2020衡水名师原创理科数学专题卷：专题四《函数的图象、函数的应用》
2020年高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版04 三角函数与解三角形(解析版)
2
64
（）
A．
π (
,
π
)
63
B．
π 6
,
π 3
C． (π , π ) 32
D．
π 3
,
π 2
【答案】D
【解析】由题意，函数= f ( x) sin (ωx + ϕ ) ，= g ( x) cos (ωx + ϕ ) 的图象中相邻两个交点的横坐标之差的
π
绝对值为 ．
2
令 F（x）＝ sin (ωx + ϕ ) ﹣ cos (ωx + ϕ ) ＝0，可得
k∈Z
k∈Z
解得 − 5π + 2kπ ≤ ϕ ≤ − 7π + 2kπ ， k ∈ Z ，
3
6
当 k = 1，可得 π ≤ ϕ ≤ 5π ，符合条件．
3
6
故选 B．
4. 【河北省衡水市衡水中学 2019-2020 学年高三上学期二调】
如图是函数=y
sin(ω x
+
ϕ
)
ω
>
0, 0
<
ϕ
<
π 2
4
43
2
解得 m = π − kπ (k ∈ Z ) ，又 m>0，所以 m 的最小值为 π .
62
6
5. 【河北省衡水市衡水中学 2019-2020 学年高三上学期二调】
已知 α
∈
0,
π 2
，
β
∈
0,
π 2
，且
sin cos
β β
=
1+ cos 2α 2 cosα + sin 2α
2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷(四)理科数学
2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷（四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i z i +=（i 是虚数单位），则z 的虚部为（ ） A.12B. 12-C.12i D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】由()1i z i +=得1z ii=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z ,从而可得z 的虚部.【详解】因为(1)i z i +=,所以22(1)1111(1)(1)11221i i i i i i z i i i i i --+=====+++-+-,所以复数z 的虚部为12. 故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2.若集合{1234}A =，，，，{}260B x x x =--≤，则A B =I （ ） A. {1} B. {12}， C. {2,3} D. {12,3}， 【答案】D 【解析】{}60,23,1,2,3x x x A B Q --≤∴-≤≤⋂=,选D .3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员9场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）A. 甲所得分数的极差为22B. 乙所得分数的中位数为18C. 两人所得分数的众数相等D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 【分析】根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果.【详解】甲的最高分为33，最低分为11，极差为22，A 正确；乙所得分数的中位数为18，B 正确；甲、乙所得分数的众数都为22，C 正确；甲的平均分为11151720222224323319699x ++++++++==甲，乙的平均分为8111216182022223116099x ++++++++==乙，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选D.【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的，属于基础题型.4.若实数,x y 满足约束条件220,10,0.x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A 【解析】 【分析】画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件220100x y x y +-⎧⎪-⎨⎪⎩„……表示的平面区域，如图所示．由2z x y =-可得1122y x z =-，则12z -表示直线1122y x z =-在y 轴上的截距，纵截距越大，z 越小．作直线20x y -=，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点B 时，12z -最大，z 最小．由2201x y x +-=⎧⎨=⎩可得1(1,)2B ，此时0z =，故选：A ．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（ ） A. 1 B. 3C. 6D. 9【答案】D 【解析】 【分析】首先根据对数运算法则，可知()31212log ...12a a a =，再根据等比数列的性质可知()6121267.....a a a a a =，最后计算67a a 的值.【详解】由3132312log log log 12a a a +++=L ，可得31212log 12a a a =L ，进而可得()6121212673a a a a a ==L ，679a a ∴= .【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和计算能力.6.已知函数()sin ,0,621,0.x x x f x x ππ⎧⎛⎫+≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪+>⎩则()()21f f -+=( )A.62+ B.62- C.72D.52【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可． 【详解】解：Q 1(2)sin(2)sin662f πππ-=-+==，f （1）1213=+=， ∴17(2)(1)322f f -+=+=， 故选：C ．【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用代入法是解决本题的关键．属于基础题．7.ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ．若向量(),cos m a A =-r，()cos n C c =-r ，且0m n ⋅=r r，则角A 的大小为（）A.6π B.4π C.3π D.2π 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角A 的方程，得解．【详解】由0m n =r rg得，0(,cos )(cos )cos )cos a A C c a C c A =--=--g ，由正弦定理得，sin cos cos sin cos 0A C B A C A +=，化为sin()cos 0A C B A +=，即sin cos 0B B A =， 由于sin 0B ≠，∴cos 2A =()0,A π∈∴4A π=，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8.执行如图所示的程序框图，则输出的m 的值为（）A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算S 的值并输出变量m 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 开始 0S =1m =① 1122100⨯=< 2m =② 12122210100⨯+⨯=< 3m = ③ 12312223234100⨯+⨯+⨯=< 4m = ④ 12341222324298100⨯+⨯+⨯+⨯=< 5m =⑤ 123451222324252258100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>6m =故选：B ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.若矩形ABCD 的对角线交点为O '，周长为410，四个顶点都在球O 的表面上，且3OO '=，则球O 的表面积的最小值为（）A.3223πB.6423πC. 32πD. 48π【答案】C 【解析】 【分析】首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球的表面积的最小值．【详解】如图，设矩形ABCD 的两邻边分别为a ，b ，则210a b +=，且外接圆O 'e 的半径22a b r +=．由球的性质得，OO '⊥平面ABCD ，所以球O 的半径2222(3)34a b R r +=++由均值不等式得，2222a ba b ++„222()202a b a b ++=…， 所以222220(3)33844a b R r +=+++…，当且仅当10a b ==所以球O 的表面积的最小值为2432R ππ=， 故选：C ．点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．10.已知函数()()221xf x x a x e =++，则“2a =()f x 在-1x =处取得极小值”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的判定得答案．【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--．①当0a =时，2()(1)0xf x x e '=+…． 故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增． 故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选：A ．【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题．11.已知双曲线2222C :1(0,b 0)x y a a b-=>>的左、右焦点分别为()10F c－，，()20F c ，，点N 的坐标为23c,2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．若双曲线C 左支上的任意一点M 均满足24MF MN b >+，则双曲线C 的离心率的取值范围为( )A. 13,53⎛⎫⎪ ⎪⎝ B. (5,13)C. 131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭UD. (1,5)(13,)+∞U【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线的定义，212MF MF a =+，转化为124MF MN a b ++>，即()1min24MFMNa b ++>，根据数形结合可知，当点1,,M F N 三点共线时，1MF MN+最小，转化为不等式23242b a b a+>，最后求离心率的范围.