海南中学2020届高三数学第二次月考试题卷 (含答案)
2020届海南省海南中学高三第二次月考数学试题(解析版)
2020届海南省海南中学高三第二次月考数学试题一、单选题 1．设集合M ＝{x|x ＝2k ×180°＋45°，k ∈Z}，N ＝{x|x ＝4k×180°＋45°，k ∈Z}，那么( ) A ．M ＝N B ．N ⊆MC ．M ⊆ND ．M∩N ＝∅【答案】C【解析】变形表达式为相同的形式，比较可得． 【详解】由题意可{|18045}{|2145}2kM x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈得，（），，即M 为45︒的奇数倍构成的集合， 又{|18045}{|145}4kN x x k Z x x k k Z ==⋅︒+︒∈==+⋅︒∈，（），，即N 为45︒的整数倍构成的集合，M N ∴⊆， 故选C ． 【点睛】本题考查集合的包含关系的判定，变形为同样的形式比较是解决问题的关键，属基础题． 2．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏【答案】B 【解析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列， ∴S 7=()711212a --=381，解得a 1=3． 故选B ．3．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A【解析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】便宜没好货，故“好货”一定“不便宜”， “不便宜”不一定是“好货”. 故选：A . 【点睛】本题考查了充分条件，意在考查学生的推断能力.4．相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A ．1201r r <<<B ．2101r r <<<C ．1210r r -<<<D ．2110r r -<<< 【答案】D【解析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断. 【详解】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D. 【点睛】本题考查线性回归分析，重点考查散点图、相关系数，突显了数据分析、直观想象的考查.属基础题.5．下列函数中，既是奇函数，又在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．2sin x y x =-B ．122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin y x x =-D ．cos y x x =-【答案】B【解析】由奇函数的定义先可排除选项A,D 再利用函数单调性判断B,C ，即可得选项. 【详解】由奇函数的定义()()f x f x -=-，可知A,D 不满足奇函数的定义，排除A,D ；由2xy =与12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭均为增函数，知122xx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数，B 正确； 对于sin y x x =-，有10y cosx -'=<，所以sin y x x =-为减函数，D 不正确. 故选B. 【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及单调性的判断，属于基础题. 6．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则105S S 等于( ) A ．－3 B ．5C ．33D ．－31【答案】C【解析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出105S S . 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q （公比显然不为1），则()()61636333111119111a q S q q q S qa q q---===+=---，得2q =， 因此，()()101105510555111111233111a q S q q q S q a qq---===+=+=---，故选C. 【点睛】本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用． 7．一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x ，y ，z ，当且仅当y ＞x ，y ＞z 时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A ．23B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】根据题意，分析“凸数”的定义，可得要得到一个满足三个不相同的数组成的三位“凸数”，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最大的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率． 【详解】解：从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组成一个三位数共有24个结果：123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432，其中是“凸数”的是132,142,143,231,241,243,341,342，共8个结果，所以这个三位数是“凸数”的概率81243P ==， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率，关键是列举基本事件总数时不重不漏，属于基础题．8．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos2cos22cos2A B C +=，则cos C 的最小值为（ ）A ．B ．2C ．12D ．12-【答案】C【解析】化简得到()2cos cos 2cos 1C A B C --=-，故()11cos 2cos 1cos A B C C-<-=-+≤，解得答案. 【详解】cos2cos22cos2A B C +=，即()()2cos cos 2cos2A B A B C +-=，即()2cos cos 2cos 1C A B C --=-，故()11cos 2cos 1cos A B C C-<-=-+≤. 解得：1cos 12C ≤<，当3A B C π===时cos C 有最小值为12. 故选：C . 【点睛】本题考查了三角恒等变换求范围，意在考查学生的计算能力和转化能力.9．函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于,M N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．函数()f x 的图象关于点,034⎛⎫π ⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 在2(,)36ππ--单调递增 D ．函数()f x 的图象向右平移512π后关于原点成中心对称【答案】B【解析】根据函数的图象，求得函数()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦型函数的性质，即可求解，得到答案． 【详解】根据给定函数的图象，可得点C 的横坐标为3π，所以1()2362T πππ=--=，解得T π=，所以()f x 的最小正周期T π=， 不妨令0A >，0ϕπ<<，由周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，所以()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2,3x k k Z ππ+=∈，解得,26k x k Z ππ=-∈，当3k =时，43x π=，即函数()f x的一个对称中心为4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的图象关于点4,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭成中心对称．故选B ． 【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据函数的图象求得三角函数的解析式，再根据三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及运算与求解能力，属于基础题． 10．已知函数(1)y f x =+的图象关于y 轴对称，且函数()f x 在(1,)+∞上单调，若数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且418()()f a f a =，则{}n a 的前21项之和为（ ） A ．0 B ．252C ．21D ．42【答案】C【解析】由函数y ＝f （x+1）的图象关于y 轴对称，可得y ＝f （x ）的图象关于x ＝1对称，由题意可得418a a 2+=，运用等差数列的性质和求和公式，计算可得到所求和． 【详解】函数()y f x 1=+的图象关于y 轴对称，平移可得()y f x =的图象关于x 1=对称，且函数()f x 在()1,+∞上单调，由数列{}n a 是公差不为0的等差数列，且()()418f a f a =，可得418a a 2+=，所以121418a a a a 2+=+=，可得数列{}n a 的前21项和()1212121a a S 212+==.故选：C. 【点睛】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．11．已知函数()cos (0)f x wx wx w =+>在区间,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数ω的取值范围是（ ） A ．8,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．8,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．20,73⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果． 【详解】由题意，函数()cos 2sin()6f x x x x πωωω=+=+，令6x t πω+=，所以()2sin f x t =，在区间上,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦恰有一个最大值点和最小值点，则函数()2sin f x t =恰有一个最大值点和一个最小值点在区间,[436]6πωππωπ+-+， 则3246232362ππωππππωππ⎧-<-+≤-⎪⎪⎨⎪≤+<⎪⎩，解答8203314ωω⎧≤<⎪⎨⎪≤<⎩，即834ω≤<，故选B ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．12．若函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()2e x f x g x -=，则( )A ．()()()231f f g -<-<-B ．()()()132g f f -<-<-C ．()()()213f g f -<-<-D ．()()()123g f f -<-<-【答案】D【解析】根据奇函数偶函数性质计算函数表达式，代入数值比较大小. 【详解】若函数()f x 、()g x 分别是定义在R 上的偶函数、奇函数，且满足()()2e xf xg x -=()()()()2e 2e x x f x g x f x g x ----=+=⇒-()4x x e e f x -+=()2x xe e g x --= 代入数值知：()()()123gf f -<-<- 故答案为D 【点睛】本题考查了根据奇偶函数性质求函数表达式，是函数性质里的常考题目.二、填空题 13．()()532xx a -+的展开式的各项系数和为32，则该展开式中4x的系数是______.【答案】5【解析】化简得到()()()()5553322x x a x a x x a -+=+-+，计算1a =，根据二项式定理计算得到答案. 【详解】()()()()5553322x x a x a x x a -+=+-+，取1x =得到()5132a +=，故1a =.()51x +的展开式的通项式为：515r rr T C x -+=，分别取1r =和4r =得到系数为：145525C C ⨯-=.故答案为：5. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 14．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则na n的最小值为__________. 【答案】212【解析】先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到n an的最小值．【详解】解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33 且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33．从而331n a n n n=+- 设f （n ）331n n =+-，令f ′（n ）23310n-=+＞，则f （n ）在)+∞上是单调递增，在(0上是递减的，因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值． 又因为55355a =，66321662a ==，所以n a n的最小值为62162a =故答案为 212【点睛】本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．15． 已知函数y ＝()f x 的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是122y x =＋，则()()1'1f f ＋＝________. 【答案】3【解析】由题意知()()115'112222f f ＝，＝＋＝， 所以f (1)＋f ′(1)＝52＋12＝3. 答案：3.16．李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为______. 