专题26 不等式的性质与一元二次不等式-2016年高考理数热点题型和提分秘籍(解析版)
2018年高考数学 专题26 一元二次不等式及其解法热点题型和提分秘籍 理
专题26 一元二次不等式及其解法1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型。
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。
热点题型一 一元二次不等式的解法 例1、解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1<0。
综上知，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <1a或x >1；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >1}；当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <1a ；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1a<x <1。
【提分秘籍】解含参数的一元二次不等式的步骤(1)二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系。
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式。
【举一反三】解关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0。
热点题型二 一元二次不等式恒成立问题 例2、已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3。
(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围。
解析：(1)f (x )≥a 即x 2＋ax ＋3－a ≥0，要使x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 应有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， 解得－6≤a ≤2。
(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a 。
分以下三种情况讨论：①当－a2≤－2，即a ≥4时，g (x )在[－2,2]上单调递增，g (x )在[－2,2]上的最小值为g (－2)＝7－3a ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≥47－3a ≥0，a 无解；②当－a2≥2，即a ≤－4时，g (x )在[－2,2]上单调递减，g (x )在[－2,2]上的最小值为g (2)＝7＋a ，因此⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－47＋a ≥0，解得－7≤a ≤－4；3③－2＜－a2＜2，即－4＜a ＜4时，g (x )在[－2,2]上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24－a ＋3，因此⎩⎪⎨⎪⎧－4＜a ＜4－a24－a ＋3≥0，解得－4＜a ≤2。
高考理科数学提分讲义PPT课件-不等式的性质与一元二次不等式
后
限
C．a＋c>b＋d
D．a＋d>b＋c
时
集
课
训
堂 考
C [由同向不等式具有可加性可知 C 正确．]
点
探
究
返 首 页
19
课
4．若不等式 ax2＋bx＋2＞0 的解集为x－12＜x＜13，则 a＋b＝_____．
前
自 主 回
－14 [由题意知 x1＝－12，x2＝13是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根， 课
限 时
集
课 堂 考
(7)倒数性质：设 ab>0，则 a<b⇔1a>1b.
训
点
探
究
返 首 页
3．“三个二次”的关系
课 前
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
自
主
回 顾
二次函数 y＝ax2＋bx
Δ＝0
＋c (a>0)的图象
课
堂 考 点
一元二次方程 ax2＋ 有两相异实根 有两相等实根
探
究 bx＋c＝0 (a>0)的根 x1，x2(x1<x2)
后
限
C．(－∞，0]∪[3，＋∞) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
时
集
课
训
堂 考
A [要使函数 f(x)＝ 3x－x2有意义，则 3x－x2≥0，即 x2－3x≤0，
点
探 究
解得 0≤x≤3.]
返 首 页
17
课 前
2．设 A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则 A 与 B 的大小关系为( )
点
探 究
(2)大题主要考查：应用基本不等式求最值(或范围)、运用演绎推理、
高考数学复习考点知识与题型精讲34---不等式的性质与一元二次不等式
高考数学复习考点知识与题型精讲 不等式的性质与一元二次不等式[知识点与题型精讲] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．1．两个实数比较大小的方法(1)作差法⎩⎨⎧a －b ＞0⇔a ＞b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b ＜0⇔a ＜b (a ，b ∈R )；(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab ＞1⇔a ＞b (a ∈R ，b ＞0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b ＞0)，a b ＜1⇔a ＜b (a ∈R ，b ＞0).2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(双向性) (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(单向性)(3)可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；(双向性)(4)加法法则：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；(单向性)(5)可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；(单向性)a>b，c<0⇒ac<bc；(单向性)(6)乘法法则：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；(单向性)(7)乘方法则：a>b>0⇒a n>b n(n≥2，n∈N)；(单向性)(8)开方法则：a>b>0⇒na>nb(n≥2，n∈N)；(单向性)3．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅[常用结论]1．有关分数的性质若a＞b＞0，m＞0，则(1)ba＜b＋ma＋m；ba＞b－ma－m(b－m＞0)；(2)ab＞a＋mb＋m；ab＜a－mb－m(b－m＞0)．