2014数学(理)一轮训练“计划书”：第6讲《函数的性质2奇偶性、周期性、对称性》
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案
第6讲模块复习：函数的奇偶性与周期性教案 第6讲：《函数的奇偶性与周期性》教案一、教学目标1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判定奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．二、知识梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f(x)的定义域为A.假如关于任意的x ∈A ，都有__________，则称f(x)为奇函数；假如关于任意的x ∈A 都有__________，则称f(x)为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝____；f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)＝f(|x|)⇔f(x)－f(－x)＝____.(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称；f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：假如存在一个非零常数T ，使得关于函数定义域内的任意x ，都有f(x ＋T )＝______，则称f(x)为______函数，其中T 称作f(x)的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f(x)的________．(2)性质： ①f(x ＋T )＝f(x)常常写作f(x ＋T 2)＝f(x －T 2)．②假如T 是函数y ＝f(x)的周期，则kT(k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f(x)的周期，即f(x ＋kT )＝f(x)．③若关于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x 都有f(x ＋a)＝－f(x)或f(x ＋a)＝1f x 或f(x ＋a)＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f(x)是以______为一个周期的周期函数．三、题型突破题型一 函数奇偶性的判定例1 判定下列函数的奇偶性． (1)1()(1)1x f x x x -=++； (2)11()()212x f x x =+-； (3) 22()log (1)f x x x =++；(4) 22,0(),0x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩ 变式迁移1 判定下列函数的奇偶性．(1) 23()f x x x =-；(2) 22()11f x x x =-+-；(3) 24()33x f x x -=+-. 题型二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 已知偶函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范畴是________．变式迁移2 已知函数3()f x x x =+，对任意的[]2,2m ∈-，(2)()0f mx f x -+<恒成立，则x 的取值范畴为________． 题型三 函数性质的综合应用例3 已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程()(0)f x m m =>，在区间[－8,8]上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++＝________.四、针对训练(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)[来源:学|科|网Z|X|X|K]1．已知2()f x ax bx =+是定义在[]1,2a a -上的偶函数，那么a b +的值为________．2．已知定义域为{}0x x ≠的函数()f x 为偶函数，且()f x 在区间(),0-∞上是增函数，若(3)0f -=，则()0f x x <的解集为________________． 3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，并满足1(2)()f x f x +=-，当1≤x ≤2时，()2f x x =-，则(6.5)f = ________.4．设()f x 为定义在R 上的奇函数．当0x ≥时，()22x f x x b =++ (b 为常数)，则(1)f -＝________.5．设函数()f x 满足：①(1)y f x =+是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则(1)f -与(2)f 大小关系为____________________．6．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x +=，若(1)2f =，则(99)f = .7．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 满足(3)()f x f x +=，且(1)1f >，23(2)1m f m -=+，则m 的取值范畴为________________． 8．函数3()812f x x x =+-在区间[]3,3-上的最大值与最小值之和是 ．二、解答题(共42分)9．(14分)已知()f x 是定义在[－6,6]上的奇函数，且()f x 在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，()f x ≤(5)f ＝3，(6)f ＝2，求()f x 的表达式．10．(14分)设函数2()21(33)f x x x x =---≤≤，(1)证明()f x 是偶函数；(2)画出那个函数的图象；(3)指出函数()f x 的单调区间，并说明在各个单调区间上()f x 是增函数依旧减函数；(4)求函数的值域．11．(14分)已知函数2()a f x x x=+ (x ≠0，常数a ∈R)．(1)讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；(2)若函数()f x 在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范畴．五、参考答案二、知识梳理1．f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a三、题型突破例1 解题导引 判定函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判定．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f(x)的图象关于原点对称，则f(x)为奇函数；f(x)的图象关于y 轴对称，则f(x)为偶函数．(3)差不多函数法：把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式，通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x 1＋x≥0且x ≠－1， ∴－1<x ≤1，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f(－x)＝－x(12－x －1＋12) ＝－x(2x 1－2x ＋12)＝x(2x 2x －1－12) ＝x(12x －1＋12)＝f(x)． ∴f(x)是偶函数．(3)函数定义域为R.∵f(－x)＝log2(－x ＋x2＋1)＝log21x ＋x2＋1＝－log2(x ＋x2＋1)＝－f(x)，[来源:学&科&网Z&X&X&K]∴f(x)是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x ＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x ＝x2－x ＝－(－x2＋x)＝－f(x)．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f(－x)＝－f(x)．故f(x)为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f(－1)＝2，f(1)＝0，f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x2≥0|x ＋3|≠3得，f(x)定义域为[－2,0)∪(0,2]． ∴定义域关于原点对称， 又f(x)＝4－x2x ，f(－x)＝－4－x2x ，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反．