2016-2017年福建省泉州市晋江市季延中学高二上学期期末数学试卷(文科)与解析

2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要2．（5分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．3．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31B．36C．42D．484．（5分）不可能把直线作为切线的曲线是（）A．B．y=sinx C．y=lnx D．y=e x5．（5分）若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（）A．2B．4C．6D．86．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．7．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定8．（5分）已知数列{a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n}的前n项的和s n=（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．1B．2C．4D．810．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1）B．（，1）C．（，﹣1）D．（，1）11．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．12．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a=．14．（4分）已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=．15．（4分）递减等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大，则n=．16．（4分）已知函数f（x）=|x|﹣cosx，对于[﹣π，π]上的任意x1，x2，给出如下条件：①x1＞|x2|；②|x1|＞x2；③x12＞x22；④x13＞x23其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件的序号是（写出序号即可）三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设命题p：∃x0∈R，x02+2ax0﹣2a=0，命题q：∀x∈R，ax2+4x+a＞﹣2x2+1，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，记，求数列{c n}的前n项和T n．20．（12分）椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆Г的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．21．（12分）某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物（PM2.5）转化为一种可利用的化工产品．已知该企业处理成本P（x）（亿元）与处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为P（x）=另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元．（1）当0≤x≤10时，若计划在A国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=．22．（14分）设函数f（x）=ln x+，m∈R．（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（2）当m为何值时，g（x）=f′（x）﹣有且只有一个零点；（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年福建省泉州市晋江市季延中学高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．（5分）“x2＞1”是“x＞1”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【解答】解：由x2＞1，解得：x＞1或x＜﹣1．∴“x2＞1”是“x＞1”的必要不充分条件．故选：B．2．（5分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4B．C．1D．【解答】解：焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．（5分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，满足a n＞0，q＞1，且a3+a5=20，a2a6=64，则S5=（）A．31B．36C．42D．48【解答】解：a3a5=a2a6=64，∵a3+a5=20，∴a3和a5为方程x2﹣20x+64=0的两根，∵a n＞0，q＞1，∴a3＜a5，∴a5=16，a3=4，∴q===2，∴a1===1，∴S5==31．故选：A．4．（5分）不可能把直线作为切线的曲线是（）A．B．y=sinx C．y=lnx D．y=e x【解答】解：对于A，由y=﹣，得：，由，得，解得：，∴直线可以作为曲线y=﹣的切线方程；对于B，由y=sinx，得：y′=cosx，∵cosx≤1，∴直线不可以作为曲线y=﹣的切线方程；对于C，由y=lnx，得：，由，得，∴直线可以作为曲线y=﹣的切线方程；对于D，由y=e x，得：y′=e x，由，得，∴直线可以作为曲线y=﹣的切线方程．∴不可能把直线作为切线的曲线是y=sinx．故选：B．5．（5分）若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为（）A．2B．4C．6D．8【解答】解：因为抛物线为y2=4x，所以p=2设A、B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则，即x1+x2=4，故|AB|=x1+x2+p=4+2=6．故选：C．6．（5分）已知双曲线（a＞0）的右焦点与抛物线y2=8x焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点是（2，0），∴c=2，a2=4﹣1=3，∴，∴，故选：D．7．（5分）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【解答】解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选：C．8．（5分）已知数列{a n}中a1=1，a2=，a3=，a4=，…a n=…，则数列{a n}的前n项的和s n=（）A．B．C．D．【解答】解：∵a n===2．∴数列{a n}的前n项的和s n=2++…+==．故选：A．9．（5分）已知实数x，y满足，则z=2x+y的最小值是（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即B（0，2），代入目标函数z=2x+y得z=0×2+2=2．即目标函数z=2x+y的最小值为2．故选：B．10．（5分）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，﹣1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．（，﹣1）B．（，1）C．（，﹣1）D．（，1）【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦点坐标为（1，0）过M作准线的垂线于M，由PF=PM，依题意可知当P，Q和M三点共线且点P在中间的时候，距离之和最小如图，故P的纵坐标为﹣1，然后代入抛物线方程求得x=，故选：A．11．（5分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，当且仅当即时“=”成立，故选：B．12．（5分）F1、F2分别是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由∠ABF2=60°，则∠F1BF2=120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则e2=7，解得e=．故选：D．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分）13．（4分）在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知A=60°，b=1，其面积为，则a=．【解答】解：∵A=60°，b=1，△ABC的面积为，=bcsinA=csin60°=，∴S△即c=，解得c=4，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccos60°=1+16﹣2×1×4×=13，解得a=，故答案为：．