中国矿业大学高等数学下册考试题

中国矿业大学高等数学下册试题库

一、填空题

1. 平面01=+++kz y x 与直线

1

1

2

z y x =

-=

平行的直线方程是___________

2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________

3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________

4. 设1)(,2||,3||

-===a b b a ，则=∧

),(b a ____________

5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则

__________________,_______,===D B A

6. 设直线

)1(2

21-=+=

-z y m

x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则

___________________,==λm

7. 直线???==0

1

y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________

8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是

__________ 9. 曲面2

22

y x z

+=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________

10. 幂级数1

2

n

n

n n x ∞

=∑

的收敛半径是____________

11. 过直线

1 322

2

x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3 0

2

3

x y z +-+==的平面方程是

_________________ 12. 设),2ln(),(x

y x y x f +

=则__________)0,1('

=y f

13. 设),arctan(xy z =则

____________,

__________=??=??y

z x

z

14. 设

,),(2

2

y x y x xy f +=+则=),('

y x f x ____________________

15. 设,y

x z =

则=dz _____________

16. 设

,),(3

2

y x y x f =则=-)2,1(|dz ______________

17. 曲线t t z t y t x c o s s i n ,s i n ,c o s +===，在对应的0=t 处的切线与平面

0=-+z By x 平行，则=B __________

18. 曲面

2

2y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面01=+++z By Ax 垂直，则

==B A ________,

______________

19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则b a ?=________， b a ?=____________ 20. 求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________

21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________

22. 向量d 垂直于向量]1,3,2[-=a 和]3,2,1[-=b ，且与]1,1,2[-=c

的数量积为6-，则

向量d

=___________________

23. 向量b a 57-分别与b a 27-垂直于向量b a 3+与b a

4-，则向量a 与b 的夹角为

_______________

24. 球面9222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在x O y 面上投影的方程为

______________

25. 点)1,`1,2(0-M 到直线l ：??

?=+-+=-+-0

32012z y x z y x 的距离d 是_________________

26. 一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π：042=-+-z y x ，又与直线l ：

1

22

11

2-=-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________

27. 设____________

b 3a 2则

,3πb a 2,b 5,

a =-=???

? ???==∧

28. 设知量b ,a 满足{}1,11,b a 3,

b a -=?=?

，则____________

b ,a =???

? ?

?∧

29. 已知两直线方程1

3z 0

2y 1

1x :

L 1--=

-=-，1

z 1

1y 2

2x L :

2=

-=

+，则过1L 且平行2L 的

平面方程是__________________ 30. 若2=b a ，π

()2= a ,b ，则=?b a 2 ，=?b a ____________

31. =??=x

z ,x z y 则

______________.

y

z ??=_________________

32. 设 ()()()____________

2,1z ,

x y x,sin x 11y z x 32='++-=则

33. 设 ()1ylnx xlny y x,u -+= 则 ______________________du = 34. 由方程2z

y x xyz 2

2

2

=

+++

确定()y x,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______

35. ()222y x f y z -+= ，其中()u f 可微，则 ___________y

z x

z y

=??+

??

36. 曲线???=+=1

,

222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________

37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________ 38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________

40. )y

x (x z 2

?=,(u)?可微，则 ____________y

z y

x

z 2

=??+??

41. 已知2

2ln y

x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz

42. 曲面32=+-xy e z z

在点)0,2,1(处的切平面方程为_________

__________

43. 设()y x z z .=

由方程02=+--z

xy

e z e

，求

x

z ??=________________

44. 设()()xy x g y x f z

,2+-=，其中()t f 二阶可导，()v u g ,具有二阶连续偏

导数 有y

x z 2

???=___________________

45. 已知方程

y

z ln

z

x = 定义了()y x z z

.=，求

2

2

x

z ??=_____________

46. 设()z y x f u

..=，()0..2=Φz e x y

，x y sin =，其中f ，Φ都具有一阶连续

偏导数，且

0z

≠???，求

dx

dz =______________________

47. 交换积分次序=?

?-2

210

),(y y

dx y x f dy

_______________________________

48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y

y

??