2．有关倒数的性质a＞b，ab＞0⇒1a＜1b.3．a＞b＞0,0＜c＜d⇒ac＞bd.4．简单的分式不等式(1)f(x)g(x)≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)·g(x)≥0，g(x)≠0；(2)f(x)g(x)＞0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f(x)g(x)＞0，g(x)≠0.[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)a>b⇔ac2>bc2. ()(2)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc. ()(3)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0. ()(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.() [答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)下列四个结论，正确的是()①a>b，c<d⇒a－c>b－d；②a>b>0，c<d<0⇒ac>bd；③a>b>0⇒3a>3b；④a>b>0⇒1a2>1b2.A．①②B．②③C．①④D．①③D[利用不等式的同向可加性可知①正确；对于②，根据不等式的性质可知ac<bd，故②不正确；因为函数y＝x13是单调递增的，所以③正确；对于④，由a>b>0可知a2>b2>0，所以1a2<1b2，所以④不正确．]3．(教材改编)设a，b，c∈R，且a＞b，则()A．ac＞bc B.1a＜1bC．a2＞b2D．a3＞b3D[取a＝1，b＝－2，c＝－1，排除A，B，C，故选D.]4．(教材改编)不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为()A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－1＜x＜2}C．{x|x＜－2或x＞1} D．{x|x＜－1或x＞2}A[方程(x＋1)(x＋2)＝0的两根为x＝－2或x＝－1，则不等式(x＋1)(x＋2)＜0的解集为{x |－2＜x ＜－1}，故选A.]5．不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． (－∞，－4]∪[4，＋∞) [由题意知Δ＝a 2－42≥0，解得a ≥4或a ≤－4.]不等式的性质及应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞bc B.ad ＜b c C.a c ＞b dD.a c ＜b dB [由c ＜d ＜0得1d ＜1c ＜0，则－1d ＞－1c ＞0，∴－a d ＞－b c ，∴a d ＜bc ，故选B.] 2．(2021·北京高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0C [函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y <0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x >y >0⇒xy >0⇒/ln(xy )>0⇒/ln x ＋ln y ＞0，故D 错误．]3．若a ＝20.6，b ＝log π3，c ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π5，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [因为a ＝20.6＞20＝1，又log π1＜log π3＜log ππ，所以0＜b ＜1，c ＝log 2sin 2π5＜log 21＝0，于是a ＞b ＞c .故选A.]4．已知角α，β满足－π2＜α－β＜π2，0＜α＋β＜π，则3α－β的范围是________． (－π，2π) [设3α－β＝m (α－β)＋n (α＋β)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝3，n －m ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝1， 从而3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 又－π＜2(α－β)＜π，0＜α＋β＜π， ∴－π＜2(α－β)＋(α＋β)＜2π.]③中间量法：利用中间量法比较两式大小，一般选取0或1作为中间量.(3)由a <f (x ，y )<b ，c <g (x ，y )<d 求F (x ，y )的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F (x ，y )＝mf (x ，y )＋ng (x ，y )，用恒等变形求得m ，n ，再利用不等式的性质求得F (x ，y )的取值范围.一元二次不等式的解法►考法1 不含参数的一元二次不等式【例1】 (1)不等式2x 2－x －3＞0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1 (2)(－4,1) [(1)方程2x 2－x －3＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝32，则不等式2x 2－x －3＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞32或x ＜－1. (2)由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]►考法2 含参数的一元二次不等式【例2】 (1)解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a ＜0. [解] 原不等式可化为(x －a )(x －1)＜0， 当a ＞1时，原不等式的解集为(1，a )； 当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a ＜1时，原不等式的解集为(a,1)． (2)解关于x 的不等式：ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0. [解] 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1＜0， 解得x ＞1.若a ＜0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＞0，解得x ＜1a 或x ＞1.若a ＞0，原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0.①当a ＝1时，1a ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0无解；②当a ＞1时，1a ＜1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1a ＜x ＜1；③当0＜a ＜1时，1a ＞1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)＜0，得1＜x ＜1a .