2013年广东省初中数学竞赛初赛试题及答案
2013年全国高中数学联赛初赛广东省试题及答案
2013年高中数学联赛初赛广东省试题一、填空题（每小题8分，满分64分）1、已知sin cos ,cos sin 2αβαβ==，则22sin cos βα+=_______. 解：0或3.2已知两式平方相加，得2sin 0β=或21cos .4β=222sin cos 2sin βαβ+==0或3.22、不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集为_________. 解：(,1)(2,).-∞-⋃+∞原不等式等价于623(2)(2).x x x x +>+++ 设3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调增.所以，原不等式等价于22()(2)21 2.f x f x x x x x >+⇔>+⇔<->或3、已知错误！未找到引用源。
(错误！未找到引用源。
表示不超过x 的最大整数)，设方程12012{}2013x x -=的两个不同实数解为12,x x ，则2122013()x x ⨯+=__________. 解：2011-.由于1{}[0,1),(0,1)2013x ∈∈，所以112012(1,1).20122012x x ∈-⇒-<< 当102012x -<<时，原方程即21120121201320122013x x x -=+⇒=-； 当102012x ≤<时，原方程即2212012201312013x x x -=⇒=.4、在平面直角坐标系中，设点*(,)(,)A x y x y N ∈，一只虫子从原点O 出发，沿x 轴正方向或y 轴正方向爬行（该虫子只能在整点处改变爬行方向），到达终点A 的不同路线数目记为(,)f x y . 则(,2)f n =_______.解：1(1)(2).2n n ++ 111(1,2)323,(2,2)634,(3,2)104 5.222f f f ==⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯猜测1(,2)(1)(2)2f n n n =++，可归纳证明.5、将一只小球放入一个长方体容器内，且与共点的三个面相接触．若小球上一点P 到这三个面的距离分别为4、5、5，则这只小球的半径为___________.解：3或11.分别以三个面两两的交线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系.设点P 坐标为(4,5,5)，小球圆心O 坐标为(,,).r r r6、将20132012表示成两个*1()n n N n+∈型分数的乘积的不同方法数是________.（其中ab 与ba 是同一种表示方法）解：24.设,p q 是正整数，满足201311201220132012.20122012p q p p q q ++⨯=⋅⇒=+- 220122013231161503⨯=⨯⨯⨯⨯的正因数的个数为4(12)(11)48+⨯+=.注意到(,)()p q p q ≠与(,)q p 是相同的表示方法，故所求的方法数为24.7、设E 为正方形ABCD 边AB 的中点，分别在边AD 、BC 上任取两点P 、Q ，则∠PEQ 为锐角的概率为__________.解：3ln 4.4- 设正方形边长为1，,AP x BQ y ==.则1()()0.4EP EQ EA AP EB BQ EA EB AP BQ xy ⋅=+⋅+=⋅+⋅=-> 从而，14xy >. 又01,01x y <<<<. 故所求概率为两直线1,1x y ==及曲线14xy =所围成图形的面积与边长为1的正方形的面积之比，即1214313ln 41:1.4444x ⎛⎫⨯-=-⎪⎝⎭⎰8、已知实系数一元二次方程20ax bx c ++=有实根，则使得2222()()()a b b c c a ra -+-+-≥成立的正实数r 的最大值为____________.解：max 9.8r =不妨设1a =，方程20x bx c ++=的两实根为12,x x .由韦达定理，1212,.b x x c x x =--=222222()()()(1)()(1)a b b c c a b b c c ∴-+-+-=-+-+-22212121212(1)()(1)x x x x x x x x =++++++-2211222(1)(1)x x x x =++++2212131392[()][()].24248x x =++⋅++≥从而，98r ≤，当1212x x ==-时等号成立.二、解答题（第一道小题满分16分，后两道小题每题满分20分）9、已知数列{}n a 的各项均为正数，121,3a a ==，且对任意*n N ∈，都有2122n n n a a a ++=+．问：是否存在常数λ，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立？ 解：在2122n n n a a a ++=+中，令1n =，得37.a = 若存在常数λ使得21n n n a a a λ+++=，则1328.3a a a λλ+=⇒=∵2122n n n a a a ++=+，∴2*112(2,)n n n a a a n n N -+=+≥∈.∴222212111112n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++-++-++-=-⇒+=+.由于0n a >，上式两边同除以1n n a a +，得1121(2).n n n n n n a a a a n a a +-++++=≥所以，21113128.3n n n n n n a a a a a a a a a +-+++++====即存在常数83λ=，使得21n n n a a a λ+++=对任意*n N ∈都成立.34OM OA OB =+，点N 由34OM OA OB =+，得M点.所以，由椭圆定义有||||2 2.NCND +=11、已知*(,)m n m n N <∈，两个有限正整数集合,A B 满足：||||,||A B n A B m ==⋂=（这里用||X 表示集合X 的元素个数）.平面向量集{,}k u k A B ∈⋃满足1i j i Aj Bu u ∈∈==∑∑. 证明：22||.k k A B u m n ∈⋃≥+∑ 证明：不妨设{1,2,,},{1,2,,2}.A n B n m n m n m ==-+-+-令121221,n m n n n m a a a a a a -++-======== 12 4.n m n m n a a a -+-+====由柯西不等式，注意到212()42().n mii an m m n m -==-+=+∑从而，22212||||.n m k i k A Bi u u m n-∈⋃==≥+∑∑。
