2018届海南省海南中学高三下学期第四次月考试题 数学(理)
2018年海南省高三理科数学下册调研考试卷
2018年海南省高三理科数学调研考试理科数学参考公式球的表面积公式 棱柱的体积公式24R S π= Sh V =球的体积公式 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高334R V π=棱台的体积公式 其中R 表示球的半径 )(312211S S S S h V ++=棱锥的体积公式 其中1S ，2S 分别表示棱台的上、下底面积，Sh V 31=h 表示棱台的高 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高 如果事件A ，B 互斥，那么 )()()(B P A P B A P +=+一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选顶中，只有一个符合题目要求的) 1. ()U x MN ∈ð成立的充要条件是（ ）()U A x M ∈ð ()U B x N ∈ð ()U UC x M x N ∈∈且痧 ()U UD x M x N ∈∈或痧2. 要从10名女生和5名男生中选出6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别依比例分层随机抽样，则组成此课外兴趣小组的概率为（ ）()42105615C C A C ()33105615C C B C ()615615C C A ()42105615A A D C 3．己知随机变量ξ服从正态分布),2(2σN ，84.0)4(=≤ξP ，则=≤)0(ξP （ ）A ．16.0B ．32.0C ．68.0D ．84.04．已知α、β是两个不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中不正确．．．的是（ ）A ．若n m //，α⊥m ，则α⊥nB ．若α||m ，n =βα ，则n m ||C ．若α⊥m ，β⊥m ，则βα//D ．若α⊥m ， β⊂m ，则βα⊥ 5．已知函数m x A y ++=)sin(ϕω的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2π，直线3π=x 是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是（ ）A ．)64sin(4π+=x y B ．2)32sin(2++=πx yC ．2)34sin(2++=πx y D ．2)64sin(2++=πx y6．设O 在ABC ∆的内部，且02=++，则ABC ∆的面积与错误！不能通过编辑域代码创建对象。
海南省海南中学高2018届高2015级高三第一学期第四次月考文科数学试题参考答案
2018届海南中学高三第四次月考文科数学试卷(第I 卷)2018届海南中学高三第四次月考文科数学考试答案一.选择题(每小题5分,共60分)二.填空题(每小题5分,共20分)14. 15- 15. 32 16. ] ⎝⎛410，三、解答题(本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式.(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求{a n +b n }的前n 项和S n . 【参考答案】(1)a n ==2n (2)S n =2n+1+n 2-2【试题解析】(1)设{a n }的公比为q,且q>0, 由a 1=2,a 3=a 2+4,所以2q 2=2q+4,即q 2-q-2=0,又q>0,解之得q=2. 所以{a n }的通项公式a n =2·2n-1=2n. (2)S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+(a n +b n )=(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n ) =+n ×1+×2 =2n+1+n 2-2.18．(本小题满分12分)已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin 2,m A B n B A m n C ==⋅=且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角. (1)求角C 的大小；(2)若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列,且()18CA AB AC ⋅-=,求c 边的长.【试题解析】试题分析:(1)先利用数量积公式得:sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+,化简得:sin 2sin C C =,再有二倍角公式化简即可；(2)由(1)可得3C π=,由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列得:2c a b =+,()18CA AB AC ⋅-=得:36ab =,利用余弦定理可得c 的值.试题解析:(1)()18CA AB AC ⋅-=对于,,0sin()sin ABC A B C C A B C ππ∆+=-<<∴+=,sin .m n C ∴⋅= 又sin 2m n C ⋅=,.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C(2)由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列,得2sin sin sin C A B =+, 由正弦定理得.2b a c +=()18,18CA AB AC CA CB ⋅-=∴⋅=,即.36,18cos ==ab C ab 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=,36,3634222=⨯-=∴c c c ,.6=∴c19.(本小题满分12分)已知函数21()2cos ,()22f x x x x R =--∈. (I)当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,求函数()f x 的最小值和最大值；(II)设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ,且()0c f C ==,若向量)sin ,1(A m =→与向量)sin ,2(B n =→共线,求,a b 的值.【试题解析】(I)1)62sin(21cos 2sin 23)(2--=--=πx x x x f , 因为5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦,所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,32ππx,1,2362sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx 所以 函数()x f 的最小值是123--,()x f 的最大值是0 (II) 由()0=C f 解得C=3π, 又(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线a b A B 2,sin 2sin =∴=∴ ①由余弦定理得3cos 2322πab b a -+= ②解方程组① ②得2,1==b a .20.(本小题满分12分) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,*12()n n a S n +=∈N . (Ⅰ)求数列{}n a 的通项n a ； (Ⅱ)求数列{}n na 的前n 项和n T .解法一:(Ⅰ)12n n a S +=,12n n n S S S +∴-=,13n nS S +∴=. 又111S a ==,∴数列{}n S 是首项为1,公比为3的等比数列,1*3()n n S n -=∈N .当2n ≥时,21223(2)n n n a S n --==≥,21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥．(Ⅱ)12323n n T a a a na =++++当1n =时,11T =当2n ≥时,0121436323n n T n -=++++12133436323n n T n -=++++,-①②得:12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==也满足上式,1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N . 解法二:{)1(,1)2(,32212112111112322,32222,3,32222=≥⋅-+++-+-=∴⋅=≥≠=∴=====∴=-=≥∴=n n n n n nn n n n n n n n nn n a a n a a a S a a a a a a a a S a n S a 时成等比数列，数列从第二项起又作差得：时，当21. (本小题满分12分) 已知函数23()ln 42f x m x x x =+-.(I)若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直,求函数()f x 的极值；(II)设3()4g x x =-,若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减,求实数m 的取值范围. 试题解析:(I)由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x '=+-,由题意知(1)340f m '=+-=,解得1m =, 所以23()ln 42f x x x x =+-, 21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x-+--'=+-==>.当()0f x '>时,得103x <<或1x >； 当()0f x '<时,得113x <<. 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞,单调递减区间为1(,1)3, 所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--,极小值为35(1)0422f =+-=-.