江苏省高考第一轮复习——导数(理)
(江苏专版)高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算实用课件文
2．函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若 Δx_无__限__趋__近__于___0_时，比值ΔΔxy＝_f_x_0_＋__ΔΔ_x_x_－__f_x_0_ 无限趋近于一 个_常__数___A_，则称 f(x)在 x＝x0 处 可导 ，并称常数 A 为函数 f(x) 在 x＝x0 处的导数，记作 f′(x0) ． 3．函数 f(x)的导函数 若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内任意一点都 可导 ，则 f(x) 在各点的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变 量 x 的 函数 ，该函数称为 f(x)的 导函数 ，记作 f′(x) ．
(3)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C 为常数)； f′xgx－fxg′x
(4)gfxx′＝_________[g__x__]2_______ (g(x)≠0)．
第七页，共34页。
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
已知函数的解析式求导数 [例 1] 求下列函数的导数： (1)y＝(1－ x)1＋ 1x； (2)y＝lnxx； (3)y＝tan x； (4)y＝3xex－2x＋e.
第二十一页，共34页。
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
求切线方程 [例 1] 已知函数 f(x)＝x3－4x2＋5x－4. (1)求曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)求经过点 A(2，－2)的曲线 f(x)的切线方程． [解] (1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5， ∴f′(2)＝1，又 f(2)＝－2， ∴曲线 f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y－(－2)＝x－2， 即 x－y－4＝0.
第二十五页，共34页。
求切点坐标 [例 2] (1)设曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线与曲线 y＝1x(x＞0) 上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标为________． (2)(2018·广州模拟)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y＝0，则点 P 的坐标为________． [解析] (1)y＝ex 的导数为 y′＝ex，则曲线 y＝ex 在点(0,1) 处的切线斜率 k1＝e0＝1.y＝1x(x＞0)的导数为 y′＝－x12(x＞0)， 设 P(m，n)，则曲线 y＝1x(x＞0)在点 P 处的切线斜率 k2＝－m12(m ＞0)．因为两切线垂直，所以 k1k2＝－1，所以 m＝1，n＝1，则 点 P 的坐标为(1,1)．
高考数学第一轮复习教案——导数
高考复习——导数复习目标1．了解导数的概念，能利用导数定义求导数．掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念．了解曲线的切线的概念．在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率的概念．2熟记基本导数公式,掌握两个函数四则运算的求导法则和复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数，利能够用导数求单调区间，求一个函数的最大(小)值的问题，掌握导数的基本应用．3．了解函数的和、差、积的求导法则的推导，掌握两个函数的商的求导法则。
能正确运用函数的和、差、积的求导法则及已有的导数公式求某些简单函数的导数。
4．了解复合函数的概念。
会将一个函数的复合过程进行分解或将几个函数进行复合。
掌握复合函数的求导法则，并会用法则解决一些简单问题。
三、基础知识梳理：导数是微积分的初步知识，是研究函数，解决实际问题的有力工具。
在高中阶段对于导数的学习，主要是以下几个方面:1．导数的常规问题：（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；（2）同几何中切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高，而导数方法显得简便）等关于n次多项式的导数问题属于较难类型。
2．关于函数特征，最值问题较多，所以有必要专项讨论，导数法求最值要比初等方法快捷简便。
3．导数及解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型，也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意。
4．瞬时速度物理学习直线运动的速度时，涉及过瞬时速度的一些知识，物理教科书中首先指出：运动物体经过某一时刻(或某一位置)的速度叫做瞬时速度，然后从实际测量速度出发，结合汽车速度仪的使用，对瞬时速度作了说明．物理课上对瞬时速度只给出了直观的描述，有了极限工具后，本节教材中是用物体在一段时间运动的平均速度的极限来定义瞬时速度．5．导数的定义导数定义及求导数的方法是本节的重点，推导导数运算法则及某些导数公式时，都是以此为依据．对导数的定义，我们应注意以下三点：(1)△x 是自变量x 在 0x 处的增量(或改变量)． (2)导数定义中还包含了可导或可微的概念，如果△x→0时，xy∆∆有极限，那么函数y=f(x)在点0x 处可导或可微，才能得到f(x)在点0x 处的导数．(3)如果函数y=f(x)在点0x 处可导，那么函数y=f(x)在点0x 处连续(由连续函数定义可知)．反之不一定成立．例如函数y=|x|在点x=0处连续，但不可导．由导数定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格按以下三个步骤进行：(1)求函数的增量)()(00x f x x f y-∆+=∆；(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00； (3)取极限，得导数xyx f x ∆∆=→∆00lim)('。
高考总复习课程--2019年高考数学(理)第一轮复习(江苏版) 讲义： 第37讲 导数及其应用经典回顾
