函数-递归
离散数学中的递归函数和生成函数
离散数学作为数学的一个分支，研究的是离散的数学结构和离散的数学对象。
在离散数学中，递归函数和生成函数是两个重要的概念。
递归函数是离散数学中常用的一种定义函数的方法，而生成函数则是离散数学中描述数列的一种方法。
首先，我们来了解一下递归函数。
递归函数是一种在定义中使用了函数自身的函数。
它在数学和计算机科学中都有广泛的应用。
在离散数学中，递归函数可以用来定义数列和组合数等对象。
一个典型的递归函数定义形式是：f(n)=g(n, f(n-1), f(n-2), ...)。
其中，g是一个表达式，描述了函数f在不同输入下的计算规则。
递归函数的定义可以帮助我们理解问题的本质，并能够用简洁的方式描述复杂的数学对象。
例如，斐波那契数列就可以通过递归函数进行定义。
斐波那契数列的定义是：F(0)=0，F(1)=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)。
通过递归函数，我们可以很容易地计算出任意位置的斐波那契数值。
而生成函数是另一种在离散数学中常用的方法，用来描述数列的方法。
生成函数是一个形如F(x)=a0+a1x+a2x^2+...的函数，其中ai表示数列中第i项的系数。
生成函数的主要作用是将数列转化为一个多项式函数，从而使得数列的求和、乘法和递推等操作可以通过多项式函数的运算来实现。
生成函数的优势在于它提供了一种统一的框架，能够将不同的数列问题转化为多项式的运算。
例如，如果我们要求斐波那契数列的每一项的和，我们可以通过斐波那契数列的生成函数F(x)=1/(1-x-x^2)来实现。
我们只需要将生成函数展开为多项式，再对多项式进行求和操作，就可以得到斐波那契数列的和。
递归函数和生成函数在离散数学中的应用非常广泛。
它们能够描述很多复杂的数学结构和问题，并能够通过一些简单的规则进行计算。
递归函数和生成函数的使用可以大大简化数学问题的求解过程，提高计算效率。
总结起来，离散数学中的递归函数和生成函数是两个非常重要的概念。
递归函数python经典例子
递归函数python经典例子递归函数是一种在函数定义中使用自身的方法。
它在编程中被广泛使用，可以解决许多问题。
下面将列举一些经典的递归函数示例，以展示其在不同领域的应用。
1. 阶乘函数阶乘函数是递归函数的典型示例。
它用来计算一个非负整数的阶乘。
阶乘定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 1，其中0的阶乘定义为1。
下面是一个计算阶乘的递归函数示例：```pythondef factorial(n):if n == 0:return 1else:return n * factorial(n-1)```2. 斐波那契数列斐波那契数列是一个经典的递归函数示例。
它是一个无穷序列，每个数字都是前两个数字之和。
下面是一个计算斐波那契数列的递归函数示例：```pythondef fibonacci(n):if n <= 1:return nelse:return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)```3. 列表求和列表求和是一个递归函数的常见应用。
它递归地将列表中的每个元素相加，直到列表为空。
下面是一个计算列表求和的递归函数示例：```pythondef list_sum(lst):if len(lst) == 0:return 0else:return lst[0] + list_sum(lst[1:])```4. 链表反转链表反转是一个常见的递归问题。
它递归地将链表中的每个节点反转，使链表的尾部成为头部，头部成为尾部。
下面是一个链表反转的递归函数示例：```pythonclass ListNode:def __init__(self, val=0, next=None):self.val = valself.next = nextdef reverse_list(head):if head is None or head.next is None:return headelse:new_head = reverse_list(head.next)head.next.next = headhead.next = Nonereturn new_head```5. 二叉树遍历二叉树遍历是一个常见的递归问题。
C语言递归函数
C语言递归函数C语言是一种非常重要的编程语言，递归函数是C语言中的一个重要概念。
本文将详细介绍C语言递归函数的定义、实现以及递归函数的优缺点。
1. 递归函数的定义在C语言中，递归函数是指在函数内部调用自身的函数。
递归函数通常包含一个或多个基准情况（递归终止条件），在满足基准情况之前，递归函数会不断调用自身来解决更小规模的问题。
2. 递归函数的实现为了实现递归函数，我们需要考虑两个重要的要素：基准情况和递归关系。
2.1 基准情况在编写递归函数时，必须确定递归终止条件。
这个条件通常是问题规模足够小，可以直接得出答案的情况。
通过设置基准情况，可以避免递归函数陷入无限循环，导致程序崩溃。
2.2 递归关系递归关系指的是将原始问题拆分为更小规模的子问题，并且这些子问题与原问题的解具有相同的结构。