综上所述，当a ＜0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a 或x ＞1； 当a ＝0时，解集为{x |x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜1.[规律方法] 1.解一元二次不等式的步骤： (1)使一端为0且把二次项系数化为正数；(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法； (3)写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系；(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.(1)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 13<x <12D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >12B [∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <－13， ∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－12和x 2＝－13，且a <0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5.则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.] (2)解不等式x 2＋ax ＋1＜0(a ∈R )． [解] Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，原不等式无解．②当Δ＝a 2－4＞0，即a ＞2或a ＜－2时，方程x 2＋ax ＋1＝0的两根为x 1＝－a ＋a 2－42，x 2＝－a －a 2－42，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a ＋a 2－42. 综上所述，当－2≤a ≤2时，原不等式无解． 当a ＞2或a ＜－2时，原不等式的解集为 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－a －a 2－42 ＜x ＜－a ＋a 2－42.一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．[解] (1)当m ＝0时，f (x )＝－1＜0恒成立．当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0，即－4＜m ＜0. 综上，－4＜m ≤0，故m 的取值范围是(－4,0]．(2)不等式f (x )＜5－m ，即(x 2－x ＋1)m ＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值， 记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， h (x )在x ∈[1,3]上为增函数，则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67. [规律方法] 与二次函数有关的不等式恒成立的条件,(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是.(1)若不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0](2)若不等式x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．(1) D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [(1)当k ＝0时，显然成立； 当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立．则⎩⎨⎧ k ＜0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38＜0，解得－3＜k ＜0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38＜0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．(2)由题意得，函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1＜0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1＜0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1＜0，2m 2＋3m ＜0，解得－22＜m ＜0.]一元二次不等式的应用【例4】 1≤x ≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元． (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解] (1)根据题意，得200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10. 即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2 ＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y ma x ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元．[规律方法]求解不等式应用题的四个步骤：(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型；(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义；(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果.汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，问：甲、乙两车有无超速现象？[解]由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1 200＞0，解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30 km/h.但根据题意刹车距离略超过12 m，由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2 000＞0，解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速．。
高三数学 第一轮复习 02：不等式的性质及一元二次不等式
例1-6 下列命题正确的是 ( )
