线代模型
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例(一)
数学模型在《线性代数》教学中的应用实例（一） 课 程： 线性代数 教 学 内 容： 矩阵数 学 模 型：生态学：海龟种群统计数据该模型在高等数学教学应用的目的：1． 通过生动有趣的实例激发学生的学习积极性，在分析问题和解决问题的过程中培养学生的创新意识。
2． 使学生掌握建立矩阵代数模型的基本过程，能熟练地将矩阵的知识应用于实际问题。
培养学生将实际问题抽象成数学模型，又用数学模型的结果解释实际现象的能力。
3． 巩固矩阵的概念和计算。
生态学：海龟种群统计数据管理和保护许多野生物种，依赖于我们建立种群的动态模型的能力。
一个常规的建模技术是，把一个物种的生命周期划分为几个阶段。
该模型假设：每阶段的种群规模只依赖于母海龟的种群数；每只母海龟能够存活到下一年的概率依赖于其处在生命周期的那个阶段，而与个体的具体年龄无直接关系。
举例来说，可以用一个四阶段的模型来分析海龟种群的动态。
如果d i 表示第i 个阶段的持续时间，s i 表示该阶段的每年存活率，那么可以证明，在第i 阶段可以存活到下一年的比例是111i i d i i id i s p s s -⎛⎫-= ⎪-⎝⎭种群可以存活且在次年进入下一阶段的比例是()11i i d i i i d is s q s-=-如果用e i 表示第i 阶段的成员1年内产卵的平均数，构造矩阵123412233400000p e e e q p L q p q p ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么L 可以用来预测未来几年每阶段的种群数。
上述形式的矩阵称为Leslie （莱斯利）矩阵，相应的种群模型有时也称为莱斯利种群模型。
根据前面表格数据，我们模型的莱斯利矩阵是0127790.670.73940000.000600000.810.8077L ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭假设每阶段的初始种群数分别是200000、300000、500和1500，用向量x 0来表示，1年后每阶段的种群数可以如下计算1000127792000001820000.670.73940030000035582000.000600500180000.810.807715001617x Lx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（这里的计算进行了四舍五入）。
线性代数课件PPT
目录 CONTENT
• 线性代数简介 • 线性方程组 • 向量与矩阵 • 特征值与特征向量 • 行列式与矩阵的逆 • 线性变换与空间几何
01
线性代数简介
线性代数的定义和重要性
1
线性代数是数学的一个重要分支，主要研究线性 方程组、向量空间、矩阵等对象和性质。
2
线性代数在科学、工程、技术等领域有着广泛的 应用，如物理、计算机科学、经济学等。
逆矩阵来求解特征多项式和特征向量等。
06
线性变换与空间几何
线性变换的定义和性质
线性变换的定义
线性变换是向量空间中的一种变换， 它将向量空间中的每一个向量映射到 另一个向量空间中，保持向量的加法 和标量乘法的性质。
线性变换的性质
线性变换具有一些重要的性质，如线 性变换是连续的、可逆的、有逆变换 等。这些性质在解决实际问题中具有 广泛的应用。
特征值与特征向量的应用
总结词
特征值和特征向量的应用非常广泛，包括物理、工程、经济等领域。
详细描述
在物理领域，特征值和特征向量可以描述振动、波动等现象，如振动模态分析、波动分析等。在工程 领域，特征值和特征向量可以用于结构分析、控制系统设计等。在经济领域，特征值和特征向量可以 用于主成分分析、风险评估等。此外，在机器学习、图像处理等领域也有广泛的应用。
经济应用
线性方程组可用于解决经济问题，如投入产出分析、 经济预测等。
03
向量与矩阵
向量的基本概念
向量的模
表示向量的长度或大小，记作|向量|。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向量的方向
由起点指向终点的方向，可以通过箭头表示。
向量的分量
表示向量在各个坐标轴上的投影，记作x、y、 z等。
线代向量的模
线代向量的模
线性代数的基础是向量的概念。
一个向量是一个有序的数列，它可以是实数、复数或者复数的复合。
线性代数中向量的空间是一个重要的概念，它用来描述多个向量之间的空间关系。
在线性代数中，向量空间的模是指一组向量形成的空间的半径。
模是指向量空间中的每一个向量都有一个模，这个模是指它具有的长度或者大小。
简单地说，模是代表向量空间中向量的长度或大小的一个量。
向量的模可以用欧几里得距离的计算公式来计算，其中每一个数的平方和除以的和即为模值。
另一种计算模值的方法是通过向量的点乘来计算。
向量的模是一个重要的概念，可以用来解决许多线性代数问题。
它可以用于求向量之间的距离，计算向量的夹角，求多维向量的方向，计算线性无关的向量的标度等等。