??-+

2

1

20

1

00

),(),(=___________________

49. _________

==

??dxdy xe

I D

xy

其中}10,10),({≤≤≤≤=y x y x D

50. =I

________

)23(=+??dxdy

y x D

，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围

51. =I ________112

2

=++

??

dxdy y

x D

，其中D 是由42

2≤+y

x 所确定的圆域

52. =I ___________2

2

2

=--??

dxdy y x a D

，其中D ：2

2

2

a y

x

≤+

53. =I

________)6(=+??dxdy

y x D

，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域

54. ??-2

2

2

x

y

dy e

dx ＝ _____________________

55. ___________

)

(2

2

12

2

1

=+??-x

x

dy y x dx

56. 设L 为92

2=+y x ，则→

→

→

-+-=j x x i y xy F )4()22(2

按L 的逆时针方向运动一周所

作的功为.___________

57. 曲线()???

+==1,2,7y

3x z 2x y 2

2在

点处切线方程为______________________

58. 曲面2

2

y 2

x

z +=

在（2，1，3）处的法线方程为_____________________

59. ∑

∞

=1

1n p

n

，当p 满足条件 时收敛

60. 级数()

∑

∞

=---1

2

2

1n n

n n 的敛散性是__________

61. n

n n x a ∑∞

=1

在x=-3时收敛，则n

n n x a ∑∞

=1

在3

62. 若()∑∞

=1

ln n n

a 收敛，则a 的取值范围是_________

63. 级数)2

1)

1(1(

1

n

n n n -

+∑∞

=的和为

64. 求出级数的和

()()

∑∞

=+-1

12121

n n n =___________

65. 级数∑

∞

=0

2

)3(ln n n

n

的和为 _____

66. 已知级数∑∞

=1

n n u 的前n 项和1

+=

n n s n ，则该级数为____________

67. 幂级数n

n n

x n

∑

∞

=1

2

的收敛区间为

68. ∑

∞

=--1

1

21

2n n n x

的收敛区间为 ，和函数)(x s 为

69. 幂级数∑

∞

=≤<0)10(n p

n p n

x 的收敛区间为

70. 级数∑

∞

=+0

11

n n

a

当a 满足条件 时收敛

71. 级数()

21

24

n

n

n x n ∞

=-∑

的收敛域为 ______

72. 设幂级数0

n

n n a x ∞

=∑的收敛半径为3，则幂级数11

(1)n n n na x ∞

+=-∑的收敛区间为 _____

73. 2

31)(2

++=

x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为

74. 设函数)21ln()(2

x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数

的收敛区间为 ________

75. 已知 1ln ln ln =++x z z y y x ，则

=????????z

y

y x x z ______ 76. 设

xy y x z )

1(2

2++= y

,那么

=??x

z _____________，

=??y

z _____________

77. 设D 是由2=xy 及3=+y x 所围成的闭区域，则=??D

dxdy _______________

78. 设

D 是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则

=??D

dxdy _______________

79. =

+?C

ds y x )(2

2________________,其中

C

为圆周

)20(s i n ,c

o s π≤≤==t t a y t a x

80. =-?L

dx y x )(2

2

________________,其中L 是抛物线

2

x y =上从点()0,0到点

()4,2的一段弧。

二、选择题

1. 已知a 与b 都是非零向量，且满足b a b a +=-，则必有（ ） (A)0=-b a ； (B)0=+b a ； (C)0=?b a (D)0=?b a

2. 当a 与b 满足（ ）时，有b a b a +=+；

(A )⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D )?=a b a b ．

3. 下列平面方程中，方程( )过y 轴；

(A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 4. 在空间直角坐标系中，方程2221y x z --=所表示的曲面是( )；

(A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面 5. 直线

1

112

1-+==-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4

； (D) 夹角为π4

-

．

6. 若直线(2a +5)x +(a -2)y +4=0与直线(2-a )x +(a +3) y -1=0互相垂直，则（ ）：

(A). a =2 (B). a =-2 (C). a =2或a =-2 (D). a =±2或a =0 7. 空间曲线???=-+=5

,

222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( )

(A)72

2=+y x ； (B)??

?==+5

722z y x ； (C) ??