A．若 | a | b ，则 a2 b2 C．若 a2 b2 ，则 a | b |
B．若 a | b | ，则 a2 b2 D．若 a2 b2 ，则 1 1
m
x2
0
x1 m x2 m
0
f
(m )
0 ；（6） x1, x2 (m, n)
m
b n 2a
f (m) 0
f (n) 0
-3-
· 典例精讲 ·
模块01：不等式的性质及应用
① 不等式的基本性质：
例1-1 下列四个命题：
①若 a | b | ，则 a2 b2 ③若 a b ， c d ，则 ac bd 其中正确命题的个数有 ( )
D． b b m aa
【答案】： B
【解析】：向糖水（不饱和）中再加入
m
克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，可知浓度变大．由题意可得：b a
b a
m m
。
故选： B 。
例1-4 设 b a ， d c ，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A． a c b d
B． ac bd
C． a d b c
*作商法：作商法比大小的变形要围绕与1比大小进行。
作商法的基本步骤是：
①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小。
（一般运用的范围在正数范围内，幂指运算，和后期的数列学习中）
模块02：一元二次不等式的解法
1、一般流程：
①将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式 ax2 bx c 0 或 ax2 bx c 0(a 0) 。
一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解
一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。
掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。
本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。
一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。
2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。
三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。
需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。
2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。
当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。
(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。
根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。
(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。
四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。
不等式的性质与一元二次不等式共43页
16、业余生活要有意义，不要越轨。——华盛顿 17、一个人即使已登上顶峰，也仍要自强不息。——罗素·贝克 18、最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 19、自己活着，就是为了使别人过得更美好。——雷锋 20、要掌握书，莫被书掌握；要为生而读，莫为读而生。——布尔沃Fra bibliotekEND
不等式的性质与一元二次不等式
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等的。 ——波 洛克
不等式不等式的性质及一元二次不等式课件理
•不等式的性质•一元二次不等式•不等式的应用目录•解题方法与技巧•一元二次不等式的扩展•练习题与答案解析总结词详细描述不等式的性质1：对称性总结词不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
详细描述如果a>b，c>0，那么ac>bc。
如果a>b，c<0，那么ac<bc。
不等式的性质2：传递性总结词在加法中，随着加数的增大，和也增大。
详细描述如果a>b，c>d，那么a+c>b+d。
总结词详细描述总结词详细描述不等式的性质5：同向正值不等式可乘性总结词如果a>b>0，c>d>0，那么a/c>b/d。
要点一要点二详细描述如果a>b>0，c>d>0，那么a/c>b/d。
当c>d>0时也可以得到类似的结论。
不等式的性质6：正值不等式可除性定义形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的式子，其中$a \neq 0$，称为一元二次不等式。
组成要素一元二次不等式一般是由一元二次方程经过变形或添加符号得到的，如$x^{2} - 6x + 9 > 0$变形为$(x - 3)^{2} > 0$。
一元二次不等式的定义0102033. 画出草图根据化简后的不等式，结合草图找出解集。
4. 解出解集注意事项2. 考虑对称性3. 注意空集问题1. 关注符号一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，如购物优惠、投资决策、工程设计等。
在数学学科中的应用一元二次不等式是数学学科中基础而重要的一部分，它贯穿于中学和大学的数学课程中。
在实际生活中的应用一元二次不等式的应用VS不等式的性质01传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
02加法单调性即如果a>b，c为任意实数或整式，则a+c>b+c。
03乘法单调性即如果a>b>0，c为任意实数或整式，那么ac>bc。
高考数学分类理科版之不等式的性质与一元二次不等式及解析
高考数学分类理科版之不等式的性质与一元二次不等式及解析不等式的性质与一元二次不等式一、选择题1.(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ,则A =R ðA.{12}-<<x xB.{12}-≤≤x xC.{|1}{|2}<->x x x xD.{|1}{|2}-≤≥x x x x2.(2018天津)已知2log e =a ,ln 2b =,121log 3c =,则a ,b ,c 的大小关系为A.a b c >>B.b a c >>C.c b a >>D.c a b >>3.(2018全国卷Ⅲ)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则 A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+4.(2017新课标Ⅰ)已知集合{|1}A x x =<,{|31}xB x =<,则 A.{|0}A B x x =< B.A B R = C.{|1}A B x x => D.A B =∅5.