第37讲导数及其应用经典回顾考点梳理1．导数的概念（1）函数在某一点处的导数对于函数()y f x =，如果自变量x 在0x 处有增量x V ，那么函数y 相应地有增量 00()()y f x x f x =+-V V ．如果当0x →V 时，y xV V 有极限，我们就说 ()y f x =在点0x 处可导，并把这个极限叫做()f x 在点0x 处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='，即0()f x '0000()()lim lim x x f x x f x y x x→→+-==V V V V V V 对于这一定义，我们应该明确如下四点： ①函数()f x 在0x 及其附近有定义（否则00()()f x f x x +V 、无意义），x 在0x 处的增量0x x x =-V ，x V 是自变量，并且0x ≠V ．据此，函数()f x 在0x 处的导数定义的另一种表达形式是 0000()()'()l i m x x f x f x f x x x →-=-． ②函数()f x 在点0x 处可导，是指当0x →V 时，比值y xV V 有极限．否则，若0lim x y x →V V V 不存在，则称函数()f x 在点0x 处不可导． ③()f x 在0x 处的导数0()f x '不是一个变数，而是一个确定的数值． ④函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，其几何意义是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 即00(,)P x y 处切线的斜率，于是，曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线方程为 000'()()y y f x x x -=-．（2）导函数若函数()y f x =在开区间(, )a b 内每一点都可导，则称()f x 为开区间(, )a b 内的可导函数．这时对于开区间(, )a b 内每一个确定的值0x ，都有一个确定的导数值0'()f x 与之对应，即在开区间(, )a b 内构成了一个新的函数，我们称这一新函数为()f x 在开区间(,)a b 内的导函数，简称导数，记作'()f x 或'y ，即00'()'lim()()lim x x yf x y x f x x f x x →→==+-=V V V V V V2．导数公式及求导法则（1）几种常见函数的导数公式'0c =（c 为常数）； '1()n n x nx -=(n Q ∈)； ()'sinx cosx =； ()'cosx sinx =-；()'x x e e =；()'x xa a lna =；1()'lnx x =； 1()'a a log x log e x =． （2）和、差、积、商的求导法则()'''u v u v ±=±； ()'''uv u v uv =+； 2'''u u v uv v v -⎛⎫= ⎪⎝⎭(0)v ≠． （3）复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且'''x u x y y u =⋅， 或写作 '(())'()'()x f x f u x ϕϕ=．3．定积分的基本性质（1）()() ()b b a a kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数； （2）12[()()]b a f x f x dx ±⎰ 12() ()b baa f x dx f x dx =±⎰⎰ （3）()b a f x dx ⎰ ()() ()c bac f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰其中4．微积分基本定理 如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()b a f x dx F b F a =-⎰．金题精讲题一：设定函数 32() (0)3a f x x bx cx d a =+++>，且方程()90f x x '-=的两个根分别为1，4． （Ⅰ）当3a =且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞内无极值点，求a 的取值范围．题二：设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ．(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，221x e x ax >-+．导数及其应用经典回顾金题精讲题一：（Ⅰ）32()312f x x x x =-+；（Ⅱ）a 的取值范围是[]1,9．题二：(Ⅰ) ()f x 的减区间是(,ln 2)-∞，增区间是(ln 2,)+∞，ln2()(ln 2)2ln 2222ln 22f x f e a a ==-+=-+极小(Ⅱ) 证明：设()221e R x g x x ax x =-+-∈，，∴()2e R 2x g x x a x '=-+∈，，由(Ⅰ)知当ln21a -＞时，()g x '最小值为 ()()ln221ln20g a '=-+＞，∴对任意R x ∈，都有()0g x '＞， 所以()g x 在R 内单调递增；∴当ln21a -＞时，对任意0()x ∈+∞，， 都有()()0g x g ＞，而()00g =，从而对任意()00()x g x ∈+∞，，＞，即221e 0x x ax -+-＞，故221＞.e x x ax-+。
高考数学 一轮 3.1导数的概念及运算 理 苏教
题型分类·深度剖析
例2 (3)y＝sin2 2x＋π3；
解析
思维升华
题型分类·深度剖析
例2 (3)y＝sin2 2x＋π3；
解析
思维升华
解 y＝sin2(2x＋π3) ＝12－12cos(4x＋23π)， 故设 y＝21－21cos u， u＝4x＋32π，
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
例2 (3)y＝sin2 2x＋π3；
当 x＝2 时，y＝21.又 f′(x) ＝a＋xb2，
题型分类·深度剖析
题型三 导数的几何意义
例3 设函数f(x)＝ax－b，曲 x
线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切 线方程为7x－4y－12＝0. (1)求f(x)的解析式；
解析
思维升华
于是2aa＋－b4＝b2＝47，12，
a＝1， 解得b＝3. 故 f(x)＝x－3x.
减少运算量，提高运算速
度，减少差错；
题型分类·深度剖析
例2 (3)y＝sin2 2x＋π3；
解析
思维升华
(2)复合函数的求导，要 正确分析函数的复合层 次，通过设中间变量， 确定复合过程，然后由 外向内逐层求导.
题型分类·深度剖析
例2 (4)y＝ln(2x＋5).
解析
思维升华
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
方法二 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝ (1 ＋Δx)2 －2(1 ＋ Δx) －1 －(12－2×1－1) ＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－ 1＋2＝Δx2，
题型分类·深度剖析
解析
思维升华
题型一 利用定义求函数 的导数
例1 用定义法求函数f(x)＝ x2－2x－1在x＝1处的导数.
