青岛科技大学高数A1试题
高数A1试题
一、填空题：
1．2sin 0lim(13)x x x →+= 。
2．设()y y x =由方程2
xy x y =+确定，则=dy 。
3．已知
2()f x dx x C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。
4．()0x d xf t dt dx ⎰= 。
5．已知向量(3,1,2),(1,2,1)a b =--=-，单位向量e 同时垂直于a 与b ，则
e = 。
二、选择题：
1．当0x +→时，与x 等价的无穷小量是（ ）
)A
2)(1)B x x + )C )D 2．设()f x 是可导函数，则33000()()lim h f x h f x h
→+-等于（ ） )A 0 )B 03()f x )C '03()f x )D 2003()()f x f x '
3．设常数0>k ，函数k e x x x f +-
=ln )(在），∞+0(内零点的个数为（ ） )2A )3B )0C )1D
4．若()F x 是)(x f 的一个原函数，则()xf x dx '=⎰
（ ） )A ()()xf x F x C -+ )B ()()xf x F x C ++
)C ()()xf x f x C -+ )D ()()f x F x C -+
5．向量(4,3,4)a =-在向量(2,2,1)b =上的投影为（ ）
)A 2 )B )C 6 )D 23
三、计算题：
1． 011lim()ln(1)sin x x x
→-+。
（6分）
2． 函数0()0x
e x
f x a bx
x ⎧<=⎨+≥⎩在0x =处可导，求,a b 的值。
（7分） 3． 求参数方程 2
31x t y t t ⎧=-⎨=-⎩所确定的函数()y y x =的二阶导数。
（7分）
4．
求不定积分
()2ln 1x dx x ⎡⎤++⎥⎥⎦
⎰ 。
（7分） 5．
求不定积分e ⎰。
（7分）
6． 已知1,0
1()1,01x
x e f x x x ⎧<⎪⎪+=⎨⎪≥⎪+⎩
，求定积分()201f x dx -⎰ 。
（8分） 7． 求曲线(
1y x =-的柺点及凹、凸区间。
（8分）
四、应用题：
过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成的平面图形为D ，
（1） 求切线方程；
（2） 求D 的面积；
（3） 求D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积。
五、证明题：
1、当0x >时，证明：()()22
1ln 1x x x ++<。
（5分） 2、已知函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)0,f =求证：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()f f ξξξ'=-
成立。
（5分）。
青岛科技大学高等代数考研真题试题2008——2012、2016、2017年
青岛科技大学2008年研究生入学考试试卷考试科目：高等代数（答案全部写在答题纸上）一、(30分)1设是三阶方阵，具有三个不同的(非零)特征值：、、，依次对应的特征向量为A 1λ2λ3λ、、，令，试证：、、线性无关。
1α2α3α123βααα=++β()A β2()A β2 设是维线性空间，是上的线性变换，是的一个重特征值， 是对n V n σn V 0λσk 0V λ0λ应的特征子空间，试证：。
（这里表示子空间的维数）0dim V k λ≤0dim V λ二、(30分)1 设，求。
001101010A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭100A 2 设，一元多项式，求，102011010B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭1187543()2283174f x x x x x x x =+-+++-()f B 并求。
1(())f B -三、(30分)试证：1 当、是两个阶方阵时，有 A B n n n E AB E BA λλ-=- 2 当是矩阵，是矩阵()时有： A m n ⨯B n m ⨯n m >n m n m E BA E AB λλλ--=-四、(30分)试证 矩阵方程有解当且仅当 AX B =()()r A r A B =五、(20分)设阶方阵，，，试求的特征值，的最小多项式。
n ()ij A a =1ij a =,1,2,,i j n = A A A 是否与对角阵相似？若相似求出与其相似的对角阵。
六、(10分)给定方程组(1)与向量， 123412342229242312x x x x x x x x -++=⎧⎨-++=⎩(4,2,5,1)α=-青 岛 科 技 大 学二OO 九年硕士研究生入学考试试题考试科目：高等代数注意事项：1．本试卷共 5 道大题（共计 10 个小题），满分150 分；2．本卷属试题卷，答题另有答题卷，答案一律写在答题卷上，写在该试题卷上或草纸上均无效。
要注意试卷清洁，不要在试卷上涂划；3．必须用蓝、黑钢笔或签字笔答题，其它均无效。
