋MN的最小值是________．19、如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C的对角线A1C和OB1交于点M1；以M1A1为对角线作第二个正方形A2A1B2 M1，对角线A1 M1和A2B2交于点M2；以M2A1为对角线作第三个正方形A3A1B3 M2，对角线A1 M2和A3B3交于点M3；……，依次类推，这样作的第n个正方形对角线交点的坐标为M n________．20、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是边AC的中点，点E，F在边AB上，当△DEF是等腰三角形，且底角的正切值是时，△DEF腰长的值是________．21、如图，AB是⊙O的直径，AB=2，点C在⊙O上，∠CAB=30°，D为的中点，P是直径AB上一动点，则PC+PD的最小值为________．22、若直角三角形的两直角边长分别为，，则斜边的长为________cm．23、如图，在中，，，，垂足为，点，分别是线段，上的动点，且，则线段的最小值为________.24、如图，在菱形ABCD中，∠BAD=45°，DE是AB边上的高，BE=2，则AB的长是________．25、如图，在△ABC中，AB=BC=4，S△ABC=4 ，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK+QK的最小值为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。
数学八年级上《第一章勾股定理》单元测试(含答案解析)
先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．
此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．
10.试题分析：根据对称性可知： ， ，又 ，所以 ∽ ，根据相似的性质可得出： ， ，在 中，由勾股定理可求得AC的值， ， ，将这些值代入该式求出BE的值．
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 如图，有一块田地的形状和尺寸如图所示，则它的面积为______ ．
12.在 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．
13. 如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要______ 元钱．
14. 如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍______放入 填“能”或“不能” ．
15. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则 周长的最小值为______．
整理得： ，
解得： ， 两直角边分别为12cm，16cm，
则这个直角三角形的周长为 ．
故选D
根据两直角边之比，设出两直角边，再由已知的斜边，利用勾股定理求出两直角边，即可得到三角形的周长．
此题考查了勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
5. 解： 的面积 ，
由勾股定理得， ，
则 ，
【解答】
解：由图可知，直角三角形的斜边长为即为大正方形的边长，
根据勾股定理可知大正方形的面积为 ， ，即 ， ， 小正方形的面积 大正方形的面积 个直角三角形的面积 ．
(典型题)苏科版八年级上册数学第三章 勾股定理含答案
苏科版八年级上册数学第三章勾股定理含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光( )A.3mB.4mC.5mD.7m2、三角形一边长为，另两边长是方程的两实根，则这是一个（）.A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.任意三角形3、如图①, 已知正方体的棱长为4, E, F, G分别是AB, AA, AD的中点,1截面EFG将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何体, 如图②, 则图②中阴影部分(截面)的面积为（）A. B. C.2 D.34、如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（）.A. B. C. D.5、如图是由5个大小相等的正方形组成的图形，则tan∠BAC的值为（）A.1B.C.D.6、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则⊙C 的半径为（）A.2.3B.2.4C.2.5D.2.67、如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿的点处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为，则该圆柱底面周长为（）A. B. C. D.8、如图，分别以数轴的单位长度1和2为直角边长作Rt△OBC，然后以点B为圆心，线段BC的长为半径画弧，交数轴于点A，那么点A所表示的数为A. B.1+ C. +2 D.3.29、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（）①AE=CF；②EC+CF=4 ；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．A.①②B.①③C.①②③D.①②③④10、如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2，3)，以点O为圆心，OP 的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标为（）A. B. C. D.11、以a、b、c为边，不能组成直角三角形的是（）A.a＝6，b＝8，c＝10B.a＝1，b＝，c＝2C.a＝24，b＝7，c ＝25D.a＝，b＝，c＝12、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A. +1B. ﹣1C.﹣+1D.