解 偶函数满足f(x)＝f(|x|)，依照那个结论，有f(2x －1)< f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 ⇔ f(|2x －1|)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13， 进而转化为不等式|2x －1|<13，解那个不等式即得x 的取值范畴是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f(x)在R 上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx －2)＋f(x)<0，等价于f(mx －2)<－f(x)＝f(－x)，现在应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h(m)＝mx ＋x －2， 现在，只需⎩⎪⎨⎪⎧ h －2<0h 2<0即可，解得x ∈(－2，23)． 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，依照函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f(x －4)＝－f(x)，因此f(4－x)＝f(x)．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f(0)＝0，由f(x －4)＝－f(x)知f(x －8)＝f(x)，因此函数是以8为周期的周期函数．又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，因此f(x)在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1<x2<x3<x4.由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，因此x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.四、针对训练 1.13 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎨⎧ a ＝13b ＝0， ∴a ＋b ＝13. 2．(－3,0)∪(3，＋∞) 解析 由已知条件，可得函数f(x)的图象大致为下图，故f x x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5[来源:学,科,网Z,X,X,K]解析 由f(x ＋2)＝－1f x ，得f(x ＋4)＝－1f x ＋2＝f(x)，那么f(x)的周期是4，得f(6.5)＝f(2.5)．因为f(x)是偶函数，则f(2.5)＝f(－2.5)＝f(1.5)．而1≤x ≤2时，f(x)＝x －2，∴f(1.5)＝－0.5.综上知，f(6.5)＝－0.5.4．－3解析 因为奇函数f(x)在x ＝0有定义，因此f(0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.因此f(x)＝2x ＋2x －1，f(1)＝3，从而f(－1)＝－f(1)＝－3.5．f(－1)>f(2)解析 由y ＝f(x ＋1)是偶函数，得到y ＝f(x)的图象关于直线x ＝1对称，∴f(－1)＝f(3)．又f(x)在[1，＋∞)上为单调增函数，∴f(3)>f(2)，即f(－1)>f(2)．6．132 解析 由()(2)13f x f x +=，得(4)(2)13f x f x ++=，因此(4)()f x f x +=，即()f x 是周期函数且周期为4，因此1313(99)(4243)(3)(1)2f f f f =⨯+===． 7．(－1，23)解析 ∵f(x ＋3)＝f(x)， ∴f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)．∵f(x)为奇函数，且f(1)>1，∴f(－1)＝－f(1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1. 解得：－1<m<23.8．16解析 设在区间[]3,3-上()x f 的最大值为M,最小值为m ，再设()()()x g x f x g ,8-=的最大值为M-8,最小值为m-8,又()312x x x g -=是奇函数，因此在区间[]3,3-上()(),0min max =+x g x g 即()()16m 08-m 8=+=+-M M ，.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f(x)＝a(x －5)2＋3，∵f(6)＝2，∴2＝a(6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f(x)＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f(3)＝－(3－5)2＋3＝－1.又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f(x)＝－13x(0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f(－x)＝－13(－x)＝13x.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－13x.∴f(x)＝－13x(－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)[来源:ZXX K]当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f(－x)＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3.又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f(x)＝⎩⎨⎧ x ＋52－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x<3，……………………………………………14分－x －52＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)．∴f(x)是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f(x)＝x2－2x －1＝(x －1)2－2，[来源:学+科+网Z+X+X +K]当x<0时，f(x)＝x2＋2x －1＝(x ＋1)2－2， 即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －12－2， x ≥0，x ＋12－2， x<0. 依照二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． ……………………………………………………………………………………………(7分)(3)由(2)中函数图象可知，函数f(x)的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．f(x)在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f(x)＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当x<0时，函数f(x)＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2； 故函数f(x)的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f(x)＝x2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)，∴f(x)为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f(x)＝x2＋a x (x ≠0，常数a ∈R)，若x ＝±1时，则f(－1)＋f(1)＝2≠0；∴f(－1)≠－f(1)，又f(－1)≠f(1)，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a ＝0时，f(x)为偶函数；当a ≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋a x1－x22－a x2 ＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立． ∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分)又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a 的取值范畴为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。
2014届高考数学一轮复习名师首选第2章6《函数的奇偶性与周期性》学案