青岛科技大学期末考试试卷之2012-2013-2高数A2 A卷答案
拟题学院（系）： 数理学院 适用专业： 应物、信息、机电等相关专业2012-2013 学年 2 学期 高等数学A2（A ） 卷 试题标准答案（答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. (5,1,3)-；2. 2ln xy x ；3.3202(cos ,sin )d f d ππθρθρθρρ-⎰⎰ ；4. 2π；5. [1,1]- .二、选择题：（每小题3分，共15分）1) B. 2) A. 3) C. 4) C. 5) D. 三、计算题（共21分）1、解：122zf f x∂''=+∂ ---------------------------------------------3分 2z x y ∂=∂∂2111222232zf f f x y∂''''''=+-∂∂ ------------------------------------- 7分 2 、解：曲线2y x =与y x =的交点为（0,0）、（1,1） -------------------------------------1分 所以2()Dx y dxdy +⎰⎰2120()xxdx x y dy =+⎰⎰， -------------------------------------------4分 2134037().2260x x x dx =+-=⎰ -------------------------------------------------7分 3、解 22,,2P xy Q yx R ===,取221:1,1z x y ∑=+≤,取上侧,记∑与1∑所围成区域为Ω,则由Gauss 公式知 ------------------------2分122222()()P Q Rxy dydz yx dzdx dxdy dv x y zx y dv∑+∑ΩΩ∂∂∂++=++∂∂∂=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ------------------------------3分原式12222()2x y dv xy dydz yx dzdx dxdy Ω∑=+-++⎰⎰⎰⎰⎰ ---------------------------------5分 22112013502112()2.6xyD d d dz dxdyd πρθρρρππρρρπ=⋅-=--=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰ --------------------------------------------------7分拟 题 人： 赵立宽书写标准答案人： 赵立宽四、计算题（共24分）1、解 取1:0,33L x y =-≤≤,方向从点(0,3)B 到点(0,3)A -222,62P xy y Q x x y =+=++ -------------------------------------2分记L 与1L 所围成区域为D ,则由Green 公式知:12()9(2622)(22)(62)44182L L DDDx Q P d x yy y dx x x y dy x x d d σπσσπ+∂∂=-∂∂=+--=⋅++=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ -------------------------5分1233(22)(62181821)8.L xy y dx x x y dyydy πππ-++=+=+--=⎰⎰原式 ----------------------------8分2、解（1）求对应的齐次方程340y y y '''--=的通解Y ：特征方程为2340r r --=，则其特征根为121,4r r =-= ---------2分∴齐次方程的通解为412x x Y C e C e -=+（1C 与2C 为任意常数） -------------------3分（2）求原方程的特解*y ：由于1λ=不是特征根，则令*()xy ax b e =+，代入原方程得(2)3()4()x x x x ax a b e ax a b e ax b e xe ++-++-+=即66ax a b x ---=，从而有 ------5分6160a a b -=⎧⎨--=⎩，即16136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴*11()636x y x e =-+ ------7分 ∴原方程的通解为：41211()636x x x y C e C e x e -=++-+（1C 与2C 为任意常数）-----8分3、解 ：由22(,,)2u x y z x xy y z =-++（1）(0,1,1) (0,1,1)(2,2,2)|(1,2,2)grad u x y x y =--+=- ---------3分 （2）令(1,2,2)l AB ==，则其方向余弦为122cos ,cos ,cos 333αβγ===， 从而有(0,1,1)7|cos 2cos 2cos .3u l αβγ∂=-++=∂ --------------------------6分 （3）由方向导数和梯度的关系可知：当沿梯度 (0,1,1)(1,2,2)grad u =-方向时，方向导数最大且最大值为梯度的模3. -----------------------------------8分五、计算题（共16分）1、解：3lim12n n R n →∞+==+，即幂级数的收敛半径为1 ---------2分而级数1(2)n n ∞=+∑，11(2)(1)n n n ∞-=+-∑都发散，所以幂级数的收敛域为(1,1)---------------3分设幂级数在区间(1,1)-内的和函数为()s x ，则111111()2()21()21n n nnn n n n n n s x nxxx x x x∞∞∞∞--====∞='=+=+'=+-∑∑∑∑∑ ----------------6分2232().11(1)x x x x x -'=+=--- ----------------8分 2．解: 设22(,,)24F x y z x y z =+- ---------------------1分则4,8,1F F Fx y x y z∂∂∂===-∂∂∂ --------------------4分 则曲面在点1,1,6)A （处切平面法向量为(4,8,1)n =- ------------------6分 故切平面方程为：4(1)8(1)(6)0x y z -+---=整理得 4860x y z +--= ------------------7分法线方程为116481x y z ---==- ------------------8分六、证明题（共9分）1、证明：记n u =，则lim1n n→∞=，因为11n n∞=∑发散，所以1n ∞=也发散。
青岛科技大学2005年研究生入学考试高等代数试卷
四（25分）.设 1 , 2 , 3 , 4 是线性空间 V4 的一组基，线性变换 A 在这组基下的表示
1 1 3 ,求 A 的值域与核。 5 5 1 2 五（30分）.设 A1 , A2 , A3 , A4 皆为 n 阶方阵 2
A 0 ①若 A1 , A3 皆可逆，求矩阵 A 1 的逆矩阵。 A2 A3 1 A A3 1 ②若 A4 可逆，且矩阵 B 1 可逆，试证 A1 A3 A4 A2 存在，并求 B 的 A2 A4
Span 1 , 2 , , s rank A 。
其中: Span 1 , 2 , , s 表示向量组 1 , 2 , , s 生成的子空间， ra咨询QQ：400 622 4468
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二（25分）.设 是非零实数，已知 n 阶方阵 A 满足 A2 A E 0 ， 证明： A 及 A E 都可逆，并求它们的逆。 三（25分）.设 n n 1 阶方阵 A 的伴随矩阵为 A* ， 证明：①当 A 0 时 A* 0 ②当 A 0 时 A* A
逆。 六（20分）.设 1 , 2 , , n 是 n 维线性空间 Vn 的一组基， A 是 n s 矩阵，并且
1 0 1 2 矩阵为 A 1 2 2 2
1 , 2 , , s 1 , 2 , , n A ，求证 dim
青岛科技大学2005年研究生入学考试试卷
考试科目：高等代数（试卷A） 一（25分）.设 V2 是数域 F 上的2维线性空间， A 是 V2 上的线性变换， 1 , 2 是 V2 的一
2 1 1 1 组基， A 1 , 2 1 , 2 ，并设 1 ,2 1 , 2 ， 1 0 1 2 求：线性变换 AK 在基 1 ,2 下的表示矩阵。
青岛科技大学线性代数2012-2013-2线代 A卷及其参考答案
2012-20132 线性代数 （A 卷）数理学院 全校相关专业（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．设1221304012107301---=D ,则D 的代数余子式=23A ；2．设C B A ,,均为n 阶方阵，且E ABC =,则=T T CA B )( ；3．设A 为四阶方阵，且2-=A ，*A 是A 的伴随矩阵，则=*A ；4．n 元线性方程组b Ax =有解的充分必要条件为 ；5．设三阶方阵A 的特征值为1，-1,2，则=-1A .二、选择题（每小题3分，共15分）1．设B A ,均为n 阶方阵，则下列各式中正确的是 ；)A ()()22B A B A B A -=-+ )B ()222B A AB =)C 由BC AC =必可推出B A = )D ()()E A E A E A -+=-22．设A 为n 阶方阵，且E A =2，则 ；)A A 的行列式为1 )B A 的特征值都为1 )C A 的秩为n )D A 一定是对称矩阵3.向量组s ααα,,,21 线性无关的充分条件是 ；)A s ααα,,,21 均不为零向量)B s ααα,,,21 中任意两个向量对应分量不成比例)C s ααα,,,21 中任意一个向量均不能由其余1-s 个向量线性表出 )D s ααα,,,21 中有一部分线性无关课程考试试题学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4．