高等代数课后思考题
高等代数教程上王萼芳著课后习题部份解答2012
第一章 行列式1. 习题1.4（2）第2题 计算行列式。
14916491625916253616253649⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 习题1.5第4（2）题 计算行列式中所有元素的代素余子式之和。
12100...00...............0...000n n a a a a -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦0,1,2, (i)i n a≠=解：3. 习题1.6第1（3）题 计算行列式：1101231211232102321⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第6题 计算2n 阶行列式aba b b a b a 0000000解:得列列加到第第，列，列加到第列，第列加到第将第,121212n n n n +-D ＝aba ab a a b a b b a b b a b b a 00000000000000000000000++++++ 行）行减第，第行行减第行，第行减第（第n n n n 121212+-b a b a b a b ba bb a b b a ---+++00000000000000000000000＝n n n b a b a b a )()()(22-=-+4. 复习题 1第4题 计算行列式nn 222221222223222222222221-----------解: 原式244400014400006400000500222222222221)2()()2()4()2()3(++------------n n n=24444014440074400064000052221++⋅-n n=)2()1(7656+⨯+⨯⨯⨯⨯⨯n n =)!2(41+n第 6 题 计算行列式12121231212321----n n n n n n解：12121231212321----n n n n n n行）行减第第，行，行减第行，第行减第（第n n 13221- ＝122111111111111111111111--n n n －－－－－－－－－－ （第n 列分别加到第1列，第2列，至第1-n 列）＝131110000120001220012220 -+n nn （对第1列展开）＝阶)1(1100012000122001222012222)1()1(-++-n n n ＝212)1(1-++n n n ）（－第 7 题 计算行列式01211...110...01...0......... (10)n a aa a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1...0na a≠)第二章 线性方程组1. 习题2.1 第 1 （4） 题1212323434545561562(4)56256254x x x x x x x x x x x x x ì+=ïïïï++=-ïïï++=íïïï++=-ïïï+=-ïî56561615615656115656156156156151515561656565655156656615619156301515151515561656561619563065114150515150565191145665D 解：方程组的系数行列式对第行展开=-骣÷ç÷ç÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç÷ç÷桫骣÷ç÷=--=-ç÷ç÷ç桫=?? Cramer D 0, ¹根据法则，方程组有唯一解。
高等代数__课后答案__高等教育出版社
高等代数习题答案（一至四章）第一章 多项式 习题解答1、（1）由带余除法，得17(),39q x x =-262()99r x =--（2）2()1q x x x =+-，()57r x x =-+2、（1）2100p m q m ⎧++=⎨-=⎩ ， （2）由22(2)010m p m q p m ⎧--=⎪⎨+--=⎪⎩得01m p q =⎧⎨=+⎩或212q p m =⎧⎨+=⎩。
3、（1）432()261339109,q x x x x x =-+-+()327r x =- （2）q （x ）=22(52)x ix i --+，()98r x i =--4、（1）有综合除法：2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- （2）234()1124(2)22(2)8(2)(2)f x x x x x =-+++-+++（3）234()24(75)5()(1)()2()()f x i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++5、（1）x+1 （2）1 （3）21x -- 6、（1）u （x ）=-x-1 ，v （x ）=x+2 （2）11()33u x x =-+，222()133v x x x =-- （3）u （x ）=-x-1, 32()32v x x x x =+--7、02u t =⎧⎨=⎩或23u t =-⎧⎨=⎩8、思路：根具定义证明证：易见d （x ）是f （x ）与g （x ）的公因式。
