第九章常微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
第九章 常微方程数值解法
第8章 序
许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动， 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析， 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振 动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的 工程问题中的电路分析等， 初值问题。 初值问题。 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：
⇒ y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法
(8 - 4)
8-10
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续5） 公式的推导
上对y )=f 四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y′(x)=f (x,y(x)) 积分 利用数值积分公式：
x0 < x1 < L < xn < L
（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。 相 邻两点间的距离h 称为步长， 邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数 h, 则称为定步长，否则为变步长。( x, y ( x)) 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 8-5 第9章 常微分方程数值解法 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。
⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + E ( xn , h) ⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
高等数学：第九章 常微分方程1-2
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
15
5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,
数值分析第9章常微分方程数值解法
只要f (x, y)在a,b R1上连续, 且关于 y 满足
Lipschitz 条件，即存在与 x, y无关的常数 L 使 | f (x, y1) f (x, y2 ) | L | y1 y2 |
常微分方程的数值解法分为 （1）初值问题的数值解法 （2）边值问题的数值解法
一、初值问题的数值解法
1、一阶常微分方程初值问题的一般形式
y f (x, y), a x b
y(a)
y0
(1)
2. 迭代格式的构造
(1) 构造思想：将连续的微分方程及初值条件离散为线性方程 组加以求解。由于离散化的出发点不同，产生出各种不同的数 值方法。基本方法有：有限差分法（数值微分）、有限体积法 （数值积分）、有限元法（函数插值）等等。
y( x1 ) h
y( x0 )
y( x ) y h f ( x , y( x ))
1
0
1
1
x0
x1
yi1 yi hf xi1, yi1 i 0, n 1
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接 得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者 称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。
y 2xy2 （0 x 1.2）
y
0
1
取步长 h 0.1。
解: 应用Euler公式于题给初值问题的具体形式为：
yi1 yi 2hxi yi2 i 0,1,...,11
y
0
1
其中 xi 0.1i。 计算结果列于下表：
数值分析 第9章 常微分方程初值问题数值解法
9 .2 .2 梯形方法/* trapezoid formula */— 显、隐式两种算法的平均 为得到比欧拉法精度高的计算公式, 在等式( 2.4) 右端积分 中若用梯形求积公式近似, 并用yn 代替y ( xn ) , yn+1 代替y ( xn+1 ) ,则得
h yn 1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )], 2
yn 1 yn f ( xn , yn ), xn 1 xn
即 yn+1 = yn + hf ( xn , yn ) . ( 2 .1)
这就是著名的欧拉( Euler ) 公式.
• 若初值y0 已知, 则依公式( 2.1)可逐步算出
• y1 = y0 + hf ( x0 , y0 ) ,
为了分析迭代过程的收敛性, 将( 2. 7) 式与(2. 8 )式相减, 得
h ( k 1) (k ) yn 1 yn [ f ( x , y ) f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 n 1 )] 2
于是有
| yn 1 y
( k 1) n 1
hL (k ) | | yn 1 yn 1 |, 2
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, y1, y2 R,
定理1 设f在区域Ｄ＝{(x,y)|a≤x ≤b,y∈R}上连续， 关于y满足利普希茨条件，则对任意x0 ∈[a,b], y0 ∈R，常微分方程初值问题(1.1)式和(1.２)式当x ∈[a,b]时存在唯一的连续可微解y(x). 定理２ 设f在区域Ｄ上连续，且关于y满足利 普希茨条件，设初值问题
1 2 1 2 dy x ydy xdx y x c 2 2 dx y y (0) 2 y2 x2 4
高等数学：第九章 常微分方程3-4
y3 2
x
0 (x y2 )dx 2
x ( 1 x3 1 x2 x 2)dx
06
2
1 x4 1 x3 1 x2 x 1 x 1 24 6 2
求初值问题
y' x y
y(0)
2
的皮卡序列及其极限。
解：等价的积分方程为
x
y 2 (x y)dx
0
y1
21！x 2
1x 1!