(II)由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343m h x x x x'=+--,由()h x 在(1,)+∞上单调函数可得2()3430m h x x x x '=+--≤或0343)(2/≥--+=x x x mx h 在(1,)+∞上恒成立,即32334m x x x ≤-+,或x x x m 43323+-≥在(1,)+∞上恒成立, 令32()334x x x x ϕ=-+,则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>, 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增. 故()3344x ϕ>-+=, 4≤m ,或无解max )(x m φ≥ 所以4m ≤,即实数m 的取值范围是(],4-∞22.已知函数()ln xf x x k=-(0k >) (1)求()f x 的最小值；(2)若2k =,判断方程()10f x -=在区间1,1e⎛⎫⎪⎝⎭内实数解的个数； (3)证明:对任意给定的0M >,总存在正数0x ,使得当0x x >时,恒有ln 2x M x ->.【试题解析】 (1)11()x kf x k x kx-'=-=当0x k <<时,()0f x '<,当x k >时,()0f x '>, 所以()f x 在(0,)k 单调递减,在(,)k +∞单调递增, 从而min ()()1ln f x f k k ==- (2)2k =时,()1ln 12xf x x -=-- 因为11()102f ee -=>,1(1)102f -=-<,且()f x 的图像是连续的, 所以()10f x -=在区间1(,1)e 内有实数解,从而在区间()0,1内有实数解；又当(0,1)x ∈时,11()02f x x'=-<,所以()f x 在(0,1)上单调递减,从而()10f x -=在区间()0,1内至多有一个实数解, 故()10f x -=在区间()0,1内有唯一实数解. (3) 证明:由(1)知:min (ln )1ln 33x x -=- 所以0x >时,1ln 3ln 3xx -+≥ ① 由1ln 323x xM ->-+得:6(1ln 3)x M >-+ 所以6(1ln 3)0x M >-+>时,1ln 323x xM ->-+ ②由①②知:取06(1ln 3)0x M =-+>,则当0x x >时, 有1ln 3ln 23x x M x ->-+≥即ln 2xM x ->成立。
海南中学2018届高三第四次月考含答案
海南中学2018届高三第四次月考理科数学命题人：文德良 审核人：黄波 （考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数21iz i=-，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -2. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则实数k 的值等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 3. 若()2,4,a b a b a ==+⊥，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．43π 4. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ）A ．1B ．53C ．2D ．35. 已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+（*n ∈N ），则2017a 的值等于（ ） A ．3 B ．14-C ．43- D ．3-6. 数列{}n a 的通项公式为()()12121n a n n =-+，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41nn + 7. 在等比数列{}n a 中，首项11a =,且3454,2,a a a 成等差数列, 若数列{}n a 的前n 项之积．为n T ,则10T 的值为（ ）A ．921-B ．362C ．1021-D ．4528. 一个等差数列的项数为2n ，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ）A.3B.-3C.-2D.-19. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若(),AO AB BC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（ ）A.23B.34C.56D.110. 在ABC ∆中，90C =，6,3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅=（ ） A ．2 B ．3 C ．3- D ．611. 设ABC ∆的三内角A B C 、、成等差数列，sin sin sin A B C 、、成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形12. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，且1(1)2f =，不等式1()f x x x'≤+的解集为(0,1]，则不等式2()ln 12f x x x ->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，则此数列的通项公式n a = ．14. 已知数列{}n a 中，)(13,1*11N n a a a a n nn ∈+==+，则{}n a 的通项公式=n a ．15. 若等差数列}{n a 满足0987>++a a a ，0107<+a a ，则当=n 时，}{n a 的前n 项和最大.16. 已知向量,,a b c 满足→→→→=++0c b a ，→→→→-=b a c c 与,32所成的角为120，则当时R t ∈，(1)ta t b +-的最小值是 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值． （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值．18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面ABCD , //AB CD , ,2,3,3BAD AB CD π∠=== M 为线段PC 上一点且2PM MC =.（1）证明： BM ∥平面PAD ;（2）若2AD =, 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．21. （本小题满分12分）对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”．对于函数()()ln ,00,0a x x x f x a a x ->⎧⎪=>≤．（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l的参数方程为 112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)求AB 的长；(2)若点P 的极坐标为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲设函数()1f x x x a a=++-（0a >）．（1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．海南中学2018届高三第四次月考理科数学 参考答案一、选择题：1—12：BDCCAB DBADDD 二、填空题13．5,162,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14．132n - 15．8 16．32三、解答题17．（本小题12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值． （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于13b c +=，求a 的值． 解:（1）()()()sin cos cos sin f x x x A x x A =-+- ()sin 2x A =-因为函数在512x π=处取得最大值，所以52122A ππ⨯-=，得3A π=所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数值域为,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦（2）由（1）知3A π=，所以由1S sin 2bc A ==40bc =， 又由余弦定理得22222cos ()492a b c bc A b c c b b a =+-=-=-+，所以7a =18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
海南省海南中学2018届高三数学上学期第四次月考试题 文
