【KS5U解析】安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷(理科) Word版含解析
2014-2015年安徽省淮南市高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2014-2015学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（10*4=40分）1．（4分）F1，F2为平面上两个不同定点，|F1F2|=4，动点P满足：|PF1|+|PF2|=4，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段或不存在2．（4分）“p∨q是真命题”是“¬p为假命题”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）执行如图的程序框图，若输入N=2015，则输出S等于（）A．1B．C．D．4．（4分）已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为=﹣3+bx，若=17，，则b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣15．（4分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α6．（4分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=7．（4分）若a＞b＞0，e1，e2分别是+=1和﹣=1的离心率，则lge1+lge2的值为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定8．（4分）一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A．πB．3π+4C．π+4D．2π+49．（4分）若曲线x=y2上的动点P到A（﹣1，2）的距离与到y轴的距离之和为d，则d的最小值是（）A．B．2C．3D．410．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．二、填空题（5*3=15分）11．（3分）如图正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为．12．（3分）已知点P是抛物线y2=6x上的动点，F是抛物线的焦点，A（，2）为定点，则|PA|+|PF|的最小值是，取得最小值时点P的坐标是．13．（3分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C 的离心率e=．14．（3分）双曲线+=1的焦距为10，则m=．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．三．解答题（5小题共45分）16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．17．（9分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）求点C到平面A1BC1的距离．18．（9分）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线上的动点．（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；的最大值．（2）求S△ABM19．（9分）已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为（﹣，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的公共点A，B，且•＞2（其中O为坐标原点），求k的取值范围．20．（10分）已知椭圆=1，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过a＞4的椭圆的右焦点F任作一条斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，问在F右侧是否存在一点D（m，0），连AD、BD分别交直线x=于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过F，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年安徽省淮南市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（10*4=40分）1．（4分）F1，F2为平面上两个不同定点，|F1F2|=4，动点P满足：|PF1|+|PF2|=4，则动点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段或不存在【解答】解：F1，F2为平面上两个不同定点，|F1F2|=4，动点P满足：|PF1|+|PF2|=4，则动点P的轨迹是以F1，F2为端点的线段．故选：B．2．（4分）“p∨q是真命题”是“¬p为假命题”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若p∨q是真命题，则p，q至少有一个为真命题，则¬p为假命题不一定成立．若¬p为假命题，则p为真命题，∴p∨q是真命题，∴“p∨q是真命题”是“¬p为假命题”的必要不充分条件，故选：A．3．（4分）执行如图的程序框图，若输入N=2015，则输出S等于（）A．1B．C．D．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+的值．而S=++…+=1﹣=．故选：D．4．（4分）已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为=﹣3+bx，若=17，，则b的值为（）A．2B．1C．﹣2D．﹣1【解答】解：依题意知，==1.7，==0.4，而直线=﹣3+bx一定经过点（，），所以﹣3+b×1.7=0.4，解得b=2．故选：A．5．（4分）对于平面α，β，γ和直线a，b，m，n，下列命题中真命题是（）A．若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥αB．若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b则a∥bC．若a∥b，b⊂α，则a∥αD．若a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，则β∥α【解答】解：对于A，a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，m，n相交时，a⊥α，故不正确；对于B，α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，利用面面平行的性质，可得a∥b，故正确；对于C，a∥b，b⊂α，a⊄α时，a∥α，故不正确；对于D，a⊂β，b⊂β，a∥α，b∥α，a，b相交时，β∥α，故不正确．故选：B．6．（4分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．7．（4分）若a＞b＞0，e1，e2分别是+=1和﹣=1的离心率，则lge1+lge2的值为（）A．正数B．负数C．零D．无法确定【解答】解：由题意，∵a＞b＞0∴e1=，e2=∴lge1+lge2===∴＜0∴lge1+lge2的值为负数故选：B．8．（4分）一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圈，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（）A．πB．3π+4C．π+4D．2π+4【解答】解：由三视图可知：原几何体为圆柱的一半，（沿中轴线切开）由题意可知，圆柱的高为2，底面圆的半径为1，故其表面积为S=2×π×12+2×2+×2π×1×2=3π+4故选：B．9．（4分）若曲线x=y2上的动点P到A（﹣1，2）的距离与到y轴的距离之和为d，则d的最小值是（）A．B．2C．3D．4【解答】解：曲线x=y2的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设P在准线上的射影为M，由抛物线的定义可得|PM|=|PF|，则有d=|PA|+|PF|﹣1，当A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|取得最小值，且为|AF|==4，则有d的最小值为3．故选：C．10．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”故动点M的轨迹肯定过点D和点N而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线故选：A．二、填空题（5*3=15分）11．（3分）如图正△ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为．【解答】解：因为，且若△A′B′C′的面积为，那么△ABC的面积为故答案为：12．（3分）已知点P是抛物线y2=6x上的动点，F是抛物线的焦点，A（，2）为定点，则|PA|+|PF|的最小值是5，取得最小值时点P的坐标是（2，2）．【解答】解：由题意可得F（，0 ），准线方程为x=﹣，作PM⊥准线l，M为垂足，由抛物线的定义可得|PA|+|PF|=|PA|+|PM|，故当P，A，M三点共线时，|PA|+|PM|最小为|AM|=﹣（﹣）=5，此时，P点的纵坐标为2，代入抛物线的方程可求得P点的横坐标为2，故P点的坐标为（2，2），故答案为：5，（2，2）．13．（3分）已知椭圆的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，则C的离心率e=．【解答】解：设椭圆的右焦点为F'，连接AF'、BF'∵AB与FF'互相平分，∴四边形AFBF'为平行四边形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|2﹣2|AB|×|BF|cos∠ABF，可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7∵△ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，椭圆C的离心率e==故答案为：14．（3分）双曲线+=1的焦距为10，则m=﹣5或20．【解答】解：若双曲线+=1的焦点在x轴上，则方程为﹣=1，由13﹣m＞0，且2﹣m＞0，即有m＜2，则a2=13﹣m，b2=2﹣m，c2=25，由c2=a2+b2解得m=﹣5；若双曲线+=1的焦点在y轴上，则方程为﹣=1，由m﹣13＞0，且m﹣2＞0，即有m＞13，则a2=m﹣2，b2=m﹣13，c2=25，由c2=a2+b2解得m=20．综上可得m=﹣5或20．故答案为：﹣5或20．15．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是①②③⑤（写出所有正确命题的编号）．①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为．【解答】解：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1•PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．三．解答题（5小题共45分）16．（8分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：取PD的中点E，连接ME，CE，则ME∥AD，ME=AD，∵N为BC的中点，BC∥AD，∴ME∥CN，ME=CN，∴四边形MNCE是平行四边形，∴MN∥CE，∵MN⊄平面PCD，CE⊂平面PCD，∴MN∥平面PCD；（Ⅱ）解：过E作平面PAC的垂线，垂足为O，则由（Ⅰ）知，MN与平面PAC所成角等于EC与平面PAC所成角，∵D到平面PAC的距离为，∴E到平面PAC的距离为，∵CE==，∴CO==∴MN与平面PAC所成角的正切值为．17．（9分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（1）求证：AA1⊥平面ABC；（2）求二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（3）求点C到平面A1BC1的距离．【解答】证明：（1）因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，所以AA1⊥平面ABC．（3分）解：（2）由（1）知，AA1⊥AC，AA1⊥AB．由题意知AB=3，BC=5，AC=4，所以AB⊥AC．如图，以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（0，3，0），A1（0，0，4），B1（0，3，4），C1（4，0，4）．设平面A1BC1的法向量为=（x，y，z），则，即．令z=3，则x=0，y=4，所以．同理可得，平面BC 1B1的法向量为．所以cos＜＞=．由题知二面角A1﹣BC1﹣B1为锐角，所以二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（3）由（2）知平面A 1BC1的法向量为以，所以点C到平面A1BC1距离．18．（9分）如图，斜率为1的直线过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于两点A、B，M为抛物线上的动点．（1）若|AB|=8，求抛物线的方程；的最大值．（2）求S△ABM【解答】解：（1）由条件知，则，消去y得：，则x1+x2=3p，由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=4p又因为|AB|=8，即p=2，则抛物线的方程为y2=4x．（2）由（1）知|AB|=4p和，设，则M到AB的距离为：，因点M在直线AB的上方，所以则由知所以，则当y 0=p时，则19．（9分）已知中心在坐标原点的双曲线C的右焦点为（2，0），左顶点为（﹣，0）．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l：y=kx+与双曲线C恒有两个不同的公共点A，B，且•＞2（其中O为坐标原点），求k的取值范围．【解答】解：（1）设双曲线方程为﹣=1（a＞0，b＞0）．由已知得a=，c=2，b==1．故双曲线C的方程为﹣y2=1；（2）将y=kx+代入双曲线方程﹣y2=1，可得（1﹣3k2）x2﹣6kx﹣9=0，由直线l与双曲线交于不同的两点得即k2≠且k2＜1．①设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=x1x2=，由•＞2，即有x1x2+y1y2＞2，而x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+）（kx2+）=（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+2=（k2+1）•+k+2=，于是＞2，即＜k2＜3②由①、②得＜k2＜1．故k的取值范围为（﹣1，﹣）∪（，1）．20．（10分）已知椭圆=1，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过a＞4的椭圆的右焦点F任作一条斜率为k（k≠0）的直线交椭圆于A，B两点，问在F右侧是否存在一点D（m，0），连AD、BD分别交直线x=于M，N两点，且以MN为直径的圆恰好过F，若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆=1，离心率为，易知a=5，椭圆的方程为或…4分（Ⅱ）存在m=5，理由如下：由题知，F（3，0）．设AB的方程为y=k（x﹣3）．设A（x1，y1），B（x2，y2），由直线代入，可得（16+25k2）x2﹣150k2x+225 k2﹣400=0∴x 1+x2=，x1x2=；y1y2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分设M（，y 3），N（，y4），由M、A、D共线，y3=，同理y4= (8)分又=（，y 3），=（，y4），由已知得•=0得y3y4=﹣，∴•=﹣，∴（1+k2）（16m2﹣400）=0，∴m=±5，∵m＞3，∴m=5 …12分赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo第21页（共21页）【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
安徽省蚌埠市高二数学上学期期末试卷理(含解析) (1)