【详解】由已知可得212MF MF a -=，若2||4MF MN b +>，即1|||24MF MN a b ++>‖，左支上的点M 均满足2||4MF MN b +>， 如图所示，当点M 位于H 点时，1||MF MN +最小，故23242b a b a +>，即22348b a ab +>, 223840,(2)(23)0b ab a a b a b ∴-+>∴-->,23a b ∴>或222,49a b a b <∴>或22224,913a b c a <∴<或22135,1c c a a >∴<<或5,ca >∴双曲线C 的离心率的取值范围为131,(5,)3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析1|||MF MN +‖的最小值，转化为,a b 的代数关系，最后求ca的范围.12.若关于x 的不等式ln 210x x kx k -++>在()2,+∞内恒成立，则满足条件的整数k 的最大值为( ) A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】 【分析】由题意知分离参数得到ln 12x x k x +<-，通过研究()ln 12x x g x x +=-的()g x '虚设零点0x ，利用零点存在性定理得()06,7x ∈并回带零点得到()min g x 的范围，进而得到对应整数k 的最大值．【详解】解：根据题意，()2ln 1k x x x -<+对于2x >恒成立ln 12x x k x +∴<-令()ln 12x x g x x +=-，只需()min k g x <即可()()22ln 32x x g x x -+-=-'令()2ln 3h x x x =-+-()20x h x x-'=> ()h x ∴在()2,+∞递增，()()3632ln 62ln 62ln ln 602h ⎛⎫=-=-=< ⎪⎝⎭，()()2742ln 72ln ln 70h e =-=-> ，故存在()06,7x ∈，使得()00h x =， 002ln 3=0x x ∴-+-即003ln =2x x - ，而()g x 在()02x ，递减，()0x +∞，递增， 由()06,7x ∈，()()()000000min 00-3·+1ln -12==== 2.5,3-2-22x x x x x g x g x x x ∴∈()min K g x <故整数k 的最大值为2，故选：A ．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了零点存在性定理，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额y 与宣传费用x 之间的关系如表：已知销售额y 与宣传费用x 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为$9y bx=+$，则b $的值为__________． 【答案】6.5 【解析】 【分析】由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数． 【详解】由表中数据，计算0123425x ++++==，10152030351102255y ++++===，又归直线方程为ˆˆ9y bx =+过样本中心点(2,22)得， ˆ2229b=+， 解得13ˆ 6.52b ==． 故答案为：6.5．【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．14.已知曲线C ：2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．若点P 在曲线C 上运动，点Q 为直线l ：20x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为__________．【解析】 【分析】先表示出曲线C 上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值. 【详解】表示曲线2cos ,:(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意点(2cos ,sin )P θθ到直线:20l x y +-的距离d ==当sin()1θα+=时，||min min PQ d ===【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．15.已知()f x 是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，其导函数为()f x '，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭x 0,2π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()sin 22()cos 20f x x f x x '+>，则不等式()21f x sin x ＜的解集为______．【答案】,88ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】首先根据已知构造函数，()()sin 2g x f x x =⋅ ，根据导数可知函数()g x 单调递增，即()()sin 218f x x g x g π⎛⎫⋅<⇔< ⎪⎝⎭，再结合奇偶性得到不等式的解集.【详解】令()() 2g x f x sin x =， 则()()()' 22 2g x f x sin x f x cos x =+当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0g x g x >， 单调递增，且sin 18842g f πππ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为()sin 21f x x <等价于()sin 2sin 288f x x f ππ⎛⎫⎛⎫<⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即g(x)<g(8π)，又()()sin 2g x f x x =为偶函数，所以8x π<，故88x ππ-<<，故不等式()21f x sin x <的解集为,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性，函数与方程，函数与不等式，导数的应用，涉及函数与方程思想，数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力，等价转化能力，运算求解能力，综合性较强，本题的关键是构造函数()() 2g x f x sin x =，根据导数分析函数的单调性，并且判断()g x 是偶函数.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l 。
河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学(理)试题 含解析
2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x=-≤，(){}|lnB x y x a==-，若A B A=，则实数a的取值范围为（）A. (),0-∞B.(],0-∞C.()1,+∞D.[)1,+∞【答案】A【解析】【分析】分别求出集合A集合B范围，根据A B A=得到A是B子集，根据范围大小得到答案.【详解】(){}|1001 A x x x x=-≤⇒≤≤(){}|lnB x y x a x a==-⇒>A B A A B⋂=⇒⊆所以0a<故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB是抛物线22y x=的一条焦点弦，AB中点C的横坐标是 ( )A.2【答案】B【解析】【分析】先设A B，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标.【详解】设()()1122A,B,x y x y，，C的横坐标为0x，则因为AB是抛物线22y x=的一条焦点弦，所以所以123x x+=，故故选B 【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）3355306 66【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠= 设2,AB =则1,5,BH HE AH ===所以6,AE =连接,6,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD 中6466cos ,6226EAD +-∠==⨯⨯ 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，则α﹣β＝（ ）3π-3π6π-6π【答案】C【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因为α、β都为锐角，且217sin α=、2114cos β=，所以27cos 7α=，57sin 14β= ，由()21212757491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-，且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题.5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x xππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x xππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a bπ=-，注意到[0,2)bπ∈，只有这两组．故选B．【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等.【此处有视频，请去附件查看】6.已知F是双曲线22:145x yC的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OP OF，则OPF△的面积为（）A. 32 B.52 C.72 D.92【答案】B 【解析】【分析】设()00,P x y，因为=OP OF再结合双曲线方程可解出0y，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y，则2200145x y-=①．又453 OP OF==+=，22009x y∴+=②．