另设()x ϕ是f （x ）与g （x ）的任意公因式，下证()()x d x ϕ。
由于d （x ）是f （x ）与g （x ）的一个组合，这就是说存在多项式s （x ）与t （x ），使 d （x ）=s （x ）f （x ）+t （x ）g （x ）。
从而()()x f x ϕ，()()x g x ϕ，可得()()x d x ϕ。
丘维声高等代数课后习题
丘维声高等代数课后习题一、基本习题1、求解三元一次方程组（1）2x + y - z = 0x + y + z = 4x - y + z = 2解：设x=x1,y=x2,z=x3则，方程组可以表示为：2x1 + x2 - x3 = 0x1 + x2 + x3 = 4x1 - x2 + x3 = 2解得：x1 = 1x2 = 2x3 = 1即，x=1,y=2,z=12、求x2-2x+1=0的根解：x2-2x+1=0(x-1)2=0即，x1=1,x2=1二、进阶习题1、求证：若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^2证明：若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^2证明：假设A^2+B^2=C^2则有：A^2-C^2=B^2(A-C)(A+C)=B^2若A≠C，则A+C≠0，由此可得：A-C=B^2/(A+C)即，A-C=B^2/(A+C)≠0即，A=C，与假设矛盾，故假设不成立。
综上所述，若A、B、C为不全等的三元组，则A^2+B^2≠C^22、求证：若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的证明：若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的证明：设ax2+bx+c=0的根为x1、x2则有：ax1^2+bx1+c=0ax2^2+bx2+c=0相减得：a(x1^2-x2^2)+b(x1-x2)=0即：b(x1-x2)=(x2^2-x1^2)a若b≠0，即a、b、c是不全等的实数，则有：x1-x2=b/a即，x1、x2是唯一的实根。
综上所述，若a、b、c是不全等的实数，则ax2+bx+c=0的根是唯一的。
高等代数课后习题1-5章答案
高等代数课后习题1-5章答案高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，对于数学专业的学生来说，掌握这门课程的知识和解题技巧至关重要。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
下面，我将为大家详细解答高等代数 1-5 章的课后习题。
第一章主要介绍了多项式的基本概念和运算。
在这一章的习题中，我们经常会遇到多项式的整除、最大公因式、因式分解等问题。
例如，有这样一道题：设\（f(x)＼）和\（g(x)＼）是两个多项式，且\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），证明：对于任意的多项式\（h(x)＼），都存在多项式\（u(x)＼）和\（v(x)＼），使得\（f(x)u(x) ＋ g(x)v(x) ＝h(x)＼）。
解答这道题，我们可以利用辗转相除法来求出\（f(x)＼）和\（g(x)＼）的最大公因式。
因为\（（f(x)， g(x)）＝ 1\），所以存在\（u_1(x)＼）和\（v_1(x)＼），使得\（f(x)u_1(x) ＋ g(x)v_1(x) ＝ 1\）。
然后，将等式两边同时乘以\（h(x)＼），得到\（f(x)（u_1(x)h(x)）＋ g(x)（v_1(x)h(x)）＝ h(x)＼），令\（u(x) ＝ u_1(x)h(x)＼），＼（v(x) ＝v_1(x)h(x)＼），即证明了结论。
第二章是行列式的相关内容。
行列式的计算是这一章的重点和难点。
比如，有一道求行列式值的题目：＼（＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼）对于这道题，我们可以按照行列式的展开法则进行计算。
先按照第一行展开：＼＼begin{align}＆＼begin{vmatrix} 2 ＆ 1 ＆ 3 ＼＼ 1 ＆－1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times\begin{vmatrix} －1 ＆ 2 ＼＼ 2 ＆ 1 ＼end{vmatrix}－1\times\begin{vmatrix} 1 ＆ 2 ＼＼ 3 ＆ 1 ＼end{vmatrix}＋3\times\begin{vmatrix} 1 ＆－1 ＼＼ 3 ＆ 2 ＼end{vmatrix}＼＼＝＆2\times(－1\times1 2\times2) 1\times(1\times1 2\times3) ＋3\times(1\times2 （－1)＼times3)＼＼＝＆2\times(－5) 1\times(－5) ＋ 3\times(5)＼＼＝＆－10 ＋ 5 ＋ 15\＼＝＆10＼end{align}＼第三章是线性方程组。
高等代数课后思考题