安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．46．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1209．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．210．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出，解答：解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），由直线x﹣y﹣3=0可得斜率k=，∴tanθ=，∴θ=30°．故选：A．点评：本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：由于直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y ﹣2）=0，令，解得即可．解答：解：直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y﹣2）=0，令，解得．∴直线恒过定点（1，1）．故选：D．点评：本题考查了直线系的应用，属于基础题．3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．解答：解：对于①，当两个平面垂直时， 一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有m⊥α，而n⊂α，∴m⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时， 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，两直线分别在这两平面内，它们所成的角的范围是0°到90°，故④不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线方程直接求出两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得答案．解答：解：直线（﹣）x+y=3的斜率为﹣（﹣），直线x+（﹣）y=2的斜率为，∵，∴直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2垂直．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的位置关系，有斜率的两条直线，若斜率之积等于﹣1，则两直线垂直，是基础题．5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF 的面积，直角梯形ADGE的面积，计算即可得出．解答：解：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF的面积，直角梯形ADGE的面积，∴m=n==6，则m+n=6．故选：B．点评：本题考查了几何体的三视图及其面积计算、空间中的点的坐标，属于基础题，6．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：推理和证明．分析：通过作图，利用数形结合即得结论．解答：解：∵“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，集合A、B的图象如图，其中B的区域是以（1，1）为中心，a为边长的正方形，显然要使B⊊A，只需a≤2即可，又∵a＞0，∴0＜a≤2，故选：C．点评：本题考查集合之间的关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中两数之间和能被3整除的情况，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，则2张卡片的取法有6×6=36种，其中两数之间和能被3整除情况有（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），共12种情况，故两数之间和能被3整除的概率P==故选：A．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：循环结构．专题：阅读型．分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p 的值，解题的关键是弄清循环次数．解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B点评：本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．9．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．解答：解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选B．点评：本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．10．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+2恒过点（2，b），不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，即可求出b的取值范围解答：解：直线y=k（x﹣2）+b恒过点（2，b），则∵不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，∴（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，∴4+b2≤9．∴﹣≤b≤故选：D．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是3．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据题意，写出该命题的否定命题、逆命题、否命题与逆否命题，并判断正误．解答：解：∵命题p：“若m＞0，则lnm＞0”，∴它的否定形式是“若m＞0，则lnm≤0”，它是真命题；逆命题是“若lnm＞0，则m＞0”，它是真命题；否命题是“若m≤0，则lnm＞0不成立”，它是真命题；逆否命题是“若lnm≤0，则m≤0”，它是假命题．综上，以上正确的个数是3．故答案为：3．点评：本题考查了四种命题以及命题的否定问题，是基础题目．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉．解答：解：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其体积=2×2×1=4．其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉，因此体积=×π×12×3=．因此该几何体的体积V=4+π．故答案为：4+π．点评：本题考查了三视图的原几何体的体积计算、长方体的条件计算公式、圆柱的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：根据已知条件能够说明∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC，从而容易说明△BCD为正三角形，从而得出二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．解答：解：根据已知条件知D为正三角形ABC边BC中点，且BD⊥AD，CD⊥AD；∴∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC；由BC==BD=CD得△BCD为正三角形；∴∠BDC=60°；∴二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．故答案为：60°．点评：考查二面角平面角的概念及求法，弄清图形折叠前后的变化，等边三角形的高线也是中线．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心坐标（1，2），半径为，过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，∴圆心到所求直线的距离为：1，设所求的直线的向量为k，所求直线为：y﹣5=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k+5=0，∴=1，解得k=，所求直线方程为：4x﹣3y+7=0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x﹣2=0，满足圆心到直线的距离为1．所求直线方程为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．故答案为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥B C，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以C D⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用分式的性质将分式w=进行化简，利用斜率的几何意义，即可求w的范围（Ⅱ）利用待定系数法即可求出圆的方程．解答：解：（Ⅰ）w===1+，设k=，则k的几何意义为点P到定点N（1，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则ON的斜率k=2，由，解得，即A（4，4），则NA的斜率k==．由k的取值范围是k≥2或≤．则1+k≥3或1+k≤．即w≥3或w≤．（Ⅱ）若覆盖此区域的面积最小的圆，则此时过点O，B（2，0），A（4，4）三点的圆即可．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得，圆的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y=0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），利用，可得，=．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，可得AE=x．在△OEA中，利用勾股定理可得x，可得AB=AQ=，PE=2+．V P﹣ABCD=，设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，因此所求公共部分体积=V P﹣ABCD×．解答：解：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．E（0，0，0），P（0，0，3），Q，B．=，=，取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=．∴===．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1=．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，∴AE=x．在△OEA中，由OE2+AE2=OA2，∴x2+2x2=4，解得x=，即AB=AQ=，PE=2+．∴V P﹣ABCD===．设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，∴因此所求公共部分体积=×=点评：本题考查了正四棱锥的性质、球与圆的性质、线面垂直的性质与判定定理、二面角、向量垂直与数量积的关系、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
Removed_蚌埠市2013-2014学年第一学期期末高二理科试题
高二数学（理科方向）试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的 A、B、C、D
的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡
蚌埠市 2013—2014 学年度第一学期期末学业水平监测
高二数学（理科方向）
第Ⅱ卷（非选择题，共 100 分）
三
题号 一 二
总分
16 17 18 19 20 21
得分
一、选择题答题栏：（不用答题卡的请将正确答案的字母代号填入下表；用答 题卡的不必填.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 小计 答案
得分 评卷人
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。请将答案直
接填在题中横线上。
:50 45. 44. 43. by 42.41.— 4—0.— 3—9.—3—8.by37@.—— 36.35. —34—. ——33.312. 1.2.3.34.0.5.6—.—29.by28.by@27.26.—— 25. 24. 23. 22. by 21.20. — 1—9.by:18.by:17.— 1—6.— 1—5.—1—4.—— 13. 12. 111.0“. ”by: 9M.“OOOKN”b8y.:——7.——6.——5.——4.——3.——2.——1.——
4．已知| 2x y m | 3 表示的平面区域包含点 (0, 0) 和 (1,1) ，则实数 m 的取值范围是
A． (0, 6)
安徽省蚌埠市高二数学上学期期末试卷 理(含解析)
安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．46．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1， 2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1209．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．210．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出，解答：解：设直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），由直线x﹣y﹣3=0可得斜率k=，∴tanθ=，∴θ=30°．故选：A．点评：本题考查了直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）考点：恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：由于直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y ﹣2）=0，令，解得即可．解答：解：直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，化为k（x﹣3y+2）+（x+y﹣2）=0，令，解得．∴直线恒过定点（1，1）．故选：D．点评：本题考查了直线系的应用，属于基础题．3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．解答：解：对于①，当两个平面垂直时， 一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有m⊥α，而n⊂α，∴m⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时， 一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，两直线分别在这两平面内，它们所成的角的范围是0°到90°，故④不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线方程直接求出两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得答案．解答：解：直线（﹣）x+y=3的斜率为﹣（﹣），直线x+（﹣）y=2的斜率为，∵，∴直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2垂直．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的位置关系，有斜率的两条直线，若斜率之积等于﹣1，则两直线垂直，是基础题．5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7 B．6 C．5 D．4考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF 的面积，直角梯形ADGE的面积，计算即可得出．解答：解：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF的面积，直角梯形ADGE的面积，∴m=n==6，则m+n=6．故选：B．点评：本题考查了几何体的三视图及其面积计算、空间中的点的坐标，属于基础题，6．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x ﹣1|+|y﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2] D．[1，3]考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：推理和证明．分析：通过作图，利用数形结合即得结论．解答：解：∵“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，集合A、B的图象如图，其中B的区域是以（1，1）为中心，a为边长的正方形，显然要使B⊊A，只需a≤2即可，又∵a＞0，∴0＜a≤2，故选：C．点评：本题考查集合之间的关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中两数之间和能被3整除的情况，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，则2张卡片的取法有6×6=36种，其中两数之间和能被3整除情况有（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），共12种情况，故两数之间和能被3整除的概率P==故选：A．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：循环结构．专题：阅读型．分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p 的值，解题的关键是弄清循环次数．解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B点评：本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．9．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1 B．C．D．2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．解答：解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选B．点评：本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．10．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．[﹣2，2] C．（﹣，）D．