学案6 函数的奇偶性与周期性导学目标： 1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题．自主梳理1．函数奇偶性的定义设函数y ＝f (x )的定义域为A .如果对于任意的x ∈A ，都有__________，则称f (x )为奇函数；如果对于任意的x ∈A 都有__________，则称f (x )为偶函数．2．奇偶函数的性质(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____； f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于______对称．(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有______的单调性．3．函数的周期性(1)定义：如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x ＋T )＝______，则称f (x )为______函数，其中T 称作f (x )的周期．若T 存在一个最小的正数，则称它为f (x )的________．(2)性质： ①f (x ＋T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2)．②如果T 是函数y ＝f (x )的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是y ＝f (x )的周期，即f (x ＋kT )＝f (x )．③若对于函数f (x )的定义域内任一个自变量的值x 都有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x 或f (x ＋a )＝－1f x(a 是常数且a ≠0)，则f (x )是以______为一个周期的周期函数．自我检测1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值为________． 2．如果定义域为[3－a,5]的函数f (x )为奇函数，那么实数a 的值为________．3．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 012)＋f (2 011)＝________.4．设函数f (x )＝x ＋x ＋ax为奇函数，则a ＝________.5．若函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，且f (a )≤f (2)，则实数a 的取值范围为___________．探究点一 函数奇偶性的判定 例1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝(x ＋1) 1－x1＋x ；(2)f (x )＝x (12x －1＋12)；(3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ，x >0.变式迁移1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝x 2－x 3；(2)f (x )＝x 2－1＋1－x 2；(3)f (x )＝4－x2|x ＋3|－3.探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用例2 函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f [x (x －12)]<0的解集．变式迁移2 已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________．探究点三 函数性质的综合应用 例3 已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)，在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.变式迁移3 定义在R 上的函数f (x )是偶函数，且f (x )＝f (2－x )．若f (x )在区间[1,2]上是减函数，则下列说法中正确的是________(填序号)．①在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数； ②在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数； ③在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数； ④在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数．转化与化归思想例 (14分)函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答题模板】解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)， ∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.[2分] (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.[4分]令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．[6分] (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， f (16×4)＝f (16)＋f (4)＝3，[8分] ∵f (3x ＋1)＋f (2x －6)≤3，即f ((3x ＋1)(2x －6))≤f (64)．[10分]∵f (x )为偶函数，∴f (|(3x ＋1)(2x －6|)≤f (64)．[11分] 又∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数，f (x )的定义域为D . ∴0<|(3x ＋1)(2x －6)|≤64.解上式，得3<x ≤5或－73≤x <－13或－13<x <3.[13分]∴x 的取值范围为{x |－73≤x <－13或－13<x <3或3<x ≤5}．[14分]【突破思维障碍】在(3)中，通过变换已知条件，能变形出f (g (x ))≤f (a )的形式，但思维障碍在于f (x )在(0，＋∞)上是增函数，g (x )是否大于0不可而知，这样就无法脱掉“f ”，若能结合(2)中f (x )是偶函数的结论，则有f (g (x ))＝f (|g (x )|)，又若能注意到f (x )的定义域为{x |x ≠0}，这才能有|g (x )|>0，从而得出0<|g (x )|≤a ，解之得x 的范围．【易错点剖析】在(3)中，由f (|(3x ＋1)·(2x －6)|)≤f (64)脱掉“f ”的过程中，如果思维不缜密，不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x |x ≠0}，易出现0≤|(3x ＋1)(2x －6)|≤64，导致结果错误．1．正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：①定义域在数轴上关于原点对称是函数f (x )为奇函数或偶函数的必要非充分条件；②f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )是定义域上的恒等式．2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )±f (x )＝0⇔f －xf x＝±1(f (x )≠0)．3．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称，反之也真．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它判断函数的奇偶性．4．关于函数周期性常用的结论：对于函数f (x )，若有f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f x或f (x ＋a )＝－1f x(a 为常数且a ≠0)，则f (x )的一个周期为2a .课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为________． 2．已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－3)＝0，则f xx<0的解集为________________． 3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足f (x ＋2)＝－1f x，当1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，则f (6.5)＝________.4．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________.5．设函数f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在[1，＋∞)上为增函数，则f (－1)与f (2)大小关系为____________________．6．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x >0，a ， x ＝0，x ＋b ，x <0是奇函数，则a ＋b ＝________.7．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且f (1)>1，f (2)＝2m －3m ＋1，则m 的取值范围为________________． 8．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (2)＝2，则f (2 010)的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)已知f (x )是定义在[－6,6]上的奇函数，且f (x )在[0,3]上是x 的一次式，在[3,6]上是x 的二次式，且当3≤x ≤6时，f (x )≤f (5)＝3，f (6)＝2，求f (x )的表达式．