2002~2013年全国初中数学竞赛试题及答案(完整版)
2002年全国初中数学竞赛试题一、选择题1．设a ＜b ＜0，a 2＋b 2＝4ab ，则ba ba -+的值为【 】 A 、3 B 、6 C 、2 D 、32．已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca 的值为【 】A 、0B 、1C 、2D 、33．如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则ABCDAGCD S S 矩形四边形等于【 】A 、65 B 、54 C 、43 D 、32ABC DEF G4．设a 、b 、c 为实数，x ＝a 2－2b ＋3π，y ＝b 2－2c ＋3π，z ＝c 2－2a ＋3π，则x 、y 、z 中至少有一个值【 】A 、大于0B 、等于0C 、不大于0D 、小于0 5．设关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x 1、x 2，且x 1＜1＜x 2，那么a 的取值范围是【 】A 、72-＜a ＜52 B 、a ＞52 C 、a ＜72- D 、112-＜a ＜06．A 1A 2A 3…A 9是一个正九边形，A 1A 2＝a ，A 1A 3＝b ，则A 1A 5等于【 】 A 、22b a + B 、22b ab a ++ C 、()b a +21D 、a ＋b 二、填空题7．设x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x 1－2x 2)(x 2－2x 1)的最大值为 。
8．已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为 。
9．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝ 。
2013年全国初中数学竞赛试题(附详细答案)
2013年全国初中数学竞赛试题及参考答案一、选择题1．设非零实数a ，b ，c 满足2302340a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，，则222ab bc caa b c ++++的值为（ ）． （A ）12-（B ）0 （C ）12（D ）1【答案】A【解答】由已知得(234)(23)0a b c a b c a b c ++=++-++=，故2()0a b c ++=．于是2221()2ab bc ca a b c ++=-++，所以22212ab bc ca a b c ++=-++．2．已知a ，b ，c 是实常数，关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个非零实根1x ，2x ，则下列关于x 的一元二次方程中，以211x ，221x 为两个实根的是（ ）． （A ）2222(2)0c x b ac x a +-+= （B ）2222(2)0c x b ac x a --+= （C ）2222(2)0c x b ac x a +--= （D ）2222(2)0c x b ac x a ---=【答案】B【解答】由于20ax bx c ++=是关于x 的一元二次方程，则0a ≠．因为12bx x a+=-，12c x x a =，且120x x ≠，所以0c ≠，且 221212222221212()2112x x x x b a c x x x x c +--+==，22221211a x x c⋅=， 于是根据方程根与系数的关系，以211x ，221x 为两个实根的一元二次方程是222220b ac a x x c c--+=，即2222(2)0c x b ac x a --+=． 3．如图，在Rt △ABC 中，已知O 是斜边AB 的中点，CD ⊥AB ，垂足为D ，DE ⊥OC ，垂足为E ．若AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，则线段OD ，OE ，DE ，AC 的长度中，不一定．．．是有理数的为（ ）．（A ）OD （B ）OE （C ）DE（D ）AC（第3题）【答案】D【解答】因AD ，DB ，CD 的长度都是有理数，所以，OA ＝OB ＝OC ＝2AD BD+是有理数．于是，OD ＝OA －AD 是有理数．由Rt △DOE ∽Rt △COD ，知2OD OE OC=，·DC DO DE OC =都是有理数，而AC4．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4BC CF =，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）．（A ）3 （B ）4 （C ）6 （D ）8【答案】C【解答】因为DCFE 是平行四边形，所以DE //CF ，且EF //DC．连接CE ，因为DE //CF ，即DE //BF ，所以S △DEB = S △DEC ， 因此原来阴影部分的面积等于△ACE 的面积．连接AF ，因为EF //CD ，即EF //AC ，所以S △ACE = S △ACF ．因为4BC CF =，所以S △ABC = 4S △ACF ．故阴影部分的面积为6．5．对于任意实数x ，y ，z ，定义运算“*”为：()()32233333451160x y x y xy x y x y +++*=+++-，且()x y z x y z **=**，则2013201232****的值为（ ）．（A ）607967（B ）1821967（C ）5463967（D ）16389967【答案】C【解答】设201320124m ***=，则()20132012433m ****=*32323339274593316460m m m m m m ⨯+⨯+⨯+==++++-， 于是()201320123292****=*3223333923929245546310360967⨯⨯+⨯⨯+⨯+==+-．（第3题答题）（第4题答题）（第4题）二、填空题6．设a =b 是2a 的小数部分，则3(2)b +的值为 ． 【答案】9【解答】由于2123a a <<<<，故222b a =-=，因此33(2)9b +==． 7．如图，点D ，E 分别是△ABC 的边AC ，AB 上的点，直线BD 与CE 交于点F ，已知△CDF ，△BFE ，△BCF 的面积分别是3，4，5，则四边形AEFD 的面积是 ．【答案】20413【解答】如图，连接AF ，则有：45=3AEF AEF BFE BCF AFD AFD CDF S S S BF S S S FD S ∆∆∆∆∆∆∆++===，354AFD AFD CDF BCF AEF AEF BEF S S S CF S S S FE S ∆∆∆∆∆∆∆++====，解得10813AEF S ∆=，9613AFD S ∆=． 