[﹣，]考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+2恒过点（2，b），不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，即可求出b的取值范围解答：解：直线y=k（x﹣2）+b恒过点（2，b），则∵不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，∴（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，∴4+b2≤9．∴﹣≤b≤故选：D．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是3．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据题意，写出该命题的否定命题、逆命题、否命题与逆否命题，并判断正误．解答：解：∵命题p：“若m＞0，则lnm＞0”，∴它的否定形式是“若m＞0，则lnm≤0”，它是真命题；逆命题是“若lnm＞0，则m＞0”，它是真命题；否命题是“若m≤0，则lnm＞0不成立”，它是真命题；逆否命题是“若lnm≤0，则m≤0”，它是假命题．综上，以上正确的个数是3．故答案为：3．点评：本题考查了四种命题以及命题的否定问题，是基础题目．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉．解答：解：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其体积=2×2×1=4．其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉，因此体积=×π×12×3=．因此该几何体的体积V=4+π．故答案为：4+π．点评：本题考查了三视图的原几何体的体积计算、长方体的条件计算公式、圆柱的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：根据已知条件能够说明∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC，从而容易说明△BCD为正三角形，从而得出二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．解答：解：根据已知条件知D为正三角形ABC边BC中点，且BD⊥AD，CD⊥AD；∴∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC；由BC==BD=CD得△BCD为正三角形；∴∠BDC=60°；∴二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．故答案为：60°．点评：考查二面角平面角的概念及求法，弄清图形折叠前后的变化，等边三角形的高线也是中线．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l 的方程为x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心坐标（1，2），半径为，过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，∴圆心到所求直线的距离为：1，设所求的直线的向量为k，所求直线为：y﹣5=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k+5=0，∴=1，解得k=，所求直线方程为：4x﹣3y+7=0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x﹣2=0，满足圆心到直线的距离为1．所求直线方程为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．故答案为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件 p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为[0，]．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B 两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用分式的性质将分式w=进行化简，利用斜率的几何意义，即可求w的范围（Ⅱ）利用待定系数法即可求出圆的方程．解答：解：（Ⅰ）w===1+，设k=，则k的几何意义为点P到定点N（1，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则ON的斜率k=2，由，解得，即A（4，4），则NA的斜率k==．由k的取值范围是k≥2或≤．则1+k≥3或1+k≤．即w≥3或w≤．（Ⅱ）若覆盖此区域的面积最小的圆，则此时过点O，B（2，0），A（4，4）三点的圆即可．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得，圆的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y=0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得 a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O 在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），利用，可得，=．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，可得AE=x．在△OEA中，利用勾股定理可得x，可得AB=AQ=，PE=2+．V P﹣ABCD=，设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，因此所求公共部分体积=V P﹣ABCD×．解答：解：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．E（0，0，0），P（0，0，3），Q，B．=，=，取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=．∴===．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1=．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，∴AE=x．在△OEA中，由OE2+AE2=OA2，∴x2+2x2=4，解得x=，即AB=AQ=，PE=2+．∴V P﹣ABCD===．设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，∴因此所求公共部分体积=×=点评：本题考查了正四棱锥的性质、球与圆的性质、线面垂直的性质与判定定理、二面角、向量垂直与数量积的关系、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。
2014-2015学年安徽省蚌埠一中高二(上)数学期中试卷带解析答案(理科)
2014-2015学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10道小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）如图所示的圆锥的俯视图为（）A．B．C．D．2．（5分）直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a 的值为（）A．B．C．﹣2 D．24．（5分）下列叙述中错误的是（）A．若P∈α∩β且α∩β=l，则P∈lB．三点A，B，C确定一个平面C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α．5．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=26．（5分）若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]7．（5分）若直线y=kx+b上两点P、Q的横坐标分别为x1、x2，则|PQ|为（）A．|x1 ﹣x2|•B．|x1 ﹣x2|•|k|C．D．8．（5分）在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2D．4cm210．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M﹣AC﹣B等于90°二．填空（每题5分）11．（5分）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，则它的棱长为．12．（5分）过点（﹣1，﹣2）的直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为．13．（5分）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是（写出所有符合要求的图形序号）．14．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点，则k的取值范围是．15．（5分）已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：（1）a∥α，b∥β，则a∥b；（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是．三、解答题（本大题共6道小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）为积极配合省运会志愿者招募工作，自贡一中拟成立由3名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，3名女同学共5名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．（1）求当选的3名同学中恰有1名男同学的概率；（2）求当选的3名同学中至少有2名女同学的概率．17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）画出二面角A﹣B1C﹣C1的平面角；（2）求证：面BB1DD1⊥面AB1C．18．（12分）如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C的中点．（1）求证：EP∥平面A′FB．（2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC．19．（13分）已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）求BC边中线AD所在直线方程；（Ⅱ）求点A到BC边的距离．20．（13分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．21．（13分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P 在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．2014-2015学年安徽省蚌埠一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10道小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）如图所示的圆锥的俯视图为（）A．B．C．D．【解答】解：如图放置圆锥的俯视图是一个等腰三角形．故选：C．2．（5分）直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，故选：C．3．（5分）已知两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，则满足条件a 的值为（）A．B．C．﹣2 D．2【解答】解：根据两条直线l1：x+2ay﹣1=0，l2：x﹣4y=0，且l1∥l2，可得，求得a=﹣2，故选：C．4．（5分）下列叙述中错误的是（）A．若P∈α∩β且α∩β=l，则P∈lB．三点A，B，C确定一个平面C．若直线a∩b=A，则直线a与b能够确定一个平面D．若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，则l⊂α．【解答】解：选项A，点P在是两平面的公共点，当然在交线上，故正确；选项B，只有不共线的三点才能确定一个平面，故错误；选项C，由公理的推论可知，两相交直线确定一个平面，故正确；选项D，由公理1，直线上有两点在一个平面内，则整条直线都在平面内．故选：B．5．（5分）已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2【解答】解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选：B．6．（5分）若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x ﹣y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣2，1]C．[﹣1，2]D．[1，2]【解答】解：先根据约束条件画出可行域，由得B（2，0），由，得A（0，1），当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]故选：C．7．（5分）若直线y=kx+b上两点P、Q的横坐标分别为x1、x2，则|PQ|为（）A．|x1 ﹣x2|•B．|x1 ﹣x2|•|k|C．D．【解答】解：∵P、Q在直线y=kx+b上，且其横坐标分别为x1、x2，则P（x1，kx1+b），Q（x2，kx2+b），∴|PQ|===．故选：A．8．（5分）在三棱锥的六条棱中任意选择两条，则这两条棱是一对异面直线的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：在三棱锥的六条棱中任意选择两条，所有的选法共有C62=15 种，其中，这两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，故所求事件的概率等于=，故选：C．9．（5分）已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（）A．B．C．8cm2D．4cm2【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2=（cm2），故选：A．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是（）A．D1O∥平面A1BC1B．MO⊥平面A1BC1C．异面直线BC1与AC所成的角等于60°D．二面角M﹣AC﹣B等于90°【解答】解：对于A，连接B1D1，BO，交A1C1于E，则四边形D1OBE为平行四边形，所以D1O∥BE，因为D1O⊄平面A1BC1，BE⊂平面A1BC1，所以D1O∥平面A1BC1，故正确；对于B，连接C1D，∵O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，∴MO∥B1D，∵B1D⊥平面A1BC1，∴MO⊥平面A1BC1，∴正确；对于C，∵AC∥A1C1，∴∠A1C1B为异面直线BC1与AC所成的角所成的角，∵△A1C1B为等边三角形，∴∠A1C1B=60°，故正确；对于D，因为BO⊥AC，MO⊥AC，∴∠MOB为二面角M﹣AC﹣B的平面角，显然不等于90°，故不正确综上知，选D故选：D．二．填空（每题5分）11．（5分）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，则它的棱长为2．【解答】解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2，设正三棱柱的侧棱长为：a，由题意可知，三棱柱的底面面积为：，=所以a=2．故答案为：2．12．（5分）过点（﹣1，﹣2）的直线l被圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0截得的弦长为，则直线l的斜率为1或．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径r=1，又弦长为，∴圆心到直线l的距离d==，设直线l的斜率为k，又直线l过（﹣1，﹣2），∴直线l的方程为y+2=k（x+1），即kx﹣y+k﹣2=0，∴=，即（k﹣1）（7k﹣17）=0，解得：k=1或k=，则直线l的斜率为1或．故答案为：1或13．（5分）下列五个正方体图形中，l是正方形的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是①④⑤（写出所有符合要求的图形序号）．【解答】解：如图，设正方体为ABCD﹣A1B1C1D1．在题图①中，连结AB1，则AB1⊥MN，又AB1是l在面ABB1A1内的射影，∴l⊥MN．同理，l⊥MP．∴l⊥平面MNP．故①符合．在题图②中，延长MP交C1D1的延长线于E，连结NE，若l⊥面MNP，则l ⊥NE．又C1D是l在平面CDD1C内的射影，CD1⊥C1D，∴l⊥CD1．∴l⊥平面CDD1C1，矛盾．∴②不符合．在题图③中，平面MNP与题图①中的平面MNP不是同一平面，它们又过同一点，∴题图③不符合．在题图④中，l⊥MP，l⊥MN，∴l⊥平面MNP．延长PM交AB于F，取CD的中点G，则GN∥MP，∴G∈平面MNP．连结FG交BC于H，则H∈平面MNP，可证H是BC的中点．∴题图④与题图⑤中的平面MNP实为同一平面．∴⑤也符合．答案：①④⑤14．（5分）若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点，则k的取值范围是[﹣1，﹣）．【解答】解：曲线y=即x2+y2=4，（y≥0）表示一个以（0，0）为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示：直线y=kx+4+2k即y=k（x+2）+4表示恒过点（﹣2，4）斜率为k的直线结合图形可得k AB==﹣1，∵=2解得k=﹣即k AT=﹣∴要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是[﹣1，﹣）．