【答案】15【解析】设购买水果的总价为y ，当120y ≥时，则()70%80%y y x ⋅≤-⋅恒成立，解得8yx ≤，得到答案. 【详解】设购买水果的总价为y ，当0120y <<时，易知成立； 当120y ≥，则()70%80%y y x ⋅≤-⋅恒成立，解得8yx ≤恒成立. 当买两盒草莓，即120y =时，8y取最小值，故x 取最大值为15. 故答案为：15. 【点睛】本题考查了不等式恒成立问题的应用，意在考查学生的应用能力.三、解答题17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0d ≠，且3550S S +=，1a ，4a ，13a成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若从数列{}n a 中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按原来顺序组成一个新数列{}n b ，记该数列的前n 项和为n T ，求n T 的表达式.【答案】（1）21n a n =+；（2）224n n T n +=+-【解析】（1）根据题意得到181350a d +=，()()2111312a d a a d +=⋅+，解得答案，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）221nn b =⋅+，利用分组求和法计算得到答案.【详解】（1）3550S S +=，即181350a d +=；1a ，4a ，13a 成等比数列，故24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+；解得13,2a d ==，故()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+；（2）221nn b =⋅+，故21242412nn n T n n +-=⋅+=+--.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，分组求和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.18．已知函数()sin(3)4f x x π=+.（1）求()f x 的单调递增区间； （2）若α是第二象限角，4()cos()cos 2354f απαα=+，求cos sin αα-的值.【答案】（1）22[,]34312k k ππππ-+，k Z ∈；（2）或． 【解析】试题分析：（1）将34x π+看作一个整体，根据正弦函数sin y x =的单调递增区间便可得()sin(3)4f x x π=+的单调递增区间.（2）将3α代入4()cos()cos 2354f απαα=+得4sin()cos()cos 2454ππααα+=+.求三角函数值时，首先考虑统一角，故利用和角公式和倍角公式化为单角α的三角函数得：4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+.注意这里不能将sin cos αα+约了.接下来分sin cos 0αα+=和sin cos 0αα+≠两种情况求值.试题解答：（1）22232()24243123k x k k x k k Z πππππππππ-+≤+≤+⇒-+≤≤+∈； （2）由题设得：4sin()cos()cos 2454ππααα+=+， 即4sin cos (cos sin )(cos sin )(sin cos )5αααααααα+=--+，. 若sin cos 0αα+=，则cos sin αα-= 若sin cos 0αα+≠，则241(cos sin )cos sin 5αααα=-⇒-=【考点定位】三角函数的性质、三角恒等变换三角函数的求值.19．在ABC ∆中，锐角C 满足252sin cos 232C C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭. （1）求角C 的大小；（2）点P 在BC 边上，3PAC π∠=，3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3C π=；（2【解析】（1）化简得到sin 232C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，根据22,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭得到答案. （2）根据正弦定理得到AB =根据余弦定理得到2PA =，再计算面积得到答案. 【详解】（1）252sin cos 232C C π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，化简得到33sin 2cos 2222C C -=.即sin 23C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，22,333C πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故233C ππ-=，3C π=.（2）易知APC ∆为等边三角形，故23APB ∠=π. 根据正弦定理：2sin sin3PB ABPABπ=∠，故AB =根据余弦定理：2222co 23sAB PA PB PA PB π=+-⋅，解得2PA =，故5BC =，2AC =.1sin 232ABC S CA CB π∆=⋅=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，余弦定理，面积公式，意在考查学生的综合应用能力.20．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14a =，()*134n n a S n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足2log n n n a b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：89n T <. 【答案】（1）4nn a =；（2）证明见解析【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-结合等比数列的定义可得出数列{}n a 的通项公式；（2）化简得到21244nn n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，利用错位相减法计算得到868994n n n T +=-⨯，得到证明. 【详解】（1）()*134n n a S n N+=+∈，当2n ≥时，134nn aS -=+，两式相减得到14n n a a +=，213416a a =+=，214a a ∴=， 所以，数列{}n a 是以4为首项，以4为公比的等比数列，故4nn a =；（2）2log n n n a b a =，即42nn b n ⋅=，故21244nn n n b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故2111242444n n T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，23111112424444n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .相减得到：23412341322222211111224444444444444n n n n n n n T ++⎛⎫=+++++-=+++++- ⎪⎝⎭L L111112122122684411434433414n n n n n n n n +++⎛⎫⨯- ⎪+⎛⎫⎝⎭=-=--=- ⎪⨯⎝⎭-， 化简整理得到：86889949n n n T +=-<⨯，得证. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法，证明数列不等式，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21．改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元） 支付方式 （0,1000]（1000,2000] 大于2000仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人14人1人（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】(Ⅰ) 25； (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析.【解析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可.(Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可. 【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则： 该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (Ⅱ)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25，仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”. 【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关. 22．设函数()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数.（1）若()f x 在(1,)+∞上是单调减函数，且()g x 在(1,)+∞上有最小值，求a 的取值范围；（2）若()g x 在(1,)-+∞上是单调增函数，试求()f x 的零点个数，并证明你的结论. 【答案】（1）(,)a e ∈+∞（2）当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1；当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2.【解析】【详解】 （1）∵11()0ax f x a x x='-=-<，考虑到函数()f x 的定义域为(0,)+∞，故0a >，进而解得1x a ->，即()f x 在1(,)a -+∞上是单调减函数. 同理，()f x 在1(0,)a -上是单调增函数. 由于()f x 在(1,)+∞是单调减函数，故1(1,)(,)a -+∞⊆+∞，从而11a -≤，即1a ≥.令()0x g x e a '=-=，得ln x a =，当ln x a <时，()0g x '<；当ln x a >时，()0g x '>， 又()g x 在(1,)+∞上有最小值，所以ln 1a >，即a e >， 综上所述，(,)a e ∈+∞.（2）当0a ≤时，()g x 必是单调增函数；当0a >时，令()0xg x e a '=->，解得x a e <，即ln x a >，∵()g x 在(1,)-+∞上是单调函数，类似（1）有ln 1a ≤-，即10a e -<≤， 综合上述两种情况，有1a e -≤. ①当0a =时，由(1)0f =以及1()0f x x'=>，得()f x 存在唯一的零点； ②当0a <时，由于()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<，(1)0f a =->，且函数()f x 在[,1]a e 上的图象不间断，∴()f x 在(,1)a e 是单调增函数，∴()f x 在(,1)a e 上存在零点. 另外，当0x >时，1()0f x a x'=->，则()f x 在(0,)+∞上是单调增函数，()f x 只有一个零点.③当10a e -<≤时，令1()0f x a x¢=-=，解得1x a -=. 当10x a -<<时，()0f x '>；当1x a ->时，()0f x '<. ∴1x a -=是()f x 的最大值点，且最大值为1()ln 1f a a -=--.1)当ln 10a --=，即1a e -=时，()f x 有一个零点x e =.2)当ln 10a -->，即10a e -<<时，()f x 有两个零点. 实际上，对于10a e -<<，由于11()10f e ae--=--<，1()0f a ->，且函数()f x 在11[,]e a --上的图象不间断，∴()f x 在11(,)e a --上存在零点.另外，当1(0,)x a -∈时，1()0f x a x'=->，故()f x 在1(0,)a -上是单调增函数，∴()f x 在1(0,)a -上有一个零点.下面需要考虑()f x 在(,)a+∞１上的情况，先证112()()0a f e a a e ---=-<， 为此，我们要证明：当x e >时，2x e x >，设2()xh x e x =-，则，再设()()2x l x h x e x ='=-，则()2xl x e =-'.当1x >时，()220xl x e e =->->'，∴()()l x h x '=在(1,)+∞上是单调增函数，故当2x >时，2()2(2)40x h x e x h e ''=->=->，从而()h x 在(2,)+∞上是单调增函数，进而当x e >时，22()()0x e h x e x h e e e =->=->，即当x e >时，2x e x >.当10a e -<<，即1a e ->时，11112()()0a a a f e a ae a a e -----=-=-<，又1()0f a ->，且函数()f x在11[,]a a e --的图象不间断，∴()f x 在11(,)a a e --上存在零点. 又当1x a ->时，1()0f x a x'=-<，故()f x 在1(,)a -+∞是单调减函数，所以，()f x 在1(,)a -+∞上只有一个零点.综上所述，当0a ≤或1a e -=时，()f x 的零点个数为1；当10a e -<<时，()f x 的零点个数为2. 【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.。
海南省海口市第四中学2020届高三数学上学期第二次月考试题(含解析)
【详解】∵一个直三棱柱的每条棱长都是 3 ，且每个顶点都在球 O 的球面上，
∴设此直三棱柱两底面的中心分别为 O1,O2 ，则球心 O 为线段 O1O2 的中点，
设球 O
的半径为
R
，则
R2
3 2
2
2 3
3 2
2 3
21 4
∴球 O 的表面积 S 4 R2 21 .