2018届海南中学高三第四次月考文科数学试卷（第I 卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合}11|{≤≤-=x x M ，},|{2M x x y y N ∈==，则=N M （ ） A.]1,1[- B.),0[+∞ C.)1,0( D.]1,0[2．.若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A 、2B 、3C 、4D 、53．下列函数中，既是偶函数又在区间)2,1(内是增函数的是（ ）A.x y 2cos =B.x y 2log =C.2x x e e y --= D.13+=x y4.若函数f(x)=a x a x --有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A 、()+∞,1B 、()1,0C 、()+∞,0D 、Φ5．已知平面向量→→b a ,满足()=3a a +b ⋅，且2,1==a b ，则向量a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π6.将函数)62sin(π-=x y 图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴方程是（ ）A.12x π=- B.6x π=C.3x π=D.12x π=7.若已知a 是常数，函数3211()(1)232f x x a x ax =+--+的导函数'()y f x =的图像如图所示，则函数()|2|x g x a =-的图像可能是（ ）8.已知命题:p x R ∀∈,23x x<；命题:q x R ∃∈,321x x =-,则下列命题中为真命题的是：（ ） A p q ∧B p q ⌝∧C p q ∧⌝D p q ⌝∧⌝9.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若3a =8，则5S =（ ） A ．16 B ．24 C ．32 D ．40 10.如图，设,P Q 为ABC ∆内的两点，且2155AP AB AC =+，AQ ＝23AB ＋14AC ，则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为（ ）A. 15B ．45C ．14 D ．1311. ．已知函数y=f （x ）是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，不等式若则之间的大小关系为（ ）A ．a ＞c ＞bB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．c ＞b ＞a12．设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[]22.1-=-，[]12.1=，[]11=，若直线)0(>+=k k kx y 与函数)(x f y =的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是（ ） A.]31,41( B.]41,0( C.]31,41[ D.)31,41[二．填空题（每题5分共20分）13．已知向量→→b a ,，满足)3,2(=→a ，)()(→→→→-⊥+b a b a ，则=→||b .14．已知0θπ<<， 1tan 47πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么sin cos θθ+= 15.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C .现作一矩形，邻边长分别等于线段,AC CB 的长，则该矩形面积小于232cm 的概率为 .16.已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是（第II 卷）三、解答题（本大题共6小题共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分)设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式.(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求{a n +b n }的前n 项和S n . 18.（本小题满分12分)已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin2,m A B n B A m n C ==⋅=且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长． 19．（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,()2f x x x x R =--∈． （I ）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值和最大值；（II ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量)sin ,1(A m =→与向量)sin ,2(B n =→共线，求,a b 的值．20.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ．21. （本小题满分12分）已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （I ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（II ）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上为单调函数，求实数m 的取值范围． 22.（本小题满分12分） 已知函数()ln xf x x k=-（0k >） （1）求()f x 的最小值；（2）若2k =，判断方程()10f x -=在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内实数解的个数； （3）证明：对任意给定的0M >，总存在正数0x ，使得当0x x >时，恒有ln 2xM x ->.2018届海南中学高三第四次月考文科数学考试答案一．选择题（每小题5分，共60分）二．填空题（每小题5分，共20分） 14. 15-15. 32 16. ] ⎝⎛410，三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分)设{a n }是公比为正数的等比数列,a 1=2,a 3=a 2+4. (1)求{a n }的通项公式.(2)设{b n }是首项为1,公差为2的等差数列,求{a n +b n }的前n 项和S n .【答案】（1）a n ==2n （2）S n =2n+1+n 2-2 【解析】(1)设{a n }的公比为q,且q>0, 由a 1=2,a 3=a 2+4,所以2q 2=2q+4,即q 2-q-2=0,又q>0,解之得q=2. 所以{a n }的通项公式a n =2·2n-1=2n. (2)S n =(a 1+b 1)+(a 2+b 2)+…+(a n +b n )=(a 1+a 2+…+a n )+(b 1+b 2+…+b n ) =+n ×1+×2=2n+1+n 2-2.18．（本小题满分12分)已知向量(sin ,sin ),(cos ,cos ),sin2,m A B n B A m n C ==⋅=且A 、B 、C 分别为△ABC 的三边a 、b 、c 所对的角． （1）求角C 的大小；（2）若sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 边的长． 【解析】试题分析：（1）先利用数量积公式得：sin cos sin cos sin()m n A B B A A B ⋅=⋅+⋅=+，化简得：sin 2sin C C =，再有二倍角公式化简即可；（2）由（1）可得3C π=，由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列得：2c a b =+，()18CA AB AC ⋅-=得：36ab =，利用余弦定理可得c 的值．试题解析：（1）()18CA AB AC ⋅-=对于,,0sin()sin ABC A B C C A B C ππ∆+=-<<∴+=，sin .m n C ∴⋅= 又sin 2m n C ⋅=，.3,21cos ,sin 2sin π===∴C C C C（2）由sin ,sin ,sin A C B 成等差数列，得2sin sin sin C A B =+， 由正弦定理得.2b a c +=()18,18CA AB AC CA CB ⋅-=∴⋅=，即.36,18cos ==ab C ab 由余弦弦定理ab b a C ab b a c 3)(cos 22222-+=-+=，36,3634222=⨯-=∴c c c ，.6=∴c19．（本小题满分12分）已知函数21()2cos ,()2f x x x x R =--∈． （I ）当5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最小值和最大值；（II ）设ABC ∆的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，且()0c f C ==，若向量)sin ,1(A m =→与向量)sin ,2(B n =→共线，求,a b 的值．【解析】（I ）1)62sin(21cos 2sin 23)(2--=--=πx x x x f ， 因为5,1212x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈32,32ππx,1,2362sin ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴πx 所以 函数()x f 的最小值是123--，()x f 的最大值是0（II ） 由()0=C f 解得C=3π， 又(1,sin )m A =与向量(2,sin )n B =共线a b A B 2,sin 2sin =∴=∴ ①由余弦定理得3cos 2322πab b a -+= ②解方程组① ②得2,1==b a .20.（本小题满分12分） 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T ． 解法一：（Ⅰ）12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，13n nS S +∴=． 又111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N ．当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩， ，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++当1n =时，11T =当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++12133436323n n T n -=++++，-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==也满足上式，1*113()22n n T n n -⎛⎫∴=+-∈ ⎪⎝⎭N ． 