另外，模的应用还可以用于求解向量的线性组合，求解克莱默法则，求解线性变换等等。
模的运用，可以帮助我们更快更有效的解决问题。
但是要在解决问题的同时要注意模的精度，因为模值可能会引起误差，影响结果的准确性。
综上所述，模是一个在线性代数中很重要的概念，可以用来计算向量空间中向量的大小，还可以被用来解决许多线性代数问题。
但是使用模的时候要注意精度的精确性，以防止模值产生误差。
- 1 -。
线代必备资料：线性代数知识框架(word版)
分块对角阵相乘： A
A11
B11 , B A22
*
B22 AB*
A B AB 11 11
A22 B22
A BA* 分块对角阵的伴随矩阵： B
√ 矩阵方程的解法( A 0 )：设法化成(I)AX B
1 , 2 , , s 线性无关； 1 , 2 , , s 都是 Ax 0 的解；
③ s n r ( A) 每个解向量中自由未知量的个数 .
5
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
1 2 3 4 5
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 p教材114 . 向量组 1 , 2 , , n 中任一向量 i (1 ≤ i ≤ n) 都是此向量组的线性组合. 向量组 1 , 2 , , n 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 n 1 个向量线性表示. 向量组 1 , 2 , , n 线性无关 向量组中每一个向量 i 都不能由其余 n 1 个向量线性表示.
T
CT Dห้องสมุดไป่ตู้
A1 A 分块矩阵的逆矩阵： B A1 A C O B O
1
1
1 B A1CB 1 B
B
A 1 A
1
1
B 1
A1 O A O 1 1 B C B B CA
线性代数中的数学模型(数学建模必看 姚江淮)
1 上述连分数可以看作是 x 中，把 1 x
x
x
1 1 1 1 x
反复迭代，就得到上述连分数。
x 1 1
1 1 1 1 1 1
上述这一全部由1构成的连分数， 是最简单的一个连分数。
通常，求连分数的值，如同求无理数的值
一样，我们常常需要求它的近似值。
如果把该连分数从第 n 条分数线截住，即
斐波那契协会和《斐波那契季刊》
1． 斐波那契协会和《斐波那契季刊》
斐波那契1202年在《算盘书》中从兔子 问题得到斐波那契数列1，1，2，3，5，8，
13，…之后，并没有进一步探讨此序列，并且
在19世纪初以前，也没有人认真研究过它。没 想到过了几百年之后，十九世纪末和二十世 纪，这一问题派生出广泛的应用，从而突然活 跃起来，成为热门的研究课题。
解：
先直接推算。在第0月有1对兔子；第1月也只有1对兔子； 第2月这对兔子生了1对小兔，共有两对兔子； 第3月，老兔子又生了1对小兔，共有3对兔子； 第4月:老兔子和第2个月出生的小兔各生了一对小兔，共5对兔子； 第5月，第3个月的3对兔子各生了一对小兔，共有8对兔子； 第6月，第4个月的5对兔子各生了一对小兔，共有13对兔子…。
55或89个花瓣。
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
海棠（2）
铁兰（3）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
洋紫荊（5）
黃蝉（5）
蝴蝶兰（5）
花瓣中的斐波那契数 花瓣的数目
雏菊（13）
雏菊（13）
2）树杈的数目
13 8
5 3 2 1 1
3）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数
松果种子的排列
松果种子的排列
斐波那契数列中的任一个数，都叫 斐波那契数。斐波那契数是大自然的 一个基本模式，它出现在许多场合。 下面举几个例子。
线性代数
线性代数时隔一年，总算把特征值特征向量以及二次型部分给大家补上了：）还是那句话，个人水平有限，加上不同人的不同的思维习惯，所以只能说我把自己的思路提供出来给大家作为参考，希望能起到点提纲挈领的作用吧。
说实话，写最后这部分时，还是感觉到有些压力，最主要怕写出来不如前四章那样让大家满意，呵呵，不过无论如何，我已经尽力了，线代的知识框架总结也算是形成了一个完整的篇章，至少有始有终吧。
最近一段时间课题任务比较重，可能要过个把月才有空把高数部分重新修订了。
最后一个小说明，因为这个系列文章的重点是挖掘、梳理各知识点之间的相互联系和脉络，所以内容上并没有全盘覆盖课本，而是有所侧重，打个比方，相当于是勾勒出的一个线性代数的基本框架，那么建议大家在此基础上多开阔思路，通过发散思维把框架之外的剩余部分囊括到自己的脑海中来：）线性代数知识点框架（五）由矩阵乘法的特点可知，计算一个矩阵A的n次方，相对于数乘运算来说要繁琐得多。
我们注意到，如果存在可逆矩阵P和对角矩阵∧，使得A=P*∧*P逆，那么有：A^n=（P*∧*P逆）^n=（P*∧*P逆）（P*∧*P逆）…（P*∧*P逆）=P*∧^n*P 逆由于对角矩阵的乘方容易计算，从而问题得到大幅简化。