故答案为 21 ．
足 xf '(x) 2 f (x) ，所以 xf '(x) 2 f (x) 0 ，因为 g(x) x2 f (x) ，所以
g
(
x)
2
xf
(
x)
x2
f
x
0
，所以函数
g
x
在
(0,
)
上单调递增，所以
g
x
在
(, 0) 上单调递减，由不等式 g x g(1 x) ，等价于 g
x
g(1
x)
x 1
C. {1，2，4，6}
D.
{1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】
试题分析：根据补集的运算得
ðUP 2, 4, 6,(ðUP) Q 2, 4, 61, 2, 4 1, 2, 4, 6 ．故选 C.
【考点】补集的运算.
【易错点睛】解本题时要看清楚是求“ ”还是求“ ”，否则很容易出现错误；一定要注
D. 在回归分析中，可用相关指数 R2 的值判断模型的拟合效果， R2 越大，模型的拟合效果
越好 【答案】D 【解析】 【分析】
依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案.
【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项 D 是正确的．
海南中学2020届高三第二次月考试题 (答案)
记事件C为“从样本仅使用A的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于
1000元”，事件D为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付
金额大于1000元”．
由题设知，事件C，D相互独立，且
P(C )
93 30
0.4,
P(D) 14 1 0.6 ． 25
所以 P( X 2) P(CD) P(C)P(D) 0.24 ，
ad1
3 2
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
即 an＝2n＋1......................................................................................................5 分 (2)由已知，得 bn＝ a2n ＝2×2n＋1＝2n＋1＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1) ＝411－－22n＋n＝2n＋2－4＋n...... .....................................................................10 分
则由上个月的样本数据得 P(E)
1 C330
1 4060
．
答案示例1：可以认为有变化． 理由如下： P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本 月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．........................................12 分
海南省2020届高三上学期第二次月考数学试卷
高三年级第二次月考试题数 学（考试时间：120分钟 满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，请认真阅读答题卡上的注意事项，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知全集U =R ，集合{}|0A x x =<，{}2,1,0,1,2B =--，那么B A C U ⋂)(等于( ) A ．{}0,1,2 B ．{}1,2 C ．{}2,1--D ．{}2,1,0--2．关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是 （ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题3．设,a b r r为非零向量，则“a r ∥b r”是“,a b r r方向相同”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．为了得到函数3sin 21y x =+的图象，只需将3sin y x =的图象上的所有点（ ） A ．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度 B ．横坐标缩短12倍，再向上平移1个单位长度 C ．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度 D ．横坐标缩短12倍，再向下平移1个单位长度5．已知)3,2(=a ，)1,(-=m m b ，)3,(m c =，若b a //，则c b •=（ ）A.-5B.5C.1D.-16．已知角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则（ ）A.B.C.D.7．已知31()3a =，133b =，13log 3c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<8．复数z 满足()11z i i -=+，则复数z 的实部与虚部之和为( ) A ．2B ．2-C ．1D ．09．已知函数21()44f x x x=-，则 ()f x 的大致图象是 ( )A ．B ．C ．D ．10．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2B ．2C ．2 D ．411．设'()f x 是函数()f x 的导函数，若'()0f x >，且1212,()x x R x x ∀∈≠，1212()()22x x f x f x f +⎛⎫+< ⎪⎝⎭，则下列选项中不一定正确的一项是（ ）A ．(2)()()f f e f π<<B ．'()'()'(2)f f e f π<<C ．(2)'(2)'(3)(3)f f f f <-<D ．'(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<12．已知函数a x e x f x -=)(，xx e ax e x g )(3)(-=，若方程有4个不同的实数解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分） 13．已知i 是虚数单位，复数21iz i =-，则在复平面上复数z 对应的点坐标______. 14．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地，去本三尺,问折者高几何?意思是:有一根竹子原高一丈(丈尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为__________尺．15．曲线52x y e -=+在点(0，3)处的切线方程为________．16．己知函数()sin cos f x x x =，3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有以下结论： ①()f x 的图象关于直线y 轴对称 ②()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 ③()f x 的一个对称中心是,02π⎛⎫⎪⎝⎭④()f x 的最大值为12则上述说法正确的序号为__________（请填上所有正确序号）.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆3353，求ABC ∆的周长.18、（本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中，11a =且32a ，5a ，43a 成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值20、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值； （3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值.21、（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.82822.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<.高三第一学期第二次月考一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案AABBACCDBACB二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分） 13. (1,1). 14.15. y ＝－5x ＋3 16. ②④ 三、解答题17、（本小题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2cos 0a C c A b B ++=.（Ⅰ）求角B 的大小； （Ⅱ）若ABC ∆的面积为334，其外接圆的半径为33，求ABC ∆的周长.【详解】（Ⅰ）由题意，因为cos cos 2cos 0a C c A b B ++=， 由正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos 0A C C A B B ++=， 即()sin 2sin cos 0A C B B ++=，由A C B π+=-，得sin 2sin cos 0B B B +=， 又由(0,)B π∈，则sin 0B >， 所以12cos 0B +=，解得1cos 2B =-， 又因为(0,)B π∈，所以23B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知23B π=53， 5323=5b =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，可得2225a c ac =++，因为ABC ∆1sin 2ac B ==，解得3ac =， 所以()()2222253a c ac a c ac a c =++=+-=+-，解得：a c += 所以ABC ∆的周长5L a c b =++=.18、（本小题满分12分）在正项等比数列{}n a 中，11a =且32a ，5a ，43a 成等差数列 （1）求数列的通项公式； （2）若数列{}n b 满足n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【详解】（1）53412231a a a a =+⎧⎨=⎩Q 42311112231a q a q a q a ⎧=+∴⎨=⎩2q ∴=，12q =-0n a >Q ，2q ∴= 1112n n n a a q --==（2）12n n n n n b a -==Q 01211232222n n n S -∴=++++L 121112122222n n n n n S --=++++L ①-②得211111122222n n n nS -=++++-L12212222n n n n n +⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1242n n n S -+∴=-19、函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0,||2A πωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像.（1）当17,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域 （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值 【详解】（1）根据图象可知171,4123A T ππ==- 2,2,()sin(2)T f x x Tππωϕ∴=∴===+ 代入7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭得，7sin 1,2,63k k Z ππϕϕπ⎛⎫+=-=+∈⎪⎝⎭， ||,0,23k ππϕϕ<∴==Q()sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭把函数()f x 的图像向右平移4π个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ()sin 21sin 21436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设26t x π=-，则5,34t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 此时sin t 22⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 所以值域为21,02⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. （2）由（1）可知()sin 2[1,1]3f x x π⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭()()3[4,2]F x f x =-∈--对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上则max ()0h t ≤恒成立而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩所以265m ≤-，则m 的最大值为265-.20、（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60ADC ︒∠=，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点，AB CE =.