2. 初值问题
y' f (x, y)
y(x0 )
y0
,
与积分方程
x
y y0 x0 f (x, y)dx,
等价。
y' f (x, y)
y(x0 )
y0
,
x
y y0 x0 f (x, y)dx,
由
y' f (x, y) y(x0 ) y0
,
两边积分得 x y' dx
f (x, y) |, (x, y) R}
(1)作皮卡序列.
x
y y0 x0 f (x, y)dx,
将
x
y1(x) y0 x0 f (x, y0 )dx,
代入积分方程，得
x [x0 h, x0 h]
x
y2 (x) y0 x0 f (x, y1(x))dx,
估计 | y2 (x) y0 | 后发现
(x0 , y0 )
更大范围的积分曲线. O x1
x0 a
x2 x
x0 a
注意
b.由皮卡序列可找到 y=y(x) 的一串近似解。
c.若 f(x,y) 在区域 D 上连续，但不满足李氏 条件，这时过 D 内任一点，微分方程仍然 有解，但解可能不唯一。
《高等数学》各章知识点总结——第9章
《高等数学》各章知识点总结——第9章第9章是《高等数学》中的微分方程章节。
微分方程是研究函数与其导数之间的关系的一门数学学科，是应用数学的基础。
本章主要介绍了常微分方程的基本概念和解法，包括一阶和二阶常微分方程的解法、线性常微分方程、齐次线性常微分方程和非齐次线性常微分方程等。
本章的主要内容如下：1.一阶常微分方程的解法：-可分离变量法：将方程两边进行变量分离，然后分别对两边积分得到解。
-齐次方程法：通过对方程的两边同时除以y的幂次，转化为可分离变量的形式。
- 线性方程法：将方程整理为dy/dx + P(x)y = Q(x)的形式，然后通过积分因子法求解。
2.二阶常微分方程的解法：- 齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = 0的形式，然后通过特征方程求解。
- 非齐次线性方程法：将方程整理为d²y/dx² + P(x)dy/dx + Q(x)y = f(x)的形式，然后通过待定系数法求解。
3.线性常微分方程：-线性方程的定义和性质：线性方程是指非齐次线性方程，具有叠加和齐次性质。
-齐次线性方程的通解：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
-非齐次线性方程的通解：通过齐次线性方程的通解和非齐次线性方程的一个特解求得非齐次线性方程的通解。
4.齐次线性微分方程：-齐次线性方程的定义和性质：齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)为零的情况。
-齐次线性方程的解法：通过特征方程求解齐次线性方程，得到通解。
5.非齐次线性微分方程：-非齐次线性方程的定义和性质：非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)不为零的情况。
-非齐次线性方程的解法：通过待定系数法求解非齐次线性方程。
6.可降次的非齐次线性微分方程：-可降次的非齐次线性方程的定义和性质：可降次的非齐次线性方程是指非齐次线性方程中f(x)可以表示为x的多项式乘以y(x)的幂函数的形式。
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第九章 常微分方程微分方程是含有未知函数导数或微分的等式。
是描述客观事物的数量关系的一种重要数学模型。
本章重点研究常见的微分方程的解法，并通过实际问题探讨建立微分方程数学模型的思想方法。
实际用⇒转化微分方程⇒求解验证解是否符合实际问题§1 常数分方程的基本概念及分离变量法一、微分方程的基本概念1．微分方程：含有未知函数或微分的方程如：2,(())y x y y x '==其中 ① 一阶微分方程22,(())d sg S s t dt== ② 二阶微分方程2(1)0x dy dx +-= ③ 一阶微分方程 324sin x y x y y x ''''''+-⨯= ④ 三阶微分方程一般的：()()(1)(,,,,)0(,,,,)n n n F x y y y y y f x y y y -''''==或称为n 阶微分方程 2．常微分方程：未知函数为一元函数的方程，如上例均是常微分方程。
3．微分方程的阶：含有未知函数导数的最高阶数，称为该微分方程的阶。
如①、③为一阶、②为二阶、④为三阶微分方程 4．线性微分方程：各阶导数及未知函数都是一次的微方程如①、②、③、④均是线性。
而22()sin y y y x '''-+=为非线性微分方程5．常系数线性微分方程：线性方程中，未知函数及各阶导的系数均为常数如①、②、③是常系数 ③211y x '⇔=+ 6．微分方程的解：若()y y x =满足方程()(,,,,)0n F x y y y '= 即(),(),(),,()0n F x y x y x y x '⎡⎤=⎣⎦则称()y y x =是方程的解。
