合肥市2017年高三第二次教学质量检测试卷及答案

合肥市2017年高三第二次教学质量检测试卷及答案合肥市2017年高三第二次教学质量检测数学试题（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.i 为虚数单位，若复数()()12mi i ++是纯，则实数m =（ ）A ．1B ．1-C ．12- D ．2 2.已知[)1,A =+∞，1|212B x x a ⎧⎫=∈≤≤-⎨⎬⎩⎭R ，若A B φ≠I ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)1,+∞B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞3.已知变量x ，y 满足约束条件241x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．1C ．3D ．7 4.若输入4n =，执行如图所示的程序框图，输出的s =（ ）A ．10B ．16 C.20 D ．35 5.若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率3 ） A ．y x =± B ．2y = C.2y x=D ．12y x =± 6.等差数列{}na 的前n 项和为nS ，且36S=，63S=，则10S=（ ）A ．110B ．0 C.10- D ．15-7.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．283B 28228 D ．2263+8.对函数()f x ，如果存在0x≠使得()()0f x f x =--，则称()()0,x f x 与()()0,x f x --为函数图像的一组奇对称点.若()x f x e a=-（e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．()1,+∞ C.()e,+∞ D ．[)1,+∞9.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（ ） A ．0条 B ．1条 C.2条 D ．1条或2条10.已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定．．．所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E ξ=（ ）A ．3B ．72 C.185D ．4 11.锐角．．ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足()()()sin sin sin a b A B c b C -+=-，若3a =22bc +的取值范围是（ ）A ．(]3,6B ．()3,5 C.(]5,6 D ．[]5,612.已知函数()ln xf x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,e C.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),e -∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.等比数列{}na 满足0na>，且284a a=，则21222329log log log log a a a a ++++=L ．14.不共线向量a r ，b r 满足a b =r r ，且()2a a b ⊥-r r r ，则a r 与b r 的夹角为 ． 15.在411x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为 ．16.已知关于x 的方程()1cos sin 2t x t x t +-=+在()0,π上有实根，则实数t 的最大值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知()sin 3a =x x r，()cos ,cos b x x =-r ，函数()3f x a b =⋅r r .（Ⅰ）求函数()y f x =图像的对称轴方程；（Ⅱ）若方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x -的值.18. 某校计划面向高一年级1200名学生开设校本选修课程，为确保工作的顺利实施，先按性别进行分层抽样，抽取了180名学生对社会科学类，自然科学类这两大类校本选修课程进行选课意向调查，其中男生有105人.在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45人.（Ⅰ）分别计算抽取的样本中男生及女生选择社会科学类的频率，并以统计的频率作为概率，估计实际选课中选择社会科学类学生数； （Ⅱ）根据抽取的180名学生的调查结果，完成下列列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？选择自然科学类选择社会科学类合计 男生 女生合计附：()()()()()22n ab bc Ka b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++. ()20P K k ≥ 0.500.400.250.150.100.050.0250.010 0.005 0.001K0.4550.708 1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819. 矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，点E 为AD 中点，沿BE 将ABE ∆折起至PBE ∆，如右图所示，点P 在面BCDE 的射影O 落在BE 上.（Ⅰ）求证：BP CE ⊥；（Ⅱ）求二面角B PC D --的余弦值. 20. 如图，抛物线E ：()220ypx p =>与圆O ：228xy +=相交于A ，B 两点，且点A 的横坐标为2.过劣弧AB 上动点()0,P x y 作圆O 的切线交抛物线E 于C ，D 两点，分别以C ，D 为切点作抛物线E 的切线1l ，2l ，1l 与2l 相交于点M.（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）求动点M的轨迹方程.21. 已知()()lnf x x m mx=+-.（Ⅰ）求()f x的单调区间；（Ⅱ）设1m>，1x，2x为函数()f x的两个零点，求证：120x x+<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为4cosρθ=.（Ⅰ）求出圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）已知圆C与x轴相交于A，B两点，直线l：2=y x关于点()()M m m≠对称的直线为'l.若直线'l上存在0,0点P使得90∠=o，求实数m的最大值.APB23.选修4-5：不等式选讲已知函数())f x ax a=--≠.420（Ⅰ）求函数()f x的定义域；（Ⅱ）若当[]0,1x∈时，不等式()1f x≥恒成立，求实数a的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCB 6-10:DABCB 11、12：CA二、填空题13.9 14.3π 15.5- 16.1-三、解答题17.解：（Ⅰ）()()()33sin 3cos ,cos f x a b x x x x =⋅+=⋅-+r r2313sin cos 3sin 22sin 223x x x x x x π⎛⎫=⋅-+=-=- ⎪⎝⎭令232x k πππ-=+，得()5122kx k Z ππ=+∈ 即()y f x =的对称轴方程为5122k x ππ=+，()k Z ∈ （Ⅱ）由条件知121sin 2sin 20333x xππ⎛⎫⎛⎫-=-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12520123x x ππ<<<<易知()()11,x f x 与()()22,x f x 关于512x π=对称，则1256x xπ+=()1211111551cos cos cos 2cos 2sin 2663233x x x x x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=--=-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦18.（Ⅰ）由条件知，抽取的男生105人，女生18010575-=人。

