广东省化州市官桥中学高二数学元旦智科竞赛试卷

广东省化州市官桥中学高二数学元旦智科竞赛试卷（2020-12-18）试卷说明：1.答案必须填在答题卷对应的答题栏内，否则不得分.2.交卷时只交答题卷.3.严禁使用计算器.一、选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的)1．设U=Z ，M={2,}x x k k z =∈，N={21,}x x k k z =+∈，P={21,}x x k k z =±∈，Q={41,}x x k k z =±∈，则下列结论不正确的是 （ ） (A) U C M N = (B) U C P M = (C) P Q ⋂=∅ (D) U C M N P Q === 2. 下列函数既是奇函数，又在[-1，1]上单调递减的是 （ ）(A) x x f sin )(= (B) |1|)(+-=x x f （C ） )(21)(x x a a x f -+=（D ） xxx f +-=22ln)( 3.已知()x f 对任意整数x 都有()()4+=x f x f ，若()12004f =，则()2005f = （ ） （A ）2002 （B ）2020 （C ）2020 （D ）20204. 已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) （Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）25. 实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y x x y ω≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩，则有 ( )（A ）113ω-≤≤ (B) 1123ω-≤≤ (C) 12ω≥- (D) 112ω-≤<6. 已知()f x =(x －a )(x －b )－2 (a <b )，并且α，β是方程()f x =0的两根(α<β)， 则实数a ，b ，α、β的大小关系是 ( )(A)α<a <b <β(B)a <α<β<b(C)a <α<b <β(D)α<a <β<b7.小丁储备2020年赴京观看奥运会的费用,他从2001年起到2020年,每年元旦到银行存入a元一年定期储蓄,若年利率r 保持不变,且每年存款到期自动转存新一年的定期。

到2020年元旦将所有的存款和利息悉数取出，可提取_________元. (A) 8)1(r a + (B))]1()1[(7r r r a +-+ (C)]1)1[(8-+r r a(D))]1()1[(8r r ra +-+ 8. 函数224210x x x +++ ( ) （A ）25 （B ）26 （C 17（D 269．已知不等式()θθ222sin 45cos +-+m m ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 ( ) （A ）0≤m ≤4（B ）1≤m ≤4（C ）m ≥4或m ≤0（D ）m ≥1或m ≤010.设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r，若ABC ∆的面积为 S ，则AOC ∆的面积为 ( ) (A)12S (B) 13S (C) 23S (D) 35S 二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 11．某市高二数学抽样考试中，对90分以上（含90分）的成绩 进行统计，其频率分布图如图所示，若130-140分数段的人数为 90人，则90-100分数段的人数为12. 设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点 A 、B ，则弦AB 的垂直平分线方程是 13. 已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ； ④βα⊥； ⑤βα// 当满足条件 时，有β⊥m . 14．定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做数列的公积。

已知数列}{n a 是等积数列，且21=a ，公积为8，那么18a 的值为 ，这个数列的前.___________计算公式为项和n S n 三．解答题(本大题共6小题，共80分)15．(本题满分14分)△ABC 的三个内角A 、B 、C 对边分别是a , b , c ，且tan tan tan A B A B +=72c =，又△ABC 的面积为ABC S ∆. 求：（1）角C ； （2）a +b 的值.16.（本题满分12分）等差数列}{n a 中，n S 表示前n 项之和，8101,217S S a ==，求||||||21n a a a +++Λ 的值。

17． (本小题满分14分)深圳某商场为使销售空调和冰箱获得的总利润达到最大，对即将出售的空调和冰箱相关数据进行调查，得出下表：问：该商场怎样确定空调或冰箱的月供应量，才能使总利润最大？最大利润是多少？18．（本题满分14分）如图，已知正三棱柱ABC —111C B A 的底面边长是2，D 是侧棱1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45o． （Ⅰ）求此正三棱柱的侧棱长； （Ⅱ） 求二面角C BD A --的大小； （Ⅲ）求点C 到平面ABD 的距离．19. （本题满分14分）已知二次函数)0,0()(2>>++=c a c bx ax x f 的图象与x 轴有两个不同的公共点，且有0)(=c f 。