?==+07

22z y x ；(D)?

??=-+=0222z y x z

8. 设()21cos ,0

1,0

2

x

x x

f x x -?≠??=?

?=??，则关于()f x 在0点的6阶导数()

()60f

是（ ）

(A)．不存在 (B)．16!

-

(C)．156

-

(D)．

156

9. 设),(y x z z =由方程0),(=--bz y az x F 所确定，其中),(v u F 可微，b a ,为常数，则

必有（ ） (A) 1=??+??y z b

x z a

(B) 1=??+??y z a

x z b

(C) 1=??-??y

z b x z a (D) 1=??-??y

z a x

z b

10. 设函数()()()()()

????

?

=≠+=0,0,0

0,0,1sin

,2

2

y x y x y

x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（ ）

(A)．不连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在 11. 设函数()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在，则()y x f ,在点()00,y x 处 ( ) (A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 12. 设 ()dt e

x y x t

?

-=

2

2

?，则 =??x

? ( )

(A).e -x 4y 2 (B).e -x 4y 2 2xy (C).e -x 4y 2 (-2t) (D).e

-x 4y 2 (-2x 2y) 13. 已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则 ()()

()=

--+→h

b h a f b h a f h ,,lim

(A).0 (B).()b a f x ,2' (C).()b a f x ,' (D).()b a f x ,2'

14. 设??

???=+≠++=0,00,),(222

222

y x y x y x xy y x f ，则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是

（ ）

(A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在

(C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在 15. 函数()()

()0,00

y

x 0y x 0x y y 4x y x,f 2

222

2

2

442在=+≠+??

?

??+=极限( )

(A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立 16. 设??

?

??

+

=4arctan πxy z ，则()=??x z

(A)

)

4

(1π

+

+xy xy (B)

2

)

4

(11π

+

++xy x

(C)

2

2

)

4

(1)

4(sec ππ

+

++

xy xy xy (D)

2

)

4

(1π

+

+xy y

17. 关于x 的方程2

1x k x -=+有两个相异实根的充要条件是( )

(A).-2

2 (B). -2≤k ≤2

(C).1

2

18. 函数()()()()()

????

?

=≠+=0,0,0

0,0,1sin

,2

2

y x y x y

x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（ ）

(A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在 19. 设??

?

??

x y x f ,

= 22

sin y x xy x + ，则 ?f(x,y)?x (A).2

2

sin

y x xy ++2

2

cos

y

x xy x +()()

2

2

2

2

2

y

x

x

y y +-?

(B)．2

1sin

y y x +

(C).21sin y

y + (D).2

1cos

y

y

x +

20. 函数 2

2

y x z +=

在点()0,0处 ( )

(A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值

21. 设 ???

? ??+=y x xy z ln ,则 y x z

???2

= ( ) (A).0 (B)．1 (C).x

1 (D).

1

2

+y y

22. 设 ()2

2

z

x yf z x -=+则 z ?z ?x + y ?z

?y

= ( )

(A).x (B)．y

(C).z (D).()2

2

z

x yf -

23. 若函数()y x f ,在点()00,y x 处取极大值，则 ( ) (A).()0,00='y x f x ,()0,00='y x f y

(B)．若()00,y x 是D 内唯一极值点，则必为最大值点

(C).()[]()()()0,,0,,,0000002

00<''<''?''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx xy

且 D 、以上结论都不正确 24. 判断极限()=

+→→y

x x y x 0

lim

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 25. 判断极限()=

+→→22

2

0lim

y

x y x y x

(A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 26. 设()y x f ,可微，()43,x x x f =，则()()=

'3,1x f

(A).1 (B)．-1 (C).2 (D).-2

27. 设()x e yz z y x f 2,,=，其中()y x g z ,=是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则

()()=

-'1,1,0x f

(A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2

28. 设()z y x f ,,是k 次齐次函数，即()()z y x f t tz ty tx f k ,,,,=，其中k 为某常数，则下列

结论正确的是（ ） (A)()z y x f k z f z

y f y

x f x

t

,,=??+??+?? (B)．()z y x f t z

f z

y

f y

x

f x

k

,,=??+??+??