2021高考江苏版(理)数学一轮复习讲义： 第4章 第16课 导数的概念及运算
第四章导数及其应用第16课导数的概念及运算[最新考纲]内容要求A B C导数的运算√1．导数与导函数的概念(1)设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，假设Δx无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx无限趋近于一个常数A，那么称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数(derivative)，记作f′(x0)．(2)假设f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，那么f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f′(x)．2．导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．根本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝x n(n∈Q＋)f′(x)＝n·x n－1f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a ＞0)f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法那么(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义一样．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点．( ) (4)假设f (a )＝a 3＋2ax －x 2，那么f ′(a )＝3a 2＋2x .( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(教材改编)有一机器人的运动方程为s (t )＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，那么该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为________．134 [由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t )＝2t －3t 2，故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v (2)＝2×2－322＝134.]3．(2021·天津高考)函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，那么f ′(0)的值为________．3 [因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3.]4．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为________． 5x ＋y ＋2＝0 [∵y ′＝－5e x ，∴所求曲线的切线斜率k ＝y ′| x ＝0＝－5e 0＝－5，∴切线方程为y －(－2)＝－5(x －0)，即5x ＋y ＋2＝0.]5．(2021 ·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，那么a ＝________.1 [∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1.]导数的计算求以下函数的导数： (1)y ＝e x ln x ； (2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(3)y ＝x －sin x 2cos x2； (4)y ＝cos x e x .[解] (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3. (3)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝1－12cos x .(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x e x ′＝(cos x )′e x－cos x (e x)′(e x )2＝－sin x ＋cos xe x.[规律方法] 1.熟记根本初等函数的导数公式及运算法那么是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进展化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少过失．2．如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导．[变式训练] (1)f (x )＝x (2 017＋ln x )，假设f ′(x 0)＝2 018，那么x 0等于________.【导学号：62172089】(2)(2021 ·天津高考)函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数．假设f ′(1)＝3，那么a 的值为________．(1)1 (2)3 [(1)f ′(x )＝2 017＋ln x ＋x ×1x ＝2 018＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 018，得2 018＋ln x 0＝2 018，那么ln x 0＝0，解得x 0＝1.(2)f ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x )． 由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.]导数的几何意义☞角度1 求切线方程曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程．[思路点拨] (1)点P (2,4)是切点，先利用导数求切线斜率，再利用点斜式写出切线方程；(2)点P (2,4)不一定是切点，先设切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43，由此求出切线方程，再把点P (2,4)代入切线方程求x 0.[解] (1)根据得点P (2,4)是切点且y ′＝x 2， ∴在点P (2,4)处的切线的斜率为y ′| x ＝2＝4，∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)， 即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 那么切线的斜率为y ′|x ＝x 0＝x 20， ∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)， 即y ＝x 20·x －23x 30＋43. ∵点P (2,4)在切线上， ∴4＝2x 20－23x 30＋43， 即x 30－3x 20＋4＝0， ∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0，∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0，解得x 0＝－1或x 0＝2， 故所求的切线方程为x －y ＋2＝0或4x －y －4＝0. ☞角度2 求切点坐标假设曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，那么点P 的坐标是________．(e ，e) [由题意得y ′＝ln x ＋x ·1x ＝1＋ln x ，直线2x －yP (m ，n )，那么1＋lnm ＝2，解得m ＝e ，所以n ＝eln e ＝e ，即点P 的坐标为(e ，e)．]☞角度3 求参数的值(1)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，那么b 的值为________. 【导学号：62172090】(2)曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，那么a ＝________.(1)－1 (2)－2 [(1)设切点坐标为(x 0，y 0)， y ′＝－12＋1x ，那么y ′|x ＝x 0＝－12＋1x 0，由－12＋1x 0＝12得x 0＝1，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－12，又切点⎝⎛⎭⎪⎫1，－12在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. (2)由y ′＝－2(x －1)2得曲线在点(3,2)处的切线斜率为－12，又切线与直线ax ＋y＋1＝0垂直，那么a ＝－2.][规律方法]f ′(x 0)的几何意义就是函数y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点．