(衡水万卷)2016届高三数学(理)二轮复习高考作业卷(二十五)数列综合题(一)(含解析)

衡水万卷作业（二十五）数列综合题（一）考试时间：45分钟姓名：__________班级：__________考号：__________一、解答题（本大题共5小题，共100分）1.设数列{}n a 各项均为正数，且满足21n n na a a +=-．（I ）求证：对一切n≥2，都有12n a n +…（II ）已知{}n a 前n 项和为n S ，求证：对一切n≥2，都有211n2n n S S --<．2.设不等式组40()x y y nx n N *⎧≤⎪≥⎨⎪≤∈⎩所表示的平面区域n D ，记n D 内整点的个数为n a （横纵坐标均为整数的点称为整点）。

（1）2n =时，先在平面直角坐标系中做出平面区域n D ，在求2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，试证明：对任意n N *∈，恒有12221223S S S S ++25(1)12N N S n S +<+成立。

3.（2015重庆高考真题）在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（I ）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （II ）若()00201,,1,k N k k λμ+≥=∈=-证明：010011223121k a k k ++<<+++4.已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且12231123a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，111(1)n n n nn b b n a -+--=+，其中2n ≥．①求数列{}n b 的通项n b ；②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H数列”．（1）若数列{}n a 的前n 项和2()n n S n *=∈N ，证明：{}n a 是“H 数列”；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得()n n n a b c n *=+∈N 成立．衡水万卷作业（二十五）答案解析一、解答题 6.（Ⅰ）∴22110a a a =->，解得0＜1a ＜1，当n=2时，222111111424a a a a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭…，不等式成立，假设当n=k （k≥2）时，不等式成立，即k a (1)2k +，则当n=k+1时，21k k k a a a +=-21142k a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭221111422(2)k k k +⎛⎫--= ⎪++⎝⎭…11(1)(3)(2)1k k k k +<=++++,故当n=k+1时，不等式也成立， 由数学归纳法知，对一切n≥2，都有12n a n +…． （Ⅱ）设f （x ）=ln （x+1）-1x x + ，x ＞0则f′(x)= 11x +-211x +（）=2x1x +（）＞0，f （x ）在（0，+∞）上是增函数，则f （x ）＞f （0）=0，即ln （x+1）＞1xx +， 令x=11n +，代入上式，得12n +＜ln(n+2)-ln(n+1)，对一切n≥2，2112n n n a n S S a a a -+-=++≤12n ++13n ++ 14n ++…+122n +＜ln （n+2）-ln （n+1）+ln （n+3）-ln （n+2）+…+ln（2n+2）-ln （2n+1） =ln （2n+2）-ln （n+1）=ln2．∴对一切n≥2，都有S2n-Sn-1＜ln2．． 7.解：（1）D 2如图中阴影部分所示，∵在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，∴a 2==25．（另解：a 2=1+3+5+7+9=25）（2）直线y=nx 与x=4交于点P （4，4n ）， 据题意有a n ==10n+5．（另解：a n =1+（n+1）+（2n+1）+（3n+1）+（4n+1）=10n+5） （3）S n =5n （n+2）． （8分） ∵==•＜，∴++…+＜++…+=（﹣+…+﹣）=（+﹣﹣）＜ （13分）【思路点拨】（1）在4×8的矩形区域内有5×9个整点，对角线上有5个整点，可求a 2的值；（2）直线y=nx 与x=4交于点P （4，4n ），即可求数列{a n }的通项公式； （3）利用裂项法，放缩，求和即可证明结论8.解：(1)由0,2,λμ==-有2*12().n n n a a a n N +=∈若存在某个*0n N ∈，使得00n a =，则由上述递推公式易得010n a -=.重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意*n N ∈，0n a ≠.从而*12().n n a a n N +=∈既{}n a 是一个公比q=2的等比数列. 故11132n n n a a q --==.（Ⅱ）由01,1λμk ==-，数列{}n a 的递推关系式变为 211010,n n n n a a a a k +++-=变形为()2*101n n n a a a n k +⎛⎫+=∈N ⎪⎝⎭.由上式及130,a =>归纳可得12130n n a a a a +=>>>>>>因为2222001000011111111n nn n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-++++， 所以对01,2,,n k =求和得()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-++++⎪ ⎪+++⎝⎭000000111112231313131k k k k k k ⎛⎫⎪ ⎪>++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭个. 另一方面，由上已证的不等式知001210k k a a a a +>>>>>得00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-++++⎪ ⎪+++⎝⎭000000111112221212121k k k k k k ⎛⎫⎪ ⎪<++++=+++++ ⎪ ⎪⎝⎭个. 综上，010011223121k a k k ++<<+++.9.【答案】（1）n a n =（2）①1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)②1【解析】（1）数列{}n a 的首项10a >，公差1d =，∴1(1)n a a n =+-，11111n n n n a a a a ++=-，212231223111111()()a a a a a a a a ∴+=-+-131********a a a a =-=-=+， 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）．因此，数列{}n a 的通项n a n =．（2）①111(1)n n n n b b n n -+--=+， 11(11(1)(1)n n n nnb n b ++-∴=+--）． 令(1(1)nn nn b c -=-），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥．∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21nn n b n λ-+=-)(-1)．因此，数列{}n b 的通项1, 1,(2,(2).1n n n b n n n λ-=⎧⎪=⎨-+≥⎪-⎩)(-1)．②11b =-，2b λ=，312b λ+=-，∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2λλ+=--，解得1λ=或12λ=-．当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n n b b 不是常数，数列{}n b 不是等比数列， 当1λ=时，11b =-，(1)(2)nn b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列．【思路点拨】11111n n n n a a a a ++=-，则n a n =，111(1)n n n n b b n n-+--=+，11(11(1)(1)n n n nnb n b ++-∴=+--）．求出通项，当12λ=-时，(252)21n n n b n n -=≥-)(-1)（（），+1n nb b 不是常数，数列{}n b 不是等比数列，当1λ=时，11b =-，(1)(2)nn b n =-≥，数列{}n b 为等比数列．所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列．10.（1）当2n ≥时，111222n n n n n n a S S ---=-=-=当1n =时，112a S ==∴1n =时，11S a =，当2n ≥时，1n n S a += ∴{}n a 是“H 数列” （2）1(1)(1)22n n n n n S na d n d --=+=+ 对n *∀∈N ，m *∃∈N 使n m S a =，即(1)1(1)2n n n d m d -+=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，12m d=+∵0d <，∴2m <，又m *∈N ，∴1m =，∴1d =- （3）设{}n a 的公差为d令111(1)(2)n b a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n b b a +-=- 1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+ 则1(1)n n n b c a n d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列 {}n b 的前n 项和11(1)()2n n n T na a -=+-，令1(2)n T m a =-，则(3)22n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *∈N 因此对n ∀，都可找到m *∈N ，使n m T b =成立，即{}n b 为“H 数列”． {}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12n n m -=+ ∵对n *∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *∈N即对n *∀∈N ，都可找到m *∈N ，使得n m R c =成立，即{}n c 为“H 数列” 因此命题得证.。