高等数学方法讲解(中国矿业大学 王升瑞)

s t 0 t
速度函数 v v(t )
平 均 加速度 瞬时


再如 , 椅子稳定问题 (P515～P516)
假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 . 建模: 设 A , C 两脚与地面的距离之和为 g ( ) C[0 , ] 2 B , D 两脚与地面的距离之和为 f ( ) C[0 , ] 2 不妨设 g (0) 0 , f (0) 0 ,
y x.
29
2、求曲线 y 解
(1 x) x
3 2
的斜渐近线方程。 2005考研
3 2
3 y (1 x) 1 2 k lim lim lim (1 ) 1 x x x x x x x
(1 x) b lim ( y kx ) lim ( x) x x x
1 3 3 1 3 2 lim x[(1 ) 1] lim x x x x 2 x 2 所求 斜渐近线方程为 y x 3
9
前言
一. 为什么要学“高等数学方法 (参考前言第一段) 1. 科学方法的重要性 科学 是什么 , 为什么: 反映自然、 社会、思维的客观规律的分科的 知识体系。 技术 做什么 , 怎么做: 进行物资资料生产所凭借的方法和能力。 科学方法 桥梁与钥匙。
10
2. 数学方法的含义
思维的体操
(思路)
数学 科学的语言
(表达)
(应用)
数学方法
对数学规律的认识
思维方法
解题方法
生活的需要
(是数学的灵魂)
11
二. “高等数学方法”的结构与学习方法 第一部分 (第一至第七章) 每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题 第二部分 (第八至第十一章) 包括综述和提高 (从古典数学向近代数学靠拢 ) 学习方法:
(参考前言第二、三段)
v lim
v a lim t 0 t 抽象: 定义导数 转动规律 (t ) 平 均 角速度 lim t 瞬时 t 0 y q(t 瞬 时 yq lim ) 平 均 电流强度 I lim q 电量函数 x0 x t 0 t m ( 描述变化率问题 ) lim x 质量分布 m m(x) 平均线密度 x0 lim y k 光滑曲线 y y (x) 割 线 斜 率 切线 x0 x 17
4 4 2 2 2 2
则
y
( n)
4
n 1
cos( 4 x n ) 2

22
2. 直观分析法
• 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论. • 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示. • 有关几何应用画出图形找几何关系 . • 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.
23
例1. 设定义在实数域上的函数 f (x) 的图形关于 直线 x a 及 x b (b a)对称 , 试证 f (x) 为周期 函数 . ( P.447 例4 ) y xa xb 直观分析: f (x)
证明: 设 h( ) f ( ) g ( ) C[0 , ] , 2 又 h(0) 0 , h( ) 0 , （转 后，对角线互换）。 2 2 ), 由连续函数零点定理可知 , 存在 0 (0 , 2 使 h( 0 ) 0 即 f ( 0 ) g ( 0 )
说明 1. 与
具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值
问题与单调性问题 . 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单
函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1.
21
例2.
y sin 4 x cos 4 x , 求 y (n) . 设
提示：将函数化为
y sin x cos x 2sin x cos x 2sin x cos x 1 2 1 cos 4 x 2 2 1 2sin x cos x 1 sin 2 x 1 2 4
半径真值为 r0 测量圆半径得
面积真值为 A0 计算圆面积为 2 f (r ) r
r
寻找精度 0 , 让 r r0
任给精度 0 , 要使 f (r ) A0
2 0
16
记作
r r0
lim f (r ) lim r r
2 r r0
又如 , 为什么用增量比的极限定义导数 ? 运动规律 s s (t ) 平均速度 瞬时
都可使 F( x ) 在 [ a , b ] 上

b
x
y
f (b ) f ( a ) ba
xC
满足罗尔定理条件 , 因此所设辅助函数不唯一 .
27
例3.如何求函数 y f (x) 的斜渐近线 y a x b ?
y ax b 分析: 由图可知, 若曲线 y y f (x) 有斜渐近线 y a x b , y f (x)
6
高等数学方法
（上）
科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙 ,
是由必然王国通向自由王国的桥梁。 数学方法是数学的灵魂
7
参
考
书
张晓宁、李安昌：
高等数学方法
中国矿业大学出版社，2002.
8
目 录
第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法 第二讲 研究函数与极限的基本方法 第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用 第四讲 导数应用的方法 第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法 第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题 的方法 第七讲 试题类型及解题方法分析
则必有 lim [ f ( x) (a x b)] 0
x
f ( x) 从而 lim x x x
x
lim

o x b 0 a x f ( x) b a x 0 x
x
a
f ( x) lim x x
,
b lim [ f ( x) a x ]
o
a
0
b x
f (b) f (a ) . 使 f ( ) ba f (b) f (a )
ba 显然 , 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且 (a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点 ba 思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数 即定理结论成立 . 证毕 26
3. 逆向分析法 4. 类比法 简单问题
分解法 变换法 换元法 递推法 转化法
20
例1. 证明 单调递减。 提示: 令
t
则转化为讨论下述函数
3 2
g (t ) e ( t 3 t 6 t 6 ) g (t ) e t t 3 0 ( t 0 ) 在 t > 0 时单调递减 . 注意
物理模型 数学模型 求解和分析 许多物理中的概念都要借助于高等数学中的
数学结构才能说的清楚。
14
例如 , 为什么用 "
N " 及 " " 语言定义极限