10．(14分)设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)， (1)证明f (x )是偶函数； (2)画出这个函数的图象；(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数； (4)求函数的值域．11．(14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．答案 自主梳理1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f (x ) 2.(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3.(1)f (x ) 周期 最小正周期 (2)③2a自我检测 1．2解析 因为f (x )为偶函数，所以奇次项系数为0， 即m －2＝0，所以m ＝2. 2．8 3．1解析 f (－2 012)＋f (2 011)＝f (2 012)＋f (2 011)＝f (0)＋f (1)＝log 21＋log 2(1＋1)＝1.4．－1解析 ∵f (－1)＝0，∴f (1)＝2(a ＋1)＝0，∴a ＝－1.代入检验f (x )＝x 2－1x是奇函数，故a ＝－1.5．a ≤－2或a ≥2解析 由f (x )是R 上的偶函数知，f (x )在[0，＋∞)上是减函数． 因为f (a )≤f (2)等价于f (|a |)≤f (2)． 所以|a |≥2，解得a ≥2或a ≤－2. 课堂活动区例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法．(1)定义法：用函数奇偶性的定义判断．(先看定义域是否关于原点对称)．(2)图象法：f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数；f (x )的图象关于y 轴对称，则f (x )为偶函数．(3)基本函数法：把f (x )变形为g (x )与h (x )的和、差、积、商的形式，通过g (x )与h (x )的奇偶性判定出f (x )的奇偶性．解 (1)定义域要求1－x1＋x≥0且x ≠－1，∴－1<x ≤1，∴f (x )定义域不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数．(2)函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．∵f (－x )＝－x (12－x －1＋12)＝－x (2x 1－2x ＋12)＝x (2x 2x－1－12) ＝x (12x －1＋12)＝f (x )．∴f (x )是偶函数． (3)函数定义域为R .∵f (－x )＝log 2(－x ＋x 2＋1)＝log 21x ＋x 2＋1＝－log 2(x ＋x 2＋1)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数．(4)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )．∴对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)都有f (－x )＝－f (x )． 故f (x )为奇函数．变式迁移1 解 (1)由于f (－1)＝2，f (1)＝0，f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，从而函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，又f (－1)＝f (1)＝0，f (－1)＝－f (1)＝0，∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0|x ＋3|≠3得，f (x )定义域为[－2,0)∪(0,2]．∴定义域关于原点对称，又f (x )＝4－x 2x ，f (－x )＝－4－x2x，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式．解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反． 解 ∵y ＝f (x )为奇函数，且在(0，＋∞)上为增函数， ∴y ＝f (x )在(－∞，0)上单调递增， 且由f (1)＝0得f (－1)＝0.若f [x (x －12)]<0＝f (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12，xx －12，即0<x (x －12)<1，解得12<x <1＋174或1－174<x <0.若f [x (x －12)]<0＝f (－1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x x －12，xx －12－1，由x (x －12)<－1，解得x ∈∅.∴原不等式的解集是 {x |12<x <1＋174或1－174<x <0}． 变式迁移2 (－2，23)解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0，等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，此时应用mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h －h 即可，解得x ∈(－2，23)．例3 解题导引 解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决．答案 －8解析 因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )．因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m >0)在[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8.变式迁移3 ②解析 ∵f (x )＝f (2－x )，∴f (x ＋1)＝f (1－x )． ∴x ＝1为函数f (x )的一条对称轴． 又f (x ＋2)＝f [2－(x ＋2)] ＝f (－x )＝f (x )，∴2是函数f (x )的一个周期．根据已知条件画出函数简图的一部分，如图：由图象可以看出，在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数．课后练习区 1.13解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－2ab ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．(－3,0)∪(3，＋∞)解析 由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为下图，故f xx<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．3．－0.5解析 由f (x ＋2)＝－1f x ，得f (x ＋4)＝－1f x ＋＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2，∴f (1.5)＝－0.5.综上知，f (6.5)＝－0.5. 4．－3解析 因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1.所以f (x )＝2x＋2x －1，f (1)＝3， 从而f (－1)＝－f (1)＝－3. 5．f (－1)>f (2)解析 由y ＝f (x ＋1)是偶函数，得到y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－1)＝f (3)．又f (x )在[1，＋∞)上为单调增函数， ∴f (3)>f (2)，即f (－1)>f (2)． 6．1解析 ∵f (x )是奇函数，且x ∈R ，∴f (0)＝0，即a ＝0.又f (－1)＝－f (1)，∴b －1＝－(1－1)＝0，即b ＝1，因此a ＋b ＝1.7．(－1，23)解析 ∵f (x ＋3)＝f (x )， ∴f (2)＝f (－1＋3)＝f (－1)． ∵f (x )为奇函数，且f (1)>1，∴f (－1)＝－f (1)<－1，∴2m －3m ＋1<－1.解得：－1<m <23.8．2解析 由g (x )＝f (x －1)，得g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )为R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )， ∴f (－x －1)＝－f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (－x －1)，用x ＋1替换x ，得f (x )＝－f (－x －2)．又f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝－f (x ＋2)． ∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期为4. ∴f (2 010)＝f (4×502＋2)＝f (2)＝2.9．