（1）求证：//DE 平面ACF ；（2）求异面直线EO 与AF 所成角的余弦值； （3）求AF 与平面EBD 所成角的正弦值. 【详解】解：（1）如图，连接OF ，因为底面ABCD 是菱形，AC 与BD 交于点O ， 可得O 点为BD 的中点，又F 为BE 的中点，所以OF 为BDE V 的中位线， 可得OF∥DE,又OF ACF ∈,DE 不在平面ACF 内， 可得//DE 平面ACF ；（2）如图连接C 点与AD 中点位x 轴，CB 为y 轴，CE 为z 轴建立空间直角坐标系， 设菱形ABCD 的边长为2，可得CE=2， 可得E(0，0，2)，O(32,123可得：31(,2)2EO =-u u u r ,(3,0,1)AF =-u u u r ,设异面直线EO 与AF 所成角为θ，可得222222311(3)0(2)(1)5222cos =2531()()(2)(3)(0)(1)22EO AF EO AFθ-+⨯+-⨯-⋅==++-⨯-++-u u u r u u u r u u u r u u u r ， （3）可得3,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),可得n 0(3,3,0)DB ⋅=u u u u r r ,(0,2,2)BE =u u u r ,设平面EBD 的一个法向量为n r， 可得n 0DB ⋅=u u u r u r ，n 0BE ⋅=u u u r r ,可得n r的值可为(-3,-1,1)，由(3,0,1)AF =--u u u r可得AF 与平面EBD 所成角的正弦值为n n AF AF ⋅r u u u r r u u u r 2222223)3)5554(3)(1)(1)(3)(0)(1)-==-+-+-++-.21、（本小题满分12分）为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工（其中技术工、非技术工各50名）的月工资，得到这100名农民工月工资的中位数为39百元（假设这100名农民工的月工资均在[]25,55（百元）内）且月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名，则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.05 0.01 0.005 0.001 0k3.8416.6357.87910.828【详解】（Ⅰ）Q 月工资收入在[)45,50（百元）内的人数为15∴月工资收入在[)45,50（百元）内的频率为：150.15100=； 由频率分布直方图得：()0.02240.0150.151m n +++⨯+= 化简得：20.07m n +=……①由中位数可得：()0.025********.5m n ⨯+⨯+⨯-= 化简得：540.2m n +=……② 由①②解得：0.02m =，0.025n = （Ⅱ）根据题意得到列联表：技术工非技术工 总计月工资不高于平均数19 3150()2210019193131 5.7610.82850505050K ⨯⨯-⨯∴==<⨯⨯⨯∴不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关22.（本小题满分12分）已知函数2()(1)ln f x x ax a x =-+- （I ）若2a ≥-讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对于函数()f x 的图象上两点()()()()()11122212,,P x f x P x f x xx <，存在()012,x x x ∈，使得函数()f x 的图象在0x x =处的切线12//l PP .求证：1202x x x +<. 【详解】（1）解：易得，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()1221x x a a f x x a x x-+=-+='-， 令()0f x '=，得1x =或2ax =-. ①当0a ≥时，01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增.此时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞. ②当20a -<<时，12ax -<<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 02ax <<-或1x >时，()0f x '>，函数()f x 单调递增. 此时，()f x 的减区间为,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫-⎪⎝⎭，()1,+∞.③当2a =-时，0x >时，()()2210x f x x-'=>，函数()f x 单调递增；此时，()f x 的减区间为()0,+∞.综上，当0a ≥时，()f x 的减区间为()0,1，增区间为()1,+∞：当20a -<<时，()f x 的减区间为,12a⎛⎫- ⎪⎝⎭，增区间为0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭.()1,+∞；当2a =-时，()f x 增区间为()0,+∞.（2）证明：由题意及导数的几何意义，得()()()1121021R P f x f x f x k x x =='--()()22222111211ln 1ln x ax a x x ax a x x x ⎡⎤⎡⎤-+---+-⎣⎦⎣⎦=-()211222ln2x a x x x a x x =+-+++由（1）中()f x '得()121212222x x a f x x a x x +⎛⎫=+-+-⎪+⎭'⎝. 易知，导函数()()21af x x a x=-+-' (0)a >在()0,+∞上为增函数， 所以，要证1202x x x +<，只要证()1202x x f x f +⎛⎫< ⎪⎝'⎭'，即212112ln2x a x a x x x x <--+，即证()2121122ln x x xx x x ->+. 因为210x x >>，不妨令21x t x =，则()()21ln 1t g t t t -=-+ (1)t >. 所以()()()()222114011t g t t t t t -=-=+'>+ (1)t >，所以()g t 在()1,t ∈+∞上为增函数， 所以()()10g t g >=，即()21ln 01t t t -->+，所以()21ln 1t t t ->+，即ln 211t t t >-+， 即()2121122lnx x x x x x ->+. 故有1202x x x +<（得证）.。
海南省2020届高三数学上学期第二次月考试题
高三数学上学期第二次月考试题（满分：150分时间：120分钟）一、选择题：（每小题5分，共60分）1.已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则（∁U P）∪Q=（）A. B. C. 2,4, D. 2,3,4,2.已知p：（x-1）（x-2）≤0，q：log2（x+1）≥1，则p是q的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.下列命题中的假命题是（）A. ,B. ,C. ,D. ,4.以下四个命题中是真命题的是（）A. 对分类变量x与y的随机变量的观测值k来说,k越小,判断“x与y有关系”的把握程度越大B. 两个随机变量的线性相关性越强,相关系数的绝对值越接近于0C. 若数据,,,,的方差为1,则,,,,的方差为2D. 在回归分析中,可用相关指数的值判断模型的拟合效果,越大,模型的拟合效果越好．5.若b＜a＜0，则下列结论不正确．．．的是( )A. B. C. D.6.某地市高三理科学生有30000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ～N(100，σ2)，已知P(80＜ξ≤100)＝0.45，若按分层抽样的方式取200份试卷进行成绩分析，则应从120分以上的试卷中抽取（）A. 5份B. 10份C. 15份D. 20份7.已知x＞0，y＞0，2x+y=2，则xy的最大值为（）A. B. 1 C. D.8.随机变量X的分布列如表所示，若E（X）=，则D（3X-2）=（）A. 9B. 7C. 5D. 39.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是A. 奇函数B. 周期是C. 关于直线对称D. 关于点对称10.当x∈R时，不等式kx2-kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是（）A. B.C. D.11. 若，，且函数在处有极值，则的最小值为A.B.C.D.12. 已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f （x ），其导函数为f ′（x ），对任意正实数x 满足xf ′（x ）＞-2f （x ），若g （x ）=x 2f （x ），则不等式g （x ）＜g （1-x ）的解集是（ ）A.B.C.D.二、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 设函数f （x ）=，则f （）的值为_________14. 设x ∈R ，向量，且，则=________15. 一正三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为_____16. 若函数f (x )＝ln x －ax ＋1，a ∈R 有零点，则实数a 的取值范围是_______ 三、解答题（共70分） 17. (本小题12分)已知函数)2,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f的部分图象如图所示． （1）求函数f （x ）的解析式 （2）求f （x ）的单调增区间； （3）求f （x ）在区间上的最大值和最小值．18. (本小题10分)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足4a n -3S n =2，其中n ∈N *．（Ⅰ）求证：数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）设b n =a n -4n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19.(本小题12分)某大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛．经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班，由组委会聘请两位导师各负责一个班进行声乐培训．下图是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图．赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数不低于85票的可进入决赛，其中票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．(1)从进入决赛的选手中随机抽出2名，X表示其中拥有“优先挑战权”的人数，求X的分布列和数学期望；(2)请填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为进入决赛与选择的导师有关？下面的临界值表仅供参考：(参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)20.(本小题12分) 如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B-AD-E的大小．21.(本小题12分)设椭圆C：=1（a＞b＞0），过点Q（，1），右焦点F（，0），（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=k（x-1）（k＞0）分别交x轴，y轴于C，D两点，且与椭圆C交于M，N两点，若，求k值，并求出弦长|MN|．