由①②得2259y=，即53y=，115532232 OPFS OF y∆∴==⨯⨯=，【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅．7.已知等差数列{}na的公差不为零，其前n项和为nS，若3S，9S，27S成等比数列，则93SS=（）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】C【解析】【分析】由题意，得29327S S S=⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a=，即可求解93SS 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S，9S，27S成等比数列，所以29327S S S=⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a+++⎛⎫=⨯⎪⎝⎭，整理得2521437821a a a=⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d+=++，解得12d a=，所以919135329()3()9223S a a a a aS a++=÷=＝11113(4)2793a d aa d a+==+，故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC∆中，点P满足3BP PC=，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM ABλ=，()0,0AN ACμλμ=>>，则λμ+的最小值为（）212+312+3252【答案】B【解析】由题意得出1344AP AB AC =+，再由AM AB λ=，AN AC μ=，可得出1344AP AM AN λμ=+，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值. 【详解】如下图所示：3BP PC =，即()3AP AB AC AP-=-，1344AP AB AC ∴=+， AM AB λ=，()0,0AN AC μλμ=>>，1AB AMλ∴=，1AC ANμ=，1344AP AM AN λμ∴=+，M 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()1333312114444442λμλμλμλμλμμλμλ⎛⎫∴+=++=++≥⋅+=+ ⎪⎝⎭，当且仅当3μλ=时，等号成立，因此，λμ+的最小值为312+，故选B.【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题. 9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变； 1//A P ②平面1ACD ；1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C，故BC 1上任意一点到平面1AD C的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C为底面，则三棱锥1A D PC-的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B，11AC ，111//A C AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. 23B. 43C. 13D. 213【答案】B【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长22l=2r -PQ =225-13=43∴直线20x ay ++=被圆截得的弦长为43． 故选B ． 11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C上，111A C 3DC =，11B C 4B = E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ，延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，111A C 3DC =，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQDNC 11111hV V V V S h h Sh S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭下．故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设()()22D 22xx a e aa =-+-++,其中 2.71828e ≈，则D 的最小值为( )A. 2B. 3C. 21+D. 31+【答案】C 【解析】分析：由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离，而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-，则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，画出图象，当,,F A C 三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a ≥，2()(2)2x D x a e a a =-+-++，由2()(2)x x a e a -+-表示两点(,)xC x e 与点(,2)A a a 的距离， 而点A 在抛物线24y x =上，抛物线的焦点(1,0)F ，准线为1x =-， 则D 表示A 与C 的距离和A 与准线的距离的和加上1， 由抛物线的定义可得D 表示A 与C 的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有112FQ+==，则D的最小值为21+，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log,042,0xx xf xx->⎧=⎨-≤⎩，则18f f⎛⎫⎛⎫=⎪⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】-4【解析】【分析】先求18f⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】因为函数()2log,042,0xx xf xx->⎧=⎨-≤⎩，则211log388f⎛⎫==-⎪⎝⎭()1348f f f⎛⎫⎛⎫=-=-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4.【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________.【答案】52【解析】 【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧，∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-的外接球的半径为5，则A DB '∠=_________.图（1） 图（2）【答案】23π【解析】 【分析】根据题意，先找到球心的位置，再根据球的半径是5，以及已有的边的长度和角度关系，分析即可解决．【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图． 根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ， 因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ， 所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ， 则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R 5=，∴A 'F2251R OF =-=-=2， 所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE2251R DE =-=-=2， ∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF3π=， 故∠A 'DB23π=，故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题．16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x xe =+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e 【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()f xg x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e =+（x ＞0），即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0），则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]，则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x当0＜x 0＜e 时，F（x ）在（x 0∴x∈（x 0F （x ）＜F （x 0）＝0当x 0＞e 时，F （x x 0）上递减；∴x ∈x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数，当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （ef （x【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==. （1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C=；（2）192CE=【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C；（2）利用向量法求出CE．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cosBD BC CD BC CD=+-⋅1312cosC C=-，BD2＝AB2+DA2﹣2AB•DA cos A＝5+4cos C，所以cos C12=，60C∴=；（2）由1()2CE CD CB=+，得2221(2)4CE CD CB CD CB=++⋅1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以192CE=.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.