当c x <<0时，恒有0)(>x f 。

（1）试比较a1与c 的大小；（2）求不等式0)(>x f 的解集；（3）试求b 的取值范围； （4）若以二次函数的图象与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为5，求a 的取值范围。

20．（本题满分12分）把正奇数数列{}21n -中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：1 3 5 7 9 11 — — — — — — — — —设a i j N ij (*)，∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数。

（I ） 若a mn =2005，求m n ，的值；（II ）已知函数f x ()的反函数为fx x n -=138() ()x >0，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，求数列{()}f b n 的前n 项和S n 。

[参考答案]一．选择题：(本大题共10个小题；每小题5分，共50分)C D C C D A D D C B二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 11．810 12. 0323=--y x13. ②⑤ 14． 4（2分）、⎩⎨⎧-, ,3;,13为偶数时当为奇数时当n n n n （3分）三．解答题(本大题共6小题，共80分)15．解：17、（1）由已知：()B tan A tan B tan A tan --=+13 ()οο6012031=∴=+∴-=-+=+∴C B A Btan A tan Btan A tan B A tan ……7分（2）6323232121=∴=⨯⋅⋅=⋅⋅⋅=ab b a C sin b a S ……………………9分又2162272222222⨯⨯-+=⎪⎭⎫⎝⎛∴-+=b a C cos ab b a c Θ47322=+∴b a ………………………………………12分 ()2110041212222=+∴>>=++=+∴b a b ,a ab b a b a Θ又……14分 16．解：nn a d d d a d a S d a S n -=-⨯++=∴-=∴-=⨯-=∴+==+=219)1()1(2171,172172,1722884510118110即Θ.010){0,05.9219,0219109项起为小于从第即数列即得令n a a a n n <>=≤≥-所以当10≥n 时 ……………………………5分81921]2)1([)288(22)(||||||21188821+-=-+-+⨯=+-=--=+++n n d n n na d a S S S S S a a a n n n Λ 当9≥n 时，………………………………………………9分nn d n n na S a a a n n 9212)1(||||||2121+-=-+==+++Λ………………………………………12分17．解：设空调和冰箱的月供应量分别为y x ,台，月总利润为z 百元…………………1分则y x z N y x y x y x 86,,1101053002030*+=⎪⎩⎪⎨⎧∈≤+≤+ ……………………………………3分作出可行域 ……………………………………………………………………………3分843z x y +-=Θ，纵截距为8z ，斜率为k=43-，满足 欲z 最大，必8z 最大，此时，直线843zx y +-=必过图形⎪⎩⎪⎨⎧∈=+=+*,1101053002030N y x y x y x的一个交点（4，9），y x ,分别为4，9 …………………………………………………………………………4分此时，z=6x+8y=96(百元) …………………………………………………………2分 ∴空调和冰箱的月供应量分别为4、9台时，月总利润最大最大值为9600元. ……………………………………………1分18．解：（Ⅰ）设正三棱柱ABC —111C B A 的侧棱长为x ．取BC 中点E ，连AE ．ABC ∆Θ是正三角形，AE BC ∴⊥．又底面ABC ⊥侧面11BB C C ，且交线为BC ．AE ∴⊥侧面11BB C C ．连ED ，则直线AD 与侧面11BB C C 所成的角为45ADE ∠=o ． ……………2分 在AED Rt ∆中，tan 45AE ED==o，解得x = …………3分 ∴此正三棱柱的侧棱长为． ……………………4分注：也可用向量法求侧棱长．