(2017山东)设函数y =A ,函数ln(1)y x =-的定义域为B ,则A B ⋂=A.(1,2)B.(1,2]C.(2,1)-D.[2,1)- 6.(2017山东)若0a b >>,且1ab =,则下列不等式成立的是A.()21log 2a b a a b b +<<+B.()21log 2ab a b a b <+<+ C.()21log 2aba ab b +<+< D.()21log 2a b a b a b +<+< 7.(2016年北京)已知,x y R ∈,且0x y >>,则A.110x y ->B.sin sin 0x y ->C.11()()022x y -< D.ln ln 0x y +>8.(2015山东)已知集合2{|430}A x x x =-+<,{|24}B x x =<<,则A B = A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4)9.(2015福建)若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =-,其导函数()f x '满足()1f x k '>> ,则下列结论中一定错误的是A.11()f k k <B.11()1f k k >- C.11()11f k k <-- D.1()11k f k k >--10.(2015湖北)设x ∈R ,[]x 表示不超过x 的最大整数.若存在实数t ,使得[]1t =,2[]2t =,…,[]n t n = 同时成立,则正整数n 的最大值是A.3B.4C.5D.611.(2014新课标Ⅰ)已知集合A={x |2230x x --≥},B={x |－2≤x ＜2},则A B =A.[－2, －1]B.[－1,1]C.[－1,2)D.[1,2) 12.(2014山东)若0a b >>,0c d <<,则一定有A.a b c d >B.a b c d <C.a b d c >D.a b d c <13.(2014四川)已知实数y x ,满足)10(<<<a a a y x ,则下列关系式恒成立的是 A.111122+>+y x B.)1ln()1ln(22+>+y x C.y x sin sin > D.33y x >14.(2014辽宁)已知定义在[0,1]上的函数()f x 满足： ①(0)(1)0f f ==；②对所有,[0,1]x y ∈,且x y ≠,有1|()()|||2f x f y x y -<-.若对所有,[0,1]x y ∈,|()()|f x f y k -<恒成立,则k 的最小值为( )A.12B.14C.12πD.1815.(2013陕西)在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m 2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长x (单位m )的取值范围是A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]16.(2013重庆)关于x 的不等式22280x ax a --<(0a >)的解集为12(,)x x ,且2115x x -=,则a =A.52B.72C.154D.15217.(2013天津)已知函数()(1||)f x x a x =+.设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是A.⎫⎪⎪⎝⎭B.⎫⎪⎪⎝⎭ C.⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ D.⎛- ⎝⎭∞ 18.(2012辽宁)若[)0,+x ∈∞,则下列不等式恒成立的是A.21++x e x x ≤2111-+24x x ≤C.21cos 1-2x x ≥ D.()21ln 1+-8x x x ≥ 19.(2011湖南)已知函数2()1,()43x f x e g x x x =-=-+-,若有()()f a g b =,则b 的取值范围为A. 2⎡⎣B. 22⎡+⎣C. []1,3D. ()1,3 二、填空题20.(2017新课标Ⅲ)设函数1,0()2,0x x x f x x +⎧=⎨>⎩≤,则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是___.21.(2017江苏)记函数()f x =的定义域为D .在区间[4,5]-上随机取一个数x ,则x D ∈ 的概率是 .22.(2017北京)能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为________________.23.(2014江苏)已知函数,1)(2-+=mx x x f 若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m的取值范围是 .24.(2013重庆)设0απ≤≤,不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立,则a 的取值范围为 .25.(2013浙江)设,a b R ∈,若0x ≥时恒有()243201x x ax b x ≤-++≤-,则ab =__.26.(2013四川)已知函数()4(0,0)af x x x a x =+>>在3x =时取得最小值,则a =__.27.(2013广东)不等式220x x +-<的解集为___________.28.(2013江苏)已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时,x x x f 4)(2-=,则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 .29.(2013四川)已知)(x f 的定义域为R 的偶函数,当0≥x 时,x x x f 4)(2-=,那么,不等式5)2(<+x f 的解集是____________.30.(2012福建)已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________.31.(2012江苏)已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，,若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，,则实数c 的值为 .32.(2012江西)不等式292x x ->-的解集是___________.33.(2010江苏)已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__ ___.34.(2010江苏)设实数,x y 满足3≤2xy ≤8,4≤y x 2≤9,则43y x 的最大值是 .35.(2010天津)设函数1()f x x x =-,对任意x [1,)()()0f mx mf x ∈+∞<，+恒成立,则实数m 的取值范围是________.36.(2010天津)设函数2()1f x x =-,对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭,24()x f m f x m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤(1)4()f x f m -+恒成立,则实数m 的取值范围是 .37.