中国矿业大学(北京)11级高数单元测验1 答案

中国矿业大学(北京)
2011级《高等数学单元测验一》试卷
得分：
一. 填空题（每空3分，共30分）
1. 若()1x f x x =
-，则1
()()
f f x =1x - 。

2. 若,(1,2,)k k x y k = 都是数列{}n a 的子数列，且lim ,lim k k k k x a y a →∞
→∞
==，则
数列{}n a 的极限 不一定 存在。

3.
设lim(
)n n n a n a →∞
+=-a = 1
4。

4. 函数221
()32
x f x x x -=-+的第一类间断点是 1x =；
第二类间断点是 2x =。

5. 当0x →时，1
24
(1)1ax --与cos 1x -是等价无穷小，则a =2。

6. 设)(u f 可微，)(sin )(sin x f x f y +=，
则=dy [(s i n )c o s ()c o s (f x x f x f x d x
''+。

7. 设)(x y y =由方程13)sin(=-+y x xy 所确定，则=')0(y 2。

8. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0
,1sin )(x x x
x x f α，则当α1>时，)(x f 在0=x 可导。

9. 已知()
f x y e
=且()f x 二阶可导，则y ''=()2
[(())()]f x e f x f x '''+。

二. 求下列极限（每小题5分，共25分）
1. 2103sin cos lim (1cos )ln(1)
x
x x x x x →+++
解:原式003sin 33
lim
0lim (1cos )(1cos )2
x x x x x x x x →→=+==++.
2. 0111
lim (
)sin tan x x x x
→- 解:原式2
2220001tan sin 1tan (1cos )112lim lim lim 2
x x x x x x x x x x x x x x x →→→⋅
--=⋅=⋅=⋅=. 3. x
x x x tgx x 2
sin cos sin 11lim
⋅+-+→
解:
原式30
tan sin 2lim x x x x
x →→-== 23300
tan (1cos )12224lim lim x x x x x x x x →→⋅
-===. 4. x
e x
e x x x cos 5sin 2lim -++∞→
解:原式sin 22cos 5
5lim
x x x x
e x e
→+∞
+==-.
5. x
x
x βαcos ln cos ln lim
→
解:原式2
22
2000()ln[1(cos 1)]cos 12()ln[1(cos 1)]cos 12lim lim lim x x x x x x x x x ααααββββ→→→+--====+--. 三. 求下列导数（每小题6分，共18分）
1. 设1
12arctan )1()(232
-+--+=x x x x x x f ，求)1(f '。

解: 2321121
(1)arctan 1()(1)1(1)lim lim
11
x x x x x f x f x x f x x →→-+---+-'==--
321
21lim(1arctan
)214
x x x x x π
→-=++=++-.
2. 已知⎩⎨⎧-=+=t
t y t x arctan )1ln(2，求22dx y
d 。

解:
22
1
1122
1dy dy t
dt t dx t dx dt t
-+===+
2
2
2
2(
)112
241dy d dx d y t
dt
dx t dx t
dt t +==
=
+. 3. 设21
22---=x x x y ，求)(n y 。

解: 22111
221x y x x x x -==+---+
()()()
11()()21
n n n y x x =+-+
(1)(1
(1)!(2)(1)!(1)
n n n n n x n x -+-+=--+-+. (1)
(1)
(1)![(2)(1)]
n n n n x x -+-+=--
++
四. （7分）设12x =，111
()(1,2,)2n n n
x x n x +=+= ，证明{}n x 的极限存在，并求
lim n n x →∞。

解
: 1111()122n n n x x x +=+≥=
121111
(1)(1)1221
n n n x x x +=+≤+≤ 所以数列{}n x 单减且12n x ≤≤，于是数列极限存在。

设lim n n x A →∞=，则11
()2A A A
=+ 解之得1A =， 即l i m
1n n x →∞
=。

五. （6分）证明方程20x e x --=在区间(0,2)内至少有一个实根。

证明: 设()2
x
f x e x =--，显然它在[0,2]连续， 而0(0)0210f e =--=-<，2(2)220f e =-->， 根据零点定理得：至少存在一点(0,2)ξ∈使()0f ξ=，即
方程20x e x --=在区间(0,2)内至少有一个实根。

六. （6分）设()f x 在(,)a b 内连续，且(0)f a +与(0)f b -都存在，证明()f x 在
(,)a b 有界。

证明: 由(0)f a +存在知，1(,)x a a δ∀∈+有1|()|f x M ≤； 由(0)f b -存在知，所以2(,)x b b δ∀∈-有2|()|f x M ≤；
而()f x 在12[,]a b δδ+-上连续，所以12[,]x a b δδ∀∈+-有3|()|f x M ≤； 令123max(,,)M M M M =，则(,)x a b ∀∈有|()|f x M ≤。

即 ()f x 在(,)a b 有界。

七. （8分）确定常数a 和b ，使1
lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e b
ax e x x F 可微，并求出)(x F '。

解: 1lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e b ax e x x F 2
11
121
x x a b x ax b
x ⎧>⎪++⎪==⎨⎪+<⎪⎩ 由()F x 在1x =处可导得：(10)(10)F F +=-和1(1)(1)F F +''= 即
{
12a b a +==故{21a b ==-。

且{
21
()2
1
x
x F x x >'=
≤。