(C).()z y x kf z

f z

y f y x f x ,,=??+??+?? (D).()z y x f z

f z

y

f y

x

f x

,,=??+??+??

29. 已知()

σd x y I D

??+=

2

2

sin cos

，其中D 是正方形域：10,10≤≤≤≤y x ，则( )

(A).21≤≤I B ．21≤≤I (C).20≤≤I (D).20≤≤I

30. 设()()dudv v u yf xy

y x f D

??

+

=,4,2

，其中D 是由,0,==x x y 以及1y =围成在，则

()()=''y x f xy

,

(A).x 4 (B)．y 4 (C).x 8 (D).y 8 31. 设(){}

0,|,2

2

2

≥≤+=

y a y

x

y x D ，(){}

0,0,|,2

2

2

1≥≥≤+=

x y a y

x

y x D ，则下

列命题不对的是：（ ）

(A).????=1

222D D

yd x yd x σσ (B)．????=1

222D D

d xy yd x σσ

(C).????=1

222D D

d xy d xy σσ (D).02

=??D

d xy σ

32. 设()y x f ,是连续函数，当0→t 时，

()()2

2

2

2

,t

o dxdy y x f t

y x =??

≤+，则()()=0,0f

(A).2 (B)．1 (C).0 (D).

2

1

33. 累次积分()rdr r r f d ?

?θπ

θθθcos 0

20

sin ,cos 可写成（ ）

(A).()dx y x f dy y y ?

?-2

10

, (B)．()dx y x f dy y ?

?-2

10

1

,

(C).()dy y x f dx ??1

10

, (D).()dy y x f dx x x ?

?-2

1

,

34. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ）

(A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 35. 函数xy z =在附加条件1=+y x 下的极大值为（ ） (A).

2

1 (B)．2

1-

(C).

4

1 D ．1

36. ()=

??+σd e

D

y

x ，其中D 由

1≤+y x 所确定的闭区域。

(A).1-+e e (B)．1--e e (C).2--e e (D).0 37. ??

??

+=

+=

D

D

dxdy y x I dxdy y x I 223

1)()(与，其中2)1()2(2

2≤-+-y x D ：的大小关

系为:（ ）。

(A). 21I I = (B). 21I I > (C). 21I I < (D). 无法判断 38. 设),(y x f 连续,且??

+

=D

dudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 由1,,02

===x x y y 所围成,

则)(

),(=y x f

(A). xy (B). xy 2 (C). 1+xy (D). 8

1+xy

39.

σd y x y x ??

≤++1

5

2

22

2

的值是( )

(A)

3

5π

(B) 6

5π (C)

7

10π (D)

11

10π

40. 设D 是 1≤+y x 所围成区域, 1D 是由直线1=+y x 和x 轴, y 轴所围成的区域，则

()()=

++??dxdy

y x D 1

(A) ()dxdy y x D ??++1

14 (B) 0 (C)()dxdy y x D ??++1

12 (D) 2

41. 半径为a 均匀球壳)1(=ρ对于球心的转动惯量为（ ）

(A) 0 (B)42a π (C) 44a π (D) 46a π

42. 设椭圆L ：

13

4

2

2

=+

y

x

的周长为l ，则?=+L

ds y x 2

)23(（ ）

(A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 43. 下列级数中收敛的是（ ） （A ）

∑

∞

=+1

8

84n n

n

n （B ）∑

∞

=-1

8

48n n

n

n （C ）∑

∞

=+1

8

42n n

n

n (D)∑

∞

=?1

8

42n n

n

n

44. 下列级数中不收敛的是（ ） （A ）)11(ln 1n

n +

∑∞

= （B ）∑

∞

=1

3

1n n

（C ）∑

∞

=+1

)

2(1n n n （D ）∑

∞

=-+1

4

)

1(3n n

n

n

45. 下列级数中收敛的是（ ）

（A ）∑

∞

=11n n

n

n （B ）∑

∞

=++1

)

2(1n n n n （C ）∑

∞

=?1

2

3

n n

n n （D ）∑

∞

=+-1

)