如：2y x =是 2y x '=的解 而2()y x c C R =+∈是2y x '=的任意解 通解：含有任意常数的解，且任意常数相互独立、个数等于阶数。
如 2y x c =+是2y x '=的通解212x x y c e e -=+是20y y y '''+-=的通解12(,)c c 是相互独立的任意常数特解：不含任意常数的解如 21y x =+是2y x '=的一个特解(1)c =2x x y e e -=+是20y y y '''+-=的一个特解12(1)c c == 解的几何意义：通解：一族积分曲线，称为积分曲线 特解：一条曲线 7．初始条件：确定任意常数的条件 通常：一阶方程，初始条件0x x yy ==二阶方程，初始条件0000x x x x y x y y ==⎧=⎪⎨''=⎪⎩如： 求解120x dyxdx y =⎧=⎪⎨⎪=⎩———— 称为初值问题解： 通解：2y x c =+，特解：代入101x yc ==⇒=-21y x ∴=- 为初值的解例1 验证：222112(,)x x y c e c e c c -=+任意常数是微分方程40y y ''-=的通解，并求满足0,1x x yy =='=的特解解：（1）2222121222,44x x x x y c e c e y c e c e --'''=-=+2212x x y c e c e -∴=+是方程的解又 12,c c 是两个相互独立（无关）的任意常数， ∴是方程的通解 （2）由00,1x x yy =='==得12120221c c c c +=⎧⎨-=⎩ 解得1211,44c c ==- ∴ 初始条件特解221()4x x y e e -=-Def ：（线性相关，线性无关）设函数12(),()y x y x 是定义在区间(,)a b 内的函数，若∃12,k k 不全为零，对(,)x a b ∀∈， 都有：1122()()0.k y x k y x += 则称12(),()y x y x 线性相关，否则线性无关。
注：12(),()y x y x 线性无关的12()()y x c y x ⇔≠ 如：2212(),()x x y x e y x e -== 则：4212()()x x y x e c e y x =≠∴与2x e -线性无关其中2212x x y c e c e -=+中1c 与2c 相互独立，而 22123x x y c e c e =+212(3)x c c e =+中，1c 与2c 不是相互独立的。
二、分离变量法Def2：若一阶微分方程，(,)dy f x y dx =可写成()()dy h x g x dx= ① 则称其为可分离变量的微分方程 解法：①式为()()dyh x dx g y = (()0)g y ≠ 积分()()dyh x dx c g y =+⎰⎰是①通解 例2. 求下例微分方程的通解（1）20dyxy dx-= 解：2dy xdx y = 两边积分12dy xdx y=⎰⎰ 得21ln ||y x c =+ 221||x x y e c e ∴=+ 故 2211ln ||.()c c x x y e e cec e =±==±∴ 方程通解2x y ce =，其中c 为任意常数(0)c =时,y=0是特解（2） 33y y x+'=- 解：3333d y d xd y d xy xy x=∴=+-+-⎰⎰ 得： ln |3|ln |3|ln ||y x c +=--+ ， ln |(3)(3)|ln ||y x c +-= (3)(3)y x c ∴+-= 33cy x=-- 是通解 例3. 求22sin (1)cos 0x ydx x ydy ++=满足16x y π==的解解：原式为2c o s 2s i n 1y x dy dx y x =-+ 22sin arcsin11c cy y x x ∴==++即 又16x yπ==得211arcsin1c y x =∴=+ 例4. 设降落伞塔下落，所受空气阻力与速度成正比，降落伞离开塔顶(0)t =时的速度为零，求降落伞下落速度与时间t 的函数关系。
解：设降落伞下落速度为()V t则dvm mg kV dt=- ① 且 00t V == ②求解①dv dtmg kv m =-⎰⎰ 得11ln ||t mg kV c R m--=+ 整理得：11()kt kc m mg ce c e k kυ--=-= 又00t mgV c k===得故所求解：(1)k t m mge kυ-=- 特解的物理意义：()V t 是单增函数的，且t →+∞时，mgkυ→说明跳伞后，开始阶段是加速运动，以后逐渐趋于匀速直线运动 练习：1. 指出下列微分方程的阶数，并说明是否为线性方程（1）2()20x y yy x ''-+= 1阶非线性 （2）2103y y y x '''+-= 2阶线性常系数 （3）(5)cos 40y y x ++= 3阶非线性 （4）(5)250y x y '-= 5阶线性非常系数 2．解下列微分方程 （1）22dyx y dx= 解 23123113,3dy x dx x c y y y x c=-=+∴=-+⎰ （2）dy dx =解 arcsin1ln arcsin xdy y x c y ce y ==+⇒=⎰ （3）2(1)dyx x y dx=++ 且(0)y e = 解 231123x x x y ce++=由(0)y e =得c e = ∴2311123x x x y e+++=3．验证：222c x y x-=（c 为常数）是否为()0x x y d xdy ++=为通解。