?
• 用圆内接正多边形面积逼近圆面积A . 圆内接正n边形的面积为
An n r sin
2

n
cos
o
n
0Hale Waihona Puke Baidu,
精度要求 记作
高等数学方法
第一讲
主讲教师: 王升瑞
1
惜时如金
唯有奋斗
2
最风流!
科学家语录
培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，
数学使人精细。
马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用
数学，才算真正发展了。
伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书， 如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡， 什么也看不清。 华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。 勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。
且对任意 有 f ( ) g ( ) 0 ,
证明存在 0 (0 , ) , 使
B
C C
B

A A
f ( 0 ) g ( 0 ) 0 .
2
D
D
18
不妨设 g (0) 0 , f (0) 0 ,且对任意 有 f ( ) g ( ) 0 , 证明存在 0 (0 , ) , 使 f ( 0 ) g ( 0 ) 0 .
f((x) f (b) f (a ) x (x) )
b a
例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数? 分析: 由图可知 , 设辅助函数
y f (x)
y
f (b) f (a) F ( x) f ( x) xC ba o a (C 为任意常数 )
f ( 2a x ) x 2(b a) f (x) 因此 f (x) 是周期为 2(b a ) 的函数 .
25
o x
2a x
x
拉格朗日中值定理
y
y f (x)
满足: (1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 证: 问题转化为证 f ( ) 作辅助函数
学习不是人生的全部， 但是人生的一部分;
学习也无法征服，还能做什么呢？
请享受无法回避的痛苦；
只有比别人更早，更勤奋的努力， 才能尝到成功的滋味；
5
哈佛图书馆的训诫
谁也不能随随便便成功， 它来自彻底的自我管理和毅力； 狗一样地学习，绅士一样地玩； 今天不走，明天要跑； 教育程度代表收入； 即使现在，对手也不停地翻动书页； 没有艰辛，便无所获。
找出 当 N (正整数) ,
n (n 3 , 4 , 5 ,)
边数足够多
r
n N 时, 有 An A ,
可无限逼近

n
n
lim An A . A lim
n
利用极限知识可求出 :
r
2 sin

cos n r

2
15
n
• 测量圆面积
A r
2
直接观测量为r 间接观测量为A.
3
华罗庚 （1910 - 1985）
“聪明在于勤奋, 天才在于积累”
“由薄到厚 ,由厚到薄” “学而优则用, 学而优则创” 注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。
4
哈佛图书馆的训诫
此刻打盹，你将做梦，此刻学习，你将圆梦；
学习时的痛苦是暂时的， 未学到的痛苦是终身的；
学习这件事，不是缺乏时间， 而是缺乏努力；
1. 掌握数学内容和数学方法相结合； 2. 重视分析问题和解决问题的方法； 3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养。 12
第一讲 高等数学中的
分析问题
和
解决问题
方法
13
一. 数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节 ) 数学模型 客观实际问题内在规律性的数学 结构. 具有形式化、符号化、简洁化的特点. 是一种高度抽象的模型. 有狭义和广义两种解释 . 数学建模方法 • 实验归纳法 • 理论分析法 ( P514 )
任取一个实数
x, 它关于直线 x a 的对称点为 2a x o x x a (a x) 2a x, x 2(b a) 而 2a x 关于直线 x b 的对称点为
b (b (2a x)) x 2(b a),
因此有
f ( x) f (2a x) f ( x 2(b a)) f (x) 是周期为 2(b a) 的函数 .
又知 f ( 0 ) g ( 0 ) 0 , 所以 f ( 0 ) g ( 0 ) 0 思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑? 提示：相邻两脚之和，并旋转1800。
19
2
二 .几种常用的分析问题的方法 (P444-455)
1. 简化方法
1. 简化方法 复杂问题
2. 直观分析法
24
显然可猜想
例1. 设定义在实数域上的函数 f (x) 的图形关于 直线 x a 及 x b (b a)对称 , 试证 f (x) 为周期 函数 . ( P.447 例4 ) y xa xb 证: x ( , ) , f (x) 有
f ( x 2(b a))
x
28
例如 , 求曲线
解:
a
f ( x) lim x x
x
f ( x) x e 的斜渐近线。 1
1 x2
lim e 1
x2
x
b lim [ f ( x) x ]
lim x [ e
1 x2
lim x
x
x
1]
1 2 0 x
所以曲线有斜渐近线