﹣﹣113、如图，在中，AB＝AC＝8，∠BAC＝60°，E是高AD上的一个动点，F是边AB的中点，则的最小值是（）A.4B.4C.8D.814、如图所示,菱形ABCD中,AB＝2,∠A＝120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD 上任意一点,则PK＋QK的最小值为( )A.1B.C.2D. ＋115、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，BC=12，AB的中垂线与BC交于点E，则BE的长等于（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，5为半径作圆，则该圆与轴分别交于点，则三角形的面积为________.17、如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D 也在格点位置（与点A不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D 的坐标是________．18、如图，为的边上的中线，沿将折叠，点的对应点为，已知，则点与点之间的距离是________19、△ABC中，AC=15，AB=13，BC=14，则BC边上的高AD=________．20、如图，中，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为则线段的长为________.21、如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD＝8，AD是∠BAC的平分线.若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是________.22、如图，为坐标原点，是等腰直角三角形，，点的坐标是，将该三角形沿轴向右平移得，此时，点的坐标为，则线段在平移过程中扫过部分的图形面积为________.23、若直角三角形两条直角边的边长分别为15cm和12cm，那么此直角三角形斜边上的中线是________ cm.24、已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（5，0），OB=，点P是对角线OB上的一个动点，D（0，1），当CP+DP最短时，点P的坐标为________．25、如图，圆O的弦AB垂直平分半径OC，若圆O的半径为4，则弦AB的长等于________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，方格纸上每个小正方形的面积为1．⑴在方格纸上，以线段AB为边画正方形ABCD，并计算所画正方形ABCD的面积．⑵请你在图上分别画出面积为5正方形A1B1C1D1和面积为10的正方形A 2B2C2D2，正方形的各个顶点都在方格纸的格点上．27、平行四边形ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE=2，DF=1，∠EBF=60°，求平行四边形ABCD的面积．28、如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，点P从A点出发沿AB以5cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从C点出发沿CD以3cm/s的速度向点D移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离为10cm？29、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AB中点，F为AD上的一点，且AF= AD，请你判断△EFC的形状并说明理由．30、在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=3，BC=4，CD=1．以AD为腰作等腰△ADE，使∠ADE=90°，过点E作EF⊥DC交直线CD于点F．请画出图形，并直接写出AF的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、A3、C4、D5、A6、B7、D8、B10、C11、D12、B13、B14、B15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)29、。
苏科新版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元学习评价卷【含答案】
苏科新版八年级上册数学《第3章勾股定理》单元学习评价卷一．选择题1．直角三角形两条直角边的长分别为3和4，则斜边长为（）A．4B．5C．6D．102．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（）A．1：2：1B．1：：1C．1：4：1D．12：1：23．已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边长分别为7，24，25；④三边之比为5：12：13．其中能判定是直角三角形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列各组数是勾股数的是（）A．3，4，5B．1.5，2，2.5C．32，42，52D．，，5．两只小鼹鼠在地下从同一处开始打洞，一只朝北面挖，每分钟挖8cm，另一只朝东面挖，每分钟挖6cm，10分钟之后两只小鼹鼠相距（）A．100cm B．50cm C．140cm D．80cm6．在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，则另一个锐角的度数是（）A．25°B．55°C．65°D．75°7．如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为a和b．若ab＝8，大正方形的边长为5，则小正方形的边长为（）A．1B．2C．3D．48．如图，△ABC中∠ACB＝90°，且CD∥AB．∠B＝60°，则∠1等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°9．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（）A．a＝2，b＝3．c＝4B．a＝5，b＝6，c＝8C．a＝5，b＝12，c＝13D．a＝7，b＝15，c＝1210．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD∥AB交∠ABC的平分线于点D，若∠ABD＝20°，则∠ACD的度数为（）A．