所以，四边形AEFD 的面积是20413． 8．已知正整数a ，b ，c 满足2220+--=a b c ，2380-+=a b c ，则abc 的最大值为 ．【答案】2013【解答】由已知2220+--=a b c ，2380-+=a b c 消去c ，并整理得()228666b a a -++=．由a 为正整数及26a a +≤66，可得1≤a ≤3．若1a =，则()2859b -=，无正整数解； 若2a =，则()2840b -=，无正整数解；若3a =，则()289b -=，于是可解得11=b ，5b =． （i ）若11b =，则61c =，从而可得311612013abc =⨯⨯=； （ii ）若5b =，则13c =，从而可得3513195abc =⨯⨯=． 综上知abc 的最大值为2013．（第7题答题）（第7题）9．实数a ，b ，c ，d 满足：一元二次方程20x cx d ++=的两根为a ，b ，一元二次方程20x ax b ++=的两根为c ，d ，则所有满足条件的数组()，，，a b c d 为 ．【答案】(1212)，，，--，(00)，，，-t t （t 为任意实数）【解答】由韦达定理得，，，．+=-⎧⎪=⎪⎨+=-⎪=⎪⎩a b c ab d c d a cd b由上式，可知b a c d =--=． 若0b d =≠，则1==d a b ，1==bc d，进而2b d a c ==--=-． 若0b d ==，则c a =-，有()(00)，，，，，，=-a b c d t t （t 为任意实数）． 经检验，数组(1212)--，，，与(00)，，，-t t （t 为任意实数）满足条件． 10．小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，圆珠笔每支售7元．开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元．则他至少卖出了 支圆珠笔．【答案】207【解答】设x ，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则472013350，，+=⎧⎨+<⎩x y x y所以201371(5032)44y y x y -+==-+， 于是14y +是整数．又20134()343503x y y y =++<⨯+， 所以204y >，故y 的最小值为207，此时141x =．三、解答题11．如图，抛物线y=23ax bx+-，顶点为E，该抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．直线113y x=-+与y轴交于点D．求∠DBC-∠CBE．【解答】将0x=分别代入y=113x-+，23y ax bx=+-知，D(0，1)，C(0，3-)，所以B(3，0)，A(1-，0)．直线y=113x-+过点B．将点C(0，3-)的坐标代入y=(1)(3)a x x+-，得1a=．抛物线223y x x=--的顶点为E(1，4-)．于是由勾股定理得BC＝CE BE＝因为BC2＋CE2＝BE2，所以，△BCE为直角三角形，90BCE∠=︒．因此tan CBE∠=CECB=13．又tan∠DBO=13ODOB=，则∠DBO＝CBE∠．所以，45DBC CBE DBC DBO OBC∠-∠=∠-∠=∠=︒．（第11题答题）（第11题）12．设△ABC 的外心，垂心分别为O H ，，若B C H O ，，，共圆，对于所有的△ABC ，求BAC ∠所有可能的度数．【解答】分三种情况讨论． （i ）若△ABC 为锐角三角形．因为1802BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=∠，，所以由BHC BOC ∠=∠，可得1802A A ︒-∠=∠，于是60A ∠=︒．（ii ）若△ABC 为钝角三角形．当90A ∠>︒时，因为()1802180BHC A BOC A ∠=︒-∠∠=︒-∠，，所以由180BHC BOC ∠+∠=︒，可得()3180180A ︒-∠=︒，于是120A ∠=︒。
广东省广州市白云区2013年八年级数学初赛试题 新人教版
2013年白云区八年级初二数学竞赛初赛试题（全卷共三大题，17小题，满分100分，时间60分钟，不得使用计算器）班级某某成绩一、选择题（10题，每题4分，共40分）1．在函数21yx=-中，自变量x的取值X围是( ＊ )A．1x-≥B．1x>-且12x≠C．1x≥-且12x≠D．1x-≥2．若x的相反数是3，y=5，则x+y的值为（＊）A. –8B. 2C. 8或–2D. –8或23．如果代数式-2+38a b+的值为18，那么代数式962b a-+的值等于（＊）A. 28 B . –28 C. 32 D. –324．已知函数25(1)my m x-=+是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是(＊) A．2 B．2-C．2±D．12-5．有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57名，仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为（＊）A. 129B. 120C. 108D. 966．现规定一种运算：a b ab a b*=+-，其中,a b为实数，则()a b b a b*+-*等于（＊）A. 2a b- B. 2b b- C. 2b D. 2b a-7．几位同学拍了一X合影做留念，已知冲一X底片需要0.8元，洗一X相片需要0.35元，在每位同学得到一X相片、共用一X底片的前提下，平均每人分摊的钱不足0.5元，那么参加合影的同学人数（＊）A. 至多6人B. 至少6人C. 至少5人D. 至多5人8．函数y ax a=-与ayx=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（＊）．xA ．B ．C ．D ．9．下列命题中的假命题是 (＊)A. △ABC 中，若∠A ＝∠C －∠B ，则△ABC 是直角三角形；B. △ABC 中，若222c b a =+，则△ABC 是直角三角形；C. △ABC 中，若∠A 、∠B 、∠C 的度数比是5︰2︰3，则△ABC 是直角三角形；D. 在△ABC 中，若三边长a ：b ：c ＝2：2：3，则△ABC 是直角三角形.10．如图1所示，点P 是AB 上任意一点，ABC ABD ∠=∠，还应补充一个条件，才能推出APC APD ∆≅∆，从下列条件中补充一个条件，不一定能推出APC APD ∆≅∆的是（＊）A. BC = BDB. AC = ADC. ACB ADB ∠=∠D.CAB DAB ∠=∠二、填空题（5题，每题6分，共30分）11．有一组数：1,2,5,10,17,26，……,请你观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ＊ ．12．已知113x y -=，则代数式21422x xy y x xy y----的值为 ＊ ． 13、如图2，在ABC ∆中，90,50,30,ACB AB cm BC cm CD AB ∠=︒==⊥于D ，则 CD= ＊ ．BCD P A 图1 B D AC图214．已知：244x x -+与 |1y -| 互为相反数，则式子()x y x y y x ⎛⎫-÷+ ⎪⎝⎭的值等于．15．如图，一次函数y =kx +b 与反比例函数ay x=（x >0） 的图象交于A (1,6)、B （2，3)两点。