故答案为：[﹣1，﹣）．15．（5分）已知a，b为直线，α，β，γ为平面，有下列四个命题：（1）a∥α，b∥β，则a∥b；（2）a⊥γ，b⊥γ，则a∥b；（3）a∥b，b⊂α，则a∥α；（4）a⊥b，a⊥α，则b∥α；其中正确命题是（2）．【解答】解：对于（1），a∥α，b∥β，则a∥b，α、β位置关系不确定，a、b的位置关系不能确定；对于（2），由垂直于同一平面的两直线平行，知结论正确；对于（3），a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α；对于（4），a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α．故答案为：（2）三、解答题（本大题共6道小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）为积极配合省运会志愿者招募工作，自贡一中拟成立由3名同学组成的志愿者招募宣传队，经过初步选定，2名男同学，3名女同学共5名同学成为候选人，每位候选人当选宣传队队员的机会是相同的．（1）求当选的3名同学中恰有1名男同学的概率；（2）求当选的3名同学中至少有2名女同学的概率．【解答】解：（1）所有的选法共有=10种，当选的3名同学中恰有1名男同学的选法有•=6种，∴当选的3名同学中恰有1名男同学的概率为=．（2）所有的选法共有=10种，当选的3名同学中恰有2名女同学的选法有•=6种，当选的3名同学中恰有3名女同学的选法有=1种，故当选当选的3名同学中至少有2名女同学的选法有6+1=7种，故当选的3名同学中至少有2名女同学的概率为．17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）画出二面角A﹣B1C﹣C1的平面角；（2）求证：面BB1DD1⊥面AB1C．【解答】（1）解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，取B1C的中点O，连结AO，C1O，∵AB1=AC，B1C1=CC1，∴AO⊥B1C，C1O⊥B1C，∴∠AOC1是二面角A﹣B1C﹣C1的平面角．（2）证明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥BB1，BD∩BB1=B，∴AC⊥平面BB1DD1，∵AC⊂平面AB1C，∴面BB1DD1⊥面AB1C．18．（12分）如图，E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A′EF的位置，连接A′B、A′C，P为A′C的中点．（1）求证：EP∥平面A′FB．（2）求证：平面A′EC⊥平面A′BC．【解答】证明：（1）∵E、P分别为AC、A′C的中点，∴EP∥A′A，又A′A⊂平面AA′B，而EP⊄平面AA′B，∴故有EP∥平面AA′B，即EP∥平面A′FB．（2）∵E、F分别为直角三角形ABC的直角边AC和斜边AB的中点，∴EF∥BC．∵BC⊥AC，EF⊥AE，故EF⊥A′E，∴BC⊥A′E．而A′E与AC相交，∴BC⊥平面A′EC．又BC⊂平面A′BC，∴平面A′BC⊥平面A′EC．19．（13分）已知△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）求BC边中线AD所在直线方程；（Ⅱ）求点A到BC边的距离．【解答】解：（Ⅰ）△ABC三个顶点是A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3），∴BC边中点D（0，1），∴直线AD的方程为：，整理，得3x+y﹣1=0．（6分）（2）直线BC的方程为：=，整理，得：x﹣y+1=0，∴点A到BC边的距离：d==．（6分）20．（13分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3=0和l2：2x+y﹣6=0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．【解答】解：（1）依题意可设A（m，n）、B（2﹣m，2﹣n），则，即，解得m=﹣1，n=2．即A（﹣1，2），又l过点P（1，1），用两点式求得AB方程为=，即：x+2y﹣3=0．（2）圆心（0，0）到直线l的距离d==，设圆的半径为R，则由，求得R2=5，故所求圆的方程为x2+y2=5．21．（13分）已知圆M的方程为x2+（y﹣2）2=1，直线l的方程为x﹣2y=0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B．（1）若∠APB=60°，试求点P的坐标；（2）若P点的坐标为（2，1），过P作直线与圆M交于C，D两点，当时，求直线CD的方程；（3）求证：经过A，P，M三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【解答】解：（1）设P（2m，m），由题可知MP=2，所以（2m）2+（m﹣2）2=4，解之得：，故所求点P的坐标为P（0，0）或．（2）设直线CD的方程为：y﹣1=k（x﹣2），易知k存在，由题知圆心M到直线CD的距离为，所以，解得，k=﹣1或，故所求直线CD的方程为：x+y﹣3=0或x+7y﹣9=0．（3）设P（2m，m），MP的中点，因为PA是圆M的切线，所以经过A，P，M三点的圆是以Q为圆心，以MQ为半径的圆，故其方程为：化简得：x2+y2﹣2y﹣m（2x+y﹣2）=0，此式是关于m的恒等式，故x2+y2﹣2y=0且（2x+y﹣2）=0，解得或所以经过A，P，M三点的圆必过定点（0，2）或（，）．。
【精品】2014-2015年安徽省黄山市高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2014-2015学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：每小题5分，共10分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是（）A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆2．（5分）等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）曲线+=1与曲线+=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等4．（5分）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．﹣2或1 5．（5分）直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的值为（）A．1B．0C．1或0D．1或36．（5分）已知直线a，平面α、β，且a⊄α．①α⊥β；②a⊥β；③a∥α，以这三个条件中的两个为题设，余下一个为结论组成命题，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个7．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣88．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l9．（5分）底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形的四棱锥，其5个顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）二、填空题：每小题5分，共25分．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．12．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是抛物线上一点，|AF|=x0，则x0=．13．（5分）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是．14．（5分）已知实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在直线ax+by+c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是．15．（5分）若椭圆M1：+=1（a1＞b1＞0）和椭圆M2：+=1（a2＞b2＞0）的长轴长相等，c1、c2分别为它们的半焦距，且b1＞b2．给出下列五个命题，其中为真命题的是（写出所有真命题的序号）①设椭圆的离心率为e，则e1＞e2；②b12﹣b22=c22﹣c12；③b2c1＞b1c2；④设椭圆M1的焦点F1、F2，P1为椭圆M1上的任意一点，椭圆M2的焦点F3、F4，P2为椭圆M2上的任意一点，则∠F1P1F2和∠F3P2F4都取最大角时，∠F1P1F2＜∠F3P2F4；⑤若称椭圆上的点与焦点之间的线段之间的线段长度为焦半径，则椭圆M1的最短的焦半径比椭圆M2的最短的焦半径要长．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共75分．16．（12分）已知命题p：“∀x＞1，x+≥a”，命题q：“方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根”，p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切，（1）求圆C的方程；（2）若与直线l1垂直的直线l2与圆交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线l2的方程．18．（12分）已知A，B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，求证：直线BD平行x轴．19．（13分）一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．20．（13分）如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°（1）求直线AD与平面BCD所成角的大小．（2）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．21．（13分）已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；（1）求椭圆C的离心率；（2）已知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．2014-2015学年安徽省黄山市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：每小题5分，共10分．在四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是（）A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆C．所有四边形的四个顶点共圆D．所有四边形的四个顶点都不共圆【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，得；命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”．故选：A．2．（5分）等比数列{a n}中，“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a1＜0，q＞1时，{a n}递减，∴数列{a n}单调递增不成立．若数列{a n}单调递增，当a1＜0，0＜q＜1时，满足{a n}递增，但q＞1不成立．∴“公比q＞1”是“数列{a n}单调递增”的既不充分也不必要条件．故选：D．3．（5分）曲线+=1与曲线+=1（k＜9）的（）A．长轴长相等B．短轴长相等C．离心率相等D．焦距相等【解答】解：曲线+=1表示焦点在x轴上的椭圆，且a=4，b=3，c=，e=；曲线+=1（k＜9）表示焦点在x轴上的椭圆，且a'=，b'=c'=，e'=则有A，B，C均错，D正确．故选：D．4．（5分）直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，则a的值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．﹣2或1【解答】解：因为直线方程：x+ay+1=0，直线方程：（a+1）x﹣2y+3=0，所以两条直线的斜率是：和，因为直线x+ay+1=0与直线（a+1）x﹣2y+3=0互相垂直，所以（）×=﹣1，则a=1，故选：C．5．（5分）直线y=kx+2与抛物线y2=8x只有一个公共点，则k的值为（）A．1B．0C．1或0D．1或3【解答】解：由，得（kx+2）2=8x，∴k2x2+4kx+4=8x，整理，得k2x2+（4k﹣8）x+4=0，∵直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，∴△=（4k﹣8）2﹣16k2=0，或k2=0，解得k=1，或k=0．故选：C．6．（5分）已知直线a，平面α、β，且a⊄α．①α⊥β；②a⊥β；③a∥α，以这三个条件中的两个为题设，余下一个为结论组成命题，其中真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：由题意可得：②a⊥α①α⊥β又a⊄α⇒③a∥β，由空间中线面的位置关系可得此结论正确．所以①②⇒③正确．③a∥α①α⊥β⇒②a⊥α不正确，还有可能是a∥α．所以①③⇒②错误．③a∥α②a⊥β⇒①α⊥β，根据面面垂直的定义可得此结论是正确的．所以③②⇒①正确．故选：C．7．（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A．﹣2B．﹣4C．﹣6D．﹣8【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即（x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，故弦心距d==．再由弦长公式可得2﹣a=2+4，∴a=﹣4，故选：B．8．（5分）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l ⊥n，l⊄α，l⊄β，则（）A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l【解答】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l⊄α，所以l∥α，又n⊥平面β，l⊥n，l⊄β，所以l∥β．由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，与m，n异面矛盾．故α与β相交，且交线平行于l．故选：D．9．（5分）底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形的四棱锥，其5个顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A．B．16πC．9πD．【解答】解：设球的半径为R，则（）2=4•（2R﹣4），∴R=，∴球的表面积为4πR2=4=．故选：A．10．（5分）已知F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交另一条渐近线于点M，若∠F1MF2为锐角，则双曲线离心率的取值范围是（）A．B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）【解答】解：联立，解得，∴M（，），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴=（，），=（，），由题意可得＞0，即＞0，化简可得b2＞3a2，即c2﹣a2＞3a2，故可得c2＞4a2，c＞2a，可得e=＞2故选：D．二、填空题：每小题5分，共25分．11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．【解答】解：如图所示：该几何体为一个三棱锥，PA⊥底面ABC，PA=4，AD⊥BC，D为BC的中点．∴该几何体的表面积S==．故答案为：16+4．12．（5分）已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是抛物线上一点，|AF|=x0，则x0=1．【解答】解：抛物线C：y2=x的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可得，A到焦点的距离即为A到准线的距离，即有|AF|=x0+=，解得x0=1．故答案为：1．13．（5分）圆x2+y2﹣2x+6y+5a=0关于直线y=x+2b成轴对称图形，则a﹣b的取值范围是（﹣∞，4）．【解答】解：由题意可得圆的方程为（x﹣1）2+（y+3）2=10﹣5a，故圆心为（1，﹣3），半径为，由题意可得，圆心（1，﹣3）在直线y=x+2b上，∴﹣3=1+2b，且10﹣5a＞0，∴b=﹣2，a＜2，∴a﹣b＜4，故答案为：（﹣∞，4）．14．（5分）已知实数a，b，c成等差数列，点P（﹣1，0）在直线ax+by+c=0上的射影是Q，则Q的轨迹方程是x2+（y+1）2=2．【解答】解：∵a，b，c成等差数列∴a﹣2b+c=0即直线ax+by+c=0横过定点M（1，﹣2）∵点P（﹣1，0）在直线l：ax+by+c=0上的射影是Q∴PQ⊥直线l故PQM构成直角三角形，Q的轨迹是以PM为直径的圆．故答案为x2+（y+1）2=2．15．（5分）若椭圆M1：+=1（a1＞b1＞0）和椭圆M2：+=1（a2＞b2＞0）的长轴长相等，c1、c2分别为它们的半焦距，且b1＞b2．给出下列五个命题，其中为真命题的是②④⑤（写出所有真命题的序号）①设椭圆的离心率为e，则e1＞e2；②b12﹣b22=c22﹣c12；③b2c1＞b1c2；④设椭圆M1的焦点F1、F2，P1为椭圆M1上的任意一点，椭圆M2的焦点F3、F4，P2为椭圆M2上的任意一点，则∠F1P1F2和∠F3P2F4都取最大角时，∠F1P1F2＜∠F3P2F4；⑤若称椭圆上的点与焦点之间的线段之间的线段长度为焦半径，则椭圆M1的最短的焦半径比椭圆M2的最短的焦半径要长．