解法二：{)1(,1)2(,32212112111112322,32222,3,32222=≥⋅-+++-+-=∴⋅=≥≠=∴=====∴=-=≥∴=n n n n n nn n n n n n n n nn n a a n a a a S a a a a a a a a S a n S a 时成等比数列，数列从第二项起又作差得：时，当21. （本小题满分12分） 已知函数23()ln 42f x m x x x =+-． （I ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与y 轴垂直，求函数()f x 的极值；（II ）设3()4g x x =-，若()()()h x f x g x =-在(1,)+∞上单调递减，求实数m 的取值范围． 试题解析：（I ）由23()ln 42f x m x x x =+-可得()34mf x x x'=+-，由题意知(1)340f m '=+-=，解得1m =， 所以23()ln 42f x x x x =+-， 21341(31)(1)()34(0)x x x x f x x x x x x-+--'=+-==>．当()0f x '>时，得103x <<或1x >； 当()0f x '<时，得113x <<． 所以()f x 的单调递增区间为1(0,),(1,)3+∞,单调递减区间为1(,1)3，所以()f x 的极大值为113117()ln 4ln 3332936f =+⨯-⨯=--，极小值为35(1)0422f =+-=-.（II ）由233()()()ln 442h x f x g x m x x x x =-=+--+可得2()343m h x x x x'=+--，由()h x 在(1,)+∞上单调函数可得2()3430m h x x x x '=+--≤或0343)(2/≥--+=x x x mx h 在(1,)+∞上恒成立，即32334m x x x ≤-+，或x x x m 43323+-≥在(1,)+∞上恒成立， 令32()334x x x x ϕ=-+，则22()964(31)30x x x x ϕ'=-+=-+>， 所以32()334x x x x ϕ=-+在(1,)+∞上单调递增. 故()3344x ϕ>-+=, 4≤m ，或无解max )(x m φ≥ 所以4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞22.已知函数()ln xf x x k=-（0k >） （1）求()f x 的最小值；（2）若2k =，判断方程()10f x -=在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭内实数解的个数； （3）证明：对任意给定的0M >，总存在正数0x ，使得当0x x >时，恒有ln 2xM x ->. 【解析】（1）11()x k f x k x kx-'=-= 当0x k <<时，()0f x '<，当x k >时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,)k 单调递减，在(,)k +∞单调递增， 从而min ()()1ln f x f k k ==-（2）2k =时，()1ln 12xf x x -=-- 因为11()102f e e -=>，1(1)102f -=-<，且()f x 的图像是连续的， 所以()10f x -=在区间1(,1)e内有实数解，从而在区间()0,1内有实数解；又当(0,1)x ∈时，11()02f x x'=-<，所以()f x 在(0,1)上单调递减，从而()10f x -=在区间()0,1内至多有一个实数解， 故()10f x -=在区间()0,1内有唯一实数解. （3） 证明：由（1）知：min (ln )1ln 33x x -=- 所以0x >时，1ln 3ln 3xx -+≥ ① 由1ln 323x xM ->-+得：6(1ln3)x M >-+ 所以6(1ln3)0x M >-+>时，1ln 323x xM ->-+ ②由①②知：取06(1ln3)0x M =-+>，则当0x x >时， 有1ln 3ln 23x x M x ->-+≥即ln 2xM x ->成立。
海南省海南中学高三下学期第四次月考试题 数学(理)
海南中学 高三第四次月考理科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数21iz i=-，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -2. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b - ，则实数k 的值等于（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23. 若()2,4,a b a b a ==+⊥ ，则a 与b的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．23π D ．43π 4. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ） A ．1 B ．53C ．2D ．3 5. 已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+（*n ∈N ），则2017a 的值等于（ ） A ．3 B ．14-C ．43- D ．3-6. 数列{}n a 的通项公式为()()12121n a n n =-+，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41nn + 7. 在等比数列{}n a 中，首项11a =,且3454,2,a a a 成等差数列, 若数列{}n a 的前n 项之积．为n T ,则10T 的值为（ ）A ．921- B ．362 C ．1021- D ．4528. 一个等差数列的项数为，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ）A.3B.-3C.-2D.-19. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ∠= ，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若(),AO AB BC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（ ）A.23B.34C.56D.110. 在ABC ∆中，90C =，6,3CA CB ==，点M 满足2BM MA = ，则CM CB ⋅=（ ）A ．2B ．3C ．3-D ．611. 设的三内角A B C 、、成等差数列，sin sin sin A B C 、、成等比数列，则这个三角形的形状是（ ）A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形12. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，且1(1)2f =，不等式1()f x x x'≤+的解集为(0,1]，则不等式2()ln 12f x x x ->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，则此数列的通项公式n a = ． 14. 已知数列{}n a 中，)(13,1*11N n a a a a n nn ∈+==+，则{}n a 的通项公式=n a ．15. 若等差数列}{n a 满足0987>++a a a ，0107<+a a ，则当=n 时，}{n a 的前n 项和最大.16. 已知向量,,a b c 满足→→→→=++0c b a ，→→→→-=b a c c 与,32所成的角为120，则当时R t ∈，(1)ta t b +-的最小值是 ．17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值．（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于103，13b c +=，求a 的值．18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面ABCD , //AB CD ,,2,3,3BAD AB CD π∠=== M 为线段PC 上一点且2PM MC =.（1）证明： BM ∥平面PAD ;（2）若2AD =, 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．21. （本小题满分12分）对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”． 对于函数()()ln ,00,0a x x x f x a x a x ->⎧⎪=>⎨--≤⎪⎩．（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为32 112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)求AB 的长；(2)若点P 的极坐标为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-（0a >）． （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．理科数学 参考答案一、选择题：1—12：BDCCAB DBADDD 二、填空题 13．5,162,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14．132n - 15．8 16．32三、解答题17．（本小题12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值．（1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域； （2）若ABC ∆的面积等于103，13b c +=，求a 的值． 解:（1）()()()sin cos cos sin f x x x A x x A =-+- ()sin 2x A =- 因为函数在512x π=处取得最大值，所以52122A ππ⨯-=，得3A π= 所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数值域为3,12⎛⎤- ⎥ ⎝⎦（2）由（1）知3A π=，所以由1S sin 1032bc A ==可得40bc =， 又由余弦定理得22222cos ()492a b c bc A b c c b b a =+-=-=-+，所以7a =18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