（Ⅰ）证明：G是AB的中点；（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43.【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯=试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥ 所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EFPB ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DEPC ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,2 2.==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积【考点】线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.A ，上顶点为B．已知椭圆的离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，求k 的值．【答案】（1【解析】分析：（I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.（II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得由方程组结合215x x =，可得经检验k 的值详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，又由222a b c =+，可得23a b =．由从而3,2a b ==．（II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ， 从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y消去y ，由215x x =，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得时，290x =-<，不合题意，舍去；当时，212x =，意．所以，k 的值为点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，，60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ； （2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）56【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出BD 3=，继而得到BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案．【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得3BD =，进而90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，6AE =，由余弦定理得2cos 3ADE ∠=，∴5sin 3ADE ∠=，∴53AH AD =⋅，在Rt AHB ∆中，5sin 6AH ABH AB ∠==，∴直线EF与平面BED所成角的正弦值56.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px=，其中常数0p>，F是抛物线Γ的焦点.（1）设A是点F关于顶点O的对称点，P是抛物线Γ上的动点，求||||PAPF的最大值；（2）设2p=，1l，2l是两条互相垂直，且均经过点F的直线，1l与抛物线Γ交于点A，B，2l与抛物线Γ交于点C，D，若点G满足4FG FA FB FC FD=+++，求点G的轨迹方程. 【答案】（1）最大值为2；（2）23y x=-【解析】【分析】（1）求得A的坐标，设出过A的直线为y＝k（x2p+），k＝tanα，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F（1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），G（x，y），设l1：y＝k（x﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A是点(,0)2pF关于顶点O的对称点，可得(,0)2pA-，设过A的直线为()2py k x=+，tankα=，联立抛物线方程可得22222(2)04k pk x k p p x+-+=，由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p∆=--=，解得1k=±，可取1k=，可得切线的倾斜角为45°，，而α的最小值为45°，（2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,，设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=，由两直线垂直的条件，可将k ，可得23424x x k +=+，344y y k +=-，点G 满足4FG FA FB FC FD =+++，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++，G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ≤.已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，（i ）求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；（ii ）若关于x 的不等式()e xg x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（I ）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -.（II ）（i ）见解析.（ii ）[7,1]-.【解析】，得出4a a <-，根据导数的符号判断函数的单调性，给出单调区间，对()g x 求导，根据函数()y g x =和xy e =的图象在公共点（x 0，y 0）处有相同的切线，解得0()0f x '=，根据()f x 的单调性可知()()1f f x a ≤=在[1,1]a a -+上恒成立，关于x 的不等式()e xg x ≤在区间00[1,1]x x -+上恒成立，得出32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤，求出()f a 的范围，得出b 的范围. 试题解析：（I ）由()()32634f x x x a a x b=---+，可得()()()()()2'3123434f x x x a a x a x a =---=---，令()'0f x =，解得x a =，或4x a =-.，得4a a <-.当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 的单调递增区间为(),a -∞，()4,a -+∞，单调递减区间为(),4a a -.（II ）（i ）因为()()()()''x g x e f x f x =+，由题意知()()0000'xx g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以()()()()0000000'x x x x f x e e e f x f x e ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩. 所以，()f x 在x x =处的导数等于0. （ii ）因为()xg x e ≤，[]001,1x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x ≤.又因为()01f x =，()0'0f x =，故x 为()f x 的极大值点，由（I ）知0x a=.，故14a a +<-，由（I ）知()f x 在()1,a a -内单调递增，在(),1a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a ≤=在[]1,1a a -+上恒成立，从而()xg x e ≤在[]001,1x x -+上恒成立.由()()326341f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -≤≤.令()32261t x x x =-+，[]1,1x ∈-，所以()2'612t x x x=-，令()'0t x =，解得2x =（舍去），或0x =.因为()17t -=-，()13t =-，()01t =，故()t x 的值域为[]7,1-.所以，b的取值范围是[]7,1-.【考点】导数的应用【名师点睛】利用导数工具研究函数是历年高考题中的难点问题，利用导数判断函数的单调性，求函数的极值或最值，利用导数的几何意义研究曲线的切线方程以及利用导数研究函数的零点和值域也是常见考法，本题把恒成立问题转化为函数值域问题很巧妙，问题转化为借助导数研究函数在某区间上的取值范围去解决，方法灵活思维巧妙，匠心独运.。
衡水独家秘笈之2020高中期末复习 专题四 函数单调性的应用面面观