20°B．30°C．40°D．50°二．填空题11．如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形ABCD与四边形EFGH均为正方形，点H是DE的中点，阴影部分的面积为24，则AD的长为．12．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．13．如图，要为一段高5米，长13米的楼梯铺上红地毯，至少需要红地毯米．14．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为°．15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝65°，则∠B＝．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝70°，则∠B＝．17．在直角三角形中，一个锐角是另一个锐角的4倍，则较小锐角的度数为度．18．把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B，C，D在同一直线上，若AB＝，则BD＝．19．已知直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，将满足a2+b2＝c2的一组正整数称为“勾股数组”，记为（a，b，c），其中a≤b＜c．事实上，早在公元前十一世纪，中国古代数学家商高就发现了“勾三、股四、弦五”，我们将其简记为（3，4，5）．类似的勾股数组还有很多…．例如：（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），…．如果a＝2n+1（n为正整数），那么b+c＝．（用含n的代数式表示）20．直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为cm2．三．解答题21．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．求证：∠ACD＝∠B．22．已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC延长线上一点，AD＝AB，求证：∠BAD＝2∠ACB．23．在直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线．（1）求∠DCE的度数．（2）若∠CEF＝135°，求证：EF∥BC．24．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．（1）当t为何值时，M、N两点重合；（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．①当t为何值时，△AMN是等边三角形；②当t为何值时，△AMN是直角三角形；（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝；②b与c的关系为，a与d的关系为．26．如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．27．定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．（1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝2，MN＝4，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．（2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝12，AM＝5，求BN的长．参考答案与试题解析一．选择题1．解：由勾股定理得：斜边长为：＝5．故选：B．2．解：设三个角的度数分别为x，2x，x，∴根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，∴这个三角形是等腰直角三角形，∴斜边等于直角边的倍，∴相对应三边之比为1：：1．故选：B．3．解：①设两个较小的角为x，则2x+2x＝180°，则三角分别为45°，45°，90°，故是直角三角形；②设较小的角为3x，则其于两角为4x，5x，则三个角分别为45°，60°，75°，故不是直角三角形；③因为三边符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形；④因为52+122＝132符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形．所以有三个直角三角形，故选：C．4．解：A、32+42＝52，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、1.52+22＝2.52，能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数；C、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、（）2+（）2＝（）2，不能构成直角三角形，不是正整数，故不是勾股数．故选：A．5．解：两只鼹鼠10分钟所走的路程分别为80cm，60cm，∵正北方向和正东方向构成直角，∴由勾股定理得＝100，∴其距离为100cm．故选：A．6．解：∵在一个直角三角形中，有一个锐角等于25°，∴另一个锐角的度数是90°﹣25°＝65°．故选：C．7．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab＝×8＝4，∴4×ab+（a﹣b）2＝52，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∵正方形的边长a﹣b＞0，∴a﹣b＝3，故选：C．8．解：∵△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠A＝30°，∵CD∥AB，∴∠1＝∠A，∴∠1＝30°，故选：A．9．解：A、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、∵52+62≠82，∴能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意；D、∵72+122≠152，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．