2017-2018年海南省海南中学高三(下)第八次月考数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年海南省海南中学高三（下）第八次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数＝（）A．﹣i B．C．i D．2．（5分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{0，1，2，3}B．{5}C．{1，2，4}D．{0，4，5} 3．（5分）已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．4．（5分）圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0上到直线l：x+y+1＝0的距离为1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．（5分）若（x+）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（）A．56B．57C．65D．676．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π7．（5分）若，则sin2α等于（）A．B．C．D．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v 的值为（）A．26﹣1B．26C．36﹣1D．369．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．ω＝2B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数C．函数f（x）在上单调递增D．函数y＝f（x）的图象关于点对称10．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A．B．C．D．11．（5分）双曲线的左、右焦点分别为为F1、F2，过F2作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的左支分别交于点A、B，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．12．（5分）函数f（x）＝ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．{4}D．[2，4]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，，则∠C＝．14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面为正三角形，P A⊥平面ABC，，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．15．（5分）甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为A，B，C三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B或C；乙说：我肯定得A；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是．16．（5分）若函数f（x）＝lnx与函数有两条公切线，则实数a取值范围是．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S1+1，S3，S4成等差数列，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：+++…+＜2．18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，四边形EBCF为矩形，且BC＝2BE＝2AD＝4．（1）试判断线段BE上是否存在一点H，使得AH||平面ECD；（2）若平面ABCD⊥平面EBCF，且锐二面角E﹣DC﹣F的余弦值为，求线段AB的长．19．（12分）海口市在“双创”过程中，“双创办”为了调查市民对“双创”工作的了解情况，进行了一次“双创”知识问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分），统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分X﹣N（μ，121），μ的值近似为这1000人得分的平均值，请用正态分布的知识求P（54＜X≤87）的值；（2）在（1）的条件下，“双创办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（A）得分不低于μ的可以获赠二次随机话费，得分低于μ的可以获得一次随机话费；（B）每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记ξ（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列及数学期望．附：参考数据与公式，若X﹣N≤μ，σ2）则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.997420．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，直线BF2交椭圆C于另一点D，若椭圆C的焦距为2，且＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上不同于A、B的点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数a的最小值；（2）若x∈[e，e2]，且f（x）的最大值不小于﹣，求实数a的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若A、B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|﹣|x|的最大值为m．（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求的最小值．2017-2018学年海南省海南中学高三（下）第八次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若复数z满足z（1+i）＝1﹣i（i是虚数单位），则z的共轭复数＝（）A．﹣i B．C．i D．【解答】解：∵z（1+i）＝1﹣i，∴z＝＝＝﹣i，∴z的共轭复数＝i．故选：C．2．（5分）设集合U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{x∈Z|x2﹣5x+4＜0}，则∁U（A ∪B）＝（）A．{0，1，2，3}B．{5}C．{1，2，4}D．{0，4，5}【解答】解：集合B中的不等式x2﹣5x+4＜0，变形得：（x﹣1）（x﹣4）＜0，解得：1＜x＜4，∴B＝{2，3}，∵A＝{1，2}，∴A∪B＝{1，2，3}，∵集合U＝{0，1，2，3，4，5}，∴∁∪（A∪B）＝{0，4，5}．故选：D．3．（5分）已知平面向量，满足•（+）＝3，且||＝2，||＝1，则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：∵＝2，∴＝4又∵•（+）＝3，∴+•＝4+•＝3，得•＝﹣1，设与的夹角为α，则•＝cosα＝﹣1，即2×1×cosα＝﹣1，得cosα＝﹣∵α∈[0，π]，∴α＝故选：C．4．（5分）圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0上到直线l：x+y+1＝0的距离为1的点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：如图，由x2+y2﹣4x+2y+1＝0，得（x﹣2）2+（y+1）2＝4．∴圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心坐标为（2，﹣1），半径为2．圆心（2，﹣1）到直线l：x+y+1＝0的距离d＝．如图，∴圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0上到直线l：x+y+1＝0的距离为1的点有2个．故选：B．5．（5分）若（x+）n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（）A．56B．57C．65D．67【解答】解：由题意可得，，∴n＝8，展开式的通项T r+1＝x8﹣r（）r＝x8﹣2r，令8﹣2r＝﹣2可得r＝5，此时系数为＝56．故选：A．6．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：＝3π．故选：B．7．（5分）若，则sin2α等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α＝﹣cos（2α+）＝﹣cos2（+α）＝﹣[1﹣2sin2（+α）]＝2sin2（+α）﹣1＝2×﹣1＝．故选：D．8．（5分）秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图，给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x的值为2，则输出v 的值为（）A．26﹣1B．26C．36﹣1D．36【解答】解：输入的x＝2，v＝1，k＝1，满足进行循环的条件，v＝2+C61，k＝2，满足进行循环的条件，v＝22+2C61+C62，…∴v＝26+25C61+…+C66＝36，故输出的v值为：36．故选：D．9．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）相邻两条对称轴间的距离为，且，则下列说法正确的是（）A．