22.(本小题12分)已知函数f（x）=ax2-ln x，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）是否存在实数a，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为，若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．答案一、选择题二、填空题13. 14.15. π21 16.]1,(-∞17.(本小题12分)解：（1）由图象知A =1， 由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2)2sin()(ϕ+=∴x x f 又1)62sin()6(=+⨯=ϕππf)(223Z k k ∈+=+∴ππϕπ)(26Z k k ∈+=∴ππϕ又2πϕ<6πϕ=∴)62sin()(π+=∴x x f（2）∵，∴．∴．所以f （x ）的单调递增区间为．（3）∵，∵， ∴．∴．当，即时，f （x ）取得最大值1； 当，即时，f （x ）取得最小值．18.(本小题10分)（Ⅰ）证明：因为4a n -3S n =2，①所以当n =1时，4a 1-3S 1=2，解得a 1=2；当n ≥2时，4a n -1-3S n -1=2，②…3 分 由①-②，得4a n -4a n -1-3（S n -S n -1）=0， 所以a n =4a n -1，由a 1=2，得a n ≠0，故{a n }是首项为2，公比为4的等比数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得a n =2×4n -1． 所以b n =a n -4n =4n -1-4n ，则{b n }的前n 项和T n =（40+41+…+4n -1）-4（1+2+3+…+n ）=-4×=314-n -2n 2-2n19.(本小题12分)解：(1)由题中茎叶图可知，进入决赛的选手共13名，其中拥有“优先挑战权”的选手共3名．根据题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝＝， P (X ＝1)＝＝， P (X ＝2)＝＝.X 的分布列如下：E (X )＝0×＋1×＋2×＝.(2)由茎叶图可得2×2列联表如下：K 2＝≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下可以认为进入决赛与选择的导师有关． 20. (本小题12分)证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE 中，由DE =BE =1，CD =2，得BD =BC =，由AC =，AB =2得AB 2=AC 2+BC 2，即AC ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ⋂平面BCDE=BC 从而AC ⊥平面BCDE ，所以AC ⊥DE ，又DE ⊥DC ，从而DE ⊥平面ACD ； （Ⅱ）21.(本小题12分)解：（Ⅰ）椭圆过点Q （，1），可得+=1，由题意可得c =，即a 2-b 2=2，解得a =2，b =，即有椭圆C 的方程为+=1；（Ⅱ）直线l ：y =k （x -1）与x 轴交点C （1，0），y 轴交点D （0，-k ）， 联立，消y 得，（1+2k 2）x 2-4k 2x +2k 2-4=0，①设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1+x 2=，=（x2-1，y2），=（-x1，-k-y1），由，得：x1+x2==1，解得k=±．由k＞0得k=代入①得2x2-2x-3=0，x1+x2=1，x1x2=-，可得|MN|=•=•=．22.(本小题12分)解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2-ln x，f（1）=1，，f′（1）=1，∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x-y=0．（Ⅱ）∵f（x）=ax2-ln x，a∈R，∴此函数的定义域为（0，+∞），=，当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，∴f（x）在（0，e]上是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值f（e）=ae2-1=，解得a=＞0与a≤0矛盾；当a＞0时，令f′（x）=0，得(舍)，，在（0，）上，f′（x）＜0，在（，+∞）上，f′（x）＞0，∴当＜e，即a＞时，函数f（x）在（0，）上是减函数，在（，e）上是增函数，∴当x=时，f（x）取得最小值，令=，得a=，符合题意．当≥e，即0＜a≤时，函数f（x）在（0，e]是减函数，∴当x=e时，f（x）取得最小值，即ae2-1=，解得a=与0＜a≤矛盾．综上，存在a=，使函数f（x）在区间（0，e]上的最小值为．。
海南省2022届高三数学上学期第二次月考试题
海南省东方市2020届高三数学上学期第二次月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合,,则等于( )A. 1,B.C.D.2.已知全集,集合,图中阴影部分所表示的集合为( )A. B. C. D.3.命题,的否定是( )A. B.C. D.4.已知二次函数的图象如图所示,则下列结论：,；；方程的两根之和大于0；,其中正确的个数是( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5.,下列不等式中成立的是( )A. B. C. D.6.已知向量,若为正数,则的最小值是A. 9B. 8C.D.7.“”是“关于x的不等式恒成立”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8.古代数学名著张丘建算经中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢,重作券；要过限一日,息绢一尺；二日息二尺；如是息绢日多一尺今过限一百日,问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品,每过期一天便加纳一天利息债务过期一天要纳利息一尺绢,过期二天则第二天便再纳利息二尺,这样,每天利息比前一天增加一尺若过期100天,欠债方共纳利息为A. 100尺B. 4950尺C. 5000尺D. 5050尺9.已知是第二象限角,且,则( )A. B. C. D.10.已知向量,,若,则( )A. B. C. D. 111.曲线在点处切线的斜率等于( )A. 2eB. eC. 2D. 112.若等比数列的前项和为,且,,则( )A. B. 15 C. 31 D. 或31二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的定义域为 ________________．14.函数在区间上的最大值为1,则实数______．15.函数的值域为______ ．16.将函数的图象向左平移3个单位,得函数的图象如图,点分别是函数图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点,设,则的值为_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.(满分10分)化简求值,要求给出必要的化简步骤：18.（满分12分）的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知．1求C. 2若,的面积为,求的周长．19.（满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表：1请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相应位置,并直接写出函数的解析式；2将图象上所有点向左平行移动个单位长度,并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变,得到的图象若图象的一个对称中心为,求的最小值；3在2条件下,求在上的增区间．20.（满分12分）已知在等比数列中,,且,,成等差数列．求数列的通项公式；若数列满足：,求数列的前n项和．21.（满分12分）已知函数．求函数的解析式和单调区间；设,若对任意,,不等式恒成立,求实数b的取值范围．22.（满分12分）已知常数,e为自然对数的底数,函数,．写出的单调递增区间,并证明；讨论函数在区间上零点的个数．2021学年度高三第一学期【答案】1. A2. A3. B4. B5. B6. B7. C8. D9. A10. A11. C12. D13.14. 115.16.17. 解：；．18. 解：Ⅰ在中,,已知等式利用正弦定理化简得：,整理得：,即,；Ⅱ由余弦定理得,,,,,,的周长为．19. Ⅰ根据表中已知数据,解得数据补全如下表：x0 5 0 0且函数表达式为Ⅱ由Ⅰ知,得．令,解得,．由可知,当时,取得最小值Ⅲ由题意得,令,得,又,或,的增区间为,．20. 解：设等比数列的公比为q,,,成等差数列,,,．21. 解：,,,,,由及 0'/>得；由及得或, 故函数的单调递增区间是,单调递减区间是,．若对任意,,不等式恒成立,问题等价于,由可知,在上,是函数的极小值点,这个极小值点是唯一的极值点,故也是最小点,所以,,,当时,；当时,；当时,；问题等价于或或,解得或或,即,所以实数b的取值范围是．22. 解：,得的单调递增区间是,故的单调递增区间为；,,,即,即得证；,由,得,列表x单调递减极小值单调递增当时,函数取极小值,无极大值, 由,,,,,,当,即时,函数在区间不存在零点,当,即时,若,即时,函数在区间不存在零点,若,即时,函数在区间存在一个零点,若,即时,函数在区间存在两个零点,综上所述,在上,我们有结论：当时,函数无零点；当时,函数有一个零点；当时,函数有两个零点．【解析】1. 解：,0,1,,0,1,,1,．故选：A．求解一元二次不等式化简B,再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算,考查一元二次不等式的解法,是基础题．2. 【分析】本题考查Venn图表达集合的关系及运算,阴影部分表示的是在集合A中,但不在集合B中的元素,由图可知结果．【解答】解：阴影部分表示的是在集合A中,但不在集合B中的元素,由图可知,图中阴影部分所表示的集合为,故选A．3. 【分析】本题主要考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题,所以：命题,的否定是：．故选B．4. 【分析】根据已知中二次函数的图象,逐一分析四个结论的真假,可得答案．本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了二次函数的图象和性质,难度中档．【解答】解：抛物线开口向下,,抛物线对称轴,且抛物线与y轴交于正半轴,,,故错误；由图象知,当时,,即,故正确,令方程的两根为、,由对称轴,可知,即,故正确；由可知抛物线与x轴的左侧交点的横坐标的取值范围为：,当时,,故正确．故选B．5. 【分析】此题利用特殊值排除错误选项使解题变得简洁,此题是一道基础题．由题意,可以令,,代入A,B,C,D进行排除求解．【解答】解：,令,,,故A错误；,故C错误；,,故D错误；故选B．6. 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算与基本不等式的应用问题,是基础题目．根据向量的平行可以得到,再根据基本不等式即可求出答案．【解答】解：向量且,,．,,当且仅当,时取等号,故的最小值是8,故选B．7. 【分析】本题主要考查充分必要条件的定义,解题的关键是正确求出不等式恒成立的条件,属于基础题．【解答】解：当时,不等式等价为,此时不满足条件．当时,要使不等式恒成立,即,即,,故选C．8. 【分析】本题考查等差数列的前n项和,是基础的计算题．【解答】解：设债务过期一天要纳利息为尺绢,过期二天第二天纳利息尺绢,可知每天要纳绢的尺数构成等差数列,公差为,又,过期100天,欠债方共纳利息为．故选D．9. 【分析】本题主要考查三角函数的知识点,根据题意得,从而即可得到,根据是第二象限角,即可得到答案．【解答】解：因为,两边平方,因为,,,是第二象限角,所以．故选A．10. 解：,,且,,即．则．故选：A．由已知可得,求得,然后利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查数量积的坐标运算,考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是中档题．11. 【分析】本题主要考查导数的几何意义,直接求函数的导数是解决本题的关键,比较基础．求函数的导数,利用导数的几何意义即可求出对应的切线斜率．【解答】解：函数的导数为,当时,,即曲线在点处切线的斜率．故选C．12. 解：设等比数列的公比为,,,,,消去,化为,解得．时,；,．则,或．故选：D．