设B A ,均为n 阶矩阵，且A 与B 相似，则下列结论中不正确的是 ；)A )()(B r A r = )B B E A E -=-λλ )C B E A E -=-λλ )D B A =5．二次型32312123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +--++=λ为正定二次型，则λ的取值范围为 .)A 12λ-<< )B 22<<-λ )C 2-<λ )D 2>λ三、计算题1．（10分）计算行列式1111111111111111--+---+---=x x x x D ；2．（10分）矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=100110011A ,求满足方程X A AX 2-=的矩阵X ；3. （15分）λ为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=--=+-+λ43214324321312222x x x x x x x x x x x 无解？有解？有解时求其通解. 四、计算题1. （10分）求向量组:()T 00111=α，()T 01112-=α，()T01223-=α，()T 21044--=α，()T 21035-=α的秩及一个最大无关组；2．（15分）求正交变换Py x =将二次型22212312123(,,)334f x x x x x x x x =+-+化为标准形. 五、证明题（每小题5分，共10分）1．设n 阶矩阵A 满足O E A A =--422,证明：E A +可逆,且E A E A 3)(1-=+-;2．已知321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系，若211ααβ+=，322ααβ+=133ααβ+=，证明：321,,βββ也是齐次线性方程组0=Ax 的基础解系.参考答案一、 填空题：（每小题3分，共15分）1. 26；2. E3. -84. ),()(b A R A R =5. 21- 二、选择题：（每小题3分，共15分）1). D 2).C 3).C 4).B 5) A 三、计算题：1. 解： 1111111111111111-----+---=x x x x D ……………5分xx x xx x x-----=00000001111……………7分 xx x x x x x------=0000001111=4x ……………10分 2．解：由A X E A =+)2(……………2分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=+100100110110011011),2(A E A ……………5分⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------100100210010221001~……………9分⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=∴100210221X ……………10分3． 解：B= ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----λ31111111022221 ……………2分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----211101*********~λ ……………5分 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----100001111022221~λ ……………9分 所以 1）1≠λ时，方程组无解 ……………12分1）1=λ时，方程组有解，B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000001111004001~000001111022221~得等价方程组⎩⎨⎧++=-=1443241x x x x x ，特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=*0010η对应的齐次方程组的基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1014011021ξξ，通解为*++=ηξξ2211k k x ……………15分四、计算题1.11243112000111100022-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭11243000430111100022-~-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭11243011110002200001~-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭………………7分123454(,,,)R ααααα=， ………9分1245,,αααα，是一个最大无关组 ………10分2.