递归函数通过调用自身来解决子问题，将子问题的解合并为原问题的解。
递归关系的正确定义是确保递归函数能够有效地解决问题的关键。
3. 递归函数的示例下面是一个计算斐波那契数列的递归函数的示例：```c#include <stdio.h>int fibonacci(int n){if(n <= 1) // 基准情况return n;else // 递归关系return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2);}int main(){int n = 10;int result = fibonacci(n);printf("斐波那契数列的第%d项为%d\n", n, result); return 0;}```在以上示例中，递归函数fibonacci计算了斐波那契数列的第n项。
当n小于等于1时，即为基准情况，直接返回n。
否则，递归调用fibonacci函数计算第n-1和第n-2项，并将结果相加返回。
4. 递归函数的优缺点递归函数具有以下优点：- 可以简化代码实现，使代码更加简洁易读。
wps递归函数
wps递归函数递归函数在编程中起着十分重要的作用，它是指在函数内部调用自身的函数，实现对问题的逐层分解和解决。
在WPS中，递归函数可以帮助我们快速、简便地解决一些复杂的问题。
本文将会详细介绍WPS递归函数的运用及其注意事项。
一、WPS递归函数概述WPS的递归函数使用在公式中最常见的是数据透视表中的自定义计算项中。
在自定义计算项中，可以使用Excel公式中90%的函数，其中包括递归函数。
WPS支持像Excel一样的四个非常重要的递归函数：1. REPT函数2. SUBSTITUTE函数3. INDIRECT函数4. NESTEDTEXT函数二、REPT函数REPT函数根据指定的文本和重复次数生成一个新的文本字符串。
使用REPT函数的语法如下：=REPT（text，number_of_times）其中，text是要重复的文本字符串，number_of_times是要重复的次数。
REPT函数实际上也是一个递归函数，因为它可以重复地返回文本字符串，以便实现任务的逐步分解。
三、SUBSTITUTE函数SUBSTITUTE函数是一种常用的函数，用于查找和替换文本字符串中的文本。
它可以替换一个字符串中的一部分或全部。
其语法如下：=SUBSTITUTE(text, old_text, new_text, [instance_num])其中，text是要进行替换的字符串， old_text是要被替换的文本，new_text是要替换的新文本，[instance_num]是可选的参数，用于指定要替换的实例数。
SUBSTITUTE函数在某种程度上也可以用作递归函数，因为它可以在对文本进行多次替换时重复调用自身。
四、INDIRECT函数INDIRECT函数用于返回文本字符串中指定的单元格。
这是一种非常有用的函数，可以用于动态地引用单元格、区域、工作表和工作簿名称。
其语法如下：=INDIRECT(ref_text, [a1])其中，ref-text是一个包含引用单元格的文本字符串，[a1]是一个可选的布尔值参数，如果为TRUE或省略，则将引用转换为A1样式；如果为FALSE，则引用转换为R1C1样式。
递归函数---案例：求第100个斐波那契数
var arr = [] function getFib(n) {
if (n === 1 || n === 2) { return 1
} if (arr[n]) {
return arr[n] } else {
arr[n] = getFib(n - 1) + getFib(n - 2); return arr[n] } } return getFib; })(); console.log(result(100));
// 需求：求第100个斐波那契数
// 方法一 var arr = [] function getFib(n) {
if (n === 1 || n === 2) { return 1
} if (arr[n]) {
return arr[n] } else {
arr[n] = getFib(n - 1) + getFib(n - 2); return arr[n] } } console.log(getFib(100));
利用匿名函数自调用优化减少使用全局变量结合闭包进行性能优化保护变量varresultfunctionvararrfunctiongetfibnifn1n2return1ifarrnreturnarrnelsearrngetfibn1getfibn2
递归函数 ---案例：求第 100个斐波那契数
// 斐波那契数列 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ... // 规律：从第三个数开始，后一个数等于前两个数的和 // getFib(n) getFib(n-1) + getFib(n-2)
c递归函数详细介绍及使用方法
c递归函数详细介绍及使用方法递归函数是一种特殊的函数，它在函数的定义中调用自身。
通过不断将问题分解为更小的子问题，递归函数可以有效地解决复杂的问题。