3)(1(4n n n

46. ∑∞

=1

n n u 为正项级数，下列命题中错误的是（ ）

(A)如果1lim

1<=+∞

→ρn

n n u u ，则∑∞

=1

n n u 收敛。 (B) 1lim

1>=+∞

→ρn n n u u ，则∑∞

=1

n n u 发散

(C) 如果

11<+n

n u u ，则∑∞

=1

n n u 收敛。 (D)如果

11>+n

n u u ，则∑∞

=1

n n u 发散

47. 下列级数中条件收敛的是（ ）

（A ）n

n n 1)

1(1

1

∑∞

=+- （B ）2

1

1)

1(n

n n

∑∞

=- (C ）1

)

1(1

+-∑∞

=n n n n

（D ）)

1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

48. 下列级数中绝对收敛的是（ ）

（A ）n

n n

1)

1(1∑∞

=- （B ）∑

∞

=+-21ln )

1(n n n

（C ）∑

∞

=+-1

1)

1(n n n

n （D ）∑

∞

=+-2

1

ln )

1(n n n

n

49. 当)(1

∑∞

=+n n n b a 收敛时，∑∞

=1

n n a 与∑∞

=1

n n b （ ）

（A ）必同时收敛 （B ）必同时发散 （C ）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛

50. 级数∑∞

=1

2

n n a 收敛是级数∑∞

=1

4

n n a 收敛的（ ）

（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件

51. ∑∞

=1

n n a 为任意项级数，若

→n n a ，则该级数（ ）

（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 52. 下列结论中，正确的为（ ）

（A ）若∑∞

=1n n u 发散，则∑

∞

=1

1n n

u 发散)0(≠n u ； （B ）若∑∞=1

n n u 收敛，则∑

∞

=1

1n n

u 发散)0(≠n u

（C ）若∑∞

=1

n n u 收敛，则∑∞

=+

1

100

)10

1(n n u 收敛；

（D ）若∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n v 发散，则∑∞

=+1

)(n n n v u 发散

53. 函数x

x f +=

11)(的麦克劳林展开式前三项的和为（ ）

（A ）2

4

32

1x x +-； （B ）2

4

32

1x x ++

； （C ）2

8

32

1x x +-

； （D ）2

8

32

1x x ++

54. 设||

2

n n n a a p +=

，||

,1,2,3,2

n n n a a q n -=

=???，则下列命题正确的是（ ）．

（A ）若1

n n a ∞

=∑条件收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑都收敛；

（B ）若1

n n a ∞

=∑绝对收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑都收敛；

（C ）若1

n n a ∞

=∑条件收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑的敛散性都不定；

（D ）若1

n n a ∞

=∑绝对收敛，则1

n n p ∞

=∑与1

n n q ∞

=∑的敛散性都不定.

55. 设

, 则（ ）

(A) 与

都收敛.

(B)

与

都发散.

(C) 收敛, 而

发散.

(D) 发散

, 收敛

56. 75、 若

在

处收敛, 则此级数在

处（ ）

(A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定

57. 设幂级数

的收敛半径为3, 则幂级数

的必定收敛的区间为

（ ）

(A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2)

58. 若幂级数n

n n x a ∑∞

=1

的收敛半径为R ，则幂级数()n

n n x a 21

-∑∞

=的收敛开区间为（ ）

（A ）()R R ,

- （B ）()R R +-1,1 （C ）()∞+∞-, （D ）()R R +-2,2

59. 级数∑

∞

=--1

)

5(n n

n

x 的收敛区间（ ）

（A ）（4，6） （B ）[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6] 60. 若级数∑

∞

=--11

2)2(n n

n a x 的收敛域为[)4,3，则常数a =（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对 61. 若幂级数()n

n n x a 11-∑∞

=在1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ）

（A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 62. 函数2

)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）

（A ）∑

∞

=0

2!

n n

n x

（B ）∑

∞

=?-0

2!

)1(n n n n x

（C ）∑

∞

=0

!

n n n x

（D ）∑

∞

=?-0

!

