中国矿业大学高数A1试题A卷参考答案

中国矿业大学2018-2019学年第 1学期

《 高等数学A （1）》试卷（A ）卷答案供参考

一、填空题（每题4分，共20分）

1

．21lim →∞⎛

⎫++=+n n 2 ．

2．1

23lim 21x x x x +→∞+⎛

⎫ ⎪+⎝⎭

e ．

3．设0(),0≠=⎨⎪=⎩x f x a x 在0x =处连续，则=a 12

．

4．设21sin ,0(),0

⎧

<⎪=⎨⎪≥⎩x x f x x

x x ，则(0)-'f 0 ．

5．设2sin =y x ，则d y 2s i n x s i n x ．

二、单项选择题(每题只有一个正确答案。每题4分，共

20分)

1．设0>a ，则当0→x 是x 的（ C ）无穷小．

A.等价；

B.2阶；

C.3阶；

D.4阶

2．2设 ()f x 在0x 的某个邻域有定义，且在点0x 处间断，则在点0x 必间断的函数是（ D

）．

A. ()f x ；

B. 2()f x ；

C. ()sin

f x x ； D. ()sin +f x x

3．设21

,0()0,0

x f x x x ≠=⎪=⎩，则()f x 在点0x =处（ C ）．

A. 极限不存在；

B. 极限存在不连续;

C. 连续但不可导；

D. 可导.

4．函数()f x 在1x =处可导的充分条件是（ B ）．

A. 0(cos )(1)

lim cos 1x f x f x →-- 存在； B. 0(1sin )(1)

lim x f x f x →-- 存在；

C. 220(1)(1)lim x f x f x →+- 存在；

D. (1)f -' 与 +(1)f '

存在．

5．设 ,0

()sin 2,0⎧<=⎨+≥⎩

a x e x f x

b x x 在0=x 处可导，则（ A ）．

A. 2,1==a b ；

B. 1,2==a b ；

C. 2,1=-=a b ；

D. 2,1==-a b ．

三、计算题（每题9分，共54分）

1．(9分) 计算极限0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x

． 解：0(1cos 2)lim tan sin →--x x x x x 201(2)2lim tan (1cos )→=-x x x x x 3022lim 12

→=⋅x x x x 4= 2．(9分) 设函数11

22

()22x x f x +=-，指出其间断点并判断类型．

解：()f x 的间断点为0,1==x x .

因为 1

1

022lim 122-→+=--x

x x

111

1

0022

122lim lim 122122++-→→-++⋅==--⋅x x x x x x 所以0=x 是()f x 的第一类间断点(跳跃间断点)；

而 11

122lim 22→+=∞-x x x

故1=x 是()f x 的第二类间断点(无穷间断点).

3．(9分) 设21arctan ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦y f x ，其中()f x 可导，求'y ． 解： 2211112arctan

arctan 1

1⎛

⎫⎛⎫⎛⎫''=⋅⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+y f f x x x x 2211arctan arctan 1⎛⎫⎛⎫'=-⋅⋅ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝

⎭f f x x x 4．(9分) 求曲线2cos cos ,sin x t t y t

⎧=+⎨=⎩在对应于4t π=点处的法线方程.

解：d cos d d d d d sin 2cos sin ==--y t y x t t x t t t

当4t π

=时，

12'=+===x y y 法线斜率为

111=-=k ， 那么该点处的法线方程为

11)()22

-=-y x . 5．(8分)

arctan 5y

x e

=，求d d x y

. 解：方程两边取对数，有 221ln()ln 5arctan 2+=+y x y x

， 方程两边对y 求导，得

2222d d 1d d 1⋅+-⋅=⋅+⎛⎫+ ⎪⎝⎭x x x y x y y y x y x y x ，

整理得

d d -=+x x y y x y

6．(8分) 设函数2156

y x x =

-+，求其n 阶导数()n y ． 解：21115632==--+--y x x x x 那么

()11(1)!(1)!(3)(2)

++--=---n n n n n n n y x x 四、证明题（8分）设()f x 在[0,3]连续，且(0)(3)=f f ，证明：存在[0,2]ξ∈，使得()(1)ξξ=+f f ．

证明：令 ()()(1),[0,2]=-+∈F x f x f x x

显然 ()F x 在区间[0,2]上连续. 另外

(0)(0)(1)=-F f f ，

(1)(1)(2)=-F f f ，

(2)(2)(3)=-F f f ，

上面三式相加，有

(0)(1)(2)(0)(3)0++=-=F F F f f ，

由介值定理可知，存在[0,2]ξ∈，使得

(0)(1)(2)()03

ξ++==F F F F ， 也就是 ()(1)ξξ=+f f ，[0,2]ξ∈