对矩阵A、B来说，如果存在着可逆矩阵P，使得A=P *B*P逆，我们称A与B是相似的。
特别地，如果A与对角矩阵∧相似，则称A可对角化。
由此可见，如果矩阵A可对角化，那么A^n的计算将变得简单许多。
故可把相似的说法理解为一个在寻找矩阵乘方简便运算的过程中提出来的概念。
相似的矩阵有许多共同的性质，如有相同的秩和相同的行列式值，相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆，等等。
设矩阵A相似于对角矩阵∧，那么：A=P*∧*P逆＜＝＞AP=P∧，其中P为可逆矩阵＜＝＞ A*（a1, a2, …, an）=（a1, a2, …, an）*∧，其中a1, a2, …, an 分别为可逆矩阵P的列向量，λ1, λ2, …, λn分别为对角矩阵∧的主对角线上元素＜＝＞ A*a1=λ1*a1，A*a2=λ2*a2，…，A*an=λn*an也就是说，矩阵A能对角化的关键，在于找到n个常数λ1, λ2, …, λn和n 个线性无关的向量a1, a2, …, an（因为这些向量构成的矩阵可逆，这也决定了零向量不是特征向量），使得A*ai=λi*ai（i=1，2，3，…，n）。
线性代数在数学建模中的应用
线性代数在数学建模中的应用线性代数是一门研究向量空间及其上的线性变换的数学学科。
在数学建模中，线性代数是一门重要的应用数学学科之一。
可以说，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
一、线性代数在矩阵计算中的应用在数学建模中矩阵计算是一个重要的应用领域。
矩阵计算中的线性代数运算尤为关键。
通过矩阵计算，我们可以进行线性变换。
例如，在机器学习中，我们可以对图像进行矩阵变换，从而实现对图像的分类和识别。
二、线性代数在图形学中的应用图形学是一门研究计算机图像和多媒体图像处理的学科。
在图形学中，矩阵和向量的运算是关键所在。
例如，在三维图像中，我们可以通过矩阵运算来表示三维空间中的向量，从而进行图形变换。
图形学在现代的娱乐产业、计算机游戏和虚拟现实等领域中得到了广泛的应用。
三、线性代数在金融学中的应用线性代数在金融学中的应用不可忽视。
在金融学中，线性代数可以用来建立金融模型。
例如，在经济学中，我们可以使用线性代数中的矩阵运算来对资产组合进行优化。
通过矩阵运算，我们可以通过协方差矩阵来计算风险和收益性。
这对于分析金融市场和制定投资策略非常重要。
四、线性代数在物理学中的应用在物理学中，线性代数也是一门非常重要的学科。
例如，在量子力学中，矩阵运算是非常核心的。
在计算机模拟中，我们可以使用线性代数的矩阵运算来模拟物理现象。
例如，在计算机游戏中，我们可以使用物理引擎来模拟现实世界中的物理效应，并且可以使用矩阵运算来实现。
总之，线性代数在数学建模中的应用是非常广泛的。
矩阵运算、图形学、金融学和物理学等领域都可以使用到线性代数。
因此，对于想从事这些领域的人来说，学好线性代数是非常必要的。
线代迹是什么
线代迹是什么
线性代数是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科线性代数在数学、物理学和技术学科中有各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位。
在形学、计算机辅助设计不以线性代数为其理论和算法基础的一部分。
线性代数所体现的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有用的。
随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量多个变量之间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由线性化了的问题又可以被计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
线性计算数学里一个很重要的内容。
扩展资料：线性代数是一个成功的理论，其方法已被应用于数学的其他分支。
模论就是将线性代数中的标像线性无关、线性生成空间可以适用。
不过许多线性代数中的定理在模论中不成立，例如不是所有的模都有基底（有基底的模称为自由模），自
由模的秩不唯一，不是所有模中的线性无关的子集都可以延伸成为基底，也不是所有模生成空间的子集都包括基底。
多重线性代数推广线性代数的方法。
和线性代数一样也是建立在向量的概念上，发展向量空间型的张量。
在算子的谱理论中，通过数学分析，可以控制无限维
矩阵。
泛函分析混合线性代数和数学分析中的方式，研究许多不同函数空间，例如Lp空间。
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1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1
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0