（Ⅱ）解法1：过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，⊥AE Θ侧面,11C C BB ∴AF BD ⊥．AFE ∴∠为二面角C BD A --的平面角． ……………………………6分在BEF Rt ∆中，sin EF BE EBF =∠，又1,sin 3CD BE EBF BD =∠===， ∴3EF =．又AE =∴在AEF Rt ∆中，tan 3AEAFE EF∠==． …………………………8分 故二面角C BD A --的大小为arctan3． …………………………9分 解法2：（向量法，见后）（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）可知，⊥BD 平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面ABD ，且交线为AF ，∴过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥平面ABD ． …………10分A BC D 1A 1B 1C EF G H I在AEF Rt ∆中，10AE EFEG AF⨯===． …………12分 Q E 为BC 中点，∴点C 到平面ABD的距离为210EG =． …………14分 解法2：（思路）取AB 中点H ，连CH 和DH ，由,CA CB =DA DB =，易得平面ABD ⊥平面CHD ，且交线为DH ．过点C 作CI DH ⊥于I ，则CI 的长为点C 到平面ABD 的距离． 解法3：（思路）等体积变换:由C ABD A BCD V V --=可求． 解法4：（向量法，见后） 题（Ⅱ）、（Ⅲ）的向量解法：（Ⅱ）解法2：如图，建立空间直角坐标系则(0,1,0),(0,1,0),(A B C D -设1(,,)n x y z =r为平面ABD 的法向量．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,021AD n n ρρ 得0y y ⎧=⎪-=取1(n =u r…………6分 又平面BCD 的一个法向量2(0,0,1).n =u u r…………7分∴10101)3()6(1)1,0,0()1,3,6(,cos 222212121=+-+-⨯⋅--=⋅>=<n n n n n n ρρρρρρ． …………8分结合图形可知，二面角C BD A --的大小为arccos10． …………9分 （Ⅲ）解法4：由（Ⅱ）解法2，1(n =u r(0,CA =-u u u r …………10分∴点C 到平面ABD 的距离d =2221)3()6()1,3,6()3,1,0(+-+---⋅-=＝10302．14分 19.解：（1）∵二次函数)0,0()(2>>++=c a c bx ax x f 的图象与x 轴有两个不同的公共点∴方程0)(=x f 有两个不同的实数根,∵0)(=c f , ∴c 是方程0)(=x f 的一个实数根1设方程0)(=x f 的另一个实数根为0x ，则有a c x c =•0,∴ax 10= 假设c a <1，由当c x <<0时，恒有0)(>x f 可得：01>⎪⎭⎫ ⎝⎛a f ，这与01=⎪⎭⎫⎝⎛a f 相矛盾. 而方程0)(=x f 有两个不同的实数根, ∴c a ≠1,所以c a>1； （2）由（1）可知：a 1与c 是方程0)(=x f 的两个不同的实数根，且c a>1，0>a , ∴不等式0)(>x f 的解集为()⎪⎭⎫⎝⎛+∞∞-,1,a c Y ； （3）∵c a>1，0>a ，0>c ,∴10<<ac ,∴01<-<-ac ∴112-<--<-ac ,而0)1()(2=++=++=b ac c c bc ac c f ∴01=++b ac ,∴ac b --=1,∴12-<<-b ∴b 的取值范围为()1,2--；（4）∵二次函数的图象与坐标轴的三个交点分别为)0,(c ，⎪⎭⎫⎝⎛0,1a ，),0(c ∴所围成的三角形的面积为：a ac c c c a S 21212-=•⎪⎭⎫⎝⎛-=∵0)(2=++=c bc ac c f ,∴c bc ac --=2,∴52)2(=+=acb S , ∵12-<<-b ,∴120<+<b ,∴c a <10,又∵a>0,∴210a ac < 又∵10<<ac ,∴2101a <,∴1012<a ,∴10100<<a∴a 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010,0； 20．解：（I ）Θ三角形数表中前m 行共有12312++++=+…m m m ()个数， ∴第m 行最后一个数应当是所给奇数列中的第m m ()+12项。