(2010浙江)某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元,预测六月份销售额为500万元,七月份销售额比六月份递增x %,八月份销售额比七月份递增x %,九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元,则,x 的最小值 . 三、解答题38.(2014广东)设函数()f x =,其中2k <-,(1)求函数()f x 的定义域D(用区间表示)； (2)讨论函数()f x 在D 上的单调性；(3)若6k <-,求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合(用区间表示).39.(2014北京)已知函数()cos sin ,[0,]2f x x x x x π=-∈, (Ⅰ)求证：()0f x ≤；(Ⅱ)若sin x a b x <<在(0,)2π上恒成立,求a 的最大值与b 的最小值.不等式的性质与一元二次不等式 答案部分1.B 【试题解析】因为2{20}=-->A x x x ,所以2{|20}=--R≤A x x x ð {|12}=-≤≤x x ,故选B.2.D 【试题解析】因为2log e >1a =,ln 2(0,1)b =∈,12221log log 3log 13c e ==>>.所以c a b >>,故选D.3.B 【试题解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =,由2log 0.3b =得0.31log 2b =, 所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=,所以1101a b <+<,得01a bab +<<.又0a >,0b <,所以0ab <,所以0ab a b <+<.故选B. 4.A 【试题解析】∵{|0}B x x =<,∴{|0}A B x x =<,选A.5.D 【试题解析】由240x -≥得22x -≤≤,由10x ->得1x <,故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -<=-<≤≤≤,选D.6.B 【试题解析】解法一 取2a =,12b =,则1224a b +=+=,2112228a b ==,22log ()log 42a b +==,所以()21log 2ab a b a b <+<+, 选B. 解法二 由题意1a >,01b <<,所以12ab <,122a a a a b +=+=>,又1a b +>,所以2()()a b a b +>+,所以22222log ()log ()log 1a b a b >+>+>=, 故()21log 2a b a b a b <+<+, 选B. 7.C 【试题解析】因为0x y >>,选项A,取11,2x y ==,则111210x y -=-=-<,排除A ；选项B,取,2x y ππ==,则sin sin sin sin102x y ππ-=-=-<,排除B ；选项D,12,2x y ==,则ln ln ln()ln10x y xy +===,排除D,故选C.8.C 【试题解析】2{|430}{|13},(2,3)A x x x x x A B =-+<=<<=. 9.C 【试题解析】取满足题意得函数()21f x x =-,若取32k =,则121()()33f f k==213k <=,所以排除A.若取1110k =, 则111110()()(10)191111111010k f f f k k ===>==----, 所以排除D ；取满足题意的函数()101f x x =-,若取2k =,则1111()()412211f f kk ==>==--,所以排除B,故结论一定错误的是C. 10.B 【试题解析】由[]1t =,得12t <≤,由2[]2t =,得223t <≤.由4[]4t =, 得445t <≤,所以22t ≤由3[]3t =,得334t <≤,所以56t <≤由5[]5t =,得556t <≤,与56t <≤,故正整数n 的最大值是4. 11.A 【试题解析】{}|13A x x x =-≤或≥,故A B =[-2, -1].12.D 【试题解析】由1100c d d c <<⇒->->,又0a b >>,由不等式性质知：0a b d c ->->,所以a b d c <13.D 【试题解析】由已知得x y >,此时22,x y 大小不定,排除A,B ；由正弦函数的性质,可知C不成立；故选D.14.B 【试题解析】不妨设01y x ≤≤≤,当102x y <-≤时,11()()24f x f y x y -<-≤；当112x y <-≤时,()()()(1)()(0)f x f y f x f f y f -=--- ()(1)f x f -≤()(0)f y f +-111022x y <-+-11111(1)()22224x y y x =-+=+-<,∴14k ≥.15.C 【试题解析】如图△ADE ∽△ABC ,设矩形的另一边长为y ,则240()40ADE ABC S y S ∆∆-=, 所以40y x =-,又300xy ≥,所以(40)300x x -≥,即2403000x x -+≤,解得1030x ≤≤. 16.A 【试题解析】∵由22280x ax a --< (0a >),得(4)(2)0x a x a -+<,即24a x a -<<,∴122,4x a x a =-=. ∵214(2)615x x a a a -=--==,∴15562a ==.故选A.17.A 【试题解析】法一 由()()f x a f x +<,得()||1||||a x x a a x a ax x ++++<①当0a ≥,①⇔()||1||||x x a a x a x x ++++<,无解,即A =Φ,不符合,排除C.取12a =-,①⇔111||1||||222x x x x x -+-->,符合11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,排除B 、D.解法二 数形结合,∵()()1||f x x a x =+是奇函数.ⅰ)取1a =,()()1||f x x x =+,如图()()1f x f x +<,无解.排除C.(x )ⅱ)取12a =-,()11||2f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,()12y f x a f x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭, 满足11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,排除B 、D解法三 由题意0A ∈,即()()00f a f <=,所以()1||0a a a +<,当0a >时无解,所以0a <,此时210a -<,∴10a -<<.排除C 、D.