【解答】解：①设椭圆的离心率为e，因为b1＞b2，所以c1＜c2，则e1＜e2，故不正确；②因为a1=a2，所以b12+c12=b22+c22，所以b12﹣b22=c22﹣c12，故正确；③因为b1＞b2，c1＜c2，所以b2c1＜b1c2，故不正确；④设椭圆M1的焦点F1、F2，P1为椭圆M1上的任意一点，椭圆M2的焦点F3、F4，P2为椭圆M2上的任意一点，则因为b1＞b2，c1＜c2，所以∠F1P1F2和∠F3P2F4都取最大角时，∠F1P1F2＜∠F3P2F4，故正确；⑤若称椭圆上的点与焦点之间的线段之间的线段长度为焦半径，则椭圆M1的最短的焦半径a1﹣c1比椭圆M2的最短的焦半径a2﹣c2要长，故正确．故答案为：②④⑤．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共75分．16．（12分）已知命题p：“∀x＞1，x+≥a”，命题q：“方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根”，p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p为真命题时：∀x＞1，x﹣1＞0，根据基本不等式，a≤x﹣1++1≤2+1=2+1=3（当且仅当x﹣1=即x=0时取相等），此时a≤3；命题q为真命题时，方程x2﹣ax+2a=0有两个不等实根，则△＞0，即a2﹣8a＞0，解得a＜0或a＞8；∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴命题p和q一真一假，p真q假时，有，则0≤a≤3，p假q真时，有，则a＞8，∴实数a的取值范围：[0，3]∪（8，+∞）．17．（12分）已知圆C的圆心为坐标原点O，且与直线l1：x﹣y﹣2=0相切，（1）求圆C的方程；（2）若与直线l1垂直的直线l2与圆交于不同的两点P、Q，且以PQ为直径的圆过原点，求直线l2的方程．【解答】解：（1）由已知圆心到直线的距离为半径，求得半径r==，∴圆的方程为x2+y2=2．（2）设直线l2的方程为x+y+c=0，由已知△OPQ为等腰直角三角形，则圆心到直线l2的距离为1，利用点到直线的距离公式得=1，求得c=±．所以直线l2的方程为x+y+=0或x+y﹣=0．18．（12分）已知A，B是抛物线C：y2=2px（p＞0）上不同的两点，点D在抛物线C的准线l上，且焦点F到直线x﹣y+2=0的距离为．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线AB过焦点F，且直线AD过原点O，求证：直线BD平行x轴．【解答】（1）解：抛物线C：y2=2px的焦点F（，0），由题意可得d==，解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x；（2）证明：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=﹣1，设直线AB：x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线方程，可得y2﹣4ty﹣4=0，即有y 1y2=﹣4，直线AD：y=x，则有D（﹣1，﹣），由于﹣=﹣=﹣=y2，故直线BD平行x轴．19．（13分）一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．（1）求证：AC⊥BD；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．【解答】（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，所以EA⊥AC，即ED ⊥AC．又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．因为BD⊂平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，（6分）解得所以BC=4，．以下给出求三棱锥E﹣BCD体积的两种方法：方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，所以．（10分）因为EA⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EA⊥AB，即ED⊥AB．其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）方法2：因为EA⊥平面ABC，所以．（10分）其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，所以．（13分）所以．（14分）20．（13分）如图，已知△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠CBA=∠DBC=120°（1）求直线AD与平面BCD所成角的大小．（2）求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．【解答】证明：（1）如图，在平面ABC内，过A作AH⊥BC，垂足为H，连接DH，则AH⊥平面DBC，AD在平面DBC内的射影为DH，∴∠ADH即为直线AD与平面BCD所成的角．由题设知，∴△AHB≌△DHB，∴∠AHB=∠DHB=90°，即DH⊥BH，∴∠ADH=45°，即直线AD与平面BCD所成角的大小为45°．（2）过H作HR⊥BD，垂足为R，连接AR，则由AH⊥平面BCD，∴AH⊥BD，AH∩HR=H，∴BD⊥平面AHR，∴BD⊥AR，故∠ARH为二面角A﹣BD﹣C的平面角的补角．设BC=a，则有题设知，DH=AH=BDsin60°=，HB=，在△HDB中，HR=HBsin60°═×=，∴tan∠ARH=，cos∠ARH=，故二面角A﹣BD﹣C的余弦值为﹣．21．（13分）已知椭圆C的方程为，点A、B分别为其左、右顶点，点F1、F2分别为其左、右焦点，以点A为圆心，AF1为半径作圆A；以点B为圆心，OB为半径作圆B；若直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；（1）求椭圆C的离心率；（2）已知a=7，问是否存在点P，使得过P点有无数条直线被圆A和圆B截得的弦长之比为；若存在，请求出所有的P点坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由，得直线l的倾斜角为150°，则点A到直线l的距离，故直线l被圆A截得的弦长为，直线l被圆B截得的弦长为，据题意有：，即化简得：16e2﹣32e+7=0，解得：或，又椭圆的离心率e∈（0，1）；故椭圆C 的离心率为．（2）假设存在，设P 点坐标为（m ，n ），过P 点的直线为L ； 当直线L 的斜率不存在时，直线L 不能被两圆同时所截； 故可设直线L 的方程为y ﹣n=k （x ﹣m ）， 则点A （﹣7，0）到直线L 的距离，由（1）有，得=，故直线L 被圆A 截得的弦长为， 则点B （7，0）到直线L 的距离，r B =7，故直线L 被圆B 截得的弦长为，据题意有：，即有16（r A 2﹣D 12）=9（r B 2﹣D 22），整理得4D 1=3D 2，即=，关于k 的方程有无穷多解， 故有：，故所求点P 坐标为（﹣1，0）或（﹣49，0）．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=k 0)(>k f xy1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下)x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-xx①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
安徽省蚌埠市高二数学上学期期末考试试卷 文(含解析)
2014-2015学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内2．已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0，] B．（，π） C． [，π） D．（0，）4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 36．有2个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同．则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β8．过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B． x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=59．设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]10．已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A． B． 4 C． D． 6二．填空题11．若命题p：x∈（A∪B），则￢p是．12．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该梯形的面积为．13．已知集合A={（x，y）|}，集合B={（x，y）|3x+2y﹣m=0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于．14．在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是．15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三．解答题16．已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．17．根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．18．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，BC=AD，BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由．19．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率．20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积．21．已知直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．（1）证明：直线过l定点；（2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．2014-2015学年安徽省蚌埠市高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题1．下列说法中正确的是（）A．三点确定一个平面B．两条直线确定一个平面C．两两相交的三条直线一定在同一平面内D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内考点：平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：根据不共线的三点确定一个平面，可判断A是否正确；根据两条相交直线确定一个平面α，第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时，也在α内，由此可判断B正确；根据当点在直线上时，不能确定平面来判断C是否正确；根据空间四边形四点不共面来判断D是否正确．解答：解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；对D，由C可知D正确．故选：D．点评：本题考查了确定平面的条件以及直线共面的问题．2．已知命题甲：A1、A2是互斥事件；命题乙：A1、A2是对立事件，那么甲是乙的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：互斥事件与对立事件．专题：计算题．分析：两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，得到结论．解答：解：∵两个事件是互斥事件，这两个事件不一定是互斥事件，当两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，∴命题甲不一定推出命题乙，命题乙一定能推出命题甲，∴甲是乙的必要不充分条件，故选B．点评：本题考查互斥事件和对立事件的关系，若把互斥事件和对立事件都看做一个集合时，后者对应的集合是前者对应集合的子集．3．直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）A． [0，] B．（，π） C． [，π） D．（0，）考点：直线的一般式方程．专题：直线与圆．分析：当a=0时，直线的倾斜角为；当a≠0时，求出直线的斜率，由斜率的范围可得直线的倾斜角的范围．解答：解：当a2=0，即a=0时，直线方程为x=﹣1，直线的倾斜角为；当a2≠0，即a≠0时，直线的斜率为k=＜0，则直线的倾斜角为钝角，即α＜π．∴直线x+a2y+1=0（a∈R）的倾斜角的取值范围是（）．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为（）A． B． C． D．考点：简单空间图形的三视图．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图的特点，知道左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，得到结果．解答：解：左视图从图形的左边向右边看，看到一个正方形的面，在面上有一条对角线，对角线是由左下角到右上角的线，故选C．点评：本题考查空间图形的三视图，考查左视图的做法，本题是一个基础题，考查的内容比较简单，可能出现的错误是对角线的方向可能出错．5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．﹣1 B． 0 C． 1 D． 3考点：条件语句；循环语句．专题：算法和程序框图．分析：本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用，属于容易题．解答：解：第一次运行程序时i=1，s=3；第二次运行程序时，i=2，s=2；第三次运行程序时，i=3，s=1；第四次运行程序时，i=4，s=0，此时执行i=i+1后i=5，推出循环输出s=0，故选B点评：涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．6．有2个兴趣小组，甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同．则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为（）A． B． C． D．考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题；概率与统计．分析：本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果，满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组有2种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件数是2×2×2=8种结果，满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组，由于共有2个小组，则有2种结果，根据古典概型概率公式得到P==，故选A．点评：本题考查古典概型概率公式，是一个基础题，确定试验发生包含的事件数和满足条件的事件数是关键．7．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（） A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若m∥α，m∥β，则α∥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．解答：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故A正确；若m⊥α，n⊥α，则由直线与平面垂直的性质得m∥n，故B正确；若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故C错误；若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：A．点评：本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．8．过圆x2+y2=4外一点P（4，2）作圆的两条切线，切点分别为A，B，则△ABP的外接圆方程是（）A．（x﹣4）2+（y﹣2）2=1 B． x2+（y﹣2）2=4 C．（x+2）2+（y+1）2=5 D．（x﹣2）2+（y﹣1）2=5考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：根据已知圆的方程找出圆心坐标，发现圆心为坐标原点，根据题意可知，△ABP的外接圆即为四边形OAPB的外接圆，从而得到线段OP为外接圆的直径，其中点为外接圆的圆心，根据P和O两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径，除以2求出半径，利用中点坐标公式求出线段OP的中点即为外接圆的圆心，根据求出的圆心坐标和半径写出外接圆的方程即可．解答：解：由圆x2+y2=4，得到圆心O坐标为（0，0），∴△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆，又P（4，2），∴外接圆的直径为|OP|==2，半径为，外接圆的圆心为线段OP的中点是（，），即（2，1），则△ABP的外接圆方程是（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．故选D点评：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标公式．