解：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100032023A ………2分λλλλ-----=-10032023E A ()()512---=λλ,得特征值121==λλ，53=λ ………6分当121==λλ时，解()0=-x E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000000011~000022022E A即，21x x =，得基础解系⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100,01121ξξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100,0212121p p ………10分当53=λ时，解()05=-x E A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-000100011~4000220225E A得 ⎝⎛=-=0321x x x ，得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，单位化得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=021213p ………12分 所以得正交变换Py x =,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0102102121021P , ………14分化二次型为标准型2322215y y y f ++= ………15分六、证明题（2个小题，每小题5分，共10分）1.证明： 由O E A A =--422得E E A A A =--+332，即()()E E A E A A =+-+3即()()E E A E A =+-3,………4分所以E A +可逆，且()E A E A 31-=+-. ………5分2.证明：1）3,2,1,0==i A i α ()3,2,1,0==+=+=∴i A A A A k i k i i ααααβ i β∴是0=Ax 的解 ………2分2) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=110011101),,(),,(321321αααβββ，而021********≠=又321,,ααα是基础解系，所以线性无关，3),,(321=αααR所以3),,(),,(321321==αααβββR R ，所以321,,βββ也线性无关 ………4分 综上，321,,βββ是0=Ax 的基础解系。
青岛科技大学线性代数2014-2015-2线代 A卷及其参考答案
2014-20152 线性代数 (A 卷)数理学院 全校相关专业一、填空题（每小题3分，共15分）1. 已知10312122D -=-，则11121322M M M ++=_______________； 2. 设A 为3阶矩阵，且2A =，则1*1(3)3A A --=___________； 3. 向量组(1,1,0),(1,3,1),(5,3,)TTTt αβγ==-=线性相关，则t =____________；4. 设矩阵13333664A a -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值分别为2-、2-和4，则a =___________； 5. 设二次型2221231231223(, , )322f x x x tx x x x x x x =++-+是正定二次型，则实数t 的取值范围是______________。
二、选择题（每小题3分，共15分） 1.下列等式正确的是________；)A a x b y a b x y c z d w c d z w ++=+++ )B 2123434a a a a a = )C0x y x y x y z z a z a =+- )D 22123434a a a a a = 2.设A ，B 都是n 阶矩阵，且AB O =，则下列成立的是________；)A A O B O =或= )B A ，B 都不可逆 )C A ，B 中至少有一个不可逆 )D A B O +=3.设Ax b =有无穷多组解，则0Ax = ；)A 必有唯一解 )B 必定没有解 )C 必有无穷多组解 )D A 、B 、C 都不对课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:4.A 是n 阶可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵是 ；)A 1A - )B T A )C *A )D 2A5．n 阶矩阵A 的n 个特征值互异是A 与对角阵相似的 。
)A 充分条件 )B 必要条件 )C 充分必要条件 )D 既非充分又非必要条件 三、计算题(每小题10分，共20分)1. 计算行列式100110011001a b c d---；2．已知111011001A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。
青岛科技大学作业本高数-3.1习题
验证 F ( x ) 在 [ 0 , π ] 上满足罗尔定理条件.
练 习 6. 若 f ( x )可导, 试证在其两个零点间一定有
f ( x ) f ( x ) 的零点.