高等代数课后思考题第八章 欧氏空间思考题1、设V 是实数域R 上的n 维向量空间，试问：对V 是否总可以定义内积，使V 对此内积构成欧氏空间？2、如果向量空间V 是一欧氏空间，那么它的任一子空间也是欧氏空间吗？为什么？3、用,ξη表示n 维欧氏空间V 中向量的内积，下面的等式中哪些成立？（1）12121122,,,;ξξηηηξη-=--（2）;a a ξξ=（3）1;ξξ= （4）,,;a b abξηξη= (5)2,,,.ηξηη=4、已知向量空间R 3关于内积112233,x y x y x y ξη=++是欧式空间，也对内积112233,23x y x y x y ξη=++是欧氏空间，其中123123(,,),(,,)x x x y y y ξη==.问：向量组123(0,1,0),ααα===对此两种内积来说是否能分别构成正交向量组？5、设{}12,,,n ααα 是n 维欧氏空间V 的一个基，问如何规定V 的内积，使V 对此内积是欧氏空间，且{}12,,,n ααα 是它的一个标准正交基？6、设W 是欧氏空间V 的有限维子空间，则W 的正交补W ⊥存在。
问：（1）W 的正交补W ⊥唯一吗？（2）给出两种求W ⊥的方法。
7、在n 维欧氏空间中，是否存在n+1个两两正交的非零向量？为什么？8、欧氏空间V 的一个正交变换是否保持任意两个向量的夹角？9、欧氏空间V 的保持任意两个向量夹角不变的线性变换是否是正交变换？10、欧氏空间V 的保持任意向量长度不变的线性变换是否是正交变换？11、欧氏空间V 的保持任意两个向量长度距离不变的线性变换是否是正交变换？12、欧氏空间V 的保持任意两个向量内积不变的线性变换是否是正交变换？13、举例说明，两个对称变换的积不一定是对称变换。
找出两个对称变换的积是对称变换的充要条件。
14、若n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ的属于不同特征根的特征向量彼此正交，那么σ一定是对称变换吗？举例说明之。
《高等代数》复习思考题答案
（0158）《高等代数》复习思考题答案一、略 二、判断题1. 错。
含有n 个未知量的m 个方程的线性方程组有无穷解的充要条件是系数矩阵的秩<n 。
2. 错。
如：向量组s ααα,,,21Λ中的每个向量都不是齐次线性方程组的解向量，但0向量是齐次线性方程组的解向量，0向量也是s ααα,,,21Λ线性组合。
3. 错。
如：方程组25320253202532025320253243214321432143214321=-++=-++=-++=-++=-++x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x虽然方程的个数多余未知量的个数，但是它毕竟等价于第一个单独的方程因此有无穷多解。
4. 错。
如矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛0010的秩为1，但是它的1阶主子式为0。
5. 错。
所给出的条件是正交相似，不是一般意义的相似条件。
6. 错。
如：2224)1(12+=++x x x 在有理数域上可约，但是无根。
7. 对。
因为线性变换σ为数乘变换的充要条件是该变换在任意基下的矩阵A 为数量矩阵I λ，所以A 适合多项式λ-x ，即为极小多项式，从而是一次多项式。
反之，如果极小多项式次数为1，设为λ-x ，则0=-I A λ。
根据线性变换与矩阵的对应关系知λεσ=，其中ε为恒等变换，即得σ为数乘变换 8. 错。
如：5)4()(-=x x f ，)(|)4(2x f x -，但不是f(x)的2重根，它是4重根。
9. 错。
如：12++x x 无有理根，但是不可能存在任何素数整除除首项以外的项的系数。
10. 对。
11. 对。
12. 对。
13. 对。
14. 对。
15. 对。
三、计算题第1、2、3、4、5题略。
6、因为]5)10([)5)(3(58223b a x b x b x x a x x x -++-++++=+++，所以a x x xb x x +++++58|3232的充要条件是05)10(=-++-b a x b 。
高等代数笔记与做题思路总结
高等代数笔记与做题思路总结一、行列式相关（5题）1. 计算三阶行列式begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}解析：- 按第一行展开，begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}=1×begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}-2×begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}+3×begin{vmatrix}4 5 78end{vmatrix}- 计算二阶行列式begin{vmatrix}ab cdend{vmatrix}=ad - bc- begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}=5×9-6×8 = 45 - 48=- 3- begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}=4×9 - 6×7=36 - 42=-6- begin{vmatrix}4 5 7 8end{vmatrix}=4×8 - 5×7=32 - 35=-3- 所以原行列式=1×(-3)-2×(- 6)+3×(-3)=-3 + 12-9 = 02. 已知n阶行列式D = λ^n+a_1λ^n - 1+·s+a_n-1λ + a_n，求D的第一行元素的代数余子式之和。