初中数学竞赛试题及答案解析
初中数学竞赛试题二、填空题1、 41-的负倒数与4-的倒数之和等于 . 2、 甲、乙、丙、丁四个数之和等于90-.甲数减4-,乙数加4-,丙数乘4-,丁数除以4-彼此相等.则四个数中的最大的一个数比最小的一个数大 .3、 已知a 1999=,则=-+---+-200133314232323a a a a a a .4、 填数计算:〇中填入的最小的自然数.△中填入最小的非负数.□中填入不小于5-且小于3的整数的个数.将下式的计算结果写在等号右边的横线上.(〇+□)⨯△= .5、 从集合}5,4,1,2,3{---中取出三个不同的数,可能得到的最大乘积填在□中,可能得到的最小乘积填在〇中,并将下式计算的结果写在等号右边的横线上.-(-□)÷〇= .6、 计算:=------------)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1 . 7、 x 是有理数,则22195221100++-x x 的最小值是 . 8、 如图,C 是线段AB 的中点,D 是线段AC 的中点.已知图中所有线段的长度之和为23,则线段AC 的长度为.9、 在1000到5000之间同时被24,36,30整除的最小整数是_________,最大整数是__________.10、 一个有理数的倒数的相反数的3倍是31,那么这个有理数是 . 11、 一个有理数的二次幂大于这个有理数,那么这样的有理数的取值范围是 .12、 若8919+=+=+c b a ,则=-+-+-222)()()(a c c b b a .13、 a 1的倒数是51-,那么=a _____. 14、 小丽写出三个有理数,其中每两个有理数的平均值分别是326,217,7,那么这三个有理数的平均值是 .15、 计算:=--+-)36173)(72.0()722(125.11.16、 m ，y 互为相反数,n 和y 互为倒数,则5)(y my n -的值是_____.17、 已知1171=x ,则3)114(3)711)(1(2++--x x x 的值是 . 18、 已知52,32<-<-b a a b .则化简98272-+++-----b a a b a b 所得的结果是 .19、 m ,n 是正整数,mn =120,则m +n 可能取到的最小值是_____.20、 若a=1997,则7122----+a a a a 的值是 .21、 若x = -0.239,则199********-------++-+-x x x x x x 的值等于_____.参考答案二、填空题1、 417- 解：41-的负倒数为411--,4-的倒数为41-, 二者之和为:411--+41-417414-=--=.2、 204解：设等数为a ,则 90)4()4()]4([)]4([-=-⨯+-+--+-+a a a a 即90412-=-a ,∴ a =40, 因此,甲数为36,乙数为44,丙数为-10,丁数为-160,其中,最大数-最小数=44-(-160)=204.3、 4000000 解：当a 1999=时,142314232323-+-=-+-a a a a a a=-+-200133323a a a 200133323-+-a a a ,所以,原式=142323-+-a a a )2001333(23-+--a a a2000200019992000)1(20002+⨯=++=++=a a a a400000020002000=⨯=.4、 0解：〇中填1,△中0,□填8. []⎣⎦⎡⎤00)81(=⨯+.5、 ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷-- 解：由-3,-2,-1,4,5中任取三个相乘可得10种不同的乘积,它们是:124)1)(3(,205)2)(3(,244)2)(3(,6)1)(2)(3(=⋅--=⋅--=⋅--=---,105)1)(2(,84)1)(2(,6054)3(,155)1)(3(=⋅--=⋅---=⋅⋅-=⋅--,2054)1(,4054)2(-=⋅⋅--=⋅⋅-,最大乘积是30,最小的乘积是-60.∴ ⎣⎦⎡⎤2160)30(-=÷--.6、 137 解：)4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1------------ )4151()3141()2131(1)]4151([)]3141([)]2131([1---------------= )4151()3141()2131(1)4151()3141()2131(1-------+-+-+= 41513141213114151314121311+-+-+--+-+-+= 13710131075121151211==-++-=.7、 1715 解：一般解法是分三种情况讨论:（1）当22195-<x 时 ,,（2）当22110022195≤≤-x 时 ,,（3）当221100>x 时 ,.综合（1）,（2）,（3）可得,最小值是1715.最简单的解法是:根据绝对值的几何意义,22195221100++-x x 表示数轴上x 对应的点P 到22195-对应的点A 和221100对应的点B 的距离之和,易知当P 在线段AB 上时,P A +PB 最小值为2211001715)22195(=--.8、 1373 解：设线段AC 的长度为x ,则AD =2x ,则AB =2x ,DC =2x ,DB =x 23,CB =x ,所以 232321221=+++++x x x x x x ,即23213=x .∴13731346==x .即AB 长度为1373.9、 4680解：24,30,36三个数的最小公倍数是360,10803360=⨯,∴大于10000且能被24,30,36整除的最小整数是1080,又36010805000⋅+>n ,其中n 为自然数,解得9810<n .∴取10=n ,得4680360101080=⋅+.