提示: 设 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 , x1 x2 , 欲证: ( x1 , x2 ) , 使 f ( ) f ( ) 0 只要证 亦即
求证存在 (0 ,1) , 使 证: 设辅助函数 ( x) x f ( x)
nLeabharlann 显然 ( x ) 在 [0,1] 上满足罗尔定理条件, 因此至少存在 (0 ,1) , 使得
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
8. 试证至少存在一点 证: 法1 用柯西中值定理 . 令
即
0
1
f ( ) 1
3
f (0) 0, f (1) 1, 证明 (1) 存在 (0, 1), 使得 f ( ) 1 － (2) 存在两个不同的点 , (0, 1), 使得 f ( ) f ( ) 1
(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在 (0, ) (0,1), ( ,1) (0,1), 使f ( ) f (0) 1 1 f ( ) 0 0
1
分析:
8. 试证至少存在一点 法2 令 f ( x) sin ln x sin 1 ln x
使
则 f (x) 在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 因此存在 使
1 1 f ( x) cos ln x sin 1 x x
练习 9.设 f ( x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
()青岛科技大学高数试卷)09-10高数A(下)B卷
2009/20102 高等数学A （下）（ B 卷）数理学院 陈宁机自、测控、热能、应物等专业 彭翠英（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知向量)4,1,3(=a ，向量)2,0,1(-=b ，则=⋅b a . 2．设xy z =，则=)1,1(dz . 3．设积分曲线L 为422=+y x ，则曲线积分=⎰Lds 2 .4． 已知bxdy aydx +为某一函数),(y x f 的全微分，则a 与b 的关系是 . 5. 交换积分次序=⎰⎰22),(xdy y x f dx .二、选择题（每小题3分，共15分）1．方程组⎩⎨⎧==+14222z y x 在空间表示（ ）()A 圆 ()B 椭圆 ()C 椭圆柱面 ()D 两条直线2．设)(x f 为周期为π2的函数，它在区间](ππ，-上定义为⎩⎨⎧≤<≤<-=ππx x x x x f 0,20,)(，则)(x f 的傅立叶级数在π2=x 处收敛于 . ()A 0 ()B π2 ()C π3 ()D π43．极限220limyx xyy x +→→ . （A ） =0 (B) 21= (C) 不存在 (D) 以上都不对 4．将⎰⎰Ddxdy y x f ),(化为极坐标系下的二次积分为 ，其中D 为直线1,3,===x x y x y 所围成的三角形区域.(A)⎰⎰θππθθθsin 1034)sin ,cos (rdr r r f d （B ）⎰⎰θππθθθsin 1034)sin ,cos (dr r r f d课程考试试题学期学年拟题人:校对人: 拟题学院（系）: 适 用 专 业:（C ）⎰⎰θππθθθcos 1034)sin ,cos (dr r r f d （D ）⎰⎰θππθθθcos 1034)sin ,cos (rdr r r f d5．级数 ∑∞=-111n nn）（（ ）. ()A 发散 ()B 条件收敛 ()C 绝对收敛 ()D 以上均不是三、（共21分）1、（7分）设)ln(22y x z +=，求yx zy z x z ∂∂∂∂∂∂∂2,,. 2、（7分）计算二重积分dxdy y x ⎰⎰D，其中D 是由2y x =与y x =所围成的闭区域。
青岛科技大学高数A1试题参考答案答案
高数A1试题参考答案一、填空题：1. 6e；2.2ln2112ln2xyxyydxx--； 3.221(1)2x c--+； 4.()()xf t dt xf x+⎰5.或二、选择题：1).C 2).D 3).A 4).A 5).C三、计算题：20001sin ln(1)sin ln(1)1.lim limln(1)sin1cos(1)cos11lim lim2(1)2x xx xx x x xx x xx x xxx x x→→→→-+-+==+-+-+==+原式(1)cos1lim2xx xx→+-=1cos(1)sin1lim212xx x x→-+==2.lim()xf x-→=lim()(0)xf x f a+→==，lim()xf x-→=lim1xxe-→=，00lim()lim()x xf x a bx a++→→=+=，所以 1.a=()(0)(0)limxf x ffx--→-'=-01lim1xxex-→-==，(1)1(0)limxbxf bx++→+-'==，所以1b=。
3．22133122dy t tdx t t--==-，22231()2d y d t dx dx t -==231()2d t dt dt t dx -=22223122(31)131424t t t t t t --+⨯=--。