2．曲线在点P 处的切线是以点P 为切点，曲线过点P 的切线那么点P 不一定是切点，此时应先设出切点坐标．易错警示：当曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线垂直于x 轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x ＝x 0.[思想与方法]1．f′(x0)是函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.2．对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的根本原那么．在实施化简时，必须注意变换的等价性．[易错与防范]1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线〞与“过点P(x0，y0)的切线〞的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．3．曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．课时分层训练(十六)A组根底达标(建议用时：30分钟)1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为________．3(x2－a2)[∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．]2．函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，那么f′(1)等于________．－1[由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1 x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，那么f′(1)＝－1.]3．曲线y＝sin x＋e x在点(0,1)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[y′＝cos x＋e x，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.]4．(2021·苏州模拟)曲线y＝x24－3ln x的一条切线的斜率为－12，那么切点的横坐标为________．2[因为y＝x24－3ln x，所以y′＝x2－3x.再由导数的几何意义，有x2－3x＝－12，解得x＝2或x＝－3(舍去)．]5．f(x)＝x3－2x2＋x＋6，那么f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．254[∵f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－54，∴所求面积S＝12×54×10＝254.]6．曲线f(x)＝x3－x＋3在点P(1,3)处的切线方程是________．2x－y＋1＝0[由题意得f′(x)＝3x2－1，那么f′(1)＝3×12－1＝2，即函数f(x)的图象在点P(1,3)处的切线的斜率为2，那么切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x －y＋1＝0.]7．假设曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，那么a＝________.【导学号：62172091】1 2[因为y′＝2ax－1x，所以y′|x＝1＝2a－1.因为曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴，故其斜率为0，故2a－1＝0，a＝12.]8．如图16-1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝3x，y＝0，x＝t(t>0)围成的△OAB的面积为S(t)，那么S(t)在t＝2时的瞬时变化率是________．图16-123[当x＝t时，y＝3t，∴S(t)＝12t×3t＝32t2.∴S′(t)＝3t，∴S′(2)＝2 3.]9．如图16-2，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，其中g′(x)是g(x)的导函数，那么g′(3)＝________.图16-20[由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，即f′(3)＝－13.又因为g(x)＝xf(x)，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.]10．(2021·扬州期中)假设x 轴是曲线f (x )＝ln x －kx ＋3的一条切线，那么k ＝________. 【导学号：62172092】e 2 [由题意可知f ′(x )＝1x －k ＝0有解，即x ＝1k . ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝ln 1k －1＋3＝0，即k ＝e 2.] 11．(2021·苏州模拟)函数f (x )＝x －1＋1e x ，假设直线：y ＝kx －1与曲线y ＝f (x )相切，那么k ＝________.1－e [设切点坐标为(x 0，y 0)，那么由题意可知 f ′(x 0)＝k .又f ′(x )＝1－1e x ，故1－1e x 0＝k .又y 0＝x 0－1＋1e x 0＝kx 0－1，∴x 0－1＋1－k ＝kx 0－1，∴(k －1)(x 0＋1)＝0，∴k ＝1或x 0＝－1， 当k ＝1时，由k ＝1－1e x 0，可得1e x 0＝0(舍去)，当x 0＝－1时，由k ＝1－1e x 0，可得k ＝1－e.]12．(2021·南通三模)两曲线f (x )＝cos x ，g (x )＝3sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点A .假设两曲线在点A 处的切线与x 轴分别相交于B ，C 两点，那么线段BC 的长为________. 【导学号：62172093】433 [由f (x )＝g (x )可知tan x ＝33，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32. 又f ′(x )＝－sin x ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－12， ∴在点A 处的切线l 1：y －32＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 令y ＝0，得x ＝3＋π6，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋π6，0. 又g ′(x )＝3cos x ，∴g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32. ∴在点A 处的切线l 2：y －32＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 令y ＝0，得x ＝π6－33，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33，0， ∴BC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－33＝433.] B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2021·无锡期末)过曲线y ＝x －1x (x >0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x轴、y 轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，假设△OAB 的面积为13，那么x 0＝________.5 [∵y ′＝1＋1x 2，∴y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20， ∴AB ：y －y 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)． 又y 0＝x 0－1x 0，∴y －x 0＋1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0) 令x ＝0得y ＝－2x 0； 令y ＝0得x ＝2x 01＋x 20， ∴S △OAB ＝12·2x 0·2x 01＋x 20＝13，解得x ＝5(负值舍去)．] 2．