又12<-<,∴取12a =-,①⇔111||1||||222x x x x x -+-->,符合11,22A⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,排除B.18.C 【试题解析】验证A,当332=3>2.7=19.68>1+3+3=13x e 时，,故排除A；验证B,当1=2x3,而111113391-+==22441648⨯⨯, 故排除B ；验证C,令()()()21=cos -1+,'=-sin +,''=1-cos 2g x x x g x x x g x x ,显然()''>0g x 恒成立, 所以当[)0,+x ∈∞,()()''0=0g x g ≥,所以[)0,+x ∈∞,()21=cos -1+2g x x x 为增函数,所以()()0=0g x g ≥,恒成立,故选C ；验证D,令()()()()()2-311=ln 1+-+,'=-1+=8+144+1x x x h x x x x h x x x ,令()'<0h x ,解得0<<3x ,所以当0<<3x 时,()()<0=0h x h ,显然不恒成立,故选C.19.B 【试题解析】由题可知()11x f x e =->-,22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤, 若有()(),f a g b =则()(1,1]g b ∈-,即2431b b -+->-,解得22b <+20.1(,)4-+∞【试题解析】当12x >时,不等式为12221x x-+>恒成立； 当102x <≤,不等式12112x x +-+>恒成立；当0x ≤时,不等式为11112x x ++-+>,解得14x >-,即14x -<≤； 综上,x 的取值范围为1(,)4-+∞.21.59【试题解析】由260x x +-≥,解得23x -≤≤,根据几何概型的计算公式得概率为3(2)55(4)9--=--.22.-1,-2,-3(答案不唯一)【试题解析】因为“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +>”是假命题,则它的否定“设a ,b ,c 是任意实数.若a b c >>,则a b c +≤”是真命题,由于a b c >>,所以2a b c +>,又a b c +≤,所以0c <, 因此a ,b ,c 依次取整数-1,-2,-3,满足a b c +≤.()123,1233->->--+-=->-相矛盾,所以验证是假命题.23.(2-【试题解析】由题意可得()0f x <对于[,1]x m m ∈+上恒成立,即22()210(1)230f m m f m m m ⎧=-<⎨+=+<⎩,解得0m <<.24.5[0,][,]66πππ【试题解析】不等式28(8sin )cos20x x αα-+≥对x R ∈恒成立,则有22(8sin )48cos264sin 32cos20αααα∆=-⨯=-≤即2222sin cos22sin (12sin )αααα-=--24sin 10α=-≤. ∴21sin 4α≤.∴11sin 22α-≤≤.又0απ≤≤,结合下图可知,α∈π5π0,,π66⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.25.－1【试题解析】由于不等式()243201x x ax b x ≤-++≤-,即433221x x ax b x x -+≤+≤-+,记()()324321,f x x x g x x x =-+=-+,显然()()()2422211f x g x x x x -=-+=-,所以当0x ≥时,()()f xg x ≥,当且仅当1x =时取“等号”,而()()()()23234,43,111f x x xg x x x f g ''''=-=-+==-,因此,当y ax b =+为()f x 与()g x 在1x =处的公切线时,才能使()243201x x ax b x ≤-++≤-恒成立。
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【高频考点解读】1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图． 【热点题型】题型一 不等式的性质及应用【例1】 若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 【答案】 C 【解析】【提分秘籍】判断多个不等式是否成立，常用方法：一是直接使用不等式性质，逐个验证；二是用特殊法排除．而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考：(1)不等式两边都乘以一个代数式时，考察所乘的代数式是正数、负数或0；(2)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变；(3)不等式左边是正数，右边是负数，当两边同时取倒数后不等号方向不变等．【举一反三】(1)若a ＜b ＜0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a －b＞1b B ．a 2＜ab C.|b ||a |＜|b |＋1|a |＋1D ．a n ＞b n(2)设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论：①c a ＞cb ；②ac ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 【答案】 (1)C (2)D 【解析】题型二 一元二次不等式的解法【例2】 (1)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 【答案】 A【解析】 法一 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0，因为a ＞0，所以不等式的解集为(－2a ，4a )． 又不等式的解集为(x 1，x 2)， 所以x 1＝－2a ，x 2＝4a . 从而x 2－x 1＝6a ＝15， 解得a ＝52.法二 由条件知，x 1和x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2，所以(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2＝4a 2＋32a 2＝36a 2＝152.又a ＞0，所以a ＝52，故选A.【提分秘籍】含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．【举一反三】解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R)．题型三 不等式恒成立问题 【例3】 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )＜0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1，3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 【解析】 (1)要使mx 2－mx －1＜0恒成立，若m ＝0，显然－1＜0； 若m ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇒－4＜m ＜0. 所以－4＜m ≤0.(2)要使f (x )＜－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1，3]上恒成立．