故选：C．10．解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵CD∥AB，∴∠ACD＝∠A＝50°，故选：D．二．填空题11．解：由四边形ABCD 与四边形EFGH 均为正方形，点H 是DE 的中点，可知E 、F 、G 分别为AF 、BG 、CH 的中点，且AE ＝EH ＝DH ＝HG ＝CG ＝FG ＝BF ＝EF ＝BE ， ∴S △AEH ＝S △DHG ＝S △CGF ＝S △BFE ＝，∴S 阴影＝3×S 正方形EFGH ＝24， ∴S 正方形EFGH ＝8， ∴EH ＝DH ＝， ∴DE ＝2EH ＝4，又∠AED ＝90°， ∴＝＝＝．故答案为：2．12．解：设三边分别为5x ，12x ，13x ， 则5x +12x +13x ＝60， ∴x ＝2，∴三边分别为10cm ，24cm ，26cm ， ∵102+242＝262， ∴三角形为直角三角形， ∴S ＝10×24÷2＝120cm 2． 故答案为：120．13．解：根据勾股定理，楼梯水平长度为＝12米，则红地毯至少要12+5＝17米长， 故答案为：17． 14．解：连接AC ，由勾股定理得：AC 2＝22+12＝5， BC 2＝22+12＝5， AB 2＝12+32＝10，∴AC 2+BC 2＝5+5＝10＝BA 2，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，故答案为：45．15．解：∵∠C＝90°，∠A＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°．故答案为：25°．16．解：∵∠C＝Rt∠，∠A＝70°，∴∠B＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故答案为：20°．17．解：设较小锐角为x度．由题意：4x+x＝90，解得x＝18，故答案为18．18．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝BC＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴BD＝BF+DF＝1+，故答案为：1+．19．解：方法1：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为奇数时，c＝b+1，又a＝2n+1（n为正整数），由勾股定理可得：c2﹣b2＝（2n+1）2，即（b+1）2﹣b2＝（2n+1）2，解得b＝2n2+2n，∴c＝2n2+2n+1，∴b+c＝4n2+4n+1，故答案为：4n2+4n+1．方法2：观察“勾股数组”（a，b，c），当a为大于1的正奇数时，有如下规律：32＝4+5，52＝12+13，72＝24+25，…，a2＝b+c，∴当a＝2n+1时，b+c＝（2n+1）2．20．解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，则由勾股定理得：a2+b2＝c2，则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，故答案为：15．三．解答题21．证明：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°＝∠ACB．∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴∠ACD＝∠B．22．证明：∵AD＝AB，∴∠B＝∠D，设∠B＝∠D＝α，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠D＝180°﹣2α＝2（90°﹣α），∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣α，∴∠BAD＝2∠ACB．23．解：∵∠B＝30°，CD⊥AB于D，∴∠DCB＝90°﹣∠B＝60°．∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，∴∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝∠DCB﹣∠ECB＝60°﹣45°＝15°；（2）∵∠CEF＝135°，∠ECB＝∠ACB＝45°，∴∠CEF+∠ECB＝180°，∴EF∥BC．24．解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，x×1+6＝2x，解得：x＝6，即当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，AM＝t，AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形∴t＝6﹣2t，解得t＝2，∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．②当点N在AB上运动时，如图3，若∠AMN＝90°，∵BN＝2t，AM＝t，∴AN＝6﹣2t，∵∠A＝60°，∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，解得t＝；如图3，若∠ANM＝90°，由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，解得t＝．综上所述，当t为或s时，△AMN是直角三角形；（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，如图4，假设△AMN是等腰三角形，∴AN＝AM，∴∠AMN＝∠ANM，∴∠AMC＝∠ANB，∵AB＝BC＝AC，∴△ACB是等边三角形，∴∠C＝∠B，在△ACM和△ABN中，∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，∴△ACM≌△ABN（AAS），∴CM＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，解得t＝8，符合题意．所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．25．解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．26．