∴具有这种性质的最大整数是4680.10、 -9解：利用还原算法:某数a 的3倍是31,显然91=a ,而91应是一个有理数倒数的相反数,所以这个有理数的倒数为91-,故这个有理数是-9.11、 大于1的有理数和负有理数解：画出数轴如图.大于1的有理数的二次幂大于它自身；1的二次幂等于1;大于0且小于1的有理数的二次幂小于它本身;0的二次幂是0；负有理数的二次幂是正数,大于它自身.综上可知,二次幂大于其自身的有理数的范围,是大于1的有理数和负有理数.12、 222解：由8919+=+=+c b a 得:11,1,10=--=--=-a c c b b a .∴+-+-22)()(c b b a =-2)(a c 222121110011)1()10(222=++=+-+-.13、 51- 解：a 1的倒数是51-,那么a 1=-5,51-=a .14、 1817 解：设小丽写出的三个有理数为x ,y ,z ,则3262,2172,72=+=+=+z y z x y x , 所以15,340,14=+=+=+x z z y y x ,三式相加,3127)(2=++z y x , 则1817181273==++z y x .15、 -14 解：因为2179167212518511.125(2)(0.72)(3)73687100367214-+--=-+=-+=-. 所以原分式的值为-14.16、 0解：由m 和y 互为相反数,知m = -y ,由n 和y 互为倒数,知道0,0≠≠y n 且yn 1= ∴0=-=-y y y y y m y n ,故5)(ym y n -=0. ∴17、 38 解：由1171=x ，可知2114,1171=+=-x x ，所以原式= 37772(1117)322113838111111-+=+=.18、 -6解：由32<-a b ,得03272<--<--a b a b .由52<-b a ,得052>+-a b ,得 05282>+->+-a b a b .而853)2()2(=+<-+-=+b a a b a b . 089<-+<-+∴a b b a98272-+++-----b a a b a b9)()82()72(-+-+----=b a a b a b987+--=6-=.19、 22解：由222)(1204)(4)(n m n m mn n m -+⋅=-+=+当2)(n m -愈小时,2)(n m +越小,从而m +n 也愈小,m 、n 为120的约数,且n m -要最小,由53222120⋅⋅⋅⋅==mn所以,当m =12,n =10时,m +n =22为最小值.20、 4000解：当a =1997时,0719971997,011997199722>-->-+7122----+a a a a)7()1(22----+=a a a a7122++--+=a a a a62+=a4000619972=+⋅=.21、 999解：由b a x <≤,可得a b a x b x -=---,则原式)19961997()23()1(---++---+--=x x x x x x)19961997()23()01(-++-+-=个99921998111=÷+++= 999=.。
初中数学竞赛初赛(市级选拔)试题(含解答)-
初中数学竞赛初赛(市级选拔)试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1．要使方程组⎩⎨⎧=+=+23223y x a y x 的解是一对异号的数，则a 的取值范围是（ ）（A ）334<<a （B ）34<a （C ）3>a （D ）343<>a a 或 2．一块含有︒30角的直角三角形（如图），它的斜边AB ＝8cm, 里面空 心DEF ∆的各边与ABC ∆的对应边平行，且各对应边的距离都是1cm,那么DEF ∆的周长是（ ）(A)5cm (B)6cm (C) cm )(36- (D) cm )(33+3．将长为15cm 的木棒截成长度为整数的三段，使它们构成一个三角形的三边，则不同的截法有( )(A)5种 (B) 6种 (C)7种 (D)8种4．作抛物线A 关于x 轴对称的抛物线B ，再将抛物线B 向左平移2个单位，向上平移1个单位，得到的抛物线C 的函数解析式是1122-+=)x (y ，则抛物线A 所对应的函数表达式是 ( )(A)2322-+-=)x (y (B) 2322++-=)x (y(C) 2122---=)x (y (D) 2322++-=)x (y5．书架上有两套同样的教材，每套分上、下两册，在这四册教材中随机抽取两册，恰好组成一套教材的概率是( )(A)32 (B) 31 (C) 21 (D) 61 6．如图，一枚棋子放在七边形ABCDEFG 的顶点处，现顺时针方向移动这枚棋子10次，移动规则是：第k 次依次移动k 个顶点。
如第一次移动1个顶点，棋子停在顶点B 处，第二次移动2个顶点，棋子停在顶点D 。
依这样的规则，在这10次移动的过程中，棋子不可能分为两停到的顶点是( )(A)C,E,F (B)C,E,G (C)C,E (D)E,F.7．一元二次方程)a (c bx ax 002≠=++中，若b ,a 都是偶数，C 是奇数，则这个方程( )(A)有整数根 (B)没有整数根 (C)没有有理数根 (D)没有实数根8．如图所示的阴影部分由方格纸上3个小方格组成，我们称这样的图案为L 形，那么在由54⨯ 个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是( )(A)16 (B) 32 (C) 48 (D) 64二、填空题：(共有6个小题，每小题5分，满分30分)9．已知直角三角形的两直角边长分别为3cm,4cm ，那么以两直角边为直径的两圆公共弦的长为 cm.10．将一组数据按由小到大(或由大到小)的顺序排列，处于最中间位置的数(当数据的个数是奇数时)，或最中间两个数据的平均数(当数据的个数是偶数时)叫做这组数据的中位数，现有一组数据共100个数，其中有15个数在中位数和平均数之间，如果这组数据的中位数和平均数都不在这100个数中，那么这组数据中小于平均数的数据占这100个数据的百分比是11.ABC ∆中，c ,b ,a 分别是C ,B ,A ∠∠∠的对边，已知232310-=+==C ,b ,a ，则C sin c B sin b +的值是等于 。