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．13. 【分析】本题考查复合函数的定义域求解,属于基础题目．由真数大于0,得出求解不等式得出即可．【解答】解：由题意可得,解得,故函数的定义域为．故答案为．14. 【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,熟练掌握二次函数的图象和性质,是解答的关键．根据函数的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得,利用函数在区间上的最大值为1,可求实数a的值．【解答】解：函数的图象为开口向上的抛物线,函数的最大值在区间的端点取得,,,或解得,实数a等于1,故答案为1．15. 解：时,,当且仅当时“”成立,时,,当且仅当时“”成立,故函数的值域是：,故答案为：．根据基本不等式的性质通过讨论x的范围求出函数的值域即可．本题考查了基本不等式的性质,考查对勾函数的性质,是一道基础题．16. 【分析】本题考查正弦函数的图象变换,余弦定理,两角差的正切公式,考查计算能力,属于中档题,根据函数图象的变换,求得的值,由正弦函数的性质,求得M和N的坐标,利用余弦定理求得的值,即可求得．【解答】解：函数的图象向左平移3个单位,得, 则,,则,因此,由,则,所以,的值为,故答案为．17. 本题主要考查了对数与指数运算,熟练掌握运算法则是解决此类问题的关键．直接由指数的运算法则即可得到结果；直接由对数运算法则即可计算出结果．18. Ⅰ已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,根据sin C不为0求出cos C的值,即可确定出出C的度数；利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出的值,即可求的周长．此题考查了正弦、余弦定理,三角形的面积公式,以及三角函数的恒等变形,熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19. 本题考查三角函数的图象和性质以及图象变换,属于中档题．Ⅰ本小题考查三角函数图象的画法及解析式,根据表中所给数据即可补充完整并写出函数解析式；Ⅱ本小题考查图象变换及的图象和性质,根据条件平移之后利用对称中心得到,即可求出的最小值；Ⅲ由题意得,令,得,再将其对应到即可．20. 本题考查等差与等比数列的综合应用,属于中档题．利用等差数列的性质和等比数列的通项公式即可求解；利用分组求和即可解答．21. 利用函数的导数,求解,推出函数的解析式,通过导函数的符号,得到函数的单调区间．若对任意,,不等式恒成立,问题等价于,分别求解两个函数的最小值,通过b的范围讨论推出结果．本题考查函数的导数的综合应用,函数的最值的求法,考查转化思想以及计算能力．22. 本题主要考查了导数的运用,运用导数研究函数的单调性和极值,运用导数证明不等式以及用导数研究函数的零点个数,考查了分析能力和转化能力,属于较难题．根据,即在上单调递增,再根据,得到,即,即得证；先运用导数研究的单调性和极值,根据可得,得,,然后分当,即时和当,即时,分别探究在区间上零点的个数,再综合即可．。
海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第二次月考试题
海南省海口市灵山中学2020届上学期高三第二次月考试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．函数()cos 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．2π B ．πC ．2πD ．4π 2．函数()f x =） A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2,)+∞D ．[2,)+∞3．已知x ∈R ,则“230x x ->”是“40x ->”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ）A ．()sin f x x =B ．()1f x x =-+C ．()3f x x x =+D ．()2ln 2x f x x-=+ 5．在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=13，则sinB=( ) A ．15 B ．59 CD ．16．33sin 25x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2x 的值为（ ） A ．725- B ．1425 C ．1625- D ．19257．已知3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角，则()cos βα-的值是（ ）A ．3365-B ．6365C ．5665D ．5665-8．将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()3y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图像关于02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 9．已知()()214,1log ,1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,16⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．11．定义在R 上的偶函数f （x ）在[0，+∞）上递增，1()03f =，则满足18(log )0f x >的x 的取值范围是（ ）A ．（0，+∞）B ．11(0,)(,2)82⋃C ．1(0,)(2,)2+∞D ．1(0,)2 12．设函数()()()000f x R x x f x ≠的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．()()0,x R f x f x ∀∈≤B ．()0x f x --是的极小值点C ．()0x f x --是的极小值点D ．()0x f x ---是的极小值点二、填空题13．若209,T x dx T =⎰则常数的值为 .14．已知函数()()()3log 090x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，则34f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_________．15．若函数()lg (f x ax =是R 上的奇函数，则a 的值为_____．16．1(0,)2x ∈时，4log x a x <恒成立，则a 的取值范围是_________________________三、解答题17．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图．（1）()f x 的最小正周期及解析式；（2）设()()cos2g x f x x =-，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 18．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足sin cos .c A a C =（1）求角C 的大小；（2cos()4A B π-+的最大值，并求取得最大值时角,A B 的大小．19．已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--，曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+．（1）求,a b 的值；（2）讨论()f x 的单调性，并求()f x 的极大值．20．四棱锥S ABCD -，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知135DAB ∠=，BC =2SB SC AB ===，F 为线段SB 的中点．（1）求证：//SD 平面CFA ；（2）求平面SCD 与平面SAB 所成二面角的余弦值．21．已知函数()()1ln m f x x m x m R x -=--∈，()212x x g x x e xe =+-， （1）当[]1,x e ∈，求()f x 的最小值，（2）当2m ≤时，若存在21,x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使得对任意[]22,0x ∈-，()()12f x g x ≤成立，求实数m 的取值范围.22．选修4 - 4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合．若曲线1C 的极坐标方程为28sin 15ρρθ=-，曲线2C 的参数方程为(α为参数)． （1）将1C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若2C 上的点Q 对应的参数为34απ=，P 为1C 上的动点，求的最小值． 23．已知函数()2223f x x x =++-．（1）若x R ∃∈，使得不等式()f x m <成立，求m 的取值范围；（2）求使得等式()41f x x ≤-成立的x 的取值范围．参考答案1．B【分析】利用余弦函数的周期性求解．【详解】()f x 的最小正周期是22T ππ==． 故选：B ．【点睛】本题考查函数的周期性，掌握余弦函数的周期性是解题关键．2．C【分析】对数函数定义域及分母不为0，结合起来即可求得定义域.【详解】要使函数有意义，则20log 10x x >⎧⎨->⎩即220log log 2x x >⎧⎨>⎩解得2x > 故选：C .【点睛】本题考查了对数函数真数大于0，同时分母不为0的定义域问题，属于基础题.3．B【分析】先解出不等式x 2﹣3x ＞0，再判断命题的关系．【详解】x 2﹣3x ＞0得，x ＜0，或x ＞3；∵x ＜0，或x ＞3得不出x ﹣4＞0，∴“x 2﹣3x ＞0”不是“x﹣4＞0”充分条件； 但x ﹣4＞0能得出x ＞3，∴“x 2﹣3x ＞0”是“x﹣4＞0”必要条件．故“x 2﹣3x ＞0”是“x﹣4＞0”的必要不充分条件．故选B ．【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．4．D【分析】可以先确定单调性，排除两个选项，再利用奇偶性排除一个选项，得出正确结论．【详解】()sin f x x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是递增，在[1,1]-上也递增， 1,1()11,1x x f x x x x --≥-⎧=-+=⎨+<-⎩在[1,1]-上递减， 3()f x x x =+在R 上是增函数，在[1,1]-递增，24()ln ln 122x f x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭在[1,1]-上递减． 排除A ，C ， 又()1f x x =-+中(0)1f =-，函数不是奇函数，排除C ，故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，掌握奇偶性与单调性的定义是解题关键．5．B【解析】 试题分析：由正弦定理得355sin 1sin 93B B =∴=，故选B ．考点：正弦定理的应用6．A【分析】根据诱导公式，先得到3cos 5x =-，再由二倍角的余弦公式，即可得出结果. 【详解】 由33sin 25x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭得3sin 25x π⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则3cos 5x =-， 因此27cos 22cos 125x x =-=-. 故选：A.【点睛】 本题主要考查由三角函数值求三角函数值，熟记二倍角公式，以及诱导公式即可，属于基础题型.7．A【分析】由平方关系求得sin α，cos β，再由两角差的余弦公式计算．【详解】 ∵3cos 5α=-，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12sin 13=-β，β是第三象限角， ∴4sin 5α，5cos 13β=-， ∴5312433cos()cos cos sin sin 13513565βαβαβα⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查两角差的余弦公式，属于基础题，在用平方关系求值时需注意角的范围．8．D【解析】试题分析：将函数sin y x =的图象向左平移2π个单位，得到函数sin()cos 2y x x π=+=， 因为cos()02y π=-=，所以()-02y f x π⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于点，对称，选D.考点：三角函数图象的变换，三角函数诱导公式，三角函数的图象和性质.9．