男生选择社会科学类的频率为37，女生选择社会科学类的频率为35.由题意，男生总数为1051200700180⨯=人，女生总数为751200500180⨯=人所以，估计选择社会科学的人数为3370050060075⨯+⨯=人.（Ⅱ）根据统计数据，可得列联表如下： 选择自然科学类选择社会科学类合计男生 6045105女生 30 45 75合计9090 180()2218060453045365.1429 5.024*********7K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.19.解：（Ⅰ）由条件，点P 在平面BCDE 的射影O 落在BE 上∴平面PBE ⊥平面BCDE ，易知BE CE ⊥ CE ∴⊥平面PBE ，而BP ⊂平面PBE PB CE∴⊥（Ⅱ）以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示直角坐标系.则11,,022B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,,022D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭设平面PCD 的法向量为()1111,,x y z η=u u r则1100CD CP ηη⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r ，即111320x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，可得120,23η⎛= ⎝u u r设平面PBC 的法向量为()2222,,x y z η=u u r则2200PB BC ηη⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u ru u r u u u r ，即222220x y z y ⎧---=⎪⎨=⎪⎩，令22z=(22η=u u r()12121233cos ,ηηηηηη⋅∴==⋅u u r u u ru u r u u r u u r u u r 考虑到二面角B PC D --为钝二面角，则二面角B PCD --的余弦值为3320.解：（Ⅰ）由点A 的横坐标为2，可得点A 的坐标为()2,2，代入22ypx=，解得1p =（Ⅱ）设211,2y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,2y D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10y ≠，2y≠.切线1l ：2112y y y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，代入22yx=得2211220kyy y ky -+-=，由0∆=解得11k y =1l ∴方程为1112y y x y =+，同理2l 方程为2212y y x y =+ 联立11221212y y x y y y x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩CDQ 方程为08x x y y +=，其中0x ，0y 满足22008xy +=，02,22x ⎡⎤∈⎣⎦联立方程20028y x x x y y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得202160x yy y +-=，则0120120216y y y x y y x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩代入121222y y x y y y ⋅⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩可知(),M x y 满足0008x x y y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩代入2208xy +=得2218x y -=考虑到02,22x ⎡∈⎣，知4,22x ⎡⎤∈--⎣⎦∴动点M 的轨迹方程为2218x y -=，4,22x ⎡⎤∈--⎣⎦21.解：（Ⅰ）()()ln f x x m mx =+-Q ，()1'f x m x m∴=-+ 当0m ≤时，()1'0f x m x m∴=->+，即()f x 的单调递增区间为(),m -+∞，无减区间；当0m >时，()11'm x m m f x m x m x m⎛⎫-+- ⎪⎝⎭∴=-=++，由()'0f x =得()1,x m m m =-∈-+∞ 1,x m m m ⎛⎫∈--+ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，1,x m m ⎛⎫∈-++∞⎪⎝⎭时，()'0f x <， 0m ∴>时，易知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为1,m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,m m ⎛⎫-++∞⎪⎝⎭. 不妨设12m x x -<<，由条件知()()1122ln ln x m mx x m mx ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即1212mxmx x m e x m e⎧+=⎪⎨+=⎪⎩构造函数()mxg x e x=-，()mxg x ex=-与y m =图像两交点的横坐标为1x ，2x由()'10mxg x e =-=可得ln 0mx m-=<， 而()2ln 1mm m >>，()ln ,m m m-∴∈-+∞知()mxg x ex=-在区间ln ,m m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在区间ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增.可知12ln mm x x m--<<< 欲证12x x+<，只需证122ln mx xm+<，即证212ln ln ,m m xx m m ⎛⎫<-∈-+∞ ⎪⎝⎭考虑到()g x 在ln ,m m -⎛⎫+∞⎪⎝⎭上递增，只需证()212ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭由()()21g x g x =知，只需证()112ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭令()()2ln 2ln 2ln 2mxm mx m mh x g x g x e x e m m--⎛⎫=--=---⎪⎝⎭，则()()2ln 2ln 2ln 2'2222220m mxm m mxmx mmxe h x mem em e m em e -----⎛⎫=---=+-≥== ⎪⎝⎭即()h x 单增，又ln 0m h m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 结合1ln m m x m --<<知()10h x <，即()112ln m g x g x m -⎛⎫<- ⎪⎝⎭成立， 即12x x+<成立22.解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，即2240xy x +-=，即圆C 的标准方程为()2224x y -+=.（Ⅱ）l ：2y x =关于点()0,M m 的对称直线'l 的方程为22y x m=+，而AB 为圆C 的直径，故直线'l 上存在点P 使得90APB ∠=o的充要条件是直线'l 与圆C 有公共点，故4225m +≤，于是，实数m 的最大值为52.23.解：（Ⅰ）2442426ax ax ax -≤⇔-≤-≤⇔-≤≤，当0a >时，函数()f x 的定义域为26|x x a a ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭；当0a <时，函数()f x 的定义域为62|x x aa ⎧⎫≤≤-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）()123f x ax ≥⇔-≤，记()2f x ax =-，因为[]0,1x ∈，所以需且只需()()03,23,23,15232313g a a a g ⎧≤≤≤⎧⎧⎪⎪⎪⇔⇔⇔-≤≤⎨⎨⎨-≤-≤≤⎪⎪⎪⎩⎩⎩，又0a ≠，所以，15a -≤≤，且0a ≠.。