解：（1）点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系是OA＝OB＝OC；（2）△OMN的形状是等腰直角三角形，证明：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC中点，∴OA＝OB＝OC，AO平分∠BAC，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∠B＝∠C＝45°，∠BAO＝∠CAO＝45°，∴∠CAO＝∠B，在△BOM和△AON中∵，∴△BOM≌△AON（SAS），∴OM＝ON，∠AON＝∠BOM，∵∠AOB＝∠BOM+∠AOM＝90°，∴∠AON+∠AOM＝90°，即∠MON＝90°，∴△OMN是等腰直角三角形．27．解：（1）是．理由：∵AM2+BN2＝22+（2）2＝16，MN2＝42＝16，∴AM2+NB2＝MN2，∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．故点M、N是线段AB的勾股分割点．（2）设BN＝x，则MN＝12﹣AM﹣BN＝7﹣x，①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2+NB2，即（7﹣x）2＝x2+25，解得x＝；②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2+MN2．即x2＝25+（7﹣x）2，解得x＝．综上所述BN的长为或．。
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《勾股定理》单元测试班级： 姓名： 学号：一、选择题（每题3分，共30分）1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）2．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）3．直角三角形两直角边长度为5，12，则斜边上的高（ ）A ．6B.8C.1318D.1360 4．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是（ ） 5．在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，则这个三角形三边长分别是（ ）6．下列各组线段中的三个长度：①9，12，15；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a ，5a （a ＞0）； ⑤m 2﹣n 2，2mn ，m 2+n 2（m，n 为正整数，且m ＞n ）其中可以构成直角三角形的有（ ）7．下列结论错误的是（ ）8．小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m 远的水底，竹竿高出水面0.5m ，把 竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（ ）9．小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米，宽为46厘米，则这台电视机的尺寸是（实际测量 的误差可不计）（ ）10．观察下列几组数据：（1）8，15，17；（2）7，12，15；（3）12，15，20；（4）7，24，25．其中能作 为直角三角形三边长的有（ ）组． 二、填空题（每题3分，共30分）11．在Rt△ABC 中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= _________ ；（2）b=8，c=17，则S △ABC = _________ ．12．如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 _________ 米． 13．已知|x ﹣6|+|y ﹣8|+（z ﹣10）2=0，则由此x ，y ，z 为三边的三角形面积为 _________ ． 14．在△ABC 中，若三边长分别为9，12，15，则以这样的三角形拼成的矩形面积为 _________ ． 15．△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= _________ cm ．16．如图所示的线段的长度或正方形的面积为多少．（注：下列各图中的三角形均为直角三角形）． 答：A= _________ ，y= _________ ，B= _________ ．17．已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长是 _________ ．18．求图中直角三角形中未知的长度：b= _________ ，c= _________ ．19．（2003•吉林）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_________ cm2．20．已知三角形的三边长分别是2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，则最大角是_________ 度．三、解答题（共60分）21．做一做，如图每个小方格都是边长为1的正方形，求图中格点四边形ABCD的面积．22．如图，一直角三角形三边长分别为6，8，10，且是三个圆的直径，求阴影部分面积（π取3.14）23．一个三角形的三边长的比为3：4：5，那么这个三角形是直角三角形吗，为什么？24．如图所示，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=53°，∠B=37°．AB=5km，BC=4km，若每天凿0.3km，试计算需要几天才能把隧道AC凿通？25．（8分）观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b，c的值．26．（8分）如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．27．（9分）如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b．利用这个图试说明勾股定理．28．（9分）如图，某游泳池长48米，小方和小杨进行游泳比赛，从同一处（A点）出发，小方平均速度为3米/秒，小杨为3.1米/秒．但小杨一心想快，不看方向沿斜线（AC方向）游，而小方直游（AB方向），两人到达终点的位置相距14米．按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？