专题四函数单调性的应用面面观【方法综述】 函数单调性的应用，主要有比较函数值大小、解不等式、求参数的取值范围（值）、求函数的最值（值域）等，下面举例说明.一、比较函数值大小例1.设函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且f(x)是[1,+∞)上的增函数，则a =f(0.623)，b =f(0.723)，c =f(0.713)的大小关系是（ ）A. a >b >cB. b >a >cC. a >c >bD. c >b >a解：根据f(1+x)=f(1−x)，可得函数f(x)的图像关于直线x =1对称，结合f(x)是[1,+∞)上的增函数，可得函数f(x)是(−∞,1]的减函数，利用幂函数和指数函数的单调性，可以确定0.623<0.723<0.713，所以f(0.623)>f(0.723)>f(0.713)，即a >b >c ，故选A.解题策略： (1)利用单调性可以比较函数值的大小，即增函数中自变量大函数值也大，减函数中自变量小函数值反而变大；(2)利用函数单调性比较大小应注意将自变量放在同一单调区间．二、解不等式例2.已知函数f (x )={9,x ≥3−x 2+6x,x <3，则不等式f (x 2−2x )<f (3x −4)的解集是__________．解：当x <3时，f (x )=−x 2+6x =−(x −3)2+9≤9，f (x )在(−∞,3)上递增，由f (x 2−2x )<f (3x −4)，可得{x 2−2x <3x −43x −4≤3 或{x 2−2x <33x −4>3， 解得{1<x <4x ≤73 或{−1<x <3x >73 ，即为1<x ≤73或73<x <3，即1<x <3，即有解集为(1,3)，故答案为(1,3).解题策略： (1)利用单调性解不等式就是利用函数在某个区间内的单调性，推出两个变量的大小关系，然后去解不等式．(2)利用单调性解不等式时应注意函数的定义域，即首先考虑使给出解析式有意义的未知数的取值范围．衡水独家秘籍之2020高中期末复习(3)利用单调性解不等式时，一定要注意变量的限制条件，以防出错．三、求参数的取值范围（值）例3.已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 是区间[1，＋∞)上的单调函数，求实数a 的取值范围． 解：任取x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0.Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 32－ax 2)－(x 31－ax 1)＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )．∵1≤x 1<x 2，∴x 21＋x 1x 2＋x 22>3.显然不存在常数a ，使(x 21＋x 1x 2＋x 22－a )恒为负值．又f (x )在[1，＋∞)上是单调函数，∴必有一个常数a ，使x 21＋x 1x 2＋x 22－a 恒为正数，即x 21＋x 1x 2＋x 22>a .当x 1，x 2∈[1，＋∞)时，x 21＋x 1x 2＋x 22>3，∴a ≤3.此时，∵Δx ＝x 2－x 1>0，∴Δy >0，即函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴a 的取值范围是(0,3]．四、利用函数单调性求函数的最值（值域） 例4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝4时，求f (x )的最小值；(2)当a ＝12时，求f (x )的最小值； (3)若a 为正常数，求f (x )的最小值．解：(1)当a ＝4时，f (x )＝x ＋4x＋2，易知，f (x )在[1,2]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (2)＝6.(2)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2. 易知，f (x )在[1，＋∞)上为增函数．∴f (x )min ＝f (1)＝72. (3)函数f (x )＝x ＋a x＋2在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 若a >1，即a >1时，f (x )在区间[1，＋∞)上先减后增，∴f (x )min ＝f (a )＝2a ＋2. 若a ≤1，即0<a ≤1时，f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.例5.函数y x =( )A. )1⎡++∞⎣B. )+∞C. )+∞ D. (1,)+∞ 解：由()222312x x x -+=-+， 得x R ∈ ，当1x ≥时，函数y x =1y x ≥=当1x ≤时，由y x =0y x =-≥ 两边平方整理得得2223y x y -=-（）， 从而1y ≠ 且2322y x y --＝ ． 由22123y x y -≤-＝，得y R ∈ ，由2232330022232y y y y x y y y y --+--≥⇒≥⇒>--＝． 所以32y >． 综上，所求函数的值域为(1,)+∞.选D【针对训练】1.函数()()211f x mx m x =+-+在区间上为减函数，则的取值范围（ ） A ．⎥⎦⎤ ⎝⎛31,0B ． C ． D.⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0 【答案】C【解析】当0m =时，()1f x x =-，满足在区间(],1-∞上为减函数，当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的图象对称轴为12m x m-=，且函数在区间(],1-∞上为减函数，0112m m m >⎧⎪∴-⎨≥⎪⎩，求得103m <≤，故选C. ]1,(-∞m ⎪⎭⎫⎢⎣⎡31,010,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦2.已知函数()22,1{ 2,1a x f x xx x x +>=-+≤在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A . [)1,-+∞B . ()1,-+∞C . [)1,0-D . ()1,0-【答案】C 【解析】根据题意,函数()22,1{ 2,1a x x xx x x +>=-+≤在R 上单调递增,且f (1)=−(−1)2+2x =1， 则有0{ 21a a <+，解可得−1⩽a <0；故选：C .3．已知f(x)={(2a −1)x +4a,x <1−x +1,x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）． A ． [16,12) B ． [13,12) C ． (16,12] D ． [13,12]【答案】A【解析】因为f(x)为定义在R 上的减函数，∴{2a −1<0(2a −1)⋅1+4a ≥−1+1， 解得16≤a <12 ∴a 的取值范围为[16,12)． 故答案为：A．4.定义新运算⊕ ：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，则函数()()()[]12,2,2f x x x x x =⊕-⊕∈-的最大值等于（ ）A. 1-B. 1C. 6D. 12【答案】C【解析】解：由题意知当-2≤x≤1时，f （x ）=x-2，当1＜x≤2时，32f x x =-（）， 又∵f （x ）=x-2，32f x x =-（）在定义域上都为增函数，∴f （x ）的最大值为f （2）=322-=6．故选C ．5. 定义一种运算，令t x x x x f -⊗-+=)23()(2(t 为常数) ,且[]3,3-∈x ，则使函数)(x f 的最大值为3的t 的集合是 ( )A ．{}3,3-B ．{}5,1-C ．{}1,3-D ．{}5,3,1,3--【答案】C【解析】函数[]232,3,3y x x x =+-∈-的图像开口向下,对称轴为1x =.当[]232,3,3y x x x =+-∈-最大值为3时,即2323x x +-=解得2x =或0x =． 根据定义可知,要使函数()f x 最大值为3,2x =时,223,1t t t -=-=∴=-;当0x =时,003t t t -=-==.所以1t =-或3t =.6.已知定义在R 上的函数f (x )满足:①f (1+x )=f (1−x ),在[1,+∞)上为增函数;若x ∈[12,1]时，f (ax )<f (x −1)成立，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】(0,2).【解析】根据题意，可知函数f(x)的图像关于直线x =1对称，因为其在[1,+∞)上为增函数，则在(−∞,1)上是减函数，并且距离自变量离1越近，则函数值越小，由f (ax )<f (x −1)可得，|ax −1|<|x −1−1|，化简得|ax −1|<|x −2|，因为x ∈[12,1]，所以|x −2|=2−x ， 所以该不等式可以化为x −2<ax −1<2−x ，即不等式组{(a −1)x >−1(a +1)x <3在x ∈[12,1]上恒成立， 从而有{ (a −1)×12>−1(a −1)×1>−1(a +1)×12<3(a +1)×1<3 ，解得0<a <2，故答案为(0,2). ⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ,,7.定义：函数f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的差为f(x)在区间[a,b]上的极差，记作d(a,b).①若f(x)=x 2−2x +2，则d(1,2)=________；②若f(x)=x +m x ，且d(1,2)≠|f(2)−f(1)|，则实数m 的取值范围是________. 【答案】 1(1，4)【解析】①由题意知f(x)=(x −1)2+1，x ∈[1,2]，所以f(x)∈[1,2]，所以d(1,2)=1. ②当m >0时，函数f(x)在区间（0，√m ）单调递减，在区间(√m,+∞)上单调递增，要满足d(1,2)≠|f(2)−f(1)|，只需1<√m <2,1<m <4，所以1<m <4当m ≤0时，函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，不满足.综上所述，1<m <4.填(1，4).8.已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是增函数，且f (t －1)<f (1－2t )，求实数t 的取值范围．【答案】0<t <23【解析】依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ －1<t －1<1，－1<1－2t <1，t －1<1－2t ，解得0<t <23. 9.函数f(x)=2x −a x 的定义域为(0,1]（a 为实数）.（1）若函数y =f(x)在定义域上是减函数，求a 的取值范围；（2）若f(x)>5在定义域上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）a ≤−2；（2）a <−3【解析】（1）任取x 1,x 2∈(0,1],且x 1<x 2，则有f (x 1)−f (x 2)=(x 1−x 2)(2+a x1x 2)>0，即a <−2x 1x 2恒成立，所以a ≤−2（2）2x −a x >5(x ∈(0,1])⇔a <2x 2−5x (x ∈(0,1])恒成立∵2x 2−5x =2(x −54)2−258，∴函数y =2x 2−5x 在（0，1]上单调减， ∴x =1时，函数取得最小值−3，即a <−3.10.已知函数f(x)=ax 2+2x +c(a,c ∈N ∗)，满足①f(1)=5；②6<f(2)<11．（1）求a ，c 的值．（2）设g(x)=f(x)−2x −3+|x −1|，求g(x)的最小值．【答案】（1）1，2；（2）−14．【解析】（1）f(1)=a +2+c =5，f(2)=4a +4+c ∈(6,11)，又c =5−2−a =3−a ，∴4a +4+3−a=3a +7∈(6,11)，∴−13<a <43， 又a ∈N ∗，∴a =1，c =2．（2）f(x)=x 2+2x +2，∴g(x)=f(x)−2x −3+1x −11=x 2+2x +2−2x −3+1x −11=x 2+1x −11−1，x ≥1时，g(x)=x 2+x −2，此时g(x)在[1,+∞]上单调递增，∴g(x)min =g(1)=1+1−2=0，x <1时，g(x)=x 2−x ，g(x)在(−∞,12)上单调递减，在[12,1)上单调递增， ∴g(x)min =g (12)=14−12=−14，又−14<0，∴g(x)min =g (12)=−14．。