2013年全国数学竞赛试题详细参考答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会“《数学周报》杯”2013年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444y x+的值为（ ）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得212184x ==，21122y --+==， 所以444y x +=22233y x ++- 2226y x=-+=7． 另解：由已知得：2222222()()30()30x x y y ⎧-+--=⎪⎨⎪+-=⎩，显然222y x -≠，以222,y x -为根的一元二次方程为230t t +-=，所以 222222()1,()3y y x x-+=--⨯=- 故444y x +＝22222222[()]2()(1)2(3)7y y x x-+-⨯-⨯=--⨯-= 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（ ）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736（D ）12【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知∆＝24m n -＞0，即2m ＞4n .通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故1736P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点（第3题）E可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条 （B ） 8条 （C ）10条 （D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条．4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（ ）．（A）2 （B ）1 （C ）2（D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ． 设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=︒-=∠．又因为()1160180222ABO ABD α∠=∠=︒+︒-120α=︒-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==． 另解：如图，作直径EF ，连结AF ，以点B 为圆心，AB 作⊙B ，因为AB ＝BC ＝BD ，则点A ，C ，D 都在⊙B 上，由11603022F EDA CBA ∠=∠=∠=⨯︒=︒所以2301AE EF sim F sim =⨯∠=⨯︒=5．将1，2，3，4，5三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有（ ）．（A ）2种 （B ）3种 （C ）4种 （D ）5种 【答】（D ）解：设12345a a a a a ，，，，是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列．首先，对于1234a a a a ，，，，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，（第4题）（第8题）与已知条件矛盾．又如果i a （1≤i ≤3）是偶数，1i a +是奇数，则2i a +是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．所以12345a a a a a ，，，，只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6．对于实数u ，v ，定义一种运算“*”为：u v uv v *=+．若关于x 的方程1()4x a x **=-有两个不同的实数根，则满足条件的实数a 的取值范围是 ．【答】0a >，或1a <-．解：由1()4x a x **=-，得21(1)(1)04a x a x ++++=，依题意有 210(1)(1)0a a a +≠⎧⎨∆=+-+>⎩，， 解得，0a >，或1a <-．7．小王沿街匀速行走，发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车，每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车．假设每辆18路公交车行驶速度相同，而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车，那么发车间隔的时间是 分钟．【答】4．解：设18路公交车的速度是x 米/分，小王行走的速度是y 米/分，同向行驶的相邻两车的间距为s 米．每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 s y x =-66． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则s y x =+33． ② 由①，②可得 x s 4=，所以4=xs． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟．8．如图，在△ABC 中，AB =7，AC =11，点M 是BC 的中点， AD 是∠BAC 的平分线，MF ∥AD ，则FC 的长为 ． 【答】9．解：如图，设点N 是AC 的中点，连接MN ，则MN ∥AB ． 又//MF AD ，所以 FMN BAD DAC MFN ∠=∠=∠=∠，（第9题答案）D 所以 12FN MN AB ==． 因此 1122FC FN NC AB AC =+=+=9．另解：如图，过点C 作AD 的平行线交BA 的延长线为E ，延长MF AE 于点N.则E BAD DAC ACE ∠=∠=∠=∠所以11AE AC ==. 又//FN CE ，所以四边形CENF 是等腰梯形， 即11(711)922CF EN BE ===⨯+=9．△ABC 中，AB ＝7，BC ＝8，CA ＝9，过△ABC 的内切圆圆心I 作DE ∥BC ，分别与AB ，AC 相交于点D ，E ，则DE 的长为 ．【答】163． 解：如图，设△ABC 的三边长为a ，b ，c ，内切圆I 的半径为r ， BC 边上的高为a h ，则11()22a ABC ah S abc r ==++△， 所以a r ah a b c=++． 因为△ADE ∽△ABC ，所以它们对应线段成比例，因此a a h r DEh BC-=， 所以 (1)(1)a a a h r r aDE a a a h h a b c-=⋅=-=-++()a b c a b c +=++， 故 879168793DE ⨯+==++（）．另解： ABC S rp∆===（这里2a bcp ++=）所以12r == 2ABC a S ha ===△由△ADE ∽△ABC，得23a a h r DE BC h -===，即21633DE BC === 10．关于x ，y 的方程22208()x y x y +=-的所有正整数解为 ．