14．（4分）已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=．【解答】解：设切点为（x0，y0），则∵y′=（lnx）′=，∴切线斜率k=，又点（x0，lnx0）在直线上，代入方程得lnx0=•x0=1，∴x0=e，∴k==．故答案为：．15．（4分）递减等差数列{a n}的前n项和S n满足S5=S10，则欲使S n最大，则n= 7或8．【解答】解：根据题意，数列{a n}满足S5=S10，则S10﹣S5=a6+a7+a8+a9+a10=0，由等差数列性质得：5a8=0，可得a8=0，又由数列{a n}是递减的等差数列，则由a1＞a2＞…a7＞a8=0＞a9…，则当n=7或8时，s n取最大值，故答案为7或8．16．（4分）已知函数f（x）=|x|﹣cosx，对于[﹣π，π]上的任意x1，x2，给出如下条件：①x1＞|x2|；②|x1|＞x2；③x12＞x22；④x13＞x23其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的条件的序号是①③（写出序号即可）【解答】解：函数f（x）为偶函数，当x∈[﹣π，0]时，f（x）=﹣x﹣cosx，∴f′（x）=﹣1+sinx≤0恒成立∴函数f（x）在[﹣π，0]上为单调减函数，由偶函数性质知函数在[0，π]上为增函数，对于①当x1＞|x2|时，∴f（x1）＞f（x2）恒成立，对于②|x1|＞x2；若x1=，x2=﹣，则f（x1）＜f（x2），对于③x12＞x22；则|x1|＞|x2|，∴f（x1）＞f（x2）恒成立，对于；④x13＞x23，则x1＞x2，若x1=，x2=﹣，则f（x1）＜f（x2），故答案为：①③三．解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设命题p：∃x0∈R，x02+2ax0﹣2a=0，命题q：∀x∈R，ax2+4x+a＞﹣2x2+1，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】解：当命题p为真时，△=4a2+8a≥0，解得：a≥0，或a≤﹣2，当命题q为真时，（a+2）x2+4x+（a﹣1）＞0恒成立，∴a+2＞0且△=16﹣4（a+2）（a﹣1）＜0，即a＞2…（6分）由题意得，命题p和命题q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，得a≤﹣2；当命题p为假，命题q为真时，不存在满足条件的a值；∴实数a的取值范围为a≤﹣2…（12分）18．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；（2）若对x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b由解得，f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：，）所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．要使f（x）＜c2对x∈[﹣1，2]恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．解得c＜﹣1或c＞2．19．（12分）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，记，求数列{c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，且a1=1，b1=2，a2+b3=10，a3+b2=7．∴，即，消去d得2q2﹣q﹣6=0，（2q+3）（q﹣2）=0，∵{b n}是各项都为正数的等比数列，∴q=2，d=1，∴a n=n，b n=2n．（2）S n=2n+1﹣2，…（7分）c n=a n•（+1）=n•2n，设T n=1•21+2•22+3•23+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，相减，可得T n=（n﹣1）•2n+1+2．20．（12分）椭圆Г：=1（a＞b＞0）过点（1，），且直线l过椭圆Г的上顶点和左焦点，椭圆中心到直线l的距离等于焦距长的．（1）求椭圆Г的方程；（2）若一条与坐标轴不平行且不过原点的直线交椭圆Г于不同的两点M、N，点P为线段MN的中点，求证：直线MN与直线OP不垂直．【解答】（1）解：椭圆中心到l的距离为==×2c，即a=2b，点（1，）代入椭圆方程，得：a=2、b=1，∴椭圆Г的方程为：+y2=1；（2）证明：法一：设点M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），则，，∵•=﹣，即•=﹣，∴k MN•k OP=﹣≠﹣1，即直线MN与直线OP不垂直．法二：设直线方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），P（x0，y0），联立，整理得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，y1+y2=k（x1+x2）+2b=，∴k OP===﹣，∵k MN•k OP=﹣≠﹣1，∴直线MN与直线OP不垂直．21．（12分）某企业在科研部门的支持下，启动减缓气候变化的技术攻关，将采用新工艺，把细颗粒物（PM2.5）转化为一种可利用的化工产品．已知该企业处理成本P（x）（亿元）与处理量x（万吨）之间的函数关系可近似地表示为P（x）=另外技术人员培训费为2500万元，试验区基建费为1亿元．（1）当0≤x≤10时，若计划在A国投入的总成本不超过5亿元，则该工艺处理量x的取值范围是多少？（2）该企业处理量为多少万吨时，才能使每万吨的平均成本最低，最低是多少亿元？附：投入总成本=处理成本+技术人员培训费+试验区基建费，平均成本=．【解答】解：（1）设该企业计划在A国投入的总成本为Q（x）（亿元），则当0≤x≤10时，Q（x）=，依题意：Q（x）=≤5，即x2+4x﹣60≤0，解得﹣10≤x≤6，结合条件0≤x≤10，∴0≤x≤6…（3分）（2）依题意，该企业计划在A国投入的总成本当0≤x≤10时，Q（x）=，当x＞10时，Q（x）=x+﹣，则平均处理成本①当0≤x≤10时，=+≥，当且仅当，即x=2时，的最小值为，…（7分）②当x＞10时，═4（﹣）2+，∴当=，即x=20时，的最小值为＞，∴当x=2时，的最小值为，…（11分）答：（Ⅰ）该工艺处理量x的取值范围是0≤x≤6．（Ⅱ）该企业处理量为22万吨时，才能使每万吨的平均处理成本最低，平均处理成本最低为亿元…（12分）22．（14分）设函数f（x）=ln x+，m∈R．（1）当m=e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（2）当m为何值时，g（x）=f′（x）﹣有且只有一个零点；（3）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由题设，当m=e时，f（x）=ln x+，则f′（x）=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上单调递减；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增．∴x=e时，f（x）取得极小值f（e）=ln e+=2，∴f（x）的极小值为2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）由题设g（x）=f′（x）﹣=﹣﹣（x＞0），令g（x）=0，得m=﹣x3+x（x＞0），设φ（x）=﹣x3+x（x＞0），则φ′（x）=﹣x2+1=﹣（x﹣1）（x+1），当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上单调递减．∴x=1是φ（x）的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又φ（0）=0，结合y=φ（x）的图象（如图所示），可知综上所述，当m=或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（3）对任意的b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立．（*）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分），设h（x）=f（x）﹣x=ln x+﹣x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）由h′（x）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，得m≥﹣x2+x=﹣+（x＞0）恒成立，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）∴m≥（对m=，h′（x）=0仅在时成立），∴m的取值范围是：[，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。