ω＝2B．函数y＝f（x﹣π）为偶函数C．函数f（x）在上单调递增D．函数y＝f（x）的图象关于点对称【解答】解：由题意得，即T＝3π，∴，得，故A错误；∴f（x）＝2sin（x+φ），又，∴2sin（+φ）＝0，∵0＜φ＜π，∴φ＝．∴f（x）＝2sin（x+），∵f（x﹣π）＝2sin，∴函数y＝f（x﹣π）为奇函数，故B错误；当x∈时，x+∈[0，]，则函数f（x）在上单调递增，故C正确；∵f（）＝2sin（）＝2cos＝﹣1，∴函数y＝f（x）的图象关于点对称，故D错误．故选：C．10．（5分）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5：00﹣6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5：30﹣6：00．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：假设快递员送达的时刻为x，小李到家的时刻为y，则有序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，小李需要去快递柜收取商品，即序实数对（x，y）满足的区域为{（x，y）|}，如图所示；∴小李需要去快递柜收取商品的概率为P＝＝＝．故选：D．11．（5分）双曲线的左、右焦点分别为为F1、F2，过F2作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的左支分别交于点A、B，若，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【解答】解：∵，∴A为BF2的中点，由题意可得直线方程为y＝（x﹣c），当x＝0时，y＝﹣c，∴A（0，﹣c），∵F2（c，0），设B（x，y），∴2×0＝x+c，﹣2c＝y+0，∴x＝﹣c，y＝﹣2c，∴B（﹣c，﹣2c），∴﹣＝1，即＝﹣1＝﹣1＝，∴b4＝12a2c2，即（c2﹣a2）2＝12a2c2，整理可得e4﹣14e2+1＝0，即e2＝7+4＝（2+）2，解得e＝2+故选：C．12．（5分）函数f（x）＝ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a的取值范围为（）A．[2，+∞）B．[4，+∞）C．{4}D．[2，4]【解答】解：①当x＝0时，f（x）＝1≥0，对于a∈R皆成立．②当0＜x≤1时，若总有f（x）≥0，则ax3﹣3x+1≥0，∴，令g（x）＝，g′（x）＝＝，令g′（x）＝0，解得x＝．当0时，g′（x）＞0；当时，g′（x）＜0．∴g（x）在x＝时取得最大值，g（）＝4，∴a≥4．③当﹣1≤x＜0时，若总有f（x）＝0，则ax3﹣3x+1≥0，∴a≤．令h（x）＝，则h′（x）＝≥0，∴h（x）在[﹣1，0）上单调递增，∴当x＝﹣1时，h（x）取得最小值，h（﹣1）＝4，∴a≤4．由①②③可知：若函数f（x）＝ax3﹣3x+1 对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a必须满足，解得a＝4．∴a的取值范围为{4}．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）在△ABC中，，则∠C＝60°或120°．【解答】解：由cos A＝，得A＝30°，由正弦定理得＝，得sin C＝＝，则C＝60°或120°，故答案为：60°或120°14．（5分）已知三棱锥P﹣ABC的底面为正三角形，P A⊥平面ABC，，则三棱锥P﹣ABC的外接球半径为．【解答】解：正三角形ABC的外接圆的直径为，由于P A⊥平面ABC，所以，三棱锥P﹣ABC的外接球直径为．因此，三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为．故答案为：．15．（5分）甲、乙、丙三名同学参加某高校组织的自主招生考试的初试，考试成绩采用等级制（分为A，B，C三个层次），得A的同学直接进入第二轮考试．从评委处得知，三名同学中只有一人获得A．三名同学预测谁能直接进入第二轮比赛如下：甲说：看丙的状态，他只能得B或C；乙说：我肯定得A；丙说：今天我的确没有发挥好，我赞同甲的预测．事实证明：在这三名同学中，只有一人的预测不准确，那么得A的同学是甲．【解答】解：若得A是甲，则甲预测准确，乙预测不正确，丙预测准确，满足条件．若得A是乙，则甲预测准确，乙预测正确，丙预测准确，不满足条件．若得A是丙，则甲预测不准确，乙预测不正确，丙预测不准确，不满足条件．故满足条件的是甲，即得A的同学是甲，故答案为：甲16．（5分）若函数f（x）＝lnx与函数有两条公切线，则实数a取值范围是（0，2e）．【解答】解：由，设b＝，则g（x）＝bx2（b＞0），f′（x）＝，g′（x）＝2bx，设与g（x）＝bx2相切的切点为（s，t）（s＞0），与曲线f（x）＝lnx相切的切点为（m，n）m＞0，则有公共切线斜率为2bs＝＝，又t＝bs2，n＝lnm，可得n﹣t＝2bsm﹣2bs2＝1﹣2bs2＝1﹣2t，即有n＝1﹣t＝lnm，即t＝1﹣lnm，b＝＝＝，化为＝＝（1﹣lnm）m2，设h（m）＝（1﹣lnm）m2，h′（m）＝﹣m+2m（1﹣lnm）＝m（1﹣2lnm），当m＞时，h（m）递减，当0＜m＜时，h（m）递增，则h（m）在m＝处取得最大值，且为e，由题意可得0＜＜e，即0＜＜解得0＜a＜2e，故答案为：（0，2e）．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，且S1+1，S3，S4成等差数列，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：+++…+＜2．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d≠0．∵S1+1，S3，S4成等差数列，且a1、a2，a5成等比数列，∴2S3＝S1+1+S4，a22＝a1a5，即a2+a3＝1+a4，（a1+d）2＝a1（a1+4d），d≠0．可得a1＝1，d＝2．∴a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）证明：S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，＝＜＝﹣，（n≥2），即有+++…+＜1+1﹣+﹣+…+﹣＝2﹣＜2．18．（12分）如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，四边形EBCF为矩形，且BC＝2BE＝2AD＝4．（1）试判断线段BE上是否存在一点H，使得AH||平面ECD；（2）若平面ABCD⊥平面EBCF，且锐二面角E﹣DC﹣F的余弦值为，求线段AB的长．【解答】解：（1）连结CE、BF，交于点O，连结OD，取BE中点G，连结AG、OG，∵在几何体ABCDEF中，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，四边形EBCF为矩形，且BC＝2BE＝2AD＝4．∴OG AD，∴四边形ADOG是平行四边形，∴AG∥OD，∵AG⊄平面DEC，DO⊂平面DEC，∴线段BE上存在中点H，使得AH||平面ECD．（2）平面ABCD⊥平面EBCF，且锐二面角E﹣DC﹣F的余弦值为，以B为原点，BE为x轴，BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝a，E（2，0，0），D（0，2，a），C（0，4，0），F（2，4，0），＝（0，2，﹣a），＝（2，﹣2，﹣a），＝（2，2，﹣a），设平面DCE的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，，），设平面DCF的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（0，1，），∵锐二面角E﹣DC﹣F的余弦值为，∴＝＝，由a＞0，解得a＝2．∴线段AB的长为2．19．（12分）海口市在“双创”过程中，“双创办”为了调查市民对“双创”工作的了解情况，进行了一次“双创”知识问卷调查（一位市民只能参加一次）．通过随机抽样，得到参加问卷调查的1000人的得分（满分100分），统计结果如表所示：（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分X﹣N（μ，121），μ的值近似为这1000人得分的平均值，请用正态分布的知识求P（54＜X≤87）的值；（2）在（1）的条件下，“双创办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（A）得分不低于μ的可以获赠二次随机话费，得分低于μ的可以获得一次随机话费；（B）每次获赠的随机话费和对应的概率为：现有市民甲要参加此次问卷调查，记ξ（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求ξ的分布列及数学期望．附：参考数据与公式，若X﹣N≤μ，σ2）则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974【解答】解：（1）E（X）＝35×0.025+45×0.10+55×0.24+65×0.27+75×0.23+85×0.12+95×0.015＝65，∴μ＝65，σ＝11，∴P（54＜X≤87）＝0.6826+0.1359＝0.8185．（2）P（X＜μ）＝P（X≥μ）＝，ξ的可能取值为20，40，60，80，P（ξ＝20）＝＝，P（ξ＝40）＝＝，P（ξ＝60）＝＝，P（ξ＝80）＝＝，∴ξ的分布列为：E（ξ）＝20×+40×+60×+80×＝36．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，直线BF2交椭圆C于另一点D，若椭圆C的焦距为2，且＝2．（1）求椭圆C的方程；（2）设P是椭圆C上不同于A、B的点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：|AN|•|BM|为定值．