4、原式(()()22ln 1ln 1x d x =+++⎰⎰(()231arctanln 13x C =+++235.(0)22tt t x t dx tdtee tdt=≥===⎰⎰，从而，33223t te tdt tde ==⎰⎰ 332()3t t te e dt =-=⎰3321()33t t te e C -+- 2116.1,(1)()u x f x dx f u du-=--=⎰⎰令则01()f u du -=⎰10()f u du +⎰011011x dx dxe x -=+++⎰⎰- 011011[ln(1)]1[ln(1)]ln 2ln(1)x x x x e e dx x e x e e --+-=+++=-++=+⎰7、解：函数的定义域为(),-∞+∞，52338533y x x '=- （2分）y ''= 令0y ''=得14x =，而x o =时y ''不存在。
高等数学A1期末考试卷及解答.doc
题答要不名内姓线封密号学级班业专院学题答要不内线封密江苏科技大学08 － 09 学年（ 1）学期高等数学 A1 课程试题( A )卷题号一二三四五六七总分得分一．填空题 (每小题 4 分，共 20 分 )x ln 1 x1．limx2 _______________ ;x 0 e 112. 函数f x x x在区间 0, 上的最大值为 ____________3. 求顶点为A(1, 1,2), B(5, 6,2) 和 C(1,3, 1) 的三角形的面积为________4.反常积分1 dx ________x ln2e x5.设f ( x) 1 1 x21 1________2 f ( x)dx ,则 f ( x) dx1 x 0 0二、单项选择题 (每小题 4 分，共 20 分 )x sin x2的水平渐近线为（）．1.曲线y2xＡ． y 0; B．y 1 ；C．y 2 ；D．x 0．2. 下列极限正确的是（）。
1A limsin xB limsin x1; C lim x sin1 sin1; 1; D lim x 1x x x 0 2 x x x x 0 1x3 若 f ( x) 二阶可导，且f (x) f ( x) ，又当 x (0,) 时， f ( x) 0, f (x) 0 ，则曲线yf (x) 在 ( ,0) 内 ()(A)单调下降且凸 (B)单调下降且凹 (C) 单调上升且凸(D)单调上升且凹；4. 函数 y ex4 有界且至少有一实根的区间是 ( )(A)［0， 3］(B) ［1， 0］(C) ( ， 1) (D) ［ 2，4］5．下列函数中，在x 0 处连续的是（）1sin x, x 0（ A ） f xe x 2 , x0 （ B ） f xx0, x1, x 011（ C ） f xe x , x 0 （ D ）f x1 2 x x , x 00, xe 2 ,x 0三 .解下列各题 (3 6 分=18 分)x231. limsin 2 tdtxx 0t t sin t dt2．求曲线 sin( xy) ln( y x)x 上点 (0,1)处的切线方程x(t)te ucosudu，求d 2 2y, 其中3．设xt 2y(t)udx2e sin udu四 .解下列各题 (3 7 分=21 分)1.求不定积分x 2 ln( x 2 1)dx2.求定积分1x 3 1 x 2 dx3．求定积分2x 3 cosx sin 2xdx2 五． (本题 6 分)设 f ( x) 在［ 0， a ］上连续，在 (0， a)内可导，且 f (a) 0 ，证明存在(0, a) ，使f f ( ) 0六.(本题共 7 分)已知 : f (x)的一个原函数是ln( x 1 x2 ) ，求 xf ( x) dx, xf (x) dx七 .（本题共 8 分）（ 1）求由曲线 y ln x 与直线y 1所围成的封闭图形的面积（ 2）求上述图形分别绕 x 轴和 y 轴旋转而成的旋转体的体积 .高等数学 A1 课程试题（ A）卷参考答案及评分标准2008.12.28一、填空题（每小题 4 分，共 20 分）11.1.2. e e；3. ；4. 1 ；5.252 4二、 . 单项选择题（每小题 4 分，共 20 分）1 (C) 2. (C) 3 (C) 4. (A) 5 (A)三 .解下列各题（每小题 6 分，共 18 分）31. 解原式 = lim 2 x sin2 x LLLLL3分2sin xx 0 x x= lim2 x3 LL4分 L L Lx 0x sin x=lim6x 2LL5分L L Lx 01 cos x= lim 6x212LLLLL6分x 01 x 222. 解: 等式两边对x求导y xyy 11.cos xyy x将点（ 0， 1）代入上式得 y(0,1)1切线方程为 yx 13 解 :. dx e t costL L LLL1分dtLLLLL1分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分dy e tsin tL L LL L 2 分dtdydy e t sin t tan t L L L L L 4 分dxdt =e tcostdxdtd 2 ytantLLLLL5 分2dtudxdt 0 e sin udu= 1LLLLL 6 分e t cos 3 t四 . 