第三单元测试1，解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．2，解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选A．3，解：由题意得，斜边为=13．所以斜边上的高=12×5÷13=．故选D．4，解：画出示意图如下所示：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，∴x2+52=（x+1）2，解得：x=12，∴AB=12m，即旗杆的高是12m．故选C．5，解：设斜边是13k，直角边是5k，根据勾股定理，得另一条直角边是12k．根据题意，得：13k+5k+12k=60解得：k=2．则三边分别是26，24，10．故选D．6，解：①中有92+122=152；②中有72+242=252；③（32）2+（42）2≠（52）2；④中有（3a）2+（4a）2=（5a）2；⑤中有（m2﹣n2）2+（2mn）2=（m2+n2）2，所以可以构成4组直角三角形．故选B．7，解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为30°，60°，90°，所以该结论正确；B、因为其三边符合勾股定理的逆定理，所以该结论正确；C、因为其三边不符合勾股定理的逆定理，所以该结论不正确；D、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为45°，45°，90°，所以该结论正确．故选C．8，解：若假设竹竿长x米，则水深（x﹣0.5）米，由题意得，x2=1.52+（x﹣0.5）2解之得，x=2.5所以水深2.5﹣0.5=2米．故选A．9，解：根据勾股定理≈74．故选C．10，解：①82+152=172，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确；②72+122≠152，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；③122+152≠202，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故错误；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故正确．故选B．11，解：（1）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=12，∴c2=a2+b2=52+122=132，∴c=13．故答案是：13；（2）如图：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，b=8，c=17，∴a==15，∴S△ABC=ab=×15×8=60．故答案是：60．12，解：∵直角三角形的斜边长为15m，一直角边长为9m，∴另一直角边长==12m，故梯子可到达建筑物的高度是12m．13，解：∵|x﹣6|+|y﹣8|+（z﹣10）2=0，∴x﹣6=0，y﹣8=0，z﹣10=0，∴x=6，y=8，z=10，∵62+82=102，∴x，y，z为三边的三角形是直角三角形，∴S=6×8÷2=24．故答案为：24．14，解：∵92+122=152，∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，且两短边的边长分别为9，12，∴以这样的三角形拼成的矩形面积为9×12=108．故填108．15，解：∵等腰三角形底边上的高线、中线以及顶角平分线三线合一∴BD=BC，∵BC=16cm，∴BD=BC=×16=8cm，∵AB=AC=17cm，∴AD====15cm．16，解：根据勾股定理，A=289﹣64=225；y===39；B=172﹣82=289﹣64=225．故答案为：225；39；225．17，解：当长是3和4的两边是两条直角边时，第三边是斜边==5；当长是3和4的两边一条是直角边，一条是斜边时，则长是4的一定是斜边，第三边是直角边==．故第三边长是：5或．故答案是：5或．18，解：根据勾股定理得：b===12；c===30．故答案为：12，30．19，解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，故正方形A，B，C，D的面积之和=49cm2．20，解：∵（2n+1）2+（2n2+2n）2=4n4+8n3+8n2+4n+1=（2n2+2n+1）2．∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，则最大角为90°，故填90．21，解：∵S△ADC=5×2÷2=5，S△ABC=5×3÷2=7.5，∴四边形ABCD的面积=S△ADC+S△ABC=5+7.5=12.5．22，解：根据题意可知：从小到大半圆的直径分别为6，8，10，所以半径分别为：3，4，5，则阴影部分的面积S=π×32+π×42+π×52=25π≈78.5．23，解：是直角三角形；因为边长之比满足3：4：5，设三边分别为3x、4x、5x，∵（3x）2+（4x）2=（5x）2，即满足两边的平方和等于第三边的平方，所以它是直角三角形．24，解：∵∠A=53°，∠B=37°∴∠ACB=90°，又∵在Rt△ABC中，AC2=AB2﹣BC2=52﹣42=9，∴AC=3，需要的时间t===10（天）．故需要10天才能把隧道AC凿通．25，解：根据题意可知当n=13时，b=（352﹣1）=612，c=（352+1）=613．26，解：连接AC，已知，在直角△ACD中，CD=9m，AD=12m，根据AD2+CD2=AC2，可以求得AC=15m，在△ABC中，AB=39m，BC=36m，AC=15m，∴存在AC2+CB2=AB2，∴△ABC为直角三角形，要求这块地的面积，求△ABC和△ACD的面积之差即可，S=S△ABC﹣S△ACD=AC•BC﹣CD•AD，=×15×36﹣×9×12，=270﹣54，=216m2，答：这块地的面积为216m2．27，解：∵大正方形面积为：c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为：（a﹣b）2，所以c2=4×ab+（a﹣b）2，即c2=a2+b2，在每个直角边为a、b而斜边为c的直角三角形中，这个式子就是勾股定理．28，解：如图，AB表示小方的路线，AC表示小杨的路线，由题意可知，AB=48，BC=14，在直角三角形ABC中，AC==50，小方用时：=16秒，小杨用时秒，因为16，所以小方用时少，即小方先到达终点．。