0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 x 0 0 0 1
1
1 1 (1 / 2 n ) 1 (1 / 2 n 1 ) 0 n n 1 0 1/ 2 1/ 2 x 0 0 0 a0 b0 c0 (1 / 2 n )b0 (1 / 2 n 1 )c0 n n 1 (1 / 2 )b0 (1 / 2 )c0 0 1 (1 / 2 n )b0 (1 / 2 n 1 )c0 n n 1 (1 / 2 )b0 (1 / 2 )c0 0
例
17 2
11 16 6 21 12
P
16 11 22 -3 12 7 1 26 7
R=C=H=N=46
H 主对角线，N付对角线数字和。 （3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。 8维空间Q。
基为 Q1 , Q2 ,, Q7 , N0
D是Q的7维子空间。
0
1 0 0
-1 0 0 0 0 0 0
0 0 r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 = 0 0 0 0 r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 0 0 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6 0 0 0 0 0 0 0 0
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 0
Q1, Q2 ,, Q7
线性无关。任一Durer方可由它 们线性表示。
结论： 1 Durer方有无穷多个。 2 Durer方可由 Q1, Q2 ,, Q7 线性组合得到。 Albrecht Durer的数字方的构成：
D r1Q1 r2Q2 r3Q3 r4Q4 r5Q5 r6Q6 r7Q7
问题 是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？
10
80
100 150
0 1 6
0 9 1
7
1 9 9
18 0 1 7
140 110 50 70 20
10 6 9
10 7 9
160 90 60
15 0
16 0
120 130 30
定义 如果4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对 角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，
N1
1
-1 0
N 2 -1 0 0 1
0 -1 1 0
-1 0
N3 0 0 0 1
0 0 1 0
0
0
0
0
（5）对数字没有任何要求的数字方 空间 维数
16维空间M
0 G B D Q W M
0 1 5 7 8 10 16
思考
能否构造出其他维数的数字方？
练习
完成下面的Durer方
的植物占植物总数的百分率。
an bn cn 1
第n代植物的基因型分布为 x
(n)
x (0)
a0 b0 , c 0
an bn , c n
表示植物基因型初始分布。
假设2 3 建模
植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的 关系由上表确定。 父体-母体的基因对
1 1/ 2 0 M 0 1/ 2 1 0 0 0
特征值为1，1/2，0 的特征向量分别为
1 0 1 0 , 1, 2 0 0 1
则
1 1 0 P 0 1 2 0 0 1
1 0 0 D 0 1/ 2 0 0 0 0
n 1 0
1
x
( n)
M x PD P x
n 0
1 1 1 1 0 1 2 0 0 0 0 1
1 / 2n
0
0
0 1 1 1 0 0 0 1 2 x 0 0 0 1
N0
0 0 0
-1 1
例
6
7
9 5 7
8 7 6 9
P
12 6 5 7 7
10 9
R=C=D=30
（4）要求行和、列和数字相等。
基为
0 0 0 0 0 0
10维空间W。
Q1, Q2 ,, Q7 , N1, N2 , N3
0 -1 1 0 1 1 0 0 -1 0 1 1 0 0 0 0 0
1 Durer 魔方 特点 每行之和、每列之和、对 角线之和、四个小方块之 和、中心方块之和都相等， 为确定的数34。 16 3 5 9 4 6 2 7 13 12 10 11 8 15 14 1
四角之和、中间对边之和均为34。 所出现的数是1至16的自然数。
最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。
AA-AA AA-Aa AA-aa
后 AA 代 基 Aa 因 对 aa
1 an an 1 bn 1 2 1 bn bn 1 cn 1 2
1 0 0
1/2 1/2 0
0 1 0
cn 0
an bn cn 1
1 an an 1 bn 1 2 1 bn bn 1 cn 1 2
an bn cn 1
x ( n) Mx( n1)
x ( n) Mx( n1) M 2 x ( n2) M 3 x ( n 3) M n x 0