根据题意得到△ABP的外接圆为四边形OAPB的外接圆是本题的突破点．9．设A（﹣2，2）、B（1，1），若直线ax+y+1=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]∪[2，+∞） B． [﹣，2） C．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞） D． [﹣2，]考点：两条直线的交点坐标．专题：直线与圆．分析：直线ax+y+1=0与线段AB有交点，说明两点的坐标代入ax+y+1所得的值异号，或直线经过其中一点，由此得不等式求得a的取值范围．解答：解：∵A（﹣2，2）、B（1，1），由直线ax+y+1=0与线段AB有交点，∴A，B在直线ax+y+1=0的两侧或直线经过A，B中的一点．可得（﹣2a+2+1）（a+1+1）≤0．即（2a﹣3）（a+2）≥0，解得：a≤﹣2或a．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）．故选：C．点评：本题考查了二元一次方程组所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，是基础题．10．已知球的直径SC=6，A，B，是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S ﹣ABC的体积为（）A． B． 4 C． D． 6考点：球内接多面体．专题：计算题；空间位置关系与距离；球．分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=3，∠SAC=∠SBC=90°，说明过O，A，B的平面与SC 垂直，求出三角形OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．解答：解：如图，由题意△ASC，△BSC均为等腰直角三角形，且SA=AC=SB=BC=3，所以∠SOA=∠SOB=90°，所以SC⊥平面ABO．又AB=3，△ABO为正三角形，则S△ABO=×32=，进而可得：V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB=××6=．故选C．点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，得出SC⊥平面ABO是本题的解题关键，且用了体积分割法．二．填空题11．若命题p：x∈（A∪B），则￢p是x∉A且x∉B ．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据命题的否定的定义写出即可．解答：解：若命题p：x∈（A∪B），则￢p是：x∉A且x∉B，故答案为：x∉A且x∉B．点评：本题考查了命题的否定，是一道基础题．12．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积为2，则该梯形的面积为4．考点：平面图形的直观图．专题：空间位置关系与距离．分析：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，画出图形，结合图形解答问题即可．解答：解：把该梯形的直观图还原为原来的梯形，如图所示；设该梯形的上底为a，下底为b，高为h，则直观图中等腰梯形的高为h′=hsin45°；∵等腰梯形的体积为（a+b）h′=（a+b）•hsin45°=2，∴（a+b）•h==4；∴该梯形的面积为4．故答案为：4．点评：本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题，解题时应明确直观图与原来图形的区别和联系，是基础题目．13．已知集合A={（x，y）|}，集合B={（x，y）|3x+2y﹣m=0}，若A∩B≠∅，则实数m的最小值等于 5 ．考点：简单线性规划；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用A∩B≠∅，建立直线和平面区域的关系求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：A∩B≠∅说明直线与平面区域有公共点，由3x+2y﹣m=0得m=3x+2y．由图象可知在点A（1，1）处，函数m=3x+2y取得最小值，此时m=3+2=5．故答案为：5．点评：本题主要考查线性规划的基本应用，利用m的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．14．在集合M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：先根据集合的定义求出在所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，再找到满足对∀∈A，则∈A”的集合的种数，利用古典概型的概率公式求出概率即可解答：解：M={，，1，2，3}的所有非空子集中任取一个集合，共有25﹣1=31种，其中满足条件“对∀∈A，则∈A”的有{，3}，{，2}，{1}，{1，，3}，{1，，2}，{，，2，3}，{，，1，2，3}共7种，故恰满足条件“对∀∈A，则∈A”的集合的概率是故答案为：点评：本题考查了根据古典概型的概率公式计算随机事件的概率，属于基础题15．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三．解答题16．已知p：1≤x＜3；q：x2﹣ax≤x﹣a；若￢p是￢q的充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：分别求出关于p，q的x的范围，根据p，q的关系，从而确定a的范围．解答：解：p：1≤x＜3，q：x2﹣ax≤x﹣a⇔（x﹣1）（x﹣a）≤0，∵￢p⇒￢q，∴q⇒p，∴a≥1，∴q：1≤x≤a，∴实数a的范围是：[1，3）．点评：本题考查了充分必要条件，考查了命题之间的关系，是一道基础题．17．根据所给条件求直线l的方程．（1）直线l经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直；（2）直线l过点（﹣4，8），且到原点的距离为4．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）由已知中圆的方程，我们先确定出圆的圆心的坐标，然后根据与已知直线垂直的直线的直线系方程，我们设出与直线2x+y=0垂直的直线方程（含参数λ），将圆心坐标代入可以构造一个关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可得到答案．（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），由=4，解出k值，可得直线方程．解答：解：（1）由已知，圆的标准方程为x2+（y+l）2=1，圆心坐标为（0，﹣1）设与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y+λ=0则2+λ=0，所以λ=﹣2故经过圆x2+y2+2y=0的圆心，且与直线2x+y=0垂直的直线方程是x﹣2y﹣2=0；（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=﹣4，满足条件．当直线的斜率存在时，设直线的方程为y﹣8=k（x+4），即kx﹣y﹣4k﹣8=0，由条件得=4，∴k=﹣，故直线方程为3x+4y﹣20=0．综上，直线l的方程为x=﹣4或3x+4y﹣20=0．点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，考查点到直线的距离公式的应用，用待定系数法求直线方程，体现了分类讨论的数学思想．18．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BE∥AF，BC∥AD，BC=AD，BE=AF，G、H分别为FA、FD的中点．（1）在证明：四边形BCHG是平行四边形．（2）C、D、F、E四点是否共面？若共面，请证明，若不共面，请说明理由．考点：直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知得GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD故GH∥BC，GH=BC，由此能证明四边形BCHG是平行四边形．（2）由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GA，BR=GA，从而得到四边形BEFG是平行四边形，由此能推导出C，D，F，E四点共面．解答：（1）证明：由题意知，FG=GA，FH=HD所以GH∥AD，GH=AD，又BC∥AD，BC=AD故GH∥BC，GH=BC，所以四边形BCHG是平行四边形．（2）C，D，F，E四点共面．理由如下：由BE∥AF，BE=AF，G是FA的中点知，BE∥GF，BE=GF，所以四边形BEFG是平行四边形，所以EF∥BG由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC，FH共面．又点D在直线FH上所以C，D，F，E四点共面．点评：本题考查了立体几何中四点共面问题和求二面角的问题，考查空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力．19．袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是．（1）求n的值；（2）（2）从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．记事件A表示“a+b=2”，求事件A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由古典概型公式可得关于n的方程，解之即可；（2）由条件列举出所有可能的基本事件，找出符合的有几个，即可的答案．解答：解：（1）由题意可知：=，解得n=4．（2）不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：（0，1），（0，21），（0，22），（0，23），（0，24），（1，0），（1，21），（1，22），（1，23），（1，24），（21，0），（21，1），（21，22），（21，23），（21，24），（22，0），（22，1），（22，21），（21，23），（21，24），（23，0），（23，1），（23，21），（23，22），（23，24），（24，0），（24，1），（24，21），（24，22），（24，23），共30个，事件A包含的基本事件为：（0，21），（0，22），（0，23），（0，24），（21，0），（22，0），（23，0），（24，0），共8个．故事件A的概率P（A）==点评：本题为古典概型的求解，数准基本事件数是解决问题的关键，属基础题．20．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=BB1，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）若AC1⊥平面A1BD，求证B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）在（II）的条件下，设AB=1，求三棱B﹣A1C1D的体积．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．由正方形的性质及三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理可得B1C∥平面A1BD；（Ⅱ）由AC1⊥平面ABD，结合正方形的性质可证得A1B⊥平面AB1C1，进而A1B⊥B1C1，再由线面垂直的判定定理可得B1C1⊥平面ABB1A1．（III）由等腰三角形三线合一可得BD⊥AC．再由面面垂直的性质定理得到BD⊥平面DC1A1．即BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．代入棱锥的体积公式，可得答案．解答：证明：（I）连结AB1交A1B于E，连ED．∵ABC﹣A1B1C1是三棱柱中，且AB=BB1，∴侧面ABB1A是一正方形．∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点．∴在△AB1C中，ED是中位线．∴B1C∥ED．又∵B1C⊄平面A1BD，ED⊂平面A1BD∴B1C∥平面A1BD．…（4分）（II）∵AC1⊥平面ABD，A1B⊂平面ABD，∴AC1⊥A1B，又∵侧面ABB1A是一正方形，∴A1B⊥AB1．又∵AC1∩AB1=A，AC1，AB1⊂平面AB1C1．∴A1B⊥平面AB1C1．又∵B1C1⊂平面AB1C1．∴A1B⊥B1C1．又∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴BB1⊥B1C1．又∵A1B∩BB1=B，A1B，BB1⊂平面ABB1A1．∴B1C1⊥平面ABB1A1．…（8分）解：（III）∵AB=BC，D为AC的中点，∴BD⊥AC．∴BD⊥平面DC1A1．∴BD就是三棱锥B﹣A1C1D的高．由（II）知B1C1⊥平面ABB1A1，∴BC⊥平面ABB1A1．∴BC⊥AB．∴△ABC是直角等腰三角形．又∵AB=BC=1∴BD=∴AC=A1C1=∴三棱锥B﹣A1C1D的体积V=•BD•=•A1C1•AA1=K=…（12分）点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握空间线面平行，线面垂直的判定定理是解答的关键．21．已知直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）．（1）证明：直线过l定点；（2）若直线不经过第二象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴正半轴于A，交y轴负半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程．考点：直线的一般式方程；恒过定点的直线．专题：直线与圆．分析：（1）直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得即可得出；（2）由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．由于直线不经过第二象限，可得，解得k．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．（3）由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．S==•|﹣2﹣k|==，利用基本不等式的性质即可得出．解答：（1）证明：直线l：kx﹣y﹣2﹣k=0（k∈R）化为k（x﹣1）﹣y﹣2=0，令，解得x=1，y=﹣2，∴直线l过定点P（1，﹣2）．（2）解：由方程可知：k≠0时，直线在x轴与y轴上的截距分别为：，﹣2﹣k．∵直线不经过第二象限，∴，解得k＞0．当k=0时，直线变为y=﹣2满足题意．综上可得：k的取值范围是[0，+∞）；（3）解：由直线l的方程可得A，B（0，﹣2﹣k）．由题意可得，解得k＞0．∴S==•|﹣2﹣k|===4．当且仅当k=2时取等号．∴S的最小值为4，此时直线l的方程为2x﹣y﹣4=0．点评：本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的性质、直线的截距，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。
2014-2015年安徽省蚌埠市高一上学期期末数学试卷与答案Word版