(2021·南通调研一)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，那么x 1x 2的值是________． 43[由y ＝x 2得y ′＝2x ，切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，切线方程为y －x 32＝3x 22(x －x 2)，即y ＝3x 22x －2x 32，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝3x 22，x 21＝2x 32，得x 1x 2＝43.] 3．(2021·山东高考改编)假设函数y ＝f (x )的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称y ＝f (x )具有T 性质，以下函数中具有T 性质的是________．(填序号)①y ＝sin x ；②y ＝ln x ；③y ＝e x ；④y ＝x 3.① [假设y ＝f (x )的图象上存在两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))，使得函数图象在这两点处的切线互相垂直，那么f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1.对于①：y ′＝cos x ，假设有cos x 1·cos x 2＝－1，那么当x 1＝2k π，x 2＝2k π＋π(k ∈Z )时，结论成立；对于②：y ′＝1x ，假设有1x 1·1x 2＝－1，即x 1x 2＝－1，∵x >0，∴不存在x 1，x 2，使得x 1x 2＝－1；对于③：y ′＝e x ，假设有e x 1·e x 2＝－1，即e x 1＋x 2x 1，x 2；对于④：y ′＝3x 2，假设有3x 21·3x 22＝－1，即9x 21x 22＝－1，显然不存在这样的x 1，x 2.]4．(2021·启东中学高三第一次月考)假设曲线y ＝a ln x 与曲线y ＝12e x 2在它们的公共点P (s ，t )处具有公共切线，那么t s ＝________.e 2e [对曲线y ＝a ln x 求导可得y ′＝a x ，对曲线y ＝12e x 2求导可得y ′＝xe ，因为它们在公共点P (s ，t )处具有公共切线，所以a s ＝s e ，即s 2＝e a ，又t ＝a ln s ＝12es 2，即2e a ln s ＝s 2，将s 2＝e a 代入，所以a ＝1，所以t ＝12，s ＝e ，即t s ＝e 2e .] 5．假设函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，那么实数a 的取值范围是________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a <2且a ≠2－1e [∵f ′(x )＝1x ＋a (x >0)，故由题意可知方程1x ＋a ＝2在(0，＋∞)上有解．∴a ＝2－1x <2.又y ＝2x 与曲线f (x )＝ln x ＋ax 相切，设切点为(x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1x 0＋a ＝2，y 0＝2x 0，y 0＝ln x 0＋ax 0，解得x 0＝e ，a ＝2－1e .综上可知，实数a 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a <2且a ≠2－1e .] 6．(2021·盐城期中)设函数f (x )＝|e x －e 2a |，假设f (x )在区间(－1,3－a )内的图象上存在两点，在这两点处的切线相互垂直，那么实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12 [当x ≥2a 时，f (x )＝e x －e 2a ，此时f (x )是增函数； 当x <2a 时，f (x )＝－e x ＋e 2a ，此时f (x )是减函数；设两个切点分别为M (x 1，f (x 1))，N (x 2，f (x 2))，其中x 1<x 2.由图象可知，假设存在的两条切线互相垂直，必有x1<2a<x2，∴－1<2a<3－a，解得－12<a<1.∵f′(x1)·f′(x2)＝e x1·(－e x2)＝－e x1＋x2＝－1. 那么e x1＋x2＝1，即x1＋x2＝0.∴－1<x1<0,0<x2<1，且x2>2a.∴2a<1，解得a<12，综上可知，－12<a<1 2.]。
高考数学一轮复习 导数概念知识梳理1 苏教版
导数概念及意义知识点反思梳理：Ⅰ.为了研究函数值的“增减变化”情况（也就是函数的单调性）发明了用来判断单调性的“方法工具”……“单调性定义” 【只要[]1212,,,x x a b x x ∀∈<都有()12()f x f x <则函数()f x 就在区间[],a b 上单调递．．．增．】 Ⅱ.观察下列函数图象不难发现：虽然函数都是递增（递减）函数，可是增减的快慢（陡峭程度）却各不相同。
究竟怎样刻画、区别函数的陡峭程度呢？比如“越陡值就越大…….’那么又是为了研究什么发明的“平均变化率”、“瞬时变化率“、”导数”呢？？ Ⅲ.发明一个什么样的“数学工具模型”才能“刻画变量变化的快与慢？”数缺形时少直观，形缺数时难入微。
如何量化曲线的陡峭程度？Ⅳ.平均变化率 ：一般地,函数f(x)在区间[x 1，x 2]上的平均变化率2121()()f x f x x x --。
简记为.y x ∆∆ Ⅴ. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．Ⅵ. 平均变化率量化一段曲线的“陡峭程度、快慢程度”是“粗糙不精确的”， Ⅶ.但应注意当21x x -很小时，这种量化便由“粗糙”逼近“精确”。
Ⅷ.【导数产生的背景：】1. 如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点PQ当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一位置PT 我们就把该位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线割线斜率PQ k =00()()f x x f x x+∆-∆→切线斜率PT k 也叫是函数在P 点的瞬时变化率.2..函数在该点处的这个具有预测、导性的数，数学上也常把它叫做“导数’3.分别说出下列符号语言的含义：①)(x f y =； ②0()f x ； ③)('0x f ； .④'x x y=.4.导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值5．0()f x '与0(())f x '的区别：在对导数的概念进行理解时，特别要注意0()f x '与0(())f x '是不一样的，0()f x '代表函数()f x 在0x x =处的导数值，不一定为0；而0(())f x '是函数值0()f x 的导数，而函数值0()f x 是一个常量，其导数一定为0，即0(())f x '=0。
高考江苏数学大一轮精准复习课件导数的概念及几何意义导数的运算
导数的几何意义-切线斜率
切线的定义
对于函数图像上某一点，通过该点且 与函数图像只有一个交点的直线称为 该点的切线。
切线斜率与导数的关系
函数$y = f(x)$在点$x_0$处的切线斜 率等于该函数在$x_0$处的导数值 $f'(x_0)$。因此，导数在几何上表示 了函数图像在某一点处的切线斜率。
可导与连续的关系
可导必连续
如果函数在某一点处可导，则该函数 在该点处必定连续。这是因为可导意 味着函数在该点处的左右极限存在且 相等，从而保证了函数的连续性。
连续不一定可导
虽然连续函数在其定义域内具有许多 良好的性质，但并不意味着连续函数 在其定义域内的每一点都可导。例如 ，绝对值函数$f(x) = |x|$在$x = 0$ 处连续但不可导。
根据函数的表达式，利用数学软件或手绘方式描绘出函数的图形。
分析曲线特征
通过观察和分析曲线的形状、走向、极值点、拐点等特征，加深对函数性质的理解。
与一阶导数、二阶导数的联系
结合一阶导数和二阶导数的性质，分析曲线在不同区间的单调性、凹凸性以及拐点的位置 ，从而更全面地掌握函数的性质。
THANKS
感谢观看
函数的凹凸性与二阶导数的关系
当二阶导数大于0时，函数在该区间内为凹函数 ；当二阶导数小于0时，函数在该区间内为凸函 数。
函数的拐点与高阶导数的关系
拐点是函数凹凸性发生改变的点，可以通过求解 高阶导数来判断拐点的位置。
高阶导数在实际问题中的应用
物理学中的应用
在物理学中，高阶导数可以用来 描述物体的加速度、加加速度等 运动学量，以及波动现象中的振 动频率、振幅等。
幂指函数的求导
形如$y = [f(x)]^{g(x)}$的幂指函数，可以先取对数 化为复合函数，再利用链式法则求导。
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版