解 由题意，当3≤x ≤6时，设f (x )＝a (x －5)2＋3，∵f (6)＝2，∴2＝a (6－5)2＋3.∴a ＝－1.∴f (x )＝－(x －5)2＋3(3≤x ≤6)．………………………………………………………(4分)∴f (3)＝－(3－5)2＋3＝－1. 又∵f (x )为奇函数，∴f (0)＝0.∴一次函数图象过(0,0)，(3，－1)两点．∴f (x )＝－13x (0≤x ≤3)．…………………………………………………………………(8分)当－3≤x ≤0时，－x ∈[0,3]，∴f (－x )＝－13(－x )＝13x .又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－13x .∴f (x )＝－13x (－3≤x ≤3)．……………………………………………………………(10分)当－6≤x ≤－3时，3≤－x ≤6，∴f (－x )＝－(－x －5)2＋3＝－(x ＋5)2＋3. 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝(x ＋5)2－3.………………………………………………………………………(13分)∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2－3， －6≤x ≤－3，－13x －3<x <3，………………………………………分－x －2＋3， 3≤x ≤6.10．解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．………………………………………………………(3分)(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2－2， x ≥0，x ＋2－2， x <0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图．……………………………………………………………………………………………(7分) (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]． f (x )在[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数．………………(10分)(4)当x ≥0时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2；故函数f (x )的值域为[－2,2]．……………………………………………………………(14分)11．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，∴f (x )为偶函数．…………………………………………………………………………(2分)当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )，若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0； ∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)， ∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………………………(6分)综上所述，当a＝0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数．………………………………………………………(7分)(2)设2≤x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋ax1－x22－ax2＝x1－x2x1x2[x1x2(x1＋x2)－a]，……………………………………………………………(10分)要使f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f(x1)－f(x2)<0恒成立．∵x1－x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1＋x2)恒成立．………………………………………(12分) 又∵x1＋x2>4，∴x1x2(x1＋x2)>16，∴a的取值范围为(－∞，16]．………………………………………………………(14分)。
福建省高考数学一轮总复习 第6讲 函数的性质(二)——周期性、对称性课件 文 新课标
【解析】(1)因为 f(x)在[0,7]上只有 f(1)＝f(3)＝0， 所以 f(0)≠0，故 f(x)不是奇函数． 又因为 f(x)关于 x＝2 对称，所以 f(2－x)＝f(2＋x)， 则 f(－1)＝f(5)≠0. 而 f(1)＝0，所以 f(－1)≠f(1)，故 f(x)不是偶函数， 因此 f(x)是非奇非偶函数．
三 函数性质的综合应用
【例 3】设 f(x)是定义在 R 上的奇函数且对任意实数 x， 恒有 f(x＋2)＝－f(x)，当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
(1)求证 f(x)是周期函数； (2)当 x∈[2,4]时，求 f(x)的解析式； (3)计算 f(0)＋f(1)＋…＋f(2011)的值．
2．函数的周期性
函数的周期性的定义：设函数y＝f x，x D，
若存在非零常数T，使得对任意的x D都有
③ ________，则函数f x为周期函数，T为 y＝f x的一个周期．若函数f x对定义域中 任意x满足f (x＋a)＝－f x或f (x＋a)＝－(a 0)， 则函数f x是周期函数，它的一个周期是④ _____.
则x′2＋x＝ y′2＋y＝1 ， 所以 x′＝4－x y′＝2－y . 于是，2－y＝4－x＋4－1 x，得 y＝x＋x－1 4－2， 即函数 g(x)的解析式为 y＝x＋x－1 4－2.
(2)直线 y＝m 与 C2 只有一个交点， 即方程 m＝x＋x－1 4－2 只有一个解， 化简方程得 x2－(6＋m)x＋4m＋9＝0， 则 Δ＝[－(6＋m)]2－4(4m＋9)＝m2－4m＝0， 解得 m＝0 或 m＝4. 当 m＝0 时，x＝3，公共点坐标为(3,0)； 当 m＝4 时，x＝5，公共点坐标为(5,4)．
【高考四元聚焦】 2014届高三一轮数学(理)复习 第6讲 函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性
f(x)＝x2＋1x，则 f(－1)＝( A )
A．－2
B．0
C．1
D．2
42
解析：因为函数 f(x)为奇函数， 所以 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2，选 A.
43
3.(2012·山东卷)定义在 R 上的函数 f(x)满足
f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x＜－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；
33
分析：(1)用赋值法；(2)依题设构造 f(－x)与 f(x)的关系； (3)存在型问题，可由存在入手推导相关结论．
解析：(1)证明：令 x＝y＝0，则 2f(0)＝2f2(0)． 又 f(0)≠0，所以 f(0)＝1. (2)令 x＝0，则 f(y)＋f(－y)＝2f(0)f(y)＝2f(y)， 所以 f(y)＝f(－y)，即 f(x)＝f(－x)， 又 x∈R，所以 f(x)为偶函数．
7
3．(改编)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的偶函数，
当 x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则 f(72)＝
.
8
解析：f(72)＝f(72－2)＝f(32)＝f(32－2)＝f(－12)＝f(12) ＝2×12－1＝0.
9
4．(改编)设函数 y＝f(x)(x∈R 的图象关于直线 x＝1 对称，
(2)因为 f(x)＝x3＋sin x，x∈(－1,1)是奇函数，且单调递增， 所以 f(a2－1)＋f(1－2a)<0，即 f(a2－1)<f(2a－1)．
－1<a2－1<1
所以－1<1－2a<1 a2－1<2a－1
－ 2<a<0或0<a< 2 ⇒0<a<1
0<a<2
(江西专用)2014年高考数学一轮复习 2.2 函数的奇偶性与周期性课件 文 新人教A版
∴a+b= 1 .
3
【答案】B
3.(基础再现)若函数f(x)=3x+3-x与g(x)=3x-3-x的定义域均为R,则 ()
(A)f(x)与g(x)均为偶函数. (B)f(x)为偶函数,g(x)为奇函数. (C)f(x)与g(x)均为奇函数. (D)f(x)为奇函数,g(x)为偶函数.
【解析】f(-x)=3-x+3x=f(x), ∴f(x)为偶函数. g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x), ∴g(x)为奇函数. 【答案】B
若函数f(x)为奇函数且在x=0处有意义,则f(0)=0;
奇函数f(x)在相对应的区间上单调性一致;偶函数在相对应 的区间上单调性相反.
二、函数的周期性
1.定义:如果存在一个非零常数T,使得对于函数f(x)定义域内 的任意x,都有f(T+x)=f(x),则称f(x)为周期函数.不为零的常数 T叫做这个函数的周期.如果在所有的周期中存在着一个最 小的正数,这个最小的正数叫做最小正周期.
