小学奥数07数列问题

1.5数列问题
1.5.1相关概念
按一定次序排列的一列数称为数列。

数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an ，a （n+1），…简记为｛an ｝。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项。

排在第一位的数称为这个数列的第1项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n 位的数称为这个数列的第n 项。

最后一个数叫末项。

通项公式：数列的第N 项a n 与项的序数n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

1.5.2等差数列
1.5.
2.1等差数列的定义
如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，我们把这样的数列称之为等差数列。

前后两项的差叫做等差数列的公差，常用字母d 表示。

1.5.2.2公式
首项=和×2÷项数-末项 a 1=2 s n ÷n －a n 末项=首项+（项数-1）×公差=和×2÷项数-首项 a n =a 1+(n-1)×d=2 s n ÷n －a 1 项数＝（末项-首项）÷公差＋1 n=(a n －a 1)÷d ＋1
和＝（首项＋末项）×项数÷2=首项×项数+项数×（项数-1）×公差÷2 s n =(a 1+a n )×n/2=na 1+n(n-1)d /2 1.5.2.3等差中项
如果在a 和b 中间插入一个数A ，使a 、A 、b 成等差数列，那么A 叫做a 和b 的等差中项。

如a 、b 、c 三项成等差数列，则2b=(a+c),这是等差中项的基本性质。

1.5.2.4等差数列的性质
(1)任意两项,n m a a 有()n m a a n m d =+-.
(2)对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则m n k l a a a a +=+.反之不行（常数列）. (3)若{},{}n n a b 均是等差数列,则{}n n ca db +也是等差数列.(c 、d 均为自然数) .
1.5.3等比数列
1.5.
2.1等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都相等，这个数列就叫做等比数列。

前后两项的比值叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示。

1.5.
2.2公式
通项公式:11n n a a q -= .
前n 项和公式:1
1(1)(1)(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪
=-⎨≠⎪
-⎩
.
)01|(|1:1≠<-=
q q q
a S 且无穷等比数列的和
1.5.
2.3等比中项
如果在a 和b 中间插入一个数G ，使a 、G 、b 成等差数列，那么G 叫做a 和b 的等差中项。

如a 、G 、b 三项成等差数列，则ab G ±=（a ＞0,b ＞0取正值，a ＜0，b ＜0取负值），这是等差中项的基本性质。

1.5.2.4等比数列的性质
(1)任意两项,n m a a 有n m
n m a a q -=.
(2)对于任意正整数,,,m n k l ,若m n k l +=+,则n m k l a a a a =.
1.5.4斐波那契数列
斐波那契数列因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对； 两个月后，生下一对小兔民数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对； ……
依次类推可以列出下表： 经过月数 0 1 2 3 4 5
6
7
8
9
10 11 12
幼仔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 成兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 总体对数
1
2
3
5
8
13 21 34 55 89 144 233 377
幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。

这个数列有关十分明显的特点，那是：从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

通项公式为:
]
)
2
5
1
(
)
2
5
1
[(
5
1
n
n
n
a
-
-
+
=
（又叫“比内公式”，是用无理数表示有
理数的一个范例。

）有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的。

而且当n无穷大时an-1/an越来越逼近黄金分割数0.6180339887……。

从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1。

（注：奇数项和偶数项是指项数的奇偶）。