2020年衡水高考数学专题复习试题分类、立体几何
四、立体几何一、选择题1.（重庆理9）高为2的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为A ．24 B ．22C ．1D 2【答案】C2.（浙江理4）下列命题中错误的是A ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC ．如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面D ．如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β【答案】D3.（四川理3）1l ，2l ，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A ．12l l ⊥，23l l ⊥13//l l ⇒ B ．12l l ⊥，23//l l ⇒13l l ⊥C ．233////l l l ⇒1l ，2l ，3l共面D ．1l ，2l ，3l 共点⇒1l ，2l ，3l 共面【答案】B【解析】A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定4.（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A．283π-B．83π-C ．82π-D ．23π【答案】A5.（浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】D6.（山东理11）右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是A．3 B．2C．1 D．0【答案】A7.（全国新课标理6）。
在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为3 32正视图侧视图俯视图 图1 【答案】D8.（全国大纲理6）已知直二面角α− ι−β，点A ∈α，AC ⊥ι，C 为垂足，B ∈β，BD ⊥ι，D 为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于A ．23B ．33 C ．63 D ．1【答案】C9.（全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N ．若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为A ．7πB ．9πC ．11πD ．13π 【答案】D10.（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．9122π+ B ．9182π+C ．942π+D ．3618π+【答案】B11.（江西理8）已知1a ，2a ，3a 是三个相互平行的平面．平面1a ，2a之间的距离为1d ，平面2a ，3a 之间的距离为2d ．直线l 与1a ，2a ，3a 分别相交于1p ，2p ，3p ，那么“12P P =23P P ”是“12d d =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C12.（广东理7）如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A ．63B．93C．123D．183【答案】B13.（北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A．8 B．62C．10 D．82【答案】C14.（安徽理6）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A）48（B）32+817（C）48+817（D）80【答案】C15.（辽宁理8）。
2020年河北省衡水市高级中学高一数学理测试题含解析
2020年河北省衡水市高级中学高一数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数在定义域内为奇函数，且有最小值的是（）A．B． C. D．参考答案：D2. 已知，则的值等于（）；；；；参考答案：B略3. 若θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ=﹣，则sinθ﹣cosθ的值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】三角函数的化简求值．【分析】先由条件判断sinθ＞0，cosθ＜0，得到sinθ﹣cosθ==，把已知条件代入运算，可得答案．【解答】解：∵θ是△ABC的一个内角，且sinθcosθ=﹣，∴sinθ＞0，cosθ＜0，∴sinθ﹣cosθ====，故选：D．4. 已知角的终边经过点P(4，－3)，则的值等于( )A．－ B．－ C． D．参考答案：B略5. 函数的零点所在的区间是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．【点评】超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．6. 如右图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60o角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的序号是（）A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③④参考答案：C略7. 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①②B．①③C．①④D．②④参考答案：D【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D 8. 下列函数中,是偶函数且在区间上单调递减的函数是（）A. B. C. D.参考答案：B略9. 函数y=sin（x+）的一个单调增区间是（）A．[﹣π，0] B．[0， ] C．[，] D．[，π]参考答案：B10. 已知是以为周期的偶函数，且时，，则当时，等于（）A．B．C． D．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. △ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=3，b=5，c=7，则角C的大小为．参考答案：．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，结合C的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵a=3，b=5，c=7，∴cosC===﹣，∵C ∈（0，π）， ∴C=．故答案为：．12. 已知,,则.参考答案：略13. 已知f （x ）=x 2+1是定义在闭区间[﹣1，a]上的偶函数，则f （a ）的值为 ．参考答案：2【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】根据偶函数的对称性可知a=1，代入解析式计算即可．【解答】解：∵f（x ）=x 2+1是定义在闭区间[﹣1，a]上的偶函数，∴a=1．∴f（a ）=f （1）=2． 故答案为：2．【点评】本题考查了函数奇偶性的性质，属于基础题．14. 若点在直线上，过点的直线与曲线只有一个公共点，则的最小值为__________参考答案： 略15. 若，则的值为_____参考答案：16. 已知，，，的等比中项是1，且，，则的最小值是______.参考答案：4 【分析】 ，等比中项是1，再用均值不等式得到答案.【详解】，的等比中项是1当时等号成立.故答案为4【点睛】本题考查了等比中项，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力. 17. 若数列{a n }的前n 项和为，则通项公式为__________．参考答案：【分析】 利用求解，但要注意验证n=1时是否成立.【详解】当n=1时，；又，【点睛】本题考查利用数列前n 项和求数列通项公式，属于基础题目，解题中需要注意利用公式求解出的通项公式需要验证n=1时，是否满足题目条件.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2018衡水名师原创理科数学专题卷：专题四《函数的图象、函数的应用》(含答案解析)
2019届高三一轮复习理科数学专题卷 专题四函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题） 考点11:函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共 12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有 一项是最符合题目要求的。
）1.【来源】2017届山东潍坊中学高三上学期开学考试 考点10中难已知函数f （X ）对任意的R 有f（x ） f（-x ） =0，且当x 0时，f （x ） = ln （x • 1），则已知函数y = f （1—x ）的图象如下，则 y=|f （x + 2）的图象是（函数f x2- -1 cosx 的图象的大致形状是（ +e x 丿2.［来源】2017届黑龙江双鸭山一中高三上学期质检一考点10中难中难考点10 3.［来源】2017届河北衡水中学高三上学期一调考试正实数m 的取值范围是（A 0,11U 2.3（B ）O,11J3,= （C ）0, ：2 J 2「3, = （ D ） 0,-,2 U 13,-5. 【来源】2017届广东省仲元中学高三 9月月考 考点10难 如图，周长为1的圆的圆心C 在y 轴上，顶点A （0,1），一动点M 从A 开始逆时针绕圆运动 一周，记走过的弧长 AB 二x ，直线AM 与x 轴交于点N （t,0），则函数t = f （x ）的图像大 致为（）6.【来源】2017届广西河池课改联盟高三上联考二 考点11易 1函数f x x _log 4 x 的零点所在的区间是（）4A.0,1B. — C.1,2D.2,42 27.【来源】2016-2017学年河北故城县高级中学期中考点11易已知x 0是函数f x =2x -丄 的一个零点，若x 「 3,X 。
2019衡水名师原创理科数学专题卷：专题四《函数的图像、函数的应用》