2014-2015学年安徽省蚌埠市高一（上）期末数学试卷一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个答案正确）1．（5.00分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U N）=（）A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}2．（5.00分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=cosx﹣1 B．y=﹣x2C．y=x•|x|D．y=﹣3．（5.00分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣）4．（5.00分）a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c5．（5.00分）若α、β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．6．（5.00分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R7．（5.00分）设a=（，1+sinα），b=（1﹣，），且a∥b，则锐角α为（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．（5.00分）设f（x）=，则f（2015）=（）A．B．﹣ C．﹣D．9．（5.00分）函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．10．（5.00分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5.00分）已知α为锐角，sinα=，则tan（α+）=．12．（5.00分）若函数y=x2+2ax+1在（﹣∞，5]上是减函数，则实数a的取值范围是．13．（5.00分）若函数f（x）是幂函数，且满足f（2）=4，则f（）的值为．14．（5.00分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP=3，点Q 是△BCD内（包括边界）的动点，则•的取值范围是．15．（5.00分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列说：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②函数y=tanx，x∈（﹣，）是单函数；③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性．其中正确的是．（写出所有正确的序号）三、解答题（共75分，解答应写出说明文字、演算式、证明步骤）16．（12.00分）已知A={x|＜3x＜9}，B={x|log2x＜2}．（1）求A∩B和A∪B；（2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，直接写出A﹣B和B﹣A．17．（12.00分）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．18．（12.00分）某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系：x4550y2712（Ⅰ）确定x与y的一个一次函数关系式y=f（x）；（Ⅱ）若日销售利润为P元，根据（I）中关系写出P关于x的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？19．（13.00分）已知函数f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．20．（13.00分）设函数f（x）=2cos2x+2sinx•cosx+m（m，x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为，并求此时f（x）在R上的对称中心．21．（13.00分）已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f （y）﹣f（x）﹣f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．（2）判断f（x）的单调性并加以证明．（3）若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减，求实数k的取值范围．2014-2015学年安徽省蚌埠市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个答案正确）1．（5.00分）设集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，则M∩（∁U N）=（）A．{5}B．{0，3}C．{0，2，3，5}D．{0，1，3，4，5}【解答】解：∵集合U={0，1，2，3，4，5}，M={0，3，5}，N={1，4，5}，∴∁U N={0，2，3}，则M∩（∁U N）={0，3}．故选：B．2．（5.00分）下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=cosx﹣1 B．y=﹣x2C．y=x•|x|D．y=﹣【解答】解：对于A．定义域为R，f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1=f（x），则为偶函数，则A不满足条件；对于B．定义域为R，f（﹣x）=f（x），则为偶函数，则B不满足条件；对于C．定义域为R，f（﹣x）=（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|=﹣f（x），则为奇函数，当x＞0时，f（x）=x2递增，且f（0）=0，当x＜0时，f（x）=﹣x2递增，则f（x）在R上递增，则C满足条件；对于D．定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，f（﹣x）==﹣f（x），当x＞0时，f（x）递增，当x＜0时，f（x）递增，但在定义域内不为递增，则D不满足条件．故选：C．3．（5.00分）已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）A．（﹣1，1）B．（，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，﹣）【解答】解：∵f（x）的定义域为（﹣1，0），由﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1．∴则函数f（2x+1）的定义域为（﹣1，﹣）．故选：D．4．（5.00分）a=log2，b=log，c=（）0.3（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c【解答】解：∵a=log2＜0，b=log=1，0＜c=（）0.3＜1，∴a＜c＜b．故选：B．5．（5.00分）若α、β都是锐角，且sinα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（α+β）=﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）==；又sinα=，∴cosα==，∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=×﹣（﹣）×=．故选：A．6．（5.00分）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（）A．，x∈R B．，x∈RC．，x∈R D．，x∈R【解答】解：由y=sinx的图象向左平行移动个单位得到y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=sin（2x+）故选：C．7．（5.00分）设a=（，1+sinα），b=（1﹣，），且a∥b，则锐角α为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【解答】解：因为=（，1+sinα），=（1﹣，），且∥，所以×﹣（1+sinα）（1﹣）=0，解得si nα=，又α是锐角，则α=45°，故选：B．8．（5.00分）设f（x）=，则f（2015）=（）A．B．﹣ C．﹣D．【解答】解：f（2015）=f（2015﹣4）=f（2011）=sin（•2011）=sin=；故选：D．9．（5.00分）函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．10．（5.00分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x2﹣x，则当x∈[﹣1，0]时，f（x）的最小值为（）A．﹣ B．﹣ C．0 D．【解答】解：设x∈[﹣1，0]，则x+1∈[0，1]，故由已知条件可得f（x+1）=（x+1）2﹣（x+1）=x2+x=2f（x），∴f（x）==，故当x=﹣时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：A．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5.00分）已知α为锐角，sinα=，则tan（α+）=﹣7．【解答】解：∵α为锐角，sinα=，∴cosα=，∴tanα=，∴tan（α+）==﹣7．故答案为：﹣7．12．（5.00分）若函数y=x2+2ax+1在（﹣∞，5]上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5] ．【解答】解：原函数的对称轴为x=﹣a；∵该函数在（﹣∞，5]上是减函数；∴﹣a≥5，a≤﹣5；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]．故答案为：（﹣∞，﹣5]．13．（5.00分）若函数f（x）是幂函数，且满足f（2）=4，则f（）的值为．【解答】解：设f（x）=xα，（α为常数）．∵4=2α，∴α=2．∴f（x）=x2．∴=．故答案为：．14．（5.00分）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，AP=3，点Q 是△BCD内（包括边界）的动点，则•的取值范围是[9，18] ．【解答】解：设与的夹角为θ，则•==，为向量在方向上的投影．因此：当点Q取点P时，•取得最小值==9．当点Q取点C时，•取得最大值==2×9=18．故答案为：[9，18]．15．（5.00分）函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）=f（x2）时，总有x1=x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=2x+1（x∈R）是单函数，下列说：①函数f（x）=x2（x∈R）是单函数；②函数y=tanx，x∈（﹣，）是单函数；③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性．其中正确的是②③④．（写出所有正确的序号）【解答】解：对于①由于（±1）2=1，因此函数f（x）=x2（x∈R）不是单函数，不正确；对于②函数y=tanx，在x∈（﹣，）是单调函数，可得函数y=tanx是单函数，正确；对于③若函数f（x）是单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2），利用反证法即可得出正确；对于④若f：A→B是单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象，如若不然，b有两个原象，则函数f（x）不是单函数，因此正确；对于⑤若函数f（x）是某区间上的单函数，则函数f（x）在该区间上具有单调性，不正确，举反例：f（x）=，f（x）是区间[1，2）上的单函数，但不是单调函数．其中正确的是②③④．三、解答题（共75分，解答应写出说明文字、演算式、证明步骤）16．（12.00分）已知A={x|＜3x＜9}，B={x|log2x＜2}．（1）求A∩B和A∪B；（2）定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，直接写出A﹣B和B﹣A．【解答】解：（1）∵A={x|＜3x＜9}={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜4}．∴A∩B={x|0＜x＜2}，A∪B={x|﹣1＜x＜4}；（2）∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴A﹣B={x|﹣1＜x≤0}，B﹣A={x|2≤x＜4}．17．（12.00分）设与是两个单位向量，其夹角为60°，且=2+，=﹣3+2．（1）求•；（2）求||和||；（3）求与的夹角．【解答】解：（1）由与是两个单位向量，其夹角为60°，则=1×=，=（2+）•（﹣3+2）=﹣6+2+•=﹣6+2+=﹣；（2）||====，||====；（3）cos＜，＞===﹣，由于0≤＜，＞≤π，则有与的夹角．18．（12.00分）某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品销售价x元与日销售量y件之间有如下关系：x4550y2712（Ⅰ）确定x与y的一个一次函数关系式y=f（x）；（Ⅱ）若日销售利润为P元，根据（I）中关系写出P关于x的函数关系，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）为一次函数，设y=ax+b，解方程组…（2分）得a=﹣3，b=162，…（4分）故y=162﹣3x为所求的函数关系式，又∵y≥0，∴0≤x≤54．…（6分）（Ⅱ）依题意得：P=（x﹣30）•y=（x﹣30）•（162﹣3x）…（8分）=﹣3（x﹣42）2+432．…（10分）=432，当x=42时，P最大即销售单价为42元/件时，获得最大日销售利润．…（12分）19．（13.00分）已知函数f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x），a＞0且a≠1．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断并证明函数f（x）的奇偶性；（3）若a＞1，指出函数的单调性，并求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．【解答】解：（1）由题意知，；解得，﹣3＜x＜3；故函数f（x）的定义域为（﹣3，3）；（2）函数f（x）是奇函数，证明如下，函数f（x）的定义域（﹣3，3）关于原点对称；则f（﹣x）=log a（﹣x+3）﹣log a（3+x）=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数．（3）当a＞1时，由复合函数的单调性及四则运算可得，f（x）=log a（x+3）﹣log a（3﹣x）为增函数，则函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，故f max（x）=f（1）=log a2．20．（13.00分）设函数f（x）=2cos2x+2sinx•cosx+m（m，x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当x∈[0，]时，求实数m的值，使函数f（x）的值域恰为，并求此时f（x）在R上的对称中心．【解答】解：（1）∵f（x）=2cos2x+2sinxcosx+m=1+cos2x+sin2x+m=2sin（2x+）+m+1，∴函数f（x）的最小正周期T=π．（2）∵0≤x≤，∴≤2x+≤，∴﹣≤sin（2x+）≤1，∴m≤f（x）≤m+3，又≤f（x）≤，∴m=，令2x+=kπ（k∈Z），解得x=﹣（k∈Z），∴函数f（x）在R上的对称中心为（﹣，）（k∈Z）．21．（13.00分）已知函数f（x）满足：对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f （y）﹣f（x）﹣f（y）+2成立，且x＞0时，f（x）＞2，（1）求f（0）的值，并证明：当x＜0时，1＜f（x）＜2．（2）判断f（x）的单调性并加以证明．（3）若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x+y）=f（x）•f（y）﹣f（x）﹣f（y）+2令x=y=0，f（0）=f（0）•f（0）﹣f（0）﹣f（0）+2∴f2（0）﹣3f（0）+2=0，f（0）=2或f（0）=1若f（0）=1则f（1）=f（1+0）=f（1）•f（0）﹣f（1）﹣f（0）+2=1，与已知条件x＞0时，f（x）＞2相矛盾，∴f（0）=2 （1分）设x＜0，则﹣x＞0，那么f（﹣x）＞2又2=f（0）=f（x﹣x）=f（x）•f（﹣x）﹣f（x）﹣f（﹣x）+2∴∵f（﹣x）＞2，∴，从而1＜f（x）＜2（3分）（2）函数f（x）在R上是增函数设x1＜x2则x2﹣x1＞0，∴f（x2﹣x1）＞2f（x2）=f（x2﹣x1+x1）=f（x2﹣x1）f（x1）﹣f（x2﹣x1）﹣f（x1）+2=f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2∵由（1）可知对x∈R，f（x）＞1，∴f（x1）﹣1＞0，又f（x2﹣x1）＞2∴f（x2﹣x1）•[f（x1）﹣1]＞2f（x1）﹣2f（x2﹣x1）[f（x1）﹣1]﹣f（x1）+2＞f（x1）即f（x2）＞f（x1）∴函数f（x）在R上是增函数（3分）（3）∵由（2）函数f（x）在R上是增函数∴函数y=f（x）﹣k在R上也是增函数若函数g（x）=|f（x）﹣k|在（﹣∞，0）上递减则x∈（﹣∞，0）时，g（x）=|f（x）﹣k|=k﹣f（x）即x∈（﹣∞，0）时，f（x）﹣k＜0，赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()yf u=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．∵x ∈（﹣∞，0）时，f （x ）＜f （0）=2，∴k ≥2（3分）。