使用递归函数的方法如下：1.定义函数的基本情况：递归函数必须有一个或多个基本情况，即无需递归就可以解决的情况。
这些基本情况一般是问题的最小规模。
如果没有基本情况，递归函数将陷入无限循环。
2.将问题分解为更小的部分：在递归函数的定义中，必须将原始问题分解为一个或多个更小的子问题。
这个分解过程必须将原始问题的规模减小，否则递归函数将没有结束的时候。
3.调用自身解决子问题：在递归函数的定义中，必须调用自身来解决子问题。
调用函数时，输入参数必须与原始问题相应部分的子问题相对应。
通过递归调用，子问题将被解决。
4.组合子问题的解：递归函数必须将子问题的解组合成原始问题的解。
这个组合过程是递归函数的关键部分，因为它确定了递归函数的运行结果。
递归函数的优点是能够简洁地解决复杂问题。
它可以将原始问题分解为更小的子问题并逐步解决。
递归函数还可以提高程序的可读性和可维护性，因为它可以将复杂问题分解为多个简单的函数调用。
然而，递归函数也存在一些缺点。
首先，递归函数在解决问题时需要消耗大量的内存，因为每个递归调用都需要在内存中保存函数的局部变量和返回地址。
此外，递归函数可能导致栈溢出，因为递归调用的嵌套层数可能非常深。
为了正确地使用递归函数，需要注意以下几点：1.确定递归函数的基本情况：递归函数必须有一个或多个基本情况，用于结束递归调用。
如果没有基本情况，递归函数将陷入无限循环。
2.确保递归函数的问题规模减小：递归函数的定义必须将原始问题分解为一个或多个更小的子问题。
通过减小问题的规模，递归函数可以最终解决问题。
3.确定递归函数的输入参数和返回类型：递归函数的输入参数必须与原始问题相应部分的子问题相对应。
通过递归调用，子问题将被解决。
递归函数的返回类型必须与原始问题的解相对应。
c加加递归函数
c加加递归函数
C++递归函数是指在函数内部调用自身的函数。
递归函数的实现需要
满足两个条件：递归结束条件和递归调用条件。
递归函数在编程中有
着广泛的应用，如树的遍历、排序算法等。
递归函数的基本语法如下：
```
返回类型函数名(参数列表) {
if (递归结束条件) {
return 结果;
} else {
// 递归调用
return 函数名(参数列表);
}
}
```
其中，递归结束条件是指当满足某个条件时，递归函数不再调用自身，而是返回结果。
递归调用条件是指在函数内部调用自身的条件。
下面是一个简单的递归函数示例，用于计算阶乘：
```
int factorial(int n) {
if (n == 0) {
return 1;
} else {
return n * factorial(n - 1);
}
}
```
在上述代码中，当n等于0时，递归结束，返回1；否则，递归调用factorial函数，并将n减1作为参数传入。
递归函数的优点是代码简洁、易于理解，但也存在一些缺点。
首先，递归函数的调用过程会占用大量的栈空间，可能导致栈溢出。
其次，递归函数的效率较低，因为每次调用都需要保存现场和恢复现场，而且递归调用的次数较多。
因此，在编写递归函数时，需要注意递归结束条件的设置，以避免无限递归。
同时，也需要考虑递归函数的效率，可以通过优化算法或使用循环等方式来替代递归函数。
总之，递归函数是C++编程中常用的一种技巧，可以简化代码实现，但也需要注意其缺点和使用方法。
递归函数解释
递归函数解释
一、递归定义
递归函数是指一个函数在其定义域内，存在某个或某些子集作为其自身的输入，也就是一个函数直接或间接调用自身的一种过程。
通常递归函数的定义会包含两部分：基本情况和递归情况。
二、基本情况
基本情况也被称为基线条件，是递归函数的结束条件。
基本情况决定了递归何时停止，它必须是直接可求解的情况。
基本情况是递归函数的根，其他递归情况都由它导出。
三、递归转化
递归转化是将问题转化为更小的同类问题的一种策略。
在递归函数中，每一个递归调用都是为了解决一个更小的子问题，以便于通过这些子问题的解来找到原问题的解。
四、递归终止
递归终止是指函数在完成一系列递归调用后，最终达到基本情况并返回结果的过程。
递归终止是递归函数的终点，也是递归函数开始返回结果的地方。
五、递归层次
递归层次是指函数在执行过程中所经历的递归深度。
每一个递归调用都会增加一层的递归深度，直到达到基本情况并返回结果，然后开始逐层返回，直到完成所有递归调用。
理解递归层次有助于更好地理解递归函数的执行过程和时间复杂度。
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递归-编写数值型递归程序
• 数值型问题的递归求解一般方法
从数学公式入手：推出问题递归定义；确定问题的边
界条件；得到问题的递归算法和递归结束条件。
• 例C8-13：求自然数 1 到 n 之和。
}
递归-编写数值型递归程序
• 例C8-14：求菲波那奇序列：1,1,2,3,5,8,13, ……
建立问题的递归定义：
f(n)=1
当 n=1或n=2 时 递归结束条件
f(n)=f(n-1)+f(n-2) 当 n>2 时
递归算法
程序： f( int n )
例C8-14
{ if (n==1||n==2) return 1; /* 结束条件 */
c(x,y) = 1
x>=0，y=1 或 y=x+1