有以下两种方法：法一 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0，又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可． 所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |m ＜67.【提分秘籍】(1)不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.(2)含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单．【举一反三】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【解析】 因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x ＞0恒成立，即x 2＋2x ＋a ＞0恒成立．即当x ≥1时，a ＞－(x 2＋2x )恒成立．设g (x )＝－(x 2＋2x )，而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a ＞－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a ＞－3}． 【高考风向标】1.【2015高考山东，理5】不等式152x x ---<的解集是（ ）（A ）（-，4） （B ）（-，1） （C ）（1，4） （D ）（1，5） 【答案】A【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;1155()()()152152152x x x I II III x x x x x x <≤<≥⎧⎧⎧⎨⎨⎨-+-<-+-<--+<⎩⎩⎩【解析】（I ）得：1x < ,解（II ）得：14x ≤< ,解（III ）得：x φ∈ , 所以，原不等式的解集为{}4x x < .故选A. 2.【2015高考江苏，7】不等式224x x-<的解集为________.【答案】(1,2).-【解析】由题意得：2212x x x -<⇒-<<，解集为(1,2).- 3.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21281002f x m x n x m n =-+-+≥≥，在区间122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，则mn 的最大值为（ ）（A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812【答案】B 【解析】4.【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若(p f ab =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C【解析】ln p f ab ab ==，()ln22a b a b q f ++==，11(()())ln ln 22r f a f b ab ab =+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增，因为2a b +>，所以()2a bf f +>，所以q p r >=，故选C ．【高考押题】1．若a ＜b ＜0，则下列不等式不能成立的是 ( )A.1a －b ＞1a B.1a ＞1b C ．|a |＞|b |D ．a 2＞b 2【答案】 A【解析】 取a ＝－2，b ＝－1，则1a －b ＞1a 不成立，选A.2．设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2＜0”是“a ＜b ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】3．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0＜a ＜4}B ．{a |0≤a ＜4}C ．{a |0＜a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}【答案】 D【解析】 由题意知a ＝0时，满足条件．a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 4．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为{x |－2＜x ＜1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )【答案】 B【解析】 由题意知a ＜0，由根与系数的关系知1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2.所以f (x )＝－x 2－x ＋2，f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，图象开口向下，与x 轴交点为(－1，0)，(2，0)，故选B.5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则 ( ) A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞9【答案】 C 【解析】6．函数y ＝x 2＋x －12的定义域是________．【答案】 (－∞，－4]∪[3，＋∞)【解析】 由x 2＋x －12≥0得(x －3)(x ＋4)≥0， ∴x ≤－4或x ≥3.7．若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12＜x ＜13，则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0的解集是________．【答案】 {x |－2＜x ＜3}【解析】 由题意，知－12和13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根且a ＜0，所以⎩⎨⎧－12＋13＝－b a－12×13＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2.则不等式2x 2＋bx ＋a ＜0，即2x 2－2x －12＜0，其解集为{x |－2＜x ＜3}．8．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎝⎛⎭⎫－22，0【解析】 二次函数f (x )对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )＜0成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝m 2＋m 2－1＜0，f （m ＋1）＝（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1＜0， 解得－22＜m ＜0. 9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集．10．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．：。