2019衡水名师原创理科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题） 考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知函数()f x 对任意的x R ∈有()()0f x f x +-=,且当0x >时, ()()ln 1f x x =+,则函数()f x 的大致图像为( )A.B.C.D.2.已知函数 ()1y f x =-的图象如下,则()+2y f x =的图象是( )A.B.C.D.3.函数()21cos 1e xf x x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象的大致形状是( ) A.B.C.D.4.已知函数()f x x x a =⋅-的图象与直线1y =-的公共点不少于两个,则实数a 的取值范围是( ) A. 2a <-B. 2a ≤-C. 20a -≤<D. 2a >-5.如图所示,设点A 是单位圆上的一个定点,动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P 所旋转过的弧AP 的长为l ,弦AP 的长为d ，则函数()d f l =的图像大致是( )A.B.C.D.6.函数4()2x f x x=-的零点所在区间是( ) A. 1(0,)2B. 1(,1)2C. 3(1,)2D. 2(,2)37.已知0x 是函数()123x f x x =--的一个零点,若()103,x x ∈,()20,x x ∈+∞,则( ) A. ()()12f x f x < B. ()()12f x f x >C. ()10f x <,()20f x <D. ()10f x >,()20f x > 8.已知方程sin xk x=在()0,?+∞有且仅有两个不同的解α、()βαβ<,则下面结论正确的是( ) A. 1tan 41πααα+⎛⎫+=⎪-⎝⎭ B. 1tan 41πααα-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ C. 1tan 41πβββ+⎛⎫+=⎪-⎝⎭ D. 1tan 41πβββ-⎛⎫+=⎪+⎝⎭ 9.已知函数12log ,0()115,024x x f x a x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪+-≤⎪⎩, 函数3()g x x =,若方程()()g x xf x =有4个不同实根,则实数a的取值范围为( ) A. 155,2⎛⎫⎪⎝⎭B. 155,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ()3,5-D. ()3,510.若函数2()xf x x e a =-恰有三个零点,则实数a 的取值范围是( ) A. 24,e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B. 240,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()20,4e D. ()0,?+∞11.某食品的保鲜时间y (单位:小时)与储藏温度x (单位:℃)满足函数关系kx by e+= ( 2.718e =...为自然对数的底数, ,k b 为常数),若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33℃的保鲜时间是( )A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时12.某校要招开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时,再增选一名代表,则各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x = ([]x 表示不大于x 的最大整数,如[]3π=,[]44=)可以表示为( ) A. 10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B. 310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦C. 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ D. 510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦二、填空题13.在平面直角坐标系xOy 中,若直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点,则a 的值为__________.14.用二分法求方程22x =的正实根的近似解(精确度0.001)时,如果选取初始区间是[]1.4,1?.5,则要达到精确度要求至少需要计算__________次.15.设f ()x 是定义在R 且周期为1的函数,在区间[)0,1上, 2,,(){,,x x D f x x x D ∈=∉ 其中集合*1|,n D x x n N n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭,则方程()lg 0f x x -=的解的个数是__________.16.已知函数()()()ln 0{2ln x x e f x x x e <≤=->,若,,a b c 互不相等,且()()()f a f b f c ==则a b c ++的取值范围为______. 三、解答题17.已知函数()211f x x x =--+1.请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.2.根据函数()f x 的图像回答下列问题①求函数()f x 的单调区间 ②求函数()f x 的值域③求关于x 的方程()2f x =在区间[]0,2上解的个数 18.函数2()21xx f x aa =+- (0a >且1a ≠)1.若2?a =,求(x)y f =的值域2.若(x)y f =在区间[]1,1-上有最大值14。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020衡水名师原创理科数学专题卷 专题四 函数的图象、函数的应用考点10：函数的图象（1-5题，13题，17,18题） 考点11：函数与方程（6-10题，14,15题，19-21题） 考点12：函数模型及其应用（11,12题，16题，22题）考试时间：120分钟 满分：150分说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
） 1、考点10 中难函数2()ln(1)f x x =+的图像大致是( )A. B. C. D.2、 考点10 中难函数2e e ()||2x x f x x x --=+-的部分图象大致是（ ）A.B. C. D.3、考点10 中难函数12||xx y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭=的图像大致形状是( )A. B.C. D.4、考点10 难 函数sin (0)ln xy x x=≠的部分图象大致是( ) A. B.C.D.5、考点10 难如图,半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线1l ,2l 之间, 12//l l ,l 与半圆相交于F ,G 两点,与三角形ABC 两边相交于E ,D 两点。
设弧长FG 的长为()0πx x <<,y EB BC CD =++,若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图像大致是( )A.B.C.D.6、考点11 易 已知函数26()log f x x x=-,在下列区间中,包含()f x 的零点的区间是( ) A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,4D ．()4,+∞7、考点11 易已知函数21e ,0()2,0xx f x x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，若若函数()y f x m =-有两个不同的零点，则m 的取值范围( ) A ．(1,1)-B ．(1,1]-C ．(1,)-+∞D ．[1,)-+∞8、考点11 中难已知函数2,0()2,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，若方程21()()04f x bf x ++=有六个相异实根， 则实数b 的取值范围( ) A.(2,0)-B.(2,1)--C.5(,0)4- D.5(,1)4-- 9、考点11 难设函数,01(),()()411,101x x f x g x f x mx m x x ≤<⎧⎪==--⎨--<<⎪+⎩,其中0m ≠.若函数()g x 在区间(1,1)-上有且仅有一个零点,则实数m 的取值范围是( ) A. 14m ≥或1m =- B. 14m ≥C. 15m ≥或1m =- D. 15m ≥10、考点11 难若关于x 的方程e 0e exx xx m x ++=-有三个不相等的实数解123,,x x x ,且1230x x x <<<,其中R m ∈,e 2.71828...=为自然对数的底数,则3122312(1)(1)(1)e e e x x x x x x ---的值为( ) A.eB.1C.1m +D.1m -11、考点12 易一个容器装有细沙3()a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地均速漏出, t 秒后剩余的细沙量为3()bty aecm -=,经过8秒后发现容器内还有一半的沙子,则再经过( )秒,容器中的沙子只有开始时的八分之一. A. 8? B.16 C.24 D.3212、考点12 难气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第n 天的维修保养费为4.910n+元(*)n N ∈,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( ) A.600天 B.800天 C.1000天 D.1200天第Ⅱ卷（非选择题）二.填空题（每题5分，共20分） 13、考点10 易 已知函数211x y x -=-的图象与函数2y kx =-的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是____________ 14、考点11 易 已知函数22log (),0(){3,0x a x f x x ax a x +≤=-+>有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是__________15、考点11 难在用二分法求方程()0?f x =在[]0,1上的近似解时,经计算,()()()0.6250,0.750,0.68750f f f <><,则可得出方程的一个近似解为__________(精确度0.1).16、考点12 难已知M 是函数()2112sin π2x f x e x --⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,5[3]x ∈-上的所有零点之和,则M 的值为__________三.解答题（共70分）17、（本题满分10分）考点 10 易已知函数() f x 是奇函数, 0x >时2()2f x x x =-+1.求() f x 解析式2.试作出函数()y f x =是的图象;3.若函数()y f x =在区间[]1,2a --上单调递增,求实数a 的取值范围 18、（本题满分12分） 考点11 中难已知函数f ()x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时, 2()2f x x x =- 1.求(0)f 的值;2.在答题卷上画出函数f ()x 的图象,并根据图象写出f ()x 的单调区间;3.若函数()()21g x f x a =--有三个零点,求a 的取值范围。