c(x,y) = c(x-1,y-1) + c(x-1,y) 其它
递归-编写数值型递归程序
• 例C8-15：打印杨辉三角型：
例C8-15
递归数学模型：
c(x,y) = 1
x>=0，y=1 或 y=x+1
c(x, = c(x-1,y-1) + c(x-1,y) 其它
建立问题的递归定义：
f(n) = 1
当 n=1 时 递归结束条件
f(n) = n + f(n-1) 当 n>1 时 递归算法
程序： add( int n )
例C8-13
{ if ( n==1 ) return 1; /* 递归结束条件 */
if ( n>1 ) return n + add(n-1);
递归：你中有我，我 中有你
递归
你站在桥上看风景， 看风景人在楼上看你， 明月装饰了你的窗子， 你装饰了别人的梦。
——卞之琳
递归
• 基本概念 递归是一种常用的程序设计技术，在一个
程序中，若存在程序自己调用自己的现象就 形成了递归。
如 果 函 数 funA 在 执 行 过 程 又 调 用 函 数 funA，则称函数 funA 为直接递归。
px(x,n) = x - x2 + x3 - x4 + ...... (-1)n-1xn n>0
已知程序：
double px( double x, int n )
{ if (n==1) return (
);
else return ( x *
);
}
请填写适当的语句，使之成为正确的程序。
递归-编写数值型递归程序
所有的递归问题一定可用非递归算法实现。 问题若蕴涵了递归关系且结构复杂，用非 递归算法可能会使程序结构复杂，采用递归 算法实现，可使程序简洁，提高可读性。 递归会增加空间和执行时间上的开销。
递归-编写递归程序的一般方法
递归问题的分类 ◆ 数值性递归问题 ◆ 非数值性递归问题 对于不同类型的问题,可以采用不同的 解决方法。
• 程序实现
facto( int n )
{ int r;
if ( n==1 ) r = 1;
else r = n * facto(n-1); /* 递归 */
return (r);
}
递归-递归
• 递归算法与递推算法比较
10！= 10 * 396！2880 = 3628800
1！= 1
9！= 9 * 84！0320 = 362880 2！= 1*2 = 2
如果函数 funA 在执行过程中先调用函数 funB， 函 数 funB 在 执 行 过 程 中 又 调 用 函 数 funA，则称函数 funA 为间接递归。
递归-递归程序的执行过程
• 例C8-11.C：用递归方法求阶乘 n!。
• 递归定义
f(n) = 1
当n=1时
f(n) = n * f(n-1) 当 n > 1 时
8！= 8 * 75！040 = 40320
3！= 2*3 = 6
7！= 7 * 67！20 = 5040
4！= 6*4 = 24
6！= 6 * 51！20 = 720
5！= 24*5 = 120
5！= 5 * 42！4 = 120
6！= 120*6 = 720
4！= 4 * 36！= 24
7！= 720*7 = 5040
if ( n>2 )
return f(n-1)+f(n-2);
else return -1; /* 返回-1表示出错 */
}
递归-编写数值型递归程序
• 例C8-15：计算杨辉三角型：
1 11
0行，1列 1行，2列
1
2
1
1
3
3
1
4行，4列
1
4
6
4
1
…… …… …… …… …… …… ……
建立问题的递归定义 计算第 x 行的第 y 个值：
• 程序
例C8-12
power( int x, int n )
{ if ( n==0 )
return (1); /* 递归结束条件 */
else
return ( x * power( x, n-1 ) );
}
递归-讨论
递归的基础 语言本身支持递归调用。 变量存储类型（自动变量）的特点，保证
了在每次递归调用的过程中，变量可以保持 相对独立性，不会发生相互干扰。 对递归的认识
• 分析：
px(x,n)= x - x2 + x3 - x4 + ...... (-1)n-1xn n>0
= x * ( 1 - x + x2 - x3 + ...... (-1)n-1xn-1 )
= x * ( 1 - (x - x2 + x3 - ...... (-1)n-2xn-1 ))
程序： int c( int x, int y ) /* 求第 x 行 y 列的值 */ { if ( x>=0 && ( (y==1) || (y==x+1) ) ) return 1; else return c(x-1,y-1) + c(x-1,y); }
递归-编写数值型递归程序
• 例C8-16.C：下列程序的功能是计算函数 px 的值：
3！= 3 * 22！= 6 8！= 5040*8 = 40320
2！= 2 * 11！= 2
9！= 40320*9 =
1！= 1 1
362880
10！= 362880*10 =
递归-下一个实例
• 例C8-12.C：采用递归方法计算 x 的 n次方。
• 递归定义
f(x,n) = 1
当 n=0 时
f(x,n) = xn = x * f(x,n-1) 当 n>0 时