【答】481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，， 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x ，y 都是偶数．设2,2x a y b ==，则22104()a b a b +=-，同上可知，a ，b 都是偶数．设2,2a c b d ==，则2252()c d c d +=-，所以，c ，d 都是偶数．设2,2c s d t ==，则2226()s t s t +=-，于是 22(13)(13)s t -++＝2213⨯， 其中s ，t 都是偶数．所以222(13)213(13)s t -=⨯-+≤2222131511⨯-<．所以13s -可能为1，3，5，7，9，进而2(13)t +为337，329，313，289，257，故只能是2(13)t +＝289，从而13s -＝7．于是62044s s t t ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，；，因此 481603232.x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩，，，另解：因为222(104)(104)210421632x y -++=⨯= 则有2(104)21632,y +≤ 又y 正整数，所以 143y ≤≤令22|104|,|104|,21632a x b y a b =-=++= 则 因为任何完全平方数的个位数为：1，4，5，6，9由2221632a b +=知22,a b 的个位数只能是1和1或6和6；当22,a b 的个位数是1和1时，则,a b 的个位数字可以为1或9但个位数为1和9的数的平方数的十位数字为偶数，与22a b +的十位数字为3矛盾。
全国数学竞赛2013年初中数学联赛广东分赛区初赛试卷
全国数学竞赛2013年初中数学联赛广东分赛区初赛试卷2013年全国初中数学联赛初赛试卷（广州市）时间：2013年3月7日一、选择题（7×4=28分） 1、下列计算准确的是 A 、23622aa a= B 、3629(3)a a= C 、623aa a÷= D 、362()a a--=2、曾两度获得若贝尔（物理、化学）的居里夫人发现了镭这种放射性元素。
已知1kg 镭完全衰变后，放出的热量相当于375000kg 煤燃烧放出的热量。
估计地壳内含有100亿kg 镭，这些镭完全衰变后放出的热量相当于 kg 煤燃烧所放出的热量。
A 、133.7510B 、143.7510C 、153.7510D 、163.75103、直线y=2x －5与2(4)3y x m m =++-（m 为任意实数）的交点不可能在 A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 4、实数b 满足b＜3 ，并且有实数a 使a ＜b 恒成立，则a 的取值范围是A 、小于或等于3的实数B 、小于3的实数C 、小于或等于－3的实数D 、小于－3的实数5、一块手表每小时比准确时间慢3分钟，若在清晨4：:30时与准确时间对准，则当天上午该手表时间是10:50时，准确时间应该是A 、 11：10B 、11:09C 、 11:08D 、 11:076、若直角三角形的斜边长为c ，内切圆半径r ，则内切圆的面积与三角形的面积之比是A 、2rc rπ+ B 、rc rπ+ C 、2rc rπ+ D 、22rcrπ+7、我们将1×2×3×…n 记作n ！(读作n 的阶乘)，如：2！=1×2, 3！=1×2×3, 4！=1×2×3×4，若设S=1×1!+2×2!+3×3!+……+2013×2013！，则S 除以2014的余数是A 、0 B 、1 C 、1007 D 、2013 二、填空题（7×4=28分）8、函数2y x =+ 的自变量x 的取值范围是9、设12,x x 是方程20x k x ++= 的两个实数根，若恰好2211222k x x x x ++= 成立，则k 的值等于10、已知二函数2y bx c x =++ 的图象上有三个点（－1，1y ），（1，2y ）（3，3y ）。
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2013年广东省初中数学竞赛初赛试题（考试时间：2013年3月3日上午9:30—10:30）说明：1.本卷考试时间为60分钟，共30小题，每小题4分，满分120分。
以下每题均给出了代号为A, B, C, D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入答题栏里。
不填、多填或错填都得0分。
2. 答卷前，考生必须将自己的姓名、考号、学校要求填写在密封线左边的空格内。
3. 答题可用黑色或蓝色钢笔、 圆珠笔按各题要求答在试卷上， 但不能用铅笔或红笔，解答书写时不要超过装订线。
4. 考试结束时，将试卷交回，草稿纸不用上交。
1、已知ca 、、b 都是实数，并且＞b＞c a ，那么下列式子中，正确的是（ ） A ．＞bc ab Ｂ．c ＞b ++b a Ｃ．ｂ－ｃ＞b a - Ｄ．cb＞c a 2、化简aba b a +-222的结果为（ ）。
Ａ．ab - Ｂ．a ba - Ｃ．ab a + Ｄ．b -3、下列函数中，自变量x 的取值范围是﹥2x 的函数是（ ）A ．2-=x y Ｂ．21-=x y Ｃ．12-=x y Ｄ．121-=x y 4、若一次函数b kx y +=的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的正半轴相交，那么k 和b 的符号判断正确的是（ ）。
A ．k ＞0, b ＞0B ．k ＞0.b ＜0C ．k ＜0,b ＞0D ．k ＜0,b ＜0５、由于干旱，某水库的蓄水量随时间的增加而直线下降。
若该水库的蓄水量V （万米3）与干旱的时间t （天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）。
A.干旱开始后，蓄水量每天减少２０万米３B.干旱开始后，蓄水量每天增加２０万米３C.干旱开始时，蓄水量为２００万米３D.干旱第５０天时，蓄水量为1２００万米３题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 B B B C A D D C D D A A B B C 题号 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 答案 D A C B D D B C B D D C D C D第8题DCBA第12题D C B A6、把1枚质地均匀的普通硬币重复掷两次，落地后两次都在正面朝上的概率是（ ）。