19、（本题满分12分）考点11 易 已知函数()||3(R,0)mf x x m x x=+-∈≠. 1.判断函数()y f x =的奇偶性，并说明理由； 2.讨论函数()y f x =的零点个数. 20、（本题满分12分）考点11 中难 设函数()()23f x x a x a =--+1.当2?a =时,对任意[]0,2x ∈,()f x m <恒成立,求 m 的取值范围;2.若函数() f x 在[]0,2x ∈有两个不同的零点,求两个零点之间距离的最大值,并求此时a 的值.21、（本题满分12分）考点11 中难已知函数1()31,,1,3x f x a ⎡⎫=-∈⎪⎢⎣⎭若函数()()g x f x a =-有两个不同的零点1212,()x x x x <,函数()()21ah x f x a =-+有两个不同的零点3434,()x x x x < 1.若23a =,求1x 的值; 2.求2143x x x x -+-的最小值 22、（本题满分12分）考点12 中难为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C (单位:万元)与隔热层厚度x (单位: cm )满足关系:()(010)35kC x x x =≤≤+,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设()f x 为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
1.求k 的值及()f x 的表达式;2.隔热层修建多厚时,总费用()f x 达到最小,并求最小值。
答案以及解析1答案及解析： 答案：A 解析：2答案及解析： 答案：D 解析：3答案及解析： 答案：D 解析：4答案及解析： 答案：A 解析：5答案及解析： 答案：D 解析：6答案及解析： 答案：C解析：由题意知,函数()f x 在(0,)+∞上为减函数,又(1)6060,(2)3120f f =-=>=-=>.2621(4)log 420432f =-=-=-<,由零点存在性定理,可知函数()f x 在区间(2,4)上必存在零点.7答案及解析： 答案：A 解析：8答案及解析： 答案：D 解析：9答案及解析： 答案：C解析：作出函数()y f x =的大致图象,如图所示.函数()g x 的零点个数⇔函数()y f x =的图象与直线4y mx m =+的交点个数.直线4y mx m =+过点1(,0)4-,当直线4y mx m =+过点(1,1)时, 15m =;当直线4y mx m =+与曲线11(10)1y x x =--<<+相切时,设切点为001(,1)1x x -+,由21'(1)y x =-+得切线的斜率为201(1)x -+,则0200110111(1)4x x x --+-=++,解得012x =-,所以21441(1)2m =-=--+,得1m =-.结合图象可知当15m ≥或1m =-时,函数()g x 在区间(1,1)-上有且仅有一个零点.10答案及解析： 答案：B解析：将方程e 0e e x x x x m x ++=-变形为1110e 1e xx x m x -+++=-.设1e x xt -=,则110t m t+++=,即2(1)10t m t +++=,关于x 的方程e 0e e x x xx m x ++=-有三个不相等的实数解等价于关于t 的方程2(1)10t m t +++=有两个不相等的实数解12,t t ,且直线1y t =,2y t =与函数()1ex xf x =-的图象有三个不同的交点,交点的横坐标分别是123,,x x x ,设直线1y t =与函数()f x 的图象有一个交点,直线2y t =与函数()f x 的图象有两个不同的焦点.1'()e x x f x -=,当1x <时,'()0f x >,当1x >时,'()0f x <,所以函数()1ex xf x =-在(,1)-∞上为增函数,在(1,)+∞上为减函数,且当x →-∞时,()f x →-∞;当x →+∞时,()1f x →-.又(0)1f =-,max 1()(1)1e f x f ==-,所以可画出函数()1ex xf x =-的大致图象以及直线1y t =,2y t =,如图所示.于是,1111e x x t -=,2221e x x t -=,3321e x x t -=.又由根与系数的关系得121t t =,故3122231212(1)(1)(1)()1e e ex x x x x x t t ---==,故选B.11答案及解析： 答案：B 解析：12答案及解析： 答案：B解析：设一共使用了n 天,则使用n天的平均耗资为(5 4.9)1032000320002 4.95 4.9584.9520nn n n n +++=++≥=,当且仅当3200020nn =时,取等号,此时, 800n =,故选B.13答案及解析： 答案：()()0,11,4⋃ 解析：据已知得()()()1,1111,11x x x x f x x x x +>-+⎧⎪==⎨-+<-⎪⎩， 如图，若使其图象与直线2y kx =-恰有个交点，由于直线过定点()0,2D -，只需直线介于DB 与DE 之间或介于直线DE 与DA 之间即可，故01k <<或14k <<14答案及解析： 答案：1a ≥ 解析：15答案及解析： 答案：0.75解析：∵()()0.68750.750,|0.750.6875|0.1f f ⋅<-<, ∴方程的一个近似解为0.75.16答案及解析： 答案：8解析：因为()()221211122sin π22sin π22x x f x ex e x -----⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦, 所以函数() f x 关于1?x =对称,如图可得曲线21x y e --=与12sin π2y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在[1,5]x ∈有四个交点,所以函数() f x 在,5[3]x ∈-上有8个零点,且两两关于1?x =对称,因此8282M =⨯=.17答案及解析：答案：1. 222,00,02,0x x x x x x x ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩ 2.3.要使() f x 在[]1,2a --上单调递增,结合() f x 的图象知, 2121a a ->-⎧⎨-≤⎩故实数a 的取值范围是(]1,3解析：18答案及解析：答案：1.由于函数f ()x 是定义域为R 的奇函数,则(0)0f =;2.图象如图所示.单调增区间: (,1],[1,)-∞-+∞单调减区间: ()1,1-3.∵方程()21f x a =+有三个不同的解 ∴1211a -<+<∴10a -<< 解析：19答案及解析：答案：1.当0m =时, ()||3f x x =-,此时()()f x f x -=,∴()f x 是偶函数;当0m ≠时,∵()||3m f x x x-=--, ∴()(),()()f x f x f x f x -≠-≠-,∴()f x 即不是奇函数也不是偶函数.综上,当0m =时, ()f x 是偶函数;当0m ≠时,()f x 时非奇非偶函数.2.由()0f x =,可得||30(0)x x x m x -+=≠,变形为||3(0)m x x x x =-+≠.令223,0()3||3,0x x x g x x x x x x x ⎧-+>⎪=-=⎨+<⎪⎩, 则2239(),024()39(),024x x g x x x ⎧--+>⎪⎪=⎨⎪+-<⎪⎩, 作()y g x =的图像及直线y m =(图略),由图像可得, 当94m >或94m <-时,()y f x =有一个零点;当94m =或0m =或94m =-时,()y f x =有两个零点; 当904m <<或904m -<<时,()y f x =有三个零点. 解析：20答案及解析：答案：1.当2?a =时, ()22f x x x =-+, ∵对任意[]()0,2,x f x m ∈<恒成立,()max m f x ∴>由二次函数知识,知()[]22,0,2f x x x x =-+∈的最大值为()24f =,4m ∴>,即m 的取值范围为()4,+∞. 2.设函数() f x 的两个不同的零点为1?2,x x ,则方程()230x a x a --+=的两个不等的实根为1?2,x x ,12123,x x a x x a ∴+=-=,由12x x -===∵2,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭,∴当23a =时, 12min 53x x -== 解析：21答案及解析：答案：1.当23a =时, 2()3103x g x =--=,即x 133=或53,∵121,1x x x <∴=- 2.∵()310,31x x g x a a =--=∴=±∵121323log (1),log (1),x x x a x a <∴=-=+∵()310,312121x x a a h x a a =--=∴=±++ ∵343343log 1,log 1,2121a a x x x x a a ⎛⎫⎛⎫<∴=-=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ 2143333(1)113421log log log 311(1)121a a a a x x x x a a a a a ⎛⎫++ ⎪++⎛⎫⎝⎭∴-+-===- ⎪--⎛⎫⎝⎭-- ⎪+⎝⎭∵34log (3)1y a =--在1,13a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭上单调递增, 所以当13a =时, 2143x x x x -+-的最小值为1. 解析：22答案及解析：答案：1.设隔热层厚度为xcm ,由题意知(0)8C =, 代入()C x 的关系式,得40k =, 因此40()(010)35C x x x =≤≤+, 而每厘米厚的隔热层建造成本为6万元,所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 800()20()66(010)35f x C x x x x x =+=+≤≤+。