1.判断函数的奇偶性一般用奇偶性的定义,利用定义的变形 分析函数的奇偶性可达到事半功倍的效果.
2.利用奇偶性、周期性解决问题要紧紧围绕定义,特别在求 值过程中,求出奇偶性或周期性,对解决问题会起到非常好的 效果.
例 设f(x)、g(x)都是R上的奇函数,{x|f(x)>0}={x|4<x<10}, {x|g(x)>0}={x|2<x<5},则集合{x|f(x)·g(x)>0}等于 ( ) (A)(2,10). (B)(4,5). (C)(-∞,2]∪(4,5)∪[10,+∞). (D)(-5,-4)∪(4,5).
∴f(2014)=f(6×335+4)=f(4)=-f(1)=-2.
高考数学(理)一轮复习精品资料 专题06 函数的奇偶性与周期性(教学案) Word版含解析
专题06函数的奇偶性与周期性（教学案） 高考数学（理）一轮复习精品资料1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性二、周期性 1．周期函数对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．高频考点一判断函数的奇偶性 例1、判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝x3－x ； (2)f(x)＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x ， x<0，－x2＋x ，x>0.解(1)定义域为R ，关于原点对称，又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－x3＋x ＝－(x3－x) ＝－f(x)， ∴函数为奇函数．(2)由1－x 1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．【感悟提升】(1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f(x)与f(－x)的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【变式探究】(1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A ．f(x)g(x)是偶函数B ．|f(x)|g(x)是奇函数C ．f(x)|g(x)|是奇函数D ．|f(x)g(x)|是奇函数(2)函数f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，则函数F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是()A．F(x)是奇函数，G(x)是奇函数B．F(x)是偶函数，G(x)是奇函数C．F(x)是偶函数，G(x)是偶函数D．F(x)是奇函数，G(x)是偶函数答案(1)C(2)B高频考点二函数的周期性例2、(1)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f是定义在R上的偶函数，并且f(x＋2)＝－1，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f2.5解析(1)∵f(x＋6)＝f(x)，∴T＝6.∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f＝1×20166＝336.又f ＋…＋f 函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1，则T ＝2a ， ③若f(x ＋a)＝－1，则T ＝2a(a>0)．【变式探究】设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝⎛⎭⎪⎫23π6＝__________________________________________.答案12解析∵f(x ＋2π)＝f(x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f(x)＋sinx －sinx ＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵当0≤x<π时，f(x)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＝0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋π＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4π－π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝12. 高频考点三函数性质的综合应用例3、(1)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于()A ．4B ．3C ．2D ．1(2)＝xln(x ＋a ＋x2)为偶函数，则a ＝________. 答案(1)B(2)1【变式探究】(1)已知f(x)是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为()A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2)(2)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，且在区间上是增函数，则() A ．f(－25)<f ∵f(x)是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a<4，故选A.(2)∵f(x)满足f(x －4)＝－f(x)，∴f(x －8)＝f(x)，∴函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)， f 是定义在R 上的奇函数， 且满足f(x －4)＝－f(x)， 得f 在区间上是增函数， f(x)在R 上是奇函数， ∴f(x)在区间上是增函数， ∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f 关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．(ii)若奇函数在x ＝0处有意义，则f(0)＝0.【举一反三】(1)若f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x ，则不等式f(x)>x 的解集用区间表示为________．答案(1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析(1)函数f(x)＝ln(e3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e3x ＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e3x e3x ＋e6x ＝2ax ＝lne2ax ，即1＋e3xe3x ＋e6x ＝e2ax ，整理得e3x ＋1＝e2ax ＋3x(e3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f(x)是定义在R 上的奇函数，∴f(0)＝0. 又当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝x2＋4x. 又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－x2－4x(x<0)， ∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2－4x ，x>0，0，x ＝0，－x2－4x ，x<0.①当x>0时，由f(x)>x 得x2－4x>x ，解得x>5； ②当x ＝0时，f(x)>x 无解；③当x<0时，由f(x)>x 得－x2－4x>x ，解得－5<x<0.综上得不等式f(x)>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．1.【2019年高考四川理数】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+=.【答案】-22.【2019高考山东理数】已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则f (6)=（） （A ）−2 （B ）−1（C ）0（D ）2【答案】D 【解析】当12x >时，11()()22f x f x +=-,所以当12x >时，函数()f x 是周期为1的周期函数，所以(6)(1)f f =，又函数()f x 是奇函数，所以()3(1)(1)112f f ⎡⎤=--=---=⎣⎦，故选D.【2019高考福建，理2】下列函数为奇函数的是()A ．y =．