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安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°2．（5分）不论实数k取何值时，直线（k+1）x+（1﹣3k）y+2k﹣2=0恒过一定点，则该点的坐标是D（）A．（1，4）B．（2，1）C．（3，1）D．（1，1）3．（5分）已知两个平面垂直，下列命题中正确的是B（）A．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线B．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线C．一个平面内已知直线必垂直于另一个平面D．两直线分别在这两平面内，它们所成的角等于90°4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7B．6C．5D．46．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x﹣1|+|y ﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2]D．7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．1209．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1B．C．D．210．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣，）D．二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是．（将正确的结论的序号全填上）三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的．的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号涂到答题卡上，（不用答题卡的，填在后面相应的答题栏内，用答题卡的不必填））1．（5分）直线x﹣y﹣3=0的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．120°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：利用直线斜率与倾斜角的关系即可得出，解答：解：设直线的倾斜角为θ，θ∈考点：平面与平面之间的位置关系．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可．解答：解：对于①，当两个平面垂直时，•一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，∵平面α⊥平面β，∴当l⊥m时，必有m⊥α，而n⊂α，∴m⊥n，而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；对于③，当两个平面垂直时，•一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；对于④，两直线分别在这两平面内，它们所成的角的范围是0°到90°，故④不正确．故选：B．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题．4．（5分）在平面直角坐标系中，直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2的位置关系是（）A．相互但不垂直B．平行C．垂直D．重合考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：直线与圆．分析：由两直线方程直接求出两直线的斜率，由斜率之积等于﹣1得答案．解答：解：直线（﹣）x+y=3的斜率为﹣（﹣），直线x+（﹣）y=2的斜率为，∵，∴直线（﹣）x+y=3和直线x+（﹣）y=2垂直．故选：C．点评：本题考查了直线的一般式方程与直线的位置关系，有斜率的两条直线，若斜率之积等于﹣1，则两直线垂直，是基础题．5．（5分）在空间直角坐标系中，某几何体各定点的坐标分别为（0，0，0）、（2，0，0）、（2，2，0）、（0，2，0）、（0，0，1）、（2，2，1）、（0，2，2），则该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为m、n，则m+n的值为（）A．7B．6C．5D．4考点：空间中的点的坐标．专题：空间位置关系与距离．分析：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF的面积，直角梯形ADGE的面积，计算即可得出．解答：解：该几何体如图所示，该几何体在xOz和yOz上的投影的面积分别为：直角梯形CDGF的面积，直角梯形ADGE 的面积，∴m=n==6，则m+n=6．故选：B．点评：本题考查了几何体的三视图及其面积计算、空间中的点的坐标，属于基础题，6．（5分）若a＞0，集合A={（x，y）|x≤3，x+y﹣4≤0，x﹣y+2a≥0}，B={（x，y）||x﹣1|+|y ﹣1|≤a}．若“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．（0，2]D．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：推理和证明．分析：通过作图，利用数形结合即得结论．解答：解：∵“点M（x，y）∈A”是“点M（x，y）∈B”的必要不充分条件，∴B⊊A，集合A、B的图象如图，其中B的区域是以（1，1）为中心，a为边长的正方形，显然要使B⊊A，只需a≤2即可，又∵a＞0，∴0＜a≤2，故选：C．点评：本题考查集合之间的关系等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．7．（5分）在两个袋内，分别写着装有1，2，3，4，5，6六个数字的6张卡片，今从每个袋中各取一张卡片，则两数之间和能被3整除的概率为（）A．B．C．D．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：首先计算从两个袋中各取一张卡片的取法数目，再列举其中两数之间和能被3整除的情况，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．解答：解：从两个袋中各取一张卡片，每个袋中有6张卡片，即有6种取法，则2张卡片的取法有6×6=36种，其中两数之间和能被3整除情况有（1，2），（2，1），（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），（3，6），（6，3），（4，5），（5，4），（6，6），共12种情况，故两数之间和能被3整除的概率P==故选：A．点评：本题考查等可能事件的概率的计算，解题时注意取出的卡片有顺序，即（3，6）与（6，3）是不同的取法．8．（5分）如果执行右面的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p等于（）A．720 B．360 C．240 D．120考点：循环结构．专题：阅读型．分析：讨论k从1开始取，分别求出p的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p 的值，解题的关键是弄清循环次数．解答：解：第一次：k=1，p=1×3=3；第二次：k=2，p=3×4=12；第三次：k=3，p=12×5=60；第四次：k=4，p=60×6=360此时不满足k＜4．所以p=360．故选B点评：本题主要考查了直到形循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．9．（5分）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆，若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于C（）A．1B．C．D．2考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求解本题，可以从三个圆心上找关系，构建矩形利用对角线相等即可求解出答案．解答：解：设两圆的圆心分别为O1、O2，球心为O，公共弦为AB，其中点为E，则OO1EO2为矩形，于是对角线O1O2=OE，而OE==，∴O1O2=故选B．点评：本题考查球的有关概念，两平面垂直的性质，是基础题．10．（5分）若不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，则b的取值范围是（）A．（﹣2，2）B．C．（﹣，）D．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：直线y=kx+2恒过点（2，b），不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，即可求出b的取值范围解答：解：直线y=k（x﹣2）+b恒过点（2，b），则∵不论k为何值，直线y=k（x﹣2）+b与曲线x2+y2=9总有公共点，∴（2，b）在圆x2+y2=9内或圆x2+y2=9上，∴4+b2≤9．∴﹣≤b≤故选：D．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．二、填空题（填空题（本题共5小题，每小题5分，满分25分，请将答案直接填在题中横线上）11．（5分）已知命题为p“若m＞0，则lnm＞0”，则其否定形式、逆命题、否命题、逆命题中正确的个数是3．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据题意，写出该命题的否定命题、逆命题、否命题与逆否命题，并判断正误．解答：解：∵命题p：“若m＞0，则lnm＞0”，∴它的否定形式是“若m＞0，则lnm≤0”，它是真命题；逆命题是“若lnm＞0，则m＞0”，它是真命题；否命题是“若m≤0，则lnm＞0不成立”，它是真命题；逆否命题是“若lnm≤0，则m≤0”，它是假命题．综上，以上正确的个数是3．故答案为：3．点评：本题考查了四种命题以及命题的否定问题，是基础题目．12．（5分）已知某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积为考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉．解答：解：如图所示，该几何体为：其中长方体的三条棱长分别为2，2，1，其体积=2×2×1=4．其圆柱部分为一个底面半径为1，高为3，去掉，因此体积=×π×12×3=．因此该几何体的体积V=4+π．故答案为：4+π．点评：本题考查了三视图的原几何体的体积计算、长方体的条件计算公式、圆柱的体积计算公式，考查了推理能力，属于中档题13．（5分）在正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B﹣AD﹣C后，BC=AB，这时二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间角．分析：根据已知条件能够说明∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC，从而容易说明△BCD为正三角形，从而得出二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．解答：解：根据已知条件知D为正三角形ABC边BC中点，且BD⊥AD，CD⊥AD；∴∠BDC为二面角B﹣AD﹣C的平面角，连接BC；由BC==BD=CD得△BCD为正三角形；∴∠BDC=60°；∴二面角B﹣AD﹣C的大小为60°．故答案为：60°．点评：考查二面角平面角的概念及求法，弄清图形折叠前后的变化，等边三角形的高线也是中线．14．（5分）已知过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，则直线l的方程为x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：求出圆的圆心与半径，利用弦心距、半径、半弦长满足勾股定理，求出所求直线的斜率，然后求出直线方程．解答：解：圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心坐标（1，2），半径为，过点（2，5）的直线l被圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0截得的弦长为4，∴圆心到所求直线的距离为：1，设所求的直线的向量为k，所求直线为：y﹣5=k（x﹣2）．即kx﹣y﹣2k+5=0，∴=1，解得k=，所求直线方程为：4x﹣3y+7=0，当直线的斜率不存在时，直线方程为x﹣2=0，满足圆心到直线的距离为1．所求直线方程为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．故答案为：x﹣2=0或4x﹣3y+7=0．点评：本题考查直线与圆的位置关系，弦心距与半径以及半弦长的关系，考查计算能力．15．（5分）在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC 且AD=AA′=2BC．过A′，C，D三点的平面与BB′交于点E，F，G分别为CC′，A′D′的中点（如图所示）给出以下判断：①E为BB′的中点；②直线A′E和直线FG是异面直线；③直线FG∥平面A′CD；④若AD⊥CD，则平面ABF⊥平面A′CD；⑤几何体EBC﹣A′AD是棱台．其中正确的结论是①③④⑤．（将正确的结论的序号全填上）考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征．专题：空间位置关系与距离．分析：利用四棱柱的性质，结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答．解答：解：对于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，∴平面EBC∥平面A1D1DA，∴平面A1CD与面EBC、平面A1D1DA的交线平行，∴EC∥A1D∴△EBC∽△A1AD，∴，∴E为BB1的中点；故①正确；对于②，因为E，F都是棱的中点，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，所以EF∥A'D'，所以A'E，FG都在平面EFD'A'中；故②错误；对于③，由②可得EF∥A'G，EF=A'G，所以四边形A'EFG是平行四边形，所以FG∥A'E，又A'E⊂平面A'CD中，FG⊄平面A'CD，所以直线FG∥平面A′CD正确；对于④，连接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四点共面，因为AD⊥CD，AD'在底面的射影为AD，所以C D⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，BF⊂平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正确；对于⑤，由④得到，AB与D'F，DC交于一点，所以几何体EBC﹣A′AD是棱台．故⑤正确；故答案为：①③④⑤．点评：本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断，比较综合．三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出说明文字、演算式或证明步骤）16．（12分）设条件p：2x2﹣3x+1≤0，条件q：x2﹣（2a+1）x+a（a+1）≤0，若￢p是￢q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：由题意得，命题，命题q：B={x|a≤x≤a+1}，∵¬p是¬q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A⊆B，∴，∴．故实数a的取值范围为．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意等价转化思想的运用．17．（12分）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9内有一点P（2，2），过点P作直线l交圆C于A，B两点．（1）当l经过圆心C时，求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题．分析：（1）求出圆的圆心，代入直线方程，求出直线的斜率，即可求直线l的方程；（2）当弦AB被点P平分时，求出直线的斜率，即可写出直线l的方程；解答：解：（1）已知圆C：（x﹣1）2+y2=9的圆心为C（1，0），因为直线l过点P，C，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为y=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）当弦AB被点P平分时，l⊥PC，直线l的方程为，即x+2y﹣6=0．点评：本题是基础题，考查直线与圆的位置关系，计算直线的斜率；直线与圆的特殊位置关系的应用是本题的关键．18．（12分）知动点P（a，b）在区域上运动．（Ⅰ）若w=，求w的范围（Ⅱ）求覆盖此区域的面积最小的圆的方程．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）利用分式的性质将分式w=进行化简，利用斜率的几何意义，即可求w的范围（Ⅱ）利用待定系数法即可求出圆的方程．解答：解：（Ⅰ）w===1+，设k=，则k的几何意义为点P到定点N（1，2）的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则ON的斜率k=2，由，解得，即A（4，4），则NA的斜率k==．由k的取值范围是k≥2或≤．则1+k≥3或1+k≤．即w≥3或w≤．（Ⅱ）若覆盖此区域的面积最小的圆，则此时过点O，B（2，0），A（4，4）三点的圆即可．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得，圆的一般方程为x2+y2﹣2x﹣6y=0．点评：本题主要考查线性规划的应用以及圆的方程的求解．利用数形结合以及直线斜率的几何意义是解决本题的关键．19．（14分）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．20．（13分）如图，正四棱锥P﹣ABCD的顶点都在同一球面上，已知ABCD中心为E，球心O在线段PE上，QA⊥底面ABCD，且与球面交于点Q，若球的半径为2．（Ⅰ）若OE=1，求二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值；（Ⅱ）若△QBD是等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分的体积．考点：用空间向量求平面间的夹角；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体．专题：空间位置关系与距离．分析：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），利用，可得，=．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，可得AE=x．在△OEA中，利用勾股定理可得x，可得AB=AQ=，PE=2+．V P﹣ABCD=，设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，因此所求公共部分体积=V P﹣ABCD×．解答：解：（I）如图所示，AE=，OQ=OA=2，点P，Q，A，C在球O的大圆上，COQ 为球O的直径．AQ=2．建立如图所示的空间直角坐标系．E（0，0，0），P（0，0，3），Q，B．=，=，取平面PQE的法向量为=（0，1，0）．设平面PQB的法向量为=（x，y，z），则，∴，取=．∴===．由对称性可知：二面角B﹣PQ﹣D的平面角的余弦值=﹣1=．（II）若△QBD是等边三角形，则QA═AB=AD．不妨设OE=x，则AB=AQ=2x，∴AE=x．在△OEA中，由OE2+AE2=OA2，∴x2+2x2=4，解得x=，即AB=AQ=，PE=2+．∴V P﹣ABCD===．设QC与PA相交于点S．则四棱锥P﹣ABCD和Q﹣ABCD公共部分就是四棱锥S﹣ABCD．由，可得，∴因此所求公共部分体积=×=点评：本题考查了正四棱锥的性质、球与圆的性质、线面垂直的性质与判定定理、二面角、向量垂直与数量积的关系、直角三角形的边角关系、倍角公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．。