【解答】解：（1）椭圆C的焦距为2，则2c＝2，即c＝1，则F2（1，0），∵B（0，b），设D（m，n），∴＝（1，﹣b），＝（m﹣1，n），∵＝2，∴（1，﹣b）＝2（m﹣1，n），即，解得m＝，n＝﹣，∵点D在椭圆上，∴+＝1，解得a2＝3，则b2＝a2﹣c2＝2，∴椭圆C的方程为+＝1；（Ⅱ）设椭圆上点P（s，t），可得2s2+3t2＝6，∵A（，0），B（0，），当点P在下顶点时，此时P（0，﹣），∴N（0，0），M（0，﹣），∴|AN|•|BM|＝×2＝2，当点P在不下顶点时，∴直线AP的方程为y＝（x﹣），令x＝0时，则y＝，∴M（0，），∴直线BP的方程为y﹣＝x令y＝0时，则x＝∴N（，0），∴|AN|＝|﹣|，BM|＝|﹣|，∴|AN|•|BM|＝||＝||＝2，21．（12分）已知函数f（x）＝ax﹣．（1）若函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，求实数a的最小值；（2）若x∈[e，e2]，且f（x）的最大值不小于﹣，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝a﹣，若函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，则a≥，令g（x）＝，（x＞1），则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：1＜x＜e2，令g′（x）＜0，解得：x＞e2，故g（x）在（1，e2）递增，在（e2，+∞）递减，故g（x）max＝g（e2）＝，故a≥，故a的最小值是；（2）结合（1）f′（x）＝a﹣，令g（x）＝，x∈[e，e2]，则g（x）在[e，e2]递增，故g（x）min＝g（e）＝0，g（x）max＝g（e2）＝，故g（x）∈[0，]，①当a≥时，f′（x）≥0，f（x）在x∈[e，e2]上递增，f（x）max＝f（e2）＝ae2﹣≥﹣，解得：a≥﹣，故a≥；②a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[e，e2]上递减，f（x）max＝f（e）＝ae﹣e≥﹣，解得：a≥1﹣和a≤0矛盾，舍；③0＜a＜时，存在x0∈[e，e2]，使得f（x）在[e，x0）递减，在（x0，e2]递增，故f（x）max＝f（e）或f（e2）；综上，a≥．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）若A、B为曲线C上的两点，且∠AOB＝，求△AOB面积的最大值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（α为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣2）2＝4，∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C的极坐标方程为（ρcosθ）2+（ρsinθ﹣2）2＝4，故曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（4分）（2）设A（ρ1，θ），B（），则|OA|＝ρ1＝4sinθ，|OB|＝，∴S△AOB＝|OA|•|OB|sin∠AOB＝＝，当sin（2θ﹣）＝1时，S△AOB有最大值3．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|x+1|﹣|x|的最大值为m．（1）求m的值；（2）若正实数a，b满足a+b＝m，求的最小值．【解答】解：（1）|x+1|﹣|x|≤|x+1﹣x|＝1；∴f（x）的最大值为1；∴m＝1；（2）由（1）可知，a+b＝1；∴（或运用柯西不等式≥[•+•）2＝，当且仅当a＝b＝时取等号）＝＝（a+b）2＝；当且仅当a＝b＝时取等号；即的最小值为．。
数学-海南省2018届高三阶段性测试(二模)试题(理)(解析版)
海南省2018届高三阶段性测试（二模）数学试题（理）一、选择题1. 已知集合，，则（）A. B.C. D.2. 已知复数满足，为的共轭复数，则（）A. B. C. D.3. 如图，当输出时，输入的可以是（）A. B. C. D.4. 已知为锐角，，则的取值范围为（）A. B. C. D.5. 把一枚质地均匀、半径为的圆形硬币抛掷在一个边长为的正方形托盘上，已知硬币平放在托盘上且没有掉下去，则该硬币完全落在托盘上（即没有任何部分在托盘以外）的概率为（）A. B. C. D.6. 的展开式中，的系数为（）A. B. C. D.7. 已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（）A. B.C. D.8. 如图，网格纸上正方形小格的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的最长棱的长度为（）A. B. C. D.9. 已知数列的前项和为，且满足，，则（）A. B. C. D.10. 已知函数是定义在上的偶函数，，当时，，若，则的最大值是（）A. B. C. D.11. 已知抛物线的焦点为，过点作互相垂直的两直线，与抛物线分别相交于，以及，，若，则四边形的面积的最小值为（）A. B. C. D.12. 已知，方程与的根分别为，，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、填空题13. 已知，，，且向量，的夹角是，则__________．14. 已知实数，满足，则的最大值是__________．15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与该双曲线的左支交于，两点，，分别交轴于，两点，若的周长为，则的最大值为__________．16. 如图，在三棱锥中，平面，，已知，，则当最大时，三棱锥的表面积为__________．三、解答题：第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题17. 已知在中，，，分别为内角，，的对边，且.（1）求角的大小；（2）若，，求的面积.18. 如图，在直三棱柱中，，，点为的中点，点为上一动点.（1）是否存在一点，使得线段平面？若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由.（2）若点为的中点且，求二面角的正弦值.19. 某城市为鼓励人们绿色出行，乘坐地铁，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过站的地铁票价如下表：乘坐站数现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过站.甲、乙乘坐不超过站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过站的概率分别为，.（1）求甲、乙两人付费相同的概率；（2）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆的上顶点和右焦点，的面积为，直线与椭圆交于另一个点，线段的中点为.（1）求直线的斜率；（2）设平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，且与直线交于点，求证：存在常数，使得.21. 已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）证明：.（二）选考题：请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. [选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，已知直线：（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设点的极坐标为，直线与曲线的交点为，，求的值.23. [选修4-5：不等式选讲]已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【参考答案】一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意得：，∴故选：D2. 【答案】A【解析】由题意得：∴，，故选：A3.【答案】B【解析】当输出时，此时4=，即，由，可得：，即，同理：。
海南省海南中学2018届高三下学期第五次月考数学(理)试题 (2)
【题文】
已知曲线C 1：cos sin x y =θ⎧⎨=θ⎩（θ为参数），曲线C 2
：2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； （Ⅱ）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C 1′，C 2′.写出C 1′，C 2′的参数方程。
C 1′与C 2′公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
【答案】
【解析】
（Ⅰ）1C 是圆，2C 是直线．
1C 的普通方程为221x y +=，圆心1(00)C ，，半径1r =．
2C
的普通方程为0x y -=．
因为圆心1C
到直线0x y -+=的距离为1，所以2C 与1C 只有一个公共点． （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为
1C '：cos 1sin 2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数）； 2C '
：24x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）． 化为普通方程为：1C '：2241x y +=，2C '
：12y x =
+，
联立消元得2210x ++=
，其判别式24210∆=-⨯⨯=，
所以压缩后的直线2C '与椭圆1C '仍然只有一个公共点，和1C 与2C 公共点个数相同．
【标题】海南省海南中学2018届高三下学期第五次月考数学（理）试题
【结束】。
