江苏省扬州市2020届高三5月调研第三次模拟考试数学试题(附答案解析)

江苏省扬州市2019—2020学年度第二学期调研5月测试
高三数学试题
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1．已知集合A ＝{}
12x x -<<，B ＝{}
0x x >，则A I B ＝ ． 2．已知(l ﹣i)z ＝2＋i ，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为 ．
3．已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取 名学生． 4．如图伪代码的输出结果为 ．
5．若实数x ，y 满足0
110x y x y ≥⎧⎪
≥-⎨⎪+-≤⎩
，则2x ﹣y 的最小值为
．
6．已知a ∈{﹣1，1}，b ∈{﹣3，1，2}，则直线10ax by +-=不经过第二象限的概率为 ．
7．已知双曲线
22
214x y b
-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为 ．
8．已知α为锐角，且1
cos()63
π
α+
=，则cos α＝ ． 9．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，则5S ＝ ．
10．正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，O 为上底面ABCD 的中心，设正
四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1与正四棱锥O —A 1B 1C 1D 1的侧面积分别为1S 、2S ，则12
S S ＝ ．
11．已知曲线C ：3
()f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“1
4
a =-
”是“直线l 与曲线C 相切”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）． 12．已知x ＞0，y ＞0，则16
y x x xy
+
+的最小值为 ． 13．已知点D 为圆O ：x 2＋y 2＝4
的弦MN 的中点，点A 的坐标为(1，0)，且AM AN 1⋅=u u u u r u u u r
，
则OA OD ⋅u u u r u u u r
的最小值为 ．
14．数列{}n a 中，11a =，11, N 4, N 4
n n n n a a n a *+*
⎧
+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，设{}n a 的前n 项和为n S ，若1
42
n n S λ-≤⋅恒成立，则实数λ的取值范围是 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，已知2S ＝bc cosA ，其中S 为△ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．
（1）求角A 的值； （2）若tanB ＝6
5
，求sin2C 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝B1C，O为四边形ACC1A1对角线交点，F为棱BB1的中点，且AF⊥平面BCC1B1．
（1）证明：OF∥平面ABC；
（2）证明：四边形ACC l A1为矩形．
17．（本小题满分14分）
某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为θ(
6
3
π
π
θ≤≤
)；②架面与架底平行，且架面三角形ABC
与架底三角形A 1B 1C 1均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2：3．定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形A 1B 1C 1的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”．
（1）当θ＝
3
π
时，求“支架高度”； （2）求“支架需要空间”的最大值．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)过点(1，2)，且
椭圆的离心率为
2
，直线l ：y ＝x ＋t 与椭圆E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C 、D 两点．
（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求线段CD 长的最大值；
（3）求AC AD ⋅u u u r u u u r
的值．
19．（本小题满分16分）
已知函数1
()()f x a x x
=-(a ∈R)，()ln g x x =． （1）当a ＝l 吋，解不等式()()0f x g x -≤；
（2）设()()()u x xf x g x =-．①当a ＜0时，若存在m ，n ∈(0，+∞)(m ≠n )，使得
()()0u m u n +=，证明：mn ＜1；②当a ＞0时，讨论()u x 的零点个数．
20．（本小题满分16分）
对数列{}n a ，规定{}n a V 为数列{}n a 的一阶差分数列，其中1n n n a a a +=-V (n N *
∈)，
规定{}
2
n a V 为{}n a 的二阶差分数列，其中2
1n n n a a a +=-V V V (n N *∈)．
（1）数列{}n a 的通项公式2n a n =(n N *
∈)，试判断{}n a V ，{}
2n a V 是否为等差数列，
请说明理由？
（2）数列{}n b 是公比为q 的正项等比数列，且q ≥2，对于任意的n N *
∈，都存在m
N *∈，使得2n m b b =V ，求q 所有可能的取值构成的集合；
（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且2
0n c =V ，对满足m ＋n ＝2k ，m
≠n 的任意正整数m 、n 、k ，都有m n c c ≠，且不等式m n k S S tS +>恒成立，求实数t 的最大值．
第II 卷（附加题，共40分）
21．（本小题满分10分）
已知矩阵M ＝ 22 a b ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，N ＝1 22 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，且MN ＝1 00 1⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
．
（1）求矩阵M ；
（2）直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线x ＋3y ＝0，求直线l 的方程．
22．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为313x t
y t =⎧⎨=-⎩
( t 为参数)，以坐标原点为极点，
x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：)4
π
ρθ=-
，求直线l 被曲线C
截得的弦长．
23．（本小题满分10分）
某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2＝200元）．
（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；
（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 的概率分布与期望E (X )．
24．（本小题满分10分）
（1）证明：
1
1
1111
k k n n C C k n ++=++( n N *∈，k N ∈)； （2）计算：0
1
12220202020
2020202020202020111(1)(1)
(1)(1)232021
C C C C -+-+-++-L ； （3）计算：20202020
2
(1)2
k k
k C k =-+∑．。