江苏专版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文含解析苏教版第一节 导数的概念及导数的运算1．导数的概念 (1)平均变化率一般地，函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为f x 2－f x 1x 2－x 1.(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 ①定义：设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，此值ΔyΔx ＝f x 0＋Δx －f x 0Δx无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．②几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．(3)函数f (x )的导函数若f (x )对于区间(a ，b )内任一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f (x )的导函数．2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝x α f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e xf (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x3．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[Cf (x )]′＝Cf ′(x )(C 为常数)；(3)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (4)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x g 2x (g (x )≠0)．[小题体验]1．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0的值为________． 解析：由f (x )＝x ln x 得f ′(x )＝ln x ＋1.根据题意知ln x 0＋1＝2，所以ln x 0＝1，因此x 0＝e. 答案：e2．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 答案：2x －y ＋1＝03．已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝_____.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，所以f ′(3)＝－13，因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，所以g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：01．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x α)′＝αx α－1与指数函数的求导公式(a x)′＝a xln a 混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x .答案：－x sin x2．已知直线y ＝－x ＋1是函数f (x )＝－1a·e x图象的切线，则实数a ＝________.解析：设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝－1a·e 0x＝－1，所以ex ＝a ，又－1a·e 0x＝－x 0＋1，所以x 0＝2，a ＝e 2.答案：e 23．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a ＝________.解析：因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2，设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1.答案：－1或－2564考点一 导数的运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]求下列函数的导数． (1)f (x )＝x 3＋x ； (2)f (x )＝sin x ＋x ； (3)f (x )＝e x cos x ； (4)f (x )＝x －1x－ln x . 解：(1)f ′(x )＝(x 3＋x )′＝(x 3)′＋(x )′＝3x 2＋1. (2)f ′(x )＝cos x ＋1.(3)f ′(x )＝e xcos x －e xsin x ＝e x(cos x －sin x )． (4)f ′(x )＝1x 2－1x ＝1－xx2.[谨记通法]求函数导数的3种原则考点二 导数的几何意义题点多变型考点——多角探明[锁定考向]导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．常见的命题角度有： (1)求切线方程； (2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围)．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2019·泰州检测)若函数f (x )＝2x 在点(a ，f (a ))处的切线与直线2x ＋y －4＝0垂直，则该切线方程为________．解析：∵切线与直线2x ＋y －4＝0垂直， ∴切线的斜率是12.∵f (x )＝2x ，∴f ′(x )＝x12-，∴f ′(a )＝a12-＝12. 解得a ＝4，则f (4)＝4，故函数f (x )在点(4,4)处的切线方程为x －2y ＋4＝0. 答案：x －2y ＋4＝02．已知曲线y ＝x 与y ＝8x的交点为C ，两曲线在点C 处的切线分别为l 1，l 2，则切线l 1，l 2与y 轴所围成的三角形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝8x，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，即C (4,2)，由y ＝x ，得y ′＝(x )′＝12x ，则直线l 1的斜率k 1＝14，∴l 1：y ＝14x ＋1.同理可得l 2：y ＝－12x ＋4，如图，易知S △ABC ＝12×3×4＝6，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3．(2019·扬州模拟)曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线平行于直线y ＝2x －1，则P 点的坐标为________．解析：f ′(x )＝3x 2－1，令f ′(x )＝2，则3x 2－1＝2，解得x ＝1或x ＝－1，所以P (1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y ＝2x －1上，符合题意．答案：(1,3)和(－1,3) 角度三：求参数的值(范围)4．(2018·常州高三期末)已知函数f (x )＝bx ＋ln x ，其中b ∈R.若过原点且斜率为k 的直线与曲线y ＝f (x )相切，则k －b 的值为________．解析：设切点为(x 0，bx 0＋ln x 0)，f ′(x )＝b ＋1x ，则k ＝b ＋1x 0，故切线方程为y －(bx 0＋ln x 0)＝⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1x(x －x 0)，将(0,0)代入，可得x 0＝e ，则k ＝b ＋1e ，∴k －b ＝1e .答案：1e[通法在握]与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A (x 0，y 0)求斜率k ，即求该点处的导数值，k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)求过某点M (x 1，y 1)的切线方程时，需设出切点A (x 0，f (x 0))，则切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再把点M (x 1，y 1)代入切线方程，求x 0.[演练冲关]1．曲线f (x )＝2x －e x与y 轴的交点为P ，则曲线在点P 处的切线方程为________． 解析：曲线f (x )＝2x －e x 与y 轴的交点为(0，－1)． 且f ′(x )＝2－e x，所以f ′(0)＝1. 所以所求切线方程为y ＋1＝x ，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝02．