解析：- 根据行列式按行展开定理D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+·s+a_inA_in（i为行标）- 令λ = 1，构造一个新的行列式D_1，它的第一行元素全为1，其余元素与D 相同。
- 那么D_1按第一行展开D_1=A_11+A_12+·s+A_1n- 又因为D_1也是n阶行列式，且D_1 = 1^n+a_1×1^n - 1+·s+a_n-1×1+a_n- 所以第一行元素的代数余子式之和为1 + a_1+·s+a_n3. 证明：若一个n阶行列式D中零元素的个数多于n^2-n个，则D = 0。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)课后习题-第一章至第三章(上册)【圣才出品】
4．把 f（x）表成 x－x0 的方幂和，即表成 c0＋c1（x－x0）＋c2（x－x0）2＋…的形式． （1）f（x）＝x5，x0＝1；
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6．求 u（x），v（x）使 u（x）f（x）＋v（x）g（x）＝（f（x），g（x））： （1）f（x）＝x4＋2x3－x2－4x－2，g（x）＝x4＋x3－x2－2x－2． （2）f（x）＝4x4－2x3－16x2＋5x＋9，g（x）＝2x3－x2－5x＋4． （3）f（x）＝x4－x3－4x2＋4x＋1，g（x）＝x2－x－1． 解：（1）用辗转相除法进行计算．
所以 x5＝（x－1）5＋5（x－1）4＋10（x－1）3＋10（x－1）2＋5（x－1）＋1．
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（2）应用综合除法
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所以 f（x）＝（x＋2）4－8（x＋2）3＋22（x＋2）2－24（x＋2）＋11． （3）f（x）＝（x＋i）4－2i（x＋i）3－（1＋i）（x＋i）2－5（x＋i）＋7＋5i． 5．求 f（x）与 g（x）的最大公因式： （1）f（x）＝x4＋x3－3x2－4x－1，g（x）＝x3＋x2－x－1． （2）f（x）＝x4－4x3＋1，g（x）＝x3－3x2＋1．
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第二部分 课后习题
第 1 章 多项式
1．用 g（x）除 f（x），求商 q（x）与余式 r（x）： （1）f（x）＝x3－3x2－x－1，g（x）＝3x2－2x＋1； （2）f（x）＝x4－2x＋5，g（x）＝x2－x＋2． 解：（1）用分离系数的竖式进行计算
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高等代数课后思考题
第五章 向量空间
思考题
1、在数的加法与乘法运算下，能否说
（1）任何数域都是有理数域上的向量空间；
（2）有理数域也是任何数域上的向量空间。
2、在集合空间V 3 中，按通常向量的加法与数乘向量的运算，下列集合哪些是实数域R 上的向量空间？
（1）过原点的直线l 上的一切向量的集合；
（2）任一不过原点的直线上的一切向量的集合；
（3）以原点为始点，与某一固定平面平行的一切向量的集合；
（4）以原点为始点，与某一固定平面垂直的一切向量的集合；
（5）以原点为始点，与某一固定平面不平行的一切向量的集合；
（6）位于第一象限内，以原点为始点的一切向量的集合；
（7）位于第一、三象限内，以原点为始点的一切向量的集合；
（8）只一个原点表示的向量的集合。
3、判断下列命题的对错，正确的加以证明，错误的举出反例。
（1）若一向量组中有一向量不能表示成其余向量的线性组合，则这个向量组线性相关；
（2）若一向量组线性相关，则它的任一部分组也线性相关；
（3）若向量个数大于3的向量组线性相关，则它必有一部分组线性相关；
（4）若一向量组的任意两个向量线性无关，则这一向量组也线性无关；
4、设是向量空间V 的一组向量，判断下列条件是否等价。
（1）12,,,s ααα线性相关；
（2）对任意一组不全为零的数k 1，k 2，…，k s ，都有
11220;s s k k k ααα++
+= （3）1α必是2,,s αα的线性组合；
（4）12,,,s ααα中至少有一个向量是其余向量的线性组合。
5、在F n [x]中，有基{1，x ，…，x n }到基{2x n ，…，2x 2，2x ，2}的过渡矩阵是什么？
6、早向量空间V 中，一向量关于不同基的坐标是否一定不同？不同向量关于同一个基的坐标是否可以相同？
7、若把复数域C 看作实数域R 上的向量空间，问：有理数域Q 是不是向量空间C 的子空间？若把复数域C 看作有理数域Q 上的向量空间，问：有理数域Q 是不是向量空间C 的子空间？
8、将复数域C 作为实数域R 上的向量空间，与它同构的向量空间是：
（1）M 2(R)； （2）几何空间V 2； （3）R 2； （4）R 2{x}.
9、举例说明无限维向量空间可以与它的一个真子空间同构。
10、把同构的子空间算作一类，问：F 上的n 维向量空间V 的子空间能分成多少个不同的类？。