C【分析】根据分段函数的单调性，只需函数在每段上单调递减且()2141a a f -+≥即可.【详解】因为()()214,1log ,1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩是(),-∞+∞上的减函数， 所以21001214log 1a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩， 解得1162a ≤<. 故选：C.【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性，考查了一次函数、对数函数的单调性，属于中档题. 10．C【分析】根据函数()y xf x '=的图象，依次判断()f x 在区间(,1)-∞-，(1,0)-，(0,1)，(1,)+∞上的单调性即可．【详解】由函数()y xf x '=的图象可知：当1x <-时，()0xf x '<，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当10x -<<时，()0xf x '>，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当01x <<时，()0xf x '<，()0f x '<，此时()f x 单调递减；当1x >时，()0xf x '>，()0f x '>，此时()f x 单调递增．故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的图象问题．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 11．C 【分析】由题意可得偶函数()f x 在[)0+∞，上递增，在(]0-∞，上递减，结合题意可得181log 3x >①，或181log 3x <- ②，分别求得①②的解集，再取并集，即得所求． 【详解】由题意可得偶函数()f x 在[)0+∞，上递增，在(]0-∞，上递减， 且11033f f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故由18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭可得181log 3x > ①，或181log 3x <- ②． 由①可得 lg 1133lg 2x >，1lg lg 2x <，解得102x <<． 由②可得 lg 1133lg 2x <-，1lg lg lg 22x >-=，解得2x >． 综上可得，不等式的解集为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭，故选C ． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用，解对数不等式，对数的熟练运算是解题的关键，属于中档题． 12．D 【详解】对于A 选项函数的极大值不一定是函数的最大值，所以错；对于B 中的()f x -是将()f x 的图象关于y 轴对称，所以0x -是其极大值点,错误；对于C 中的()f x -是将()f x 的图象关x 轴对称，所以0x 才是其极小值点，错误；而对于D 中的()f x --是将()f x 的图象关原点对称，故0x -是其极小值点，正确. 故选D.【解析】依题意331|()933TxT==，所以3T=14．3 2 -【分析】先计算34f⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算34f f⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】由已知33423934f--⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴33223333log342f f f--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-===-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故答案为：32 -．【点睛】本题考查求分段函数值，考查对数的运算法则，属于基础题．15．±1．【分析】由奇函数的定义求解．【详解】∵()f x是奇函数，∴222()()lg(lg(lg(1)0 f x f x ax ax x a x-+=-+=+-=，221(1)1a x+-=恒成立，∴1a=±，a=±时，())f x x=的定义域均为R，满足题意，故答案为：±1．【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性的定义是解题关键．16．对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有4log xax <恒成立，则在10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时y log a x =的图象恒在4x y =的上方．在同一坐标系中分别画出指数函数和对数函数图象，据此可求得a 的取值范围． 【详解】 当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数4xy =的图象如下图所示：因为对于任意10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，总有4log x a x <恒成立，则y log a x =的图象恒在4xy =的上方因为y log a x =与4xy =的图象相交于1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭时代入对数函数，求得2a =所以此时a 的取值范围为2⎫⎪⎪⎣⎭【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的综合应用，根据函数图像及交点求得参数值，进而求得取值范围，属于难题．17．（1）最小正周期为π，π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）12- 【分析】（1）由三角函数的图象，结合三角函数的性质，可求出,,A ωϕ，进而可得到()f x 的解析式与最小正周期；（2）将()f x 代入()()cos2g x f x x =-，计算可得()g x πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求出π26x -的取值范围，进而可求出()g x 的最小值. 【详解】（1）由图可得1A =，2ππ2π36T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，又2πT ω=，所以2ω=． 当π6x =时，()1f x =，可得πsin 216ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，所以ππ22π62k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，即π2π6k ϕ=+， 因为π2ϕ<，所以6π=ϕ，所以π()sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（2）()()cos2g x f x x =-πsin 2cos 26x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππsin 2cos cos 2sin cos 266x x x =+-12cos 22x x =-πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为π02x ≤≤，所以ππ5π2666x -≤-≤． 当ππ266x -=-，即0x =时，()g x 取得最小值，即()()min π10sin 062g x g ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查三角函数的最值，考查三角函数解析式的求法，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题. 18．（1）4C π；（2）最大值为2，此时5,.312A B ππ==【详解】（1）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则（2）由（1）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ==19．（1）4a b ==；（2）见解析. 【详解】试题分析：（1）求导函数，利用导数的几何意义及曲线()y f x =在点()()0,0f 处切线方程为44y x =+，建立方程，即可求得a ，b 的值；（2）利用导数的正负，可得()f x 的单调性，从而可求()f x 的极大值． 试题解析：（1）()()24xx eax b f a x =++--'．由已知得()04f =，()04f '=． 故4b =，8a b +=． 从而4a =，4b =． （2）由（1）知，()()2414xf x ex x x =+--，()()()14224422x x f x e x x x e ⎛⎫=+--=+- ⎝'⎪⎭．令()0f x '=得，ln2x =-或2x =-． 从而当()(),2ln 2,x ∈-∞--+∞时，()0f x '>；当()2,ln 2x ∈--时，()0f x '<．故()f x 在(),2-∞-，()ln 2,-+∞上单调递增，在()2,ln 2--上单调递减． 当2x =-时，函数()f x 取得极大值，极大值为()()2241f e--=-．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值． 【方法点晴】本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．求极值的步骤是：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．20．（1）证明见解析；（2）13【分析】（1）连BD ，交AC 于点E ，连EF ，可得//EF SD ，然后根据线面平行的判定定理可得//SD 平面CFA ；（2）取BC 的中点O ，连结SO 、AO ，可证明,,OA OC OS 两两垂直，建立空间直角坐标系，再利用向量法求二面角的余弦值即可． 【详解】（1）连结BD ，交AC 于点E ，连接EF ，如图所示：由于底面ABCD 为平行四边形，可知E 为BD 的中点， 在SBD 中，F 为SB 的中点，//EF SD ∴，又∵EF ⊂平面CFA ，SD ⊄平面CFA ，//SD ∴平面CFA ； （2）取BC 的中点O ，连结SO 、AO ，由题意可知△SBC 为等腰三角形，则SO BC ⊥，且SO ==在△ABC 中，2AB =，BC =45CBA ︒∠=，由余弦定理，2222cos AC AB BC AB BC CBA =+-⋅∠，则2AC ==， 则2AB AC ==，222AB AC BC +=，所以AB AC ⊥，即ABC 为等腰直角三角形，所以12OA BC ==AO BC ⊥， 又∵平面SBC ⊥底面ABCD ，平面SBC 底面ABCD BC =，AO ⊂底面ABCD ，∴AO ⊥平面SBC .∵,SO OC ⊂平面SBC ，∴,AO SO AO OC ⊥⊥，以BC 的中点O 为坐标原点，OA 、OC 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则有)A，()0,B，()C，)D，(S ，(2,0,SA =，(0,SB=，(SC =，()2,CD =，设平面SAB 的法向量为1(,,)n x y z =，1100n SA n SB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00=-=⎪⎩，令1z =，则1x =，1y =-， 则()11,1,1n =-是平面SAB 的一个法向量， 同理设平面SCD 的法向量为()2,,n a b c =，2200n CD n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00==，令1a =-，则1b =，1c =， 则()21,1,1n =-是平面SCD 的一个法向量，设平面SAB 与平面SCD 所成二面角为θ，则θ为锐角， 所以12121211cos cos ,33n n n n n n θ⋅-=<>===⋅.【点睛】本题考查线面平行的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.21．（1）答案见解析；（2）21,21e e e ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦. 