)1(n n

n n x

63. 函数()2

41x

x

x f -=

展开成x 的幂级数是（ ）

（A ）n

n x

21

∑∞= （B ）n

n n

x

21

)1(∑∞

=- （C ）n

n x

22

∑∞

= （D ）n n n x 22

)1(∑∞

=-

64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ）

（A ）3

π，4

π，3

2π （B ）3

π-，4π，3

π

（C ）

6

π

，π，

6

π

（D ）

3

2π，

3

π

，

3

π

65．向量()z y x a a a a ,,=与x 轴垂直，则（ ）

（A ）0=x a （B ） 0=y a （C ）0=z a （D ） 0==x y a a 66．设()()1,1,1,1,1,1--=-=b a ，则有（ ）

（A ）b a // （B ）b a ⊥ （C ）3,π=???? ??∧b a （D ）32,π

=???

? ??∧b a 67．直线??

?=+=+1

212z y y x 与直线

1

10

11

--=

-=

z y x 关系是( )．

(A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直． 68．柱面02=+z x 的母线平行于（ ）

（A ）y 轴 （B ）x 轴 （C ） z 轴 （D ）zox 面 69．设c b a c a b a ,,,?=?均为非零向量，则（ ）

（A ） c b = （B ）)//(c b a - （C ） )(c b a -⊥ （D ）c b = 70．函数()xy ln =z 的定义域为（ ）

（A ）0,0≥≥y x （B ） 0,00,0≤≤≥≥y x y x 或 （C ） 0,0<>y x 或0,0<

2

,y

x xy y x f +=

，则()=??

?

??1,x y

f

（A ）

2

2

y

x xy + （B ）

xy

y x 2

2

+ （C ） 1

2

+x x （D ）

4

21x

x

+

72．下列各点中，是二元函数()x y x y x y x f 933,2

3

3

-+--=的极值点的是（ ）

（A ） ()1,3-- （B ） ()1,3 （C ）()1,1-． （D ）()1,1-- 73．=--?

?-dy y x dx x 2

10

2

21

01（ ）

（A ）

2

3π （B ）

3

2π （C ）

3

4π （D ）

6

π

74．设D 是由2=x ，1=y 所围成的闭区域，则=??dxdy xy D

2

（ ）

（A ）

3

4 （B ）

3

8 （C ）

3

16 （D ）0

75．设D 是由π≤≤≤≤y x 0,10所确定的闭区域，则()=??dxdy xy y D

cos （ ）

（A ） 2 （B ） π2 （C ） 1+π （D ）0

三、计算题

1、下列函数的偏导数

（1）62456y y x x z +-=； （2）)ln(222y x x z +=； （3）y

x xy z +

=；

（4）)(cos )sin(2xy xy z +=； （5）)sin (cos e y x y z x

+=； （6）???

?

??=y x z 2tan ； （7）x

y y x z cos

sin

?=；

（8）y xy z )1(+=；

（9）)ln ln(y x z +=； （10）xy

y x z -+=1arctan

； （11）)

(2

2

2

e z y x x u ++=；

（12）z y

x u =

(13)2

2

21z

y x u ++=

；

（14）z

y x

u =；

（15）∑==

n

i i i

x a

u 1

（i a 为常数）；

（16）ji ij n

j i j i ij

a a y x a

u ==

∑=,1

,且为常数。

（17）t y t x e z y

x ===-,

sin ,

2 t y t x e z y

x ===-,

sin ,2；求

t

z d d

2．设2

2),(y x y x y x f +-

+=，求)4,3(x f 及)4,3(y f 。

3．设2

e

y

x

z =，验证02=??+??y

z y

x

z x

。

4．求下列函数在指定点的全微分： （1）2

2

3),(xy y x y x f -=，在点)2,1(； （2）)1ln(),(2

2

y x y x f ++=，在点)4,2(； （3）2

sin ),(y

x y x f =

，在点)1,0(和??

?

??2,4π

。 5．求下列函数的全微分： （1）x

y z =； （2）xy

xy z e

=；

（3）y

x y x z -+=；

（4）2

2

y

x y z +=

；

（5）2

2

2

z y x u ++=

；

（6）)ln(2

2

2

z y x u ++=。

6．验证函数??

?

?