A ．１ Ｂ．21 Ｃ．31 Ｄ．41７、关于x 的方程02)2(2=++-x a ax 只有一解（相同解算一解），则a 的值为（ ）。
A ．0=a Ｂ．2=a Ｃ．1=a Ｄ． 20==a a 或 8、如图，已知AB=AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）。
A ．ＣＢ＝ＣＤB ．∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＣ Ｃ．∠ＢＣＡ＝∠ＤＣＡ Ｄ．∠Ｂ＝∠Ｄ＝９０º 9、二次函数 cbx ax y ++=2的图像如图所示，则下列关系中错误的是（ ）。
A ．a ＜0 B ．c ＞0 Ｃ．ac b 42-0> Ｄ．＞0c b a++10、如图，把直线x y 2-=向上平移后得到直线ＡＢ，直线ＡＢ经过点（a,b),且2a+b=6,则直线AB的解析式是（ ）。
A 、32--=x y Ｂ．62--=x y Ｃ．32+-=x y Ｄ． 62+-=x y 11、某天小明骑自行车上学，途中因自行车故障，修车耽误了一段时间后继续骑行按时赶到了学校。
如图描述了他上学的情景，下列说法错误的是（ ）。
Ａ．修车时间为１５分钟Ｂ．学校离家的距离为２０００米 Ｃ．到达学校时共用时间２０分钟Ｄ．自行车发生故障时离家为１０００米12、如图，等腰梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝a,∠B=60º,则BC 的长为（ ）。
A ．２aB ．3a Ｃ．4a D ．a 213、不透明的盒子中装有8个白球，若干个颜色黄球，它们除颜色不同外，其余均相同。
若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为32，则黄球的个数为（ ）。
A ．２ Ｂ．４ Ｃ．１２ Ｄ．１第15题PF ED CBA第17题E DCB A第18题C BAo第19题123O E D C BA第21题EDCBA第22题GFDCBA14、若a,b,c 均为整数且满足1)()(1010=-+-c a b a ，则=-+-+-a c c b b a （ ）A ．1 B.2 C.3 D.415、如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线 EF 上的一点P ，若EF=3，则梯形ABCD 的周长为（ ） 。
A.9 B.10.5 C.12 D.15 16、如图，直线b kx y +=经过A(—2，—1)和B （—3,0）两点， 利用函数图象判断不等式b kx x+<1的解集为（ ）。
A.21332133+->--<x x 或 B.253253+-<<--x C.21332133+-<<--x D.0253-253<<+--<x x 或 17、如图， ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AE=EB=EC=a,且a 是一元一次方程0322=-+x x 的根，则 ABCD 的周长为（ ）. A.224+ B. C.222+ D. 222+或2612+18、如图，在以O 为2612+圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 于小圆 相切于点C ，若AB 的长为8cm ，则图中的影部分的面积为（ ）cm 2 A..π12 B.π14 C.π16 D.π18 19、如图，21//l l ，∠1=120°，∠2=100°，则∠3=（ ）。
A ．20° B.40° C.50° D.60°20、如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，D 是BC 的中点， DE ⊥AC 于E,连接AD ，则下列结论正确的个数是（ ）。
①AD ⊥BC; ②∠EDA=∠B; ③OA=21AC; ④DE 是⊙O 的切线。
A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 21、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形 内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则sin ∠CBE=﹙ ﹚。
A.36 B. 32 C. 31 D. 1010 22、 矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2。
将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积 为（ ）A ．8B ．211C ．4D ．25第26题F E D C B A第27题O N M D C B A23、已知实数x ，y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+11933y x y x ，则=+22y x ( )。
A ．10B ．19C ．13D ．124、现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10﹪或20﹪，若干后天，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r ，则r 的最小值为（ ）。
A ．389⎪⎭⎫⎝⎛ B ．489⎪⎭⎫ ⎝⎛ C ．589⎪⎭⎫ ⎝⎛ D ．8925、如图，已知AB 为⊙Ο的直径，C 为⊙Ο上一点，CD ⊥AB 于D 。
AD=9、BD=4，以C 为圆心，CD 为半径的圆与⊙Ο相交于P 、Q 两点，弦PQ 交CD 于E 。
则PE ·EQ 的值是（ ）。
A ．24 B ．9 C. ．36 D ．2726、如图，设AD,BE,CF 为三角形ABC 的三条高，若AB=6，BC=5，EF=3,则线段BE 的长为（ ）。
A ．518 B ．4 C ．521 D ．52427、如图，正方形ABCD 的边长为1，M,N 为BD 所在直线上的两点，且AM=5，∠MAN=135︒,则四边形AMCN 的面积为（ ）。
A ．1 B ．2 C ．25D ．0.5 28、已知a ，b 是正整数，且满足2（ba 1515+）是整数，则这样的有序数对（a ,b ）共有（ ）。
A ．1对 B ．3对 C ．5对 D ． 7对29、将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球。
按这种要求摆放，最多可以摆放（ ）个球。
A ．10 B ．5 C ．15 D ．730、依次将正整数1,2,3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2013个位置的数字是（ ）。
A ．1B ．2C ．3D ．42013年广东省初中数学竞赛初赛试题参考答案。