sin y x =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D【解析】函数y =sin y x =和cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．【2019高考广东，理3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．xe x y +=B ．x x y 1+=C ．x xy 212+=D ．21x y += 【答案】A ．【2019高考安徽，理2】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（） （A ）y cos x =（B ）y sin x =（C ）y ln x =（D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，,B C 项均不是偶函数，故排除,B C ，,A D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D 项的函数不存在零点，故选A.【2019高考新课标1，理13】若函数f (x )=ln(x x +为偶函数，则a = 【答案】1【解析】由题知ln(y x =+是奇函数，所以ln(ln(x x +-=22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是() A ．f (x )是偶函数 B ．f (x )是增函数 C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为上不是单调函数，且函数值f (x )∈； ∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为 B ．C ．D ．答案D4．已知减函数f(x)的定义域是实数集R ，m ，n 都是实数．如果不等式f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立，那么下列不等式成立的是()A ．m －n<0B ．m －n>0C ．m ＋n<0D ．m ＋n>0答案A解析设F(x)＝f(x)－f(－x)，由于f(x)是R 上的减函数， ∴f(－x)是R 上的增函数，－f(－x)是R 上的减函数．∴当m<n 时，有F(m)>F(n)，即f(m)－f(－m)>f(n)－f(－n)成立．因此，当f(m)－f(n)>f(－m)－f(－n)成立时，不等式m －n<0一定成立，故选A. 5．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g(x)＝f （x ）x 在区间(0，＋∞)上一定()A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案A解析∵f(x)＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a>0.∴g(x)＝f （x ）x ＝x ＋ax －2a 在(0，a)上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．∴g(x)在(0，＋∞)上一定有最小值．6．若奇函数f(x)在(－∞，0]上单调递减，则不等式f(lgx)＋f(1)>0的解集是________． 答案(0，110)解析因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又因为f(x)在(－∞，0]上单调递减，所以f(x)在解析f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －a ，x≥a，e a －x ，x<a ，当x≥a 时，f(x)单调递增，当x<a 时，f(x)单调递减，又f(x)在，单调递减区间为，解析(1)∵f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3 （x≥0），－x 2－2x ＋3 （x<0），其图像如图所示，所以函数y ＝f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和；单调递减区间为和时，u 为增函数；x∈(2，5)时，u 为减函数．又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数同增异减，故f(x)的单调递增区间为(2，5)；单调递减区间为(－1，2]． 10．已知函数f(x)＝lg(x ＋ax －2)，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f(x)的定义域；(2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a 的取值范围．答案(1)a>1时，(0，＋∞)；a ＝1时，{x|x>0且x≠1}；0<a<1时，{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}(2)lg a2(3)(2，＋∞)解析(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋ax>0.①当a>1时，x 2－2x ＋a>0恒成立，定义域为(0，＋∞)； ②当a ＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}；③当0<a<1时，定义域为{x|0<x<1－1－a 或x>1＋1－a}．第- 11 -页共11页。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第6讲 函数的奇偶性与周期性
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第6讲
函数的奇偶性与周期性
点 面 讲 考 向
[思考流程] (1)第一步，分析分段函数的性质，当 x≥4 时，f(x)是周期函数；第二步，根据周期函数的性质，将求 f(2015)的值转化为求当 x∈[0，4)时的函数值，第三步，根 据表达式当 x∈[0，4)时，f(x)＝x3 求得函数值． (2)第一步，讨论函数的性质和方程的根的个数的求解 方法；第二步，f(x)是周期函数，写出 f(x)的表达式，作出 1 函数 f(x)和 y＝10x 的图像；第三步，根据图像得出结论．
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第6讲
双 向 固 基 础
函数的奇偶性与周期性
4．若奇函数 f(x)在区间(－2，－1)上是增函数，则在区 间(1，2)上是________函数．
[答案] 增
[解析] 根据奇函数的对称关系知，若奇函数 f(x)在区间 (－2，－1)上是增函数，则在区间(1，2)上也是增函数．
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第6讲
2.利用定义判断函数奇偶性的步骤 定义域 ， 并 判 断 其 是 否 关 于 (1) 首 先 确 定 函 数 的 ________ 原点 ________ 对称； f(x) 与________ f(－x) 的关系； (2)确定________ (3)作出相应结论：在定义域关于原点对称的条件下， 若 f(－x)＝f(x)或 f(－x)－f(x)＝0，则 f(x)是偶函数； 若 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＋f(x)＝0，则 f(x)是奇函数．
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第6讲
双 向 固 基 础
函数的奇偶性与周期性
5．重要类型函数的奇偶性 函数类型 f(x)＝ax＋a－x(a>0 且 a≠1) f(x)＝ax－a－x(a>0 且 a≠1)
高考第一轮复习——函数的奇偶性、单调性、周期性(理)
【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的奇偶性、单调性、周期性二. 教学重、难点：了解函数奇偶性、单调性、周期性的概念，了解周期函数最小正周期的意义，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法，能利用函数的单调性解决函数的有关问题。
【典型例题】[例1] 定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R y x ∈、恒有)()()(y f x f xy f +=，且)(x f 不恒为0。
（1）求)1(f 和)1(-f 的值；（2）试判断)(x f 的奇偶性，并加以证明；（3）若0≥x 时)(x f 为增函数，求满足不等式0)2()1(≤--+x f x f 的x 的取值集合。