解 222xy c x =-，两边微分2()2ydx xdy xdx +=-即()0x y dx xdy ++=4．一曲线通过（1，2）点，且曲线上任意一点(,)P x y 处切线斜率为23x ，这条曲线方程为 （ 答31y x =+）作业：P 242 2(1)(2)(3),4,6,7,10(1)(3)(5)(7),11(1)(3)(5)§2 一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程一、一阶线性微分方程 Def ： 方程()()dyp x y Q x dx+= （1） 称为一阶线性方程 若()0Q x ≠，则（1）式为非齐次线性方程。
若()0Q x =，则（1）式为()0dyp x y dx+= （2） 称为齐次线性方程 解法： 首先（2）式变为()dyp x dx y=-⎰⎰ 即 1l n ()y c p x d x =-⎰ 则 1()()p x dxc y ce c e -⎰==为（2）式通解其次求（1）的通解：令()()p x dxy c x e -⎰=⋅代入（1）式得 ()()()(()()())()()()p x dx p x dx p x dxc x e p x c x e p x c x e x ϕ---⎰⎰⎰'-+⋅= 化简： ()()()p x dxc x Q x e ⎰'= ()()()p x dxc x Q x edx c ⎰∴=+⎰故 ()()()p x dx p x dx y Q x e dx c e -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰为（1）式通解上述解法称为常数变量法。
例1. 求解下列微方程（1）s i n d y y x d x x x+= 解：原式中1sin (),()xp x Q x xx==]dx dx c ⎰⎰∴+⋅⎰11-x x sinx 通解y=[e e xln ln sin []x x x e dx c e x -=+⋅⎰ sin 11[](cos )x xdx c x c x x x =+=-+⎰即 cos c xy x-=（2） ln y x xy x +'=解： 原式为 1ln y y x x'-=∴ 通解：11[ln ]dx dxx x y x e dx c e -⎰⎰=⋅+⎰1[ln ]x dx c x x=⋅+⋅⎰21[ln ln ][ln ]2x xd x c x x c =+=+⎰即 21ln 2y x cx =+ （3）3d y yd x x y=+ 解：原式为：21dx x y dy y-= ∴ 通解：112[]dydyy y x y e dy c e-⎰⎰=+⋅⎰21()2y y c =+ 即 32y x c y =+（4） 22(2)0x xdy x y e dx -+-=解：原式为 22x dy e xy dx x-+=通解 222[]x xdxxdxe y e e dx c x--⎰⎰=⋅+⎰222[]x xx e e e dx c x--=⋅+⎰ 221[][ln ]x x edx c e x c x--=+=+⎰22ln x x ce e x --=+⋅ 即 22ln x x y ce e x --=+例2. 设有连结点0(0,0)和 (1,1)A 的一段向上的曲线弧OA ，对于OA 上的任意一点(,)P x y ，OP 弧与OP 直线段所围图形面积为2x ，求曲线弧OA 的方程 解：设OA ：()y f x = 则201()()2xx f x dx xf x =-⎰求导：112()()()22x f x f x xf x '=-- 即 ()()4xf x f x x '-=-即 ()1()4(1)1d f xf x dx x f ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩求出通解 11()[4](4ln )dxdxx x f x edx c ex x c -⎰⎰=-+⋅=-+⎰代入(1)1f =得 1c =∴OA (14l n )y xx =- 练习：1. 解方程 x y y x e '+= 答：11()22x x x y xe e ce -=-+2. 解方程22201x dyy dx x y x y yyx y y=⎧=⎪+⎨⎪=-==-⎩答：特解三、可化为一阶变量可分离或线性微分方程 1．齐次方程Def ：若(,)dy f x y dx =可写成()dy ydx xϕ=则称其为齐次方程。