?=+≠++=0

,

0,0,

),(2

22

2

2

2

y

x

y x y x

xy y x f 在原点)0,0(连续且可偏导，但

它在该点不可微。

7．验证函数??

???=+≠+++=0,0,0,1sin )(),(222

22222y x y x y

x y x y x f 的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。

8．计算下列函数的高阶导数： （1）x

y z arctan

=，求

2

2

2

2

2

,,

y

z

y x z

x

z ???????； （2）)cos()sin(y x y y x x z +++=，求2

2

2

22

,

,

y

z

y x z

x

z ???????；

（3）xy

x z e =，求

2

3

23

,y

x z

y x z

??????； （4）)ln(cz by ax u ++=，求2

24

4

4

,

y

x z x

u ?????；

（5）q

p

b y a x z )()(--=，求q

p

q p y

x z

???

+； （6）t y t

x y x

t z =

=

-+=,

1),

23tan(2

2

，求

r

q

p

r q p z

y x u

????

++。

（7）x a y sin =，求u 3d ；

9. 计算下列重积分: （1）

,其中

是矩形闭区域:

,

（2）

,其中是矩形闭区域:

,

（3）

,其中

是顶点分别为 (0,0),

和

的三角形闭区域.

（4）

,其中是由两条抛物线

,所围成的闭区域.

（5）,其中是由

所确定的闭区域.

（6） 改换下列二次积分的积分次序

①

②

③

（7）

（8）

（9）,其中是由圆周所围成的区域.

（10）,其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限的闭区域.

（11）,其中

是由直线,及曲线所围成的闭区域

（12）

,其中

是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的

闭区域.

（13）,其中

是由直线,,,所

围成的闭区域.

（14）

是圆环形闭区域:

,其中

（15）

是平行四边形闭区域,它的四个顶点是,

,其中

,

（16）,其中

是由两条双曲线和,直线和所围

成的在第一象限内的闭区域.

（17）,其中

是由轴,轴和直线所围成的闭区域

（18）,其中

为椭圆形闭区域

（19）化三重积分为三次积分,其中积分区域分别是

及平面所围成的闭区域在一卦限内的闭区域。

(1)由曲面

由曲面(c>0),,所围成的在第一卦限内的闭区域.

(2)

（20）计算

围成的四面体.

,其中是由平面,,,以及抛物柱面所

（21）计算

围成的闭区域.

,其中是由锥面与平面所

（22）计算

围成的闭区域.

（23）利用柱面坐标计算下列三重积分

,其中是由曲面及

(1)

所围成的闭区域

,其中是由曲面

(2)

所围成的闭区域

及平面

（24）利用球面坐标计算下列三重积分

,其中是由球面所围成的闭区域.

(1)

,其中闭区域由不等式, 所确定.

(2)

25.选用适当的坐标计算下列三重积分

,其中为柱面及平面

(1)

,

,其中是由球面

(2)

所围成的闭区域

(3)

,其中是由曲面

及平面

所围成的闭区域.

(4)

,其中闭区域由不等式

,

所确定.

26.利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体的体积

及

(1)

(含有轴的部分).

(2)及

二.曲线积分

1．计算下列对弧长的曲线积分

,其中为圆周,

(1)

,其中为连接(1,0)及(0,1)两点的直线段

(2)

,其中为由直线及抛物线所围成的区域的整个边界.

(3)

(4)

,其中为圆周,直线及轴在第一象限内所围成的扇

形的整个边界.

,其中为曲线,,上相应于从0变

(5)

到2的这段弧.

,其中为折线,这里,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2),

(6)

(1,0,2),(1,3,2).

,其中为摆线的一拱,

(7)

,其中为曲线,

(8)

2．计算下列对坐标的曲线积分

,其中是抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧

(1)

,其中为圆周及轴所围成的在第一象限内的区域

(2)

的整个边界(按逆时针方向绕行).

(3)

,其中为圆周(按逆时针方向绕行).

(4)

(5)

,其中是从点(1,1,1)到点(2,3,4)的一段直线

,其中是抛物线上从点到点(1,1)的一段

(6)

弧.

计算,其中是

3.

(1)抛物线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段

(3)先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线.