解析：（1）令1==y x ，得)1()1()1(f f f += ∴ 0)1(=f 令1-==y x ，得)1()1()1(-+-=f f f ∴ 0)1(=-f（2）令1-=y ，由)()()(y f x f xy f +=，得)1()()(-+=-f x f x f 又0)1(=-f ∴ )()(x f x f =-又 ∵ )(x f 不恒为0 ∴ )(x f 为偶函数 （3）由0)2()1(≤--+x f x f知)2()1(x f x f -≤+ 又由（2）知|)(|)(x f x f = ∴ )2()1(x f x f -≤+ 又 ∵ )(x f 在),0[+∞上为增函数∴ x x -≤+21 故x 的取值集合为}21|{≤x x[例2] 设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(==f f 。
（1）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（2）试求方程0)(=x f 在闭区间]2005,2005[-上的根的个数，并证明你的结论。
解析：（1）由)2()2(x f x f +=-，得函数)(x f y =的对称轴为2=x ∴ )5()1(f f =-而)1()1(0)5(-≠⇒≠f f f ，即)(x f 不是偶函数又 ∵ )(x f 在[0，7]上只有0)3()1(==f f ∴ 0)0(≠f 从而知函数)(x f y =不是奇函数 故函数)(x f y =是非奇非偶函数（2）⎩⎨⎧+=-+=-)7()7()2()2(x f x f x f x f )14()4()14()()4()(x f x f x f x f x f x f -=-⇒⎩⎨⎧-=-=⇒)10()(+=⇒x f x f从而知函数)(x f y =的周期为T=10 又0)1()3(==f f∴ 0)9()7()13()11(=-=-==f f f f故)(x f 在[0，10]和]0,10[-上均有2个根，从而可知函数)(x f y =在[0，2000]上有400个根，在[2000，2005]上有2个根，在]0,2000[-上有400个根，在]2000,2005[--上没有根。
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第6讲 ——奇偶性、周期性、对称性
1.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( C )
A ．f (x )与g (x )均为偶函数
B ．f (x )与g (x )均为奇函数
C ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数
D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数
解析：f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，
g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，故选C.
2.函数f (x )＝log 21＋x 1－x
的图象( A ) A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
解析：因为f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x 1－x
＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称．
3.函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( B )
A ．3
B ．0
C ．－1
D ．－2
解析：因为f (m )＝m 3＋sin m ＋1＝2，所以m 3＋sin m ＝1，
所以f (－m )＝－m 3－sin m ＋1＝－1＋1＝0，故选B.
4.(改编)f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有f (x ＋32)＝－f (x )，则f (－92
)的值为( A )
A ．0
B ．3
C.32 D ．－92
解析：由f (x )＝－f (x ＋32
)，知函数f (x )的周期为3， 则f (－92)＝f (－92＋2×3)＝f (32
)， 又函数f (x )是奇函数，
则f (－92)＝－f (92)＝－f (92－3)＝－f (32
)， 故f (32)＝－f (32)，所以f (－92
)＝0，故选A. 5.设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3，若f (x ＋a )为偶函数，则a 等于 2 .
解析：(方法一)因为f (x )＝(x －2)2－1，对称轴方程为x ＝2，
又f (x ＋a )为偶函数，其图象关于y 轴对称，
所以需将f (x )图象向左平移2个单位长度，故a ＝2.
(方法二)因为f (x )＝x 2－4x ＋3，
所以f (x ＋a )＝x 2＋(2a －4)x ＋(a 2－4a ＋3)，
而f (x ＋a )为偶函数，所以2a －4＝0，所以a ＝2.
6.设f (x )是定义在实数集R 上的函数，若函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，且当x ≥1时，
有f (x )＝1－2x ，则f (32)、f (23)、f (13)的大小关系是 f (23)>f (32)>f (13
) . 解析：由已知得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以y ＝f (x )的对称轴方程是x ＝1，则f (32
)＝
f (12
)．
当x ≥1时，f (x )＝1－2x 是递减的，所以当x <1时，f (x )递增，
故f (23)>f (12)>f (13)，即f (23)>f (32)>f (13)．
7.已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式xf (x )<0的解集为 (－1,0)∪(0,1) .
解析：因为f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，
所以当x ∈(－3，－1)∪(0,1)时，f (x )<0；
当x ∈(－1,0)∪(1,3)时，f (x )>0，
故xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
8.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b 2x ＋1＋a
是奇函数． (1)求a ，b 的值；
(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.
解析：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，
即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，则f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a
. 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a
， 解得a ＝2.
(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1
. 易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，
又因为f (x )是奇函数，
从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．
因为f (x )是减函数，
所以t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，
解不等式可得t >1或t <－13
. 故不等式的解集为{t |t >1或t <－13
}． 9.已知函数f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，常数a ∈R )．
(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)时为增函数，求a 的取值范围．
解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2.
对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，
所以f (x )为偶函数． 当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x
(a ≠0，x ≠0)．
取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0，
f (－1)－f (1)＝－2a ≠0.
所以f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
(2)函数f(x)在x∈[2，＋∞)时为增函数，等价于f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立．
故a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立，
所以a≤(2x3)min＝16.
所以a的取值范围是(－∞，16]．。