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线y ＝mx ＋1(m ＞0)在x＝1处的切线为l ，则点(2，－1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：把x ＝1代入y ＝m x ＋1，得y ＝m2， 则切线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，m 2.∵y ′＝－m x ＋12，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝－m4.∴切线l 的方程为y －m 2＝－m4(x －1)，即mx ＋4y －3m ＝0.∴点(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2m －4－3m |m 2＋42＝|－4－m |m 2＋16＝m ＋4m 2＋16＝m ＋42m 2＋16＝m 2＋8m ＋16m 2＋16＝1＋8mm 2＋16＝ 1＋8m ＋16m≤ 1＋82m ·16m＝2，当且仅当m ＝16m，即m ＝4时取“＝”，故所求最大值为 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·常州调研)函数f (x )＝e x ＋x 2＋sin x 的导函数f ′(x )＝________. 答案：e x＋2x ＋cos x2．(2018·镇江调研)函数f (x )＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于________． 解析：由f (x )＝(x ＋1)2(x －1)＝x 3＋x 2－x －1，得f ′(x )＝3x 2＋2x －1， 所以f ′(1)＝3＋2－1＝4. 答案：43．(2018·苏州暑假测试)曲线y ＝e x在x ＝0处的切线方程为____________． 解析：因为y ′＝e x，所以y ＝e x在x ＝0处的切线斜率k ＝e 0＝1， 因此切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝04．已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.解析：因为f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x(－sin x )，所以f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. 答案：－3π5．(2019·苏州调研)已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a 的取值范围是________．解析：∵f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 32＋a23，当x ＝a 3时，f ′(x )取到最大值a 23.∴a 23＜1，解得－3＜a ＜ 3. 答案：(－3，3)6．(2018·苏北四市调研)已知f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，则f (x )在点P (－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：因为f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋6，所以f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，所以f ′(－1)＝8， 故切线方程为y －2＝8(x ＋1)，即8x －y ＋10＝0， 令x ＝0，得y ＝10，令y ＝0，得x ＝－54，所以所求面积S ＝12×54×10＝254.答案：254二保高考，全练题型做到高考达标1．设函数f (x )的导函数为f ′(x )，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(2)＝________. 解析：因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2，则f ′(x )＝2x －4，所以f ′(2)＝2×2－4＝0.答案：02．已知f (x )＝ax 4＋b cos x ＋7x －2.若f ′(2 018)＝6，则f ′(－2 018)＝________. 解析：因为f ′(x )＝4ax 3－b sin x ＋7. 所以f ′(－x )＝4a (－x )3－b sin(－x )＋7 ＝－4ax 3＋b sin x ＋7. 所以f ′(x )＋f ′(－x )＝14. 又f ′(2 018)＝6，所以f ′(－2 018)＝14－6＝8. 答案：83．(2019·淮安调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为________． 解析：因为y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， 所以y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， 所以所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1. 答案：y ＝2x ＋14．(2018·无锡期末)在曲线y ＝x －1x(x ＞0)上一点P (x 0，y 0)处的切线分别与x 轴，y轴交于点A ，B ，O 是坐标原点，若△OAB 的面积为13，则x 0＝________.解析：因为y ′＝1＋1x2，切点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 0－1x 0，x 0＞0，所以切线斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝1＋1x 20，所以切线方程是y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－1x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 20(x －x 0)．令y ＝0，得x ＝2x 0x 20＋1，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0x 20＋1，0； 令x ＝0，得y ＝－2x 0，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2x 0.所以S △OAB ＝12·2x 0x 20＋1·2x 0＝2x 20＋1＝13，解得x 0＝ 5.答案： 55．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________.解析：因为f ′(x )＝1x，所以直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，所以切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，解得m ＝－2. 答案：－26．(2018·淮安高三期中)已知函数f (x )＝x 3.设曲线y ＝f (x )在点P (x 1，f (x 1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x 2，f (x 2))，记f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′x 1f ′x 2的值为________．解析：由f ′(x )＝3x 2，得f ′(x 1)＝3x 21，所以曲线y ＝f (x )在点P (x 1，x 31)处的切线方程为y ＝3x 21x －2x 31，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 21x －2x 31，y ＝x 3，解得Q(－2x 1，－8x 31)，所以x 2＝－2x 1，所以f ′x 1f ′x 2＝3x 213x 22＝14.答案：147．(2019·南通一调)已知两曲线f (x )＝2sin x ，g (x )＝a cos x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2相交于点P .若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为________．解析：f ′(x )＝2cos x ，g ′(x )＝－a sin x ．设点P 的横坐标为x 0，则f (x 0)＝g (x 0)，f ′(x 0)·g ′(x 0)＝－1，即2sin x 0＝a cos x 0，(2cos x 0)·(－a sin x 0)＝－1，所以4sin 2x 0＝1.