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海南中学2018届高三第四次月考理科数学（考试用时为120分钟，满分分值为150分.）注息事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设复数21iz i=-，则z =（ ） A ．1i -+ B ．1i -- C ．1i + D ．1i -2. 已知向量()()()3,1,1,3,,2a b c k ===-，若()//a c b -，则实数k 的值等于（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 3. 若()2,4,a b a b a ==+⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6πB ．3πC ．23π D ．43π 4. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ） A ．1 B ．53C ．2D ．3 5. 已知数列{}n a 中，13a =，111n n a a +=-+（*n ∈N ），则2017a 的值等于（ ） A ．3 B ．14-C ．43- D ．3-6. 数列{}n a 的通项公式为()()12121n a n n =-+，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ）A ．221n n + B ．21n n + C ．241n n + D ．41nn + 7. 在等比数列{}n a 中，首项11a =,且3454,2,a a a 成等差数列, 若数列{}n a 的前n 项之积．为n T ,则10T 的值为（ ）A ．921- B ．362 C ．1021- D ．452 8. 一个等差数列的项数为，若132190n a a a -++⋅⋅⋅+=，24272n a a a ++⋅⋅⋅+=，且1233n a a -=，则该数列的公差是（ ）A.3B.-3C.-2D.-19. 在ABC ∆中，2AB =，3BC =，60ABC ∠=，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若(),AO AB BC R λμλμ=+∈，则λμ+的值为（ ）A.23B.34C.56D.110. 在ABC ∆中，90C =，6,3CA CB ==，点M 满足2BM MA =，则CM CB ⋅=（ ） A ．2 B ．3 C ．3- D ．611. 设的三内角A B C 、、成等差数列，sin sin sin A B C 、、成等比数列，则这个三角形的形状是（ ） A ．直角三角形 B.钝角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形12. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，其导函数为()f x '，且1(1)2f =，不等式1()f x x x'≤+的解集为(0,1]，则不等式2()ln 12f x x x ->的解集为（ ） A ．(0,1) B ．(0,)+∞ C ．(1,)+∞ D ．(0,1)(1,)+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列{}n a 的前n 项的和231n S n n =++，则此数列的通项公式n a = ． 14. 已知数列{}n a 中，)(13,1*11N n a a a a n nn ∈+==+，则{}n a 的通项公式=n a ．15. 若等差数列}{n a 满足0987>++a a a ，0107<+a a ，则当=n 时，}{n a 的前n 项和最大.16. 已知向量,,a b c 满足→→→→=++0c b a ，→→→→-=b a c c 与,32所成的角为120，则当时R t ∈，(1)ta t b +-的最小值是 ．三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 向量()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值． （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域；（2）若ABC ∆的面积等于103，13b c +=，求a 的值．18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．19. （本小题满分12分）某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者.（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.20. （本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中， PD ⊥底面ABCD , //AB CD , ,2,3,3BAD AB CD π∠=== M 为线段PC 上一点且2PM MC =.（1）证明： BM ∥平面PAD ;（2）若2AD =, 3PD =，求二面角D MB C --的正弦值．21. （本小题满分12分）对于函数()y f x =的定义域为D ，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足下列条件：①()f x 在[],m n 上是单调函数；②当()f x 的定义域为[],m n 时，值域也是[],m n ，则称区间[],m n 是函数()f x 的“K 区间”． 对于函数()()ln ,00,0a x x x f x a x a x ->⎧⎪=>⎨--≤⎪⎩．（1）若1a =，求函数()f x 在(),1e e -处的切线方程； （2）若函数()f x 存在“K 区间”，求a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22. （本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为32 112x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数).以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos21ρθ=，直线l 与曲线C 交于,A B 两点.(1)求AB 的长；(2)若点P 的极坐标为π1,2⎛⎫⎪⎝⎭，求AB 中点M 到P 的距离.23. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-（0a >）． （1）证明：()2f x ≥；（2）若()35f <，求a 的取值范围．海南中学2018届高三第四次月考理科数学 参考答案一、选择题：1—12：BDCCAB DBADDD 二、填空题 13．5,162,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩14．132n - 15．8 16．32三、解答题17．（本小题12分）在ABC ∆中，,,A B C 所对的边分别为,,,a b c ()sin ,cos m x x =，()()()cos ,sin n x A x A =--，函数()()f x m n x R =⋅∈ 在512x π=处取得最大值． （1）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求函数()f x 的值域； （2）若ABC ∆的面积等于103，13b c +=，求a 的值．解:（1）()()()sin cos cos sin f x x x A x x A =-+- ()sin 2x A =- 因为函数在512x π=处取得最大值，所以52122A ππ⨯-=，得3A π= 所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,333x πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则函数值域为3,12⎛⎤-⎥ ⎝⎦（2）由（1）知3A π=，所以由1S sin 1032bc A ==可得40bc =， 又由余弦定理得22222cos ()492a b c bc A b c c b b a =+-=-=-+，所以7a =18．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且12,111+==+n n S a a ，数列{}n b 满足11b a =，点),(1+n n b b P 在直线02=+-y x 上，*∈N n ．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设nnn a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T 。
解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥．又21213a S =+= ,所以213a a =．故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列．所以13n n a -=． 由点()1,n n P b b +在直线20x y -+=上，所以12n n b b +-=．则数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列．则()11221n b n n =+-⋅=-． （Ⅱ）因为1213n n n n b n c a --==，所以0121135213333n n n T --=++++． 则12311352133333n nn T -=++++, 两式相减得：11211113322222121121112213333333313n n n n n n n n n n T ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭---⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++++-=+⨯-=-- ⎪⎝⎭-21112113323233n n n n n n T ----+∴=--=-⋅⋅19．某校从6名学生会干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加青年联合会志愿者。
（1）设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率。
解：（1）由题意得ξ可能取值为0，1，2；()3436105C P C ξ∴===, ()142362315C C P C ξ∴===, ()124236125C C P C ξ∴===. ξ∴的分布列为：ξ0 1 2P15 35 151310121555E ξ∴=⨯+⨯+=.（2）解：设事件A ：男生甲被选中；事件B ：女生乙被选中。