解下列各题 (3 7 分=21 分) 1. 解：原式 = ln x 21 d 1 x 331 x 3 ln x 22 x 4 2 dx3 1 1 x3= 1 3 ln x 2 1 2 x 4 1 13 x 3 1 x 2 dx= 1x 3 ln x 2 12x 2 1 dx2 1 2 dx 333 1 x= 1x 3 ln x 212 x3 2 x2arctan x C39 3 32. 解 法一: 令 x sin t t, 22原式 =2sin 3 t cos 2 tdt=2 (sin 3t sin 5 t) dt=2sin 3 tdt2sin 5 tdtLLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分LLLLL2分LLLLL4分LLL LL5分2 4 2 6 分= - 5LLLLL3 3= 2LLLLL7分15解法二:令 1x 2 t, 则 x 2 1 t 2 , 2xdx 2tdt ;LLL LL2分1 t 2t t dt =1 2 dtLLLLL6分原式 =11 t2 t=1t 2 t 4 dt 01 1 2LLLLL7分3 5153解原式=2 x3 sin 2 xdx2cos xsin 2 xdxLLLLL4 分22=0+ 1 sin3x 2LLLLL6 分322LLLLL7分=3五本题6分证明 : 令 F x xf xLLLLL2分则由已知 F x 在 0,a 上连续、在 0,a 内可导、且 F 0 F a 0LLLLL4分据罗尔定理存在点 0, a , 使F 0，即 ff ( ) 0所以，原命题成立LLLLL6分六、本题 7 分 解由已知：f x dx ln x1 x 2Cf xln x 1 x 21x 2x1 fxx231 xfx dx xdf x= xf x f x dx=x ln x 1x 2C1 x 2xfx dx xdf x= xf x f x dx=x 21 Cx 231 x 21LLLLL1分LLLLL2分LLLLL3分LLL LL4分LLLLL5分LLLLL6分LLLLL7分七、（本题 8 分）1e y dy（1）面积 A= e y=e y 1 e y 10 0LLLLL1分=e e1（ 2）体积V x e1 dx e= e1e=1 ee1=ee1体积 V y e2 y dy= 1 2 y 1( e2 0 = [ 1 e22 2e1 ln2 xdxexln 2e ex 1 2 1 ln xdxe e12 e ee xln x 1 1 dxe e ee5 4e e1e 2 y dy1e 2 y 1)2011e 2 1 ]2LLLLL2分LLLLL4分LLLLL5分LLLLL7分=e2 e 22LLLLL8分。
青岛科技大学高数B2试题参考答案
高数B2试题参考答案一、填空题：1、 2 ； 2 、2cos 202(cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθ-⎰⎰； 3、；4、 5 ；5、12(cos2sin 2)x c x c x e +二、选择题：1)、B 2)、A 3)、C 4)、D 5)、B三、计算题：1．解：1) 1yz u y x x z -∂=∂ 2)'''123'3x z F F F F z x F F ++∂=-=-∂2. 解：令cos ,sin ,02,2x r y r r θθθπππ==≤≤≤≤220sin D d r rdr πππθ=⋅⎰⎰⎰⎰222[cos |cos ]r r rdr πππππ=-+⎰ 22[30]6πππ=-+=-3. 解：令2222,.y x P Q x y x y-==++则当220x y +≠时，有 22222.()Q y x P x x y x∂-∂==∂+∂ 记L 所围成的闭区域为D 。
当（0，0）∉D 时，由格林公式得220,L xdy ydx x y -=+⎰当（0，0）D ∈时，选取适当小的0r >，作位于D 内的圆周222:l x y r +=，记L 和l 所围成的区域为1D ，则22220,L l xdy ydx xdy ydx x y x y ---=++⎰⎰其中l 的方向为逆时针方向。
于是2222L l xdy ydx xdy ydx x y x y --==++⎰⎰ 2222220cos sin 2.r r d rπθθθπ+=⎰4、 解：将∑补充成闭曲面，令2221:0,z x y R ∑=+≤上侧。
由高斯公式11333333333x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy x dydz y dzdx z dxdy ∑∑+∑∑++=++-++⎰⎰⎰2223()0:0x y z dxdydz z z Ω=-++-Ω==⎰⎰⎰围成22220003sin R d d r r dr ππθϕϕ=-⋅⎰⎰⎰ 42006sin Rd r dr ππϕϕ=-⎰⎰ 556655R R ππ=-⨯=- 5、解：113n na =+ 111313lim lim (13)lim 311313n n n n n n n n na R a +→∞→∞→∞++==+==++ 当3x =±时，级数11(3)13n n n ∞=±+∑的一般项为1(3)13n n ±+当n →∞时不为零，故发散。