即 sin x 0＝±12，因为x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin x 0＝12，cos x 0＝32，所以a ＝233.答案：2338．曲边梯形由曲线y ＝x 2＋1，y ＝0，x ＝1，x ＝2所围成，过曲线y ＝x 2＋1(x ∈[1,2])上一点P 作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．解析：设P (x 0，x 20＋1)，x 0∈[1,2]，则易知曲线y ＝x 2＋1在点P 处的切线方程为y －(x 2＋1)＝2x 0(x －x 0)，所以y ＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，设g (x )＝2x 0(x －x 0)＋x 20＋1，则g (1)＋g (2)＝－2x 20＋6x 0＋2，所以S 普通梯形＝g 1＋g 22×1＝－x 20＋3x 0＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋134，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，134时，S 普通梯形最大．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1349．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数： (1)y ＝x 2(ln x ＋sin x )； (2)y ＝cos x －x x2； (3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝2x (ln x ＋sin x )＋x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋cos x ＝2x ln x ＋2x sin x ＋x ＋x 2cos x .(2)y ′＝－sin x －1x 2－cos x －x ·2xx 4＝x －2cos x －x sin xx 3.(3)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x 2x .10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)因为f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，所以f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，所以曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，因为f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，所以切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，所以x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，所以经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得， f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax . 设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)， g ′(x )＝－1x， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ －ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34， 所以x 0＝e 34，所以a ＝－1e34＝－e 34-. 答案：－e34-2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
（2）求平均变化率x
x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）取极限，得导数/
y ＝()f x '=x
y x ∆∆→∆0lim
6. 常见函数的导数公式：
0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=
x x 1)'(ln =
；e x
x a a log 1
)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(= 7. 和差的导数：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±
8. 积的导数： [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+，[()]'()Cu x Cu x '=
9. 商的导数：'
2
''
(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
g ′（a ）= 0lim →∆x x a g x a g ∆-∆+)
()(
=0lim →∆x x
a f x a f ∆--∆--)
()(
=－0lim →∆-x x
a f x a f ∆---∆--)
()(
=－f ’（－a ）
∴f （－x ）在x =a 处的导数与f （x ）在x =－a 处的导数互为相反数 （2）证明：f ′（－x ）= 0
lim
→∆x x
x f x x f ∆--∆+-)
()(
=0lim
→∆x x
x f x x f ∆--∆-)
()(
=－0lim →∆x x
)
x (f )x x (f ∆-∆-
=－f ′（x ）
（2）运动曲线方程为22t t
S +=，求t=3时的速度
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点)y ,x (P 00处的切线的斜率瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
解：（1）2
2
2
222)1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y
04
2
2|'1=-=
=x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x x
y 在（1，1）处的切线方程为y=1
（2）)'2('1'22t t t S +⎪⎭⎫
⎝⎛-=
t t t t t t t t 42
14)1(232
42++-=+--=
C. Δx +2
D. 2+Δx －x
∆1
2. 设函数f （x ）在x =x 0处可导，则0lim →h h
x f h x f )
()(00-+
A. 与x 0，h 都有关
B. 仅与x 0有关而与h 无关
C. 仅与h 有关而与x 0无关
D. 与x 0、h 均无关 3. 设f （x ）=ax 3+3x 2+2，若f ′（－1）=4，则a 的值等于
A.
3
19 B.
3
16
C. 313
D.
3
10
4. 曲线y =x 3－3x 2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A. y =3x －4 B. y =－3x +2 C. y =－4x +3 D. y =4x －5
5. 函数y =（x +1）2（x －1）在x =1处的导数等于
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 已知函数f （x ）在x =1处的导数为3，则f （x ）的解析式可能为 A. f （x ）=（x －1）2+3（x －1）
【试题答案】
1. 解析：y
x ∆∆=x x ∆+-+∆+)
11(1)1(2=Δx +2
答案：C
2. 答案：B
3. 解析：f ′（x ）=3ax 2+6x ，f ′（－1）=3a －6=4，所以a =
3
10 答案：D
∴两曲线在交点处的切线斜率分别为－2、3
|3)2(132⨯-+--|=1，∴夹角为4π
答案：
4
π
9. 解：∵f （1）=0，1
lim
→x 1
)
(-x x f =2
∴f ′（1）=0
lim
→∆x x f x f ∆-∆+)1()1(=1lim →x 1)1()(--x f x f =1lim →x 1
)
(-x x f =2 10. 解：∵y =ax 3+bx 2+cx +d 的图象与y 轴的交点为P ∴P 的坐标为P （0，d ）
又曲线在点P 处的切线方程为y =12x －４，P 点坐标适合方程，从而d =－４ 又切线斜率k =12
故在x =0处的导数y ′｜x =0=12
而y ′=３ax 2＋2bx ＋c ，y ′｜x =0=ｃ，从而 c =12 又函数在x =2处取得极值0 所以y ′｜x =2=0， f （2）=0
即12a ＋４b ＋12=0，8a ＋４b ＋20=0 解得a =2，b =－9
∴所求函数解析式为y =2x 3－9x 2＋12x －4。