【详解】（1）()1ln (0)m f x x m x x x-=--> ， ()()()221111x x m m m f x x x x ---⎡⎤-⎣⎦'∴=-+= ， 当2m ≤时，()f x 在[]1,x e ∈上()f x ' ()()min 0,12f x f m ≥==- ， 当1m e ≥+ 时，()f x 在[]1,e 上()0f x '≤ ，()()min 1m f x f e e m e-==--， 当21m e <<+时，()f x 在[]1,1x m ∈-上()0f x '≤，[]1,x m e ∈-上()0f x '≥ ，()()()min 12ln 1f x f m m m m =-=---，（2）已知等价于()()12min min f x g x ≤ ，由（1）知2m ≤时()f x 在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上()()()min 10,m f x f x f e e m e-≥==--' ， 而()()()11xxxg x x e x e x e'=+-+=- ，当[]22,0x ∈-，()()()22min 0,01g x g x g '≤== ， 所以12,1m m e m e-≤--≤ ， 所以实数m 的取值范围是21,21e e e ⎡⎤-+⎢⎥+⎣⎦.22．（1）228150x y y +-+＝；（21 【解析】试题分析：（1）利用222cos {sin x y x y ρθρθρ===+，将曲线1C 的极坐标方程转化为直角坐标系方程；（2）当34απ=时，利用曲线2C 的参数方程得()2,1Q -，根据（1）圆的直角坐标系方程，可知点Q 到1C 的圆心()0,4PQ 的最小值．试题解析：解:（1）根据222cos {sin x y x y ρθρθρ===+，可得228150x y y +-+＝；（2）当34απ=时，得()2,1Q -，点Q 到1C 的圆心()0,4所以PQ1． 考点：坐标系与参数方程． 23．（1）5m >；（2）(]3,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭． 【分析】（1）根据绝对值三角不等式，得到()f x 的最小值，即可得出结果； （2）根据绝对值三角不等式取等号的条件，即可直接得出结果. 【详解】（1）因为()2223223222325f x x x x x x x =++-=++-≥++-=， 当且仅当312x -≤≤时，等号成立； 又x R ∃∈，使得不等式()f x m <成立， 所以只需min ()f x m <，即5m >；（2）由()2223222341f x x x x x x =++-≥++-=-， 又()41f x x ≤-，故()=41f x x -， 当且仅当()()22230x x +-≥时，等号成立，解得32x ≥或1x ≤-. 即使得等式()41f x x ≤-成立的x 的取值范围为(]3,1,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查绝对值三角不等式的应用，属于常考题型.。
海南2020届高三数学上学期第二次月考试题
高三数学上学期第二次月考试题本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（共60分)一、单选题：本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1．已知集合{}20A x x x =+≤，{}ln(21)B x y x ==+，则A B =（ ）A ．1,02⎛⎤-⎥⎝⎦B ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,02⎛⎤⎥⎝⎦ D ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦2．设1i2i 1iz -=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D 23．在等差数列{}n a 中，51340a a +=，则7891011a a a a a ++++=（ ） A ．40B ．60C ．80D ．1004．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．3a ≥B ．3a ≥-C ．5a ≤D ．3a ≤-5．已知0.61.2 1.22,log2.4,log3.6x y z ===，则（ ） A ．x y z <<B ．x z y <<C ．z x y <<D ．y x z <<6．直线l 是平面α外的一条直线，下列条件中可推出//l α的是（ ） A ．l 与α内的一条直线不相交 B ．l 与α内的两条直线不相交 C ．l 与α内的无数条直线不相交D ．l 与α内的任意一条直线不相交7．函数()ln 3f x x x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,48．已知向量()()cos ,,2,1a sin b θθ==-，且a b ⊥，则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．13B ．3-C ．3D ．13-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x +=，当(]0,1x ∈时，()2ln xf x x =+，则()2019f = A ．2-B ．2C ．12-D ．1210．将函数()3sin (0)f x x x ωωω=->的图象向右平移6π个单位长度，所得图象过点,12π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．32D ．2311．已知a R ∈，函数()22,1ln ,1x ax a x f x x a x x ⎧-+≤=⎨->⎩，且对任意的实数x ，()0f x ≥恒成立，则a 的取值范围为（ ） A ．[]0,2B ．[]0,eC ．[]1,2D ．[]1,e12．已知双曲线221221(0,0)x y C a b a b：-=>>的一个焦点F 与抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点相同，1C 与2C 交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线1C 的离心率为（ ） A 2 B 3C ．2D 21第II 卷（共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每个小题5分，共20分。
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A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
2．钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“好货”是“不便宜”的（ ）
A．充分条件
B．必要条件
C．充分必要条件
D．既非充分也非必要条件
4. 下图是相关变量 x, y 的散点图，现对这两个变量进行线性相关分析.方案一：
根据图中所有数据，得到线性回归方程 y b1x a1 ，相关系数为 r1 ；方案二：剔
18.（本小题满分 12 分）已知函数 f (x) sin(3x ) . 4
（1）求 f (x) 的单调递增区间；
（2）若 是第二象限角， f ( ) 4 cos( ) cos 2 ，求 cos sin 的值.
35
4
19.(本小题满分12分)在ABC中，锐角 C
除点 (10, 21) ，根据剩下数据得到线性回归直线方程 y b2x a2 ，相关系数为 r2 ．则
A． 0 r1 r2 1
B． 0 r2 r1 1
C． 1 r1 r2 0
D． 1 r2 r1 0
第 4 题图
5．下列函数中，既是奇函数，又在 (0, ) 上单调递增的是 (
则( )
A． f (2) f (3) g(1)
B． g(1) f (3) f (2)
C． f (2) g(1) f (3)
D． g(1) f (2) f (3)
第2页共4页
二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．(2 x3)(x a)5 的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 x4 的系数是
)
2
A． y 2x sin x
B． y 2x (1 )x
2
C． y sin x x
D． y x cos x
6．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn ，若 S3
2 ， S6
18 ，则
S10 S5
等于(
)
A．－3
B．5
C．－31
D．33
第1页共4页
7.一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为 x, y, z ，当且仅当 y x, y z 时，
A.0
B. 25
C.21
D．42
2
11．已知函数 f (x) 3 sin x cosx( 0) 在区间[ , ] 上恰有一个最大值点和最
43
小值点，则实数 的取值范围为 ( )
A．[8 ,7)
3
B．[8 , 4)
3
C．[4, 20)
3
D． ( 20 , 7)
3
12．若函数 f (x) 、g(x) 分别是定义在 R 上的偶函数、奇函数，且满足 2 f (x) g(x) ex ，
称这样的数为“凸数”(如 243)，现从集合{1,2,3,4}中取出三个不相同的数组
成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为( )
A.2
B.1
C.1
D． 1
3
3
6
12
8．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cos2A＋cos2B＝2cos2C，
则 cosC 的最小值为( )
2
4
那么( )
A. M N
B. M N
C. N M
D. M N
2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点
倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381
盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ）
海南中学 2020 届高三第二次月考
数学试题
一. 选择题（共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。请将答案填到答题卡，答在本试卷上无效。）
1．设集合 M {x | x k 180 45, k Z}， N {x | x k 180 45, k Z}
3
,0
成中心对称
6
C.函数 f (x) 在 ( 2 , ) 单调递增 36
D．函数 f (x) 的图象向右平移 后关于原点成中心对称 12
10．已知函数 y f (x 1) 的图象关于 y 轴对称，且函数 f (x) 在 (1, ) 上单调，数
列{an} 是公差不为 0 的等差数列，f (a4 ) f (a18) ，则{an}的前 21 项之和为（ ）
满足 2sin2
C
三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，公差 d≠0，且 S3 S5 50 ， a1, a4 , a13 成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若从数列{an}中依次取出第 2 项，第 4 项，第 8 项，…，第 2n 项，…，按 原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前 n 项和为 Tn，求 Tn 的表达式．
．
14.已知数列an 满足 a1
33, an1
an
2n,
则
an n
的最小值为_________.
15．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方程是 y 1 x 2 ，则 2
f (1) f (1) ＝________.
16.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为 60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李 明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到 120 元，顾客就少付 x 元．每 笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的 80%．在促销活动中，为保证 李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大值为________．
A. 3 2
B. 2
C.1
D．－1
2
2
2
9.函数 f (x) Asin(x ) 的部分图象如图中实线所示，图中圆 C 与 f (x) 的图象 交于 M , N 两点，且 M 在 y 轴上，则下列说法中正确的是（ ） A.函数 f (x) 的最小正周期是 2
B.函数
f
(x)
的图象关于点