4 求解模型 关键计算 M n
x
( n)
M x
n
0
特征值为1，1/2，0，
M可对角化，即可求 出可逆对角矩阵P，使 PMP-1为对角型矩阵。
0
0
0
0
R=C=D=S=0
R=C=D=S=4
a11 a12 a13 a14
b11 b12 b13 b14
A=
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
B=
b21 b22 b23 b24 b31 b32 b33 b34 b41 b42 b43 b44
则称这个数字方为 Durer 魔方。
R=C=D=S
你想构造Durer魔方吗？ 如何构成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？ 2 Durer魔方的生成集
所有的Durer魔方的集合为 D
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
O=
0 0
E=
1 1 1
双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵 父体-母体的基因对
AA-AA AA-Aa AA-aa 后 AA 代 基 Aa 因 对 aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa
1
0 0
1/2
1/2 0
0
1 0
1/4
1/2 1/4
0
1/2 1/2
0
0 1
2 假设
假设1
an , bn , cn 分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa
线性代数模型
有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难 以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空 间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以 掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。
Durer 魔方
德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471--1521) 于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。 令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符 号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币 右上角的数字问题。
x
(n)
an 1 (1 / 2 n )b0 (1 / 2 n1 )c0 n n 1 bn (1 / 2 )b0 (1 / 2 )c0 c 0 n
当n 时， an 1, bn 0, bn 0 5 结论 经过足够长的时间后，培育出来的植物基本上 呈现AA型。
D 8Q1 82 Q2 7Q3 6Q4 35 Q5 3Q6 4Q7
3 Durer方的应用推广 （1）要求数字方的所有数字都相等。
G rE, r R
基为 E 1维空间
（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对 角线数字和都相等。 基为
B
5维空间
1 0 1 0
如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制
的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa 和 aa 。 如 金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的，基 因型为AA的金鱼草开红花，Aa 型的开粉红花， 而 aa型的开白花。 人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。 基因型为AA ，或Aa 型的人眼睛颜色为棕色， 而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。 这里AA ，Aa表示同一外部特征，我们认为基 因A支配基因a，即基因a对A来说是隐性的。
16 3 5 9
4
r1 r2 r6 r5 r7 r3 r4 10 11 8 r3 r5 r4 r7 r1 r6 r2 = 6 7 12 r4 r6 r2 r5 r3 r1 r7 r7 r1 r3 r2 r4 r5 r6 15 14 1
2
13
r1 8, r2 8, r3 7, r4 6, r5 3, r6 3, r7 4
Q5=
1
0
0 0
1
0 0
0
0 1
0
1 0
Q6=
0 1 0 0
Q7=
0
0
1
0
0
0
0
1